Применение пакета Mathematica для построения матриц реакций сложных стержней и при автоматизации метода В. З. Власова Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MATHEMATICA ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦ РЕАКЦИЙ СЛОЖНЫХ СТЕРЖНЕЙ И ПРИ АВТОМАТИЗАЦИИ

МЕТОДА В.З. ВЛАСОВА

P.E. КРИСТАЛИНСКИЙ, канд. физ.-мат. наук, H.H. ШАПОШНИКОВ, д-р техн. наук, профессор A.C. ТРУБАЕВ

В табл. 1 приведены дифференциальные уравнения и выражения для вычисления изгибающих моментов и поперечных сил в различных стержнях.

_Таблица 1

Стержень

Стержень на уп-ругом основании

Гармонические колебания

Продольно -поперечный изгиб

d\ dxA

JL EJ

dAv 4 q

-- + n | v = —

dx EJ

d*V dx'

EJ

kb

и, =4-

V EJ

d2v

М = EJ—-

dx1

d\

Q = EJ —

dx3

q = EJ ( J4 d V 4

-T + n> v

ldx4

Пп =i

yF02

d'v 2 d2v —T±n3 —T'

dx4 dx2

EJ

gEJ

M = EJ

dx2

Q=EJd~± dx3

q = EJ—7 dx*

M = EJ

Q-EJ

q-EJ

d2V dx2

f{!L

dx3

Vf 4 '

-r--n2 V dx4

M - EJ

Q~ EJ

dx2

dv

dx3 dx

q = EJ

2d2v^

\

d'v +

—Т — пз —7

dx4 dx

В комплексе МаШета^са [3] имеется пакет программ, осуществляющих преобразование Лапласа. Этим пакетом можно воспользоваться в двух режимах. Режим обучения, когда все операции делаются последовательно и в режиме практического использования, для решения краевых и многоточечных задач. Этот пакет требует знакомства с операционным исчислением и обобщенными функциями. В ближайшее время будут разработаны методические пособия по операционному исчислению и обобщенным функциям. Эти разделы не изучаются в курсах математики для инженеров.

Основным понятием в методе конечных элементов стержневых систем является матрица реакций. Для того чтобы построить матрицу реакций необходимо иметь дифференциальное уравнение и выражения для Q\^ М, значение этих силовых факторов по концам стержня Qн, Мн, Qк, Мк (н - начальное сечение стержня, к - конечное сечение стержня) и являются с точностью до знака, реакциями, из которых составляется матрица реакций. На рис.1, а изображен стержень и его степени свободы (ун, <рИ, <рк). А на рис.1, б показаны обобщенные реакции О^

Комплекс МаЛета1лса позволяет решать дифференциальные уравнения и вычислять значения внутренних силовых факторов по концам стержня, которые с точностью до знака совпадают с реакциями. Рассмотрим этот процесс на примере стержня лежащего на упругом основании. Дифференциальное уравнение для стержня на упругом основании имеет вид: 34

у

<рк

V,,

а

V

Рис. 1

Ун=1

d*v 4 а Же Е1

щ =И

В соответствии с рис. 2 запишем выражение для матрицы реакций:

к УН

г

<РЛ

г г

<Рн<Р,

г

г г

РЛ <р»<р.

1 Н=1

(

М" и

г г г

>Л <Р,<Р, >Л

а

Ч~

<р„

_<рк_

• (1)

М к

Н Чн

>

(

^нЧ

П>>

Ш

г

V кЧ X

V Н

Рис.2

Рис.3

Сравнивая рис.3, а (внутренние силы по концам стержня соответствующие дифференциальному уравнению) и 3, б (реакции по концам стержня) можно записать

(2)

" е.

-м„

-е.

.V

Таким образом, реакции в начале стержня равны внутренним силам ( Ян ~ ), а реакции в конце - внутренним силам (- (2КМК). В соответствии со сказанным матрица реакций г (1) будет иметь вид. В последнем столбце матрицы записаны внутренние силы от действия равномерно распределенной нагрузки (рис.2).

г =

a. QH<Pk Qhvk QHq

~MНУ.

~~ QK<Pk

MKq

(3)

Для построения матрицы реакций в стержнях, может быть использован пакет \iathematica.

Пример. Построим матрицу реакций для балки на упругом основании. Дифференциальные уравнения и выражения для М и 0 имеют вид.

„ ГТГ Л3- ( ^

Ниже приведена программа и окончательные результаты для первого и второго единичных воздействия (рис.2). Аналогичные программы можно записать и для остальных единичных воздействий и грузового состояния, ввиду ограниченности объема статьи, результаты по остальным состояниям привести не было возможности. При п —»100

u=DSolve[{у''•'[х]+100*у[х]DO,у[0]D1,у'[0]D0,y[4]D0,y' [4] □0},у[х],х] r=ytx]/.u[[l]][[1]] Plot[г,{х,0,4},PlotRange-> { -0.1,1} , PlotStyle-»{ {Thickness [0. 0075]}}]

Эпюра прогибов

v=D[r,x] m=D[v,x]

Plot[m,{x,0,4},PlotRange-H ~ 10,2.1) ,PlotStyle->{{ Thickness[0.0075]}}]

-m/. x-»0.

10.

-m/. x-»4.

-0.00241251 g21=D[m,x]

Plot[g21,{x,0,4},PlotRange-» {-

3,44},Plotstyle->{{Thickness [0.0075]}}]

44.7214 g21/.x->4.

-0.0049546

При n-> 0

u=DSolve[{y' ' ' ' tx3a0,y[03Dl,y' [0]D0,yt4]D0,y' [4]D0> ,y[x] , x]

r-y[x]/.u[[l]][[l]] Plot[r,{x,0,4}]

Эпюра прогибов

0.8 0.6 0.4 0.2

12 3 4

v=D[r,x]

Plot[v, {х,0,4} ,PlotRange->{-

1,1},PlotStyle-4 {Thickness[0.0075]>}]

m=D[v,x]

Plot[m,{x,0,4} , PlotStyle-Ч {Thickness [0.0075] }}]

Эпюра моментов

-m/. x-»0

3

8~

-m/. x->4

_3

g21=D[m,x]

Plot[g21, {x,0,4} ,PlotStyle->{ {Thickness [0.0075] }}]

Эпюра поперечных сил

0.35 0.2 0.25

О - 1 5 0 . 1 0 . ü 5

g21/.x->2

3

16

Матрица реакций для стержня (см.таб.1) имеет вид:

12 EJ 6EJ I2 4 EJ

/3

6EJ

12

12 EJ

Р

6EJ

12

12 EJ 6EJ 12 2 EJ

1

6 EJ 12

2EJ I

Р 6 EJ I2 12 £7

/3

6 EJ

/2

/

6EJ

12

4 EJ I '

h 2

111

12 /£

2 /2i

12

Значение реакций в стержне на упругом основании совпадают с приведенными в [1].

Предложенный подход к построению матриц жесткости освобождает от громоздких выкладок приведенных в [3] и существенно облегчает чтение специального курса.

Далее рассмотрим метод В.З. Власова [1]. Шарнирная схема, соответствующая поперечному сечению оболочки, связанная в узлах до перемещения узлов должна быть связанна в тех же узлах после перемещений узлов в плоскости шарнирной схемы. При этом стержни не деформируются вдоль своих осей. Запишем геометрические уравнения общей системы уравнений строительной механики [2]:

Ат2 = Д, (5)

здесь I- перемещения узлов в плоскости шарнирной схемы; Д- деформации

стержней. В нашем случае в виду недеформируемости стержней А = 0 тогда соотношение (5) примет вид:

Агг = 0. (6)

Соотношение (6) дает связь между перемещениями узлов из условия недеформируемости стержней вдоль их осей. Часть перемещений можно принять в качестве независимых, а вторую часть выразить через них [2]. Для решения дифференциальных уравнений В.З. Власова может быть эффективно использован пакет МаШетайса [4].

На рис.4 изображены поперечные сечения складчатых систем, по торцам эти складчатые системы имеют шарнирное опирание, в качестве нагрузки приняты горизонтальные силы меняющиеся по закону синуса Р = ьт(яг/£), 2 -

Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4

Количество уравнений 3 7 11 16

Время решения 6 секунд 16 секунд 27 секунд 39 секунд

При использовании комплекса Maple время решения первой задачи 3 минуты, время решение второй задачи 27 минут, остальные задачи решить не удалось.

В результате решения было получено, что продольные перемещения меняются по закону синуса w sin (лг//), а перемещения вдоль контура оболочке, по закону косинуса vcos(®//), что соответствует методу тригонометрических рядов.

Основной задачей статьи показать принципиальную возможность расчета складчатых систем по методу В.З. Власова. Только комплекс Mathematica позволил рассчитывать складки по этому методу. Заметим, что ученым - физику и математику за решение сложной физической задачи, с использованием комплекса Mathematica, была присуждена Нобелевская премия.

Литература

1. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. - М.: Гос-тройиздат, 1958.

2. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1988.

3. Киселёв В.А. Строительная механика. Специальный курс. - М.: Стройиздат, 1989.

4. Шмидский Я. К, Mathematica. Диалектика. - М., 2004.