CC BY
32
УДК 621.382.
Щж Б. Р.,1'2 д.т.н., професор, Варивода Ю. Ю.,1 к.т.н., доцент, Волос В. О.,1 к.ф.-м.н., доцент, Чохань М. I.,1 к.т.н., доцент, Магола Я. Я.,1 студент, Гончар Ф. М.,3 к.ф.-м.н., доцент ©
1 Львгвський национальный университет ветеринарног медицины та б1отехнологт 1мет С. 3. Гжицъкого, Льв1в, Украгна 2Унгверситет Казымыра Велыкого в Бидгощг, Полъща 3Нацгональнийунгверситет «Львгвська политехника», Украгна
ЗАСТОСУВАННЯ ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДУ В НЕСТАЦЮНАРН1Й ТЕПЛОПРОВ1ДНОСТ1 НЕОДНОР1ДНИХ ЕЛЕМЕНТ1В ВУЗЛ1В ТА МЕХАН13М1В ХАРЧОВИХ ВИРОБНИЦТВ
Запропоноеано еыкорыстання операторного методу для досл1дження тепловых яеыщ в неоднор!дных пластынкоеых елементах обладнання харчоеых еыробныцте. Пры цъому розглянута неоднор1дна пластына, теплоф1зичш характеристики яког - функцИ полярных координат. За допомогою представления температури пластини через гг ттегралът характеристики, отримано в операторному вигляд1 езаемозе'язану систему диференц1альних р1внянь теплопров1дност1 безмежно еисокого порядку. Для поеного формулювання задач/ нестац1онарног теплопров1дност1, записано узагалънем умоеи з уах поеерхонъ пластини. Це дае змогу об'еднати ва можлив1 вар1анти умов теплообм1ну, а також утеорюеати гх лШйт комбтацп. Як частков1 еипадки розглянуто р1вняння теплопров1дност1 для неоднор!дних пластин, коли на гх плоских поеерхнях задаютъся густини теплоеих потоюв та нестащонарм температури з р1зних середоеищ за законом Ньютона. Розкладаючи в отриманих р1вняннях теплопров1дност1 оператори у степенее/ ряди, отримано значно спрощеш наближем р1вняння теплопров1дност1, зокрема, не вище третъого степеня розкладу. В цъому еипадку езаемозе'язана система диференц1альних р1внянь теплопров1дност1 роздыюетъся, що значно спрощуе отримання загалъного розв'язку задач/ теплопров1дност1 за допомогою ттегралъних перетеоренъ Фур'е / Лапласа.
Ключовг слова: операторний метод, нестац1онарна теплопров1дшсть, коеф1ц1ент температуропров1дност1, теплоф1зичм характеристики, пластинчастг елементи, диференцгальнг ргвняння.
УДК 621.382.
Циж Б. Р.,1,2 д.т.н., профессор, Варивода Ю. Ю.,1 к.т.н., доцент, Волос В. О.,1 к.ф.-м.н., доцент, Чохань М. И.1 к.т.н., доцент, Магола Я. Я., студент, Гончар Ф. М., к.ф.-м.н., доцент, 1Лъвовсъкий национальный университет ветеринарной медицины и биотехнологий имени С.З. Гжицкого, Украина 2Университет Казимира Великого в Быдгоще, Польша 3Национальнийуниверситет «Лъвовскаяполитехника», Украина
ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДА В НЕСТАЦИОНАРНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ УЗЛОВ И МЕХАНИЗМОВ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ
Предложено использование операторного метода для исследования тепловых явлений в неоднородных пластинчатых элементах оборудования пищевых производств. При этом рассматривается неоднородная пластина, теплофизические характеристики которой - функции полярных координат. С помощью представления температуры пластины через ее интегральные
© Цш Б. Р., Варивода Ю. Ю., Волос В. 0.,Чохань М. I., Магола Я. Я, Гончар Ф. М., 2015
139
характеристики, получено в операторном виде взаимосвязанную систему дифференциальных уравнений теплопроводности бесконечно высокого порядка. Для полной формулировки задачи нестационарной теплопроводности, записано обобщенные условия со всех поверхностей пластины. Это позволяет объединить все возможные варианты условий теплообмена, а также образовывать их линейные комбинации. Как частные случаи рассмотрены уравнения теплопроводности для неоднородных пластин, когда на их плоских поверхностях задаются плотности тепловых потоков и нестационарные температуры из разных сред по закону Ньютона. Раскладывая в полученных уравнениях теплопроводности операторы в степенные ряды, получаем значительно упрощенные приближенные уравнения теплопроводности, в частности, не выше третьей степени разложения. В этом случае взаимосвязана система дифференциальных уравнений теплопроводности разделяется, что значительно упрощает получение общего решения задачи теплопроводности с помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа.
Ключевые слова: операторний метод, нестационарная теплопроводность, коэффициент температуропроводности, теплофизические характеристики, пластинчатые элементы, дифференциальныеуравнения.
UDC 621.382
Tsizh B. R. 12 - PhD, Professor, Varyvoda Yu. Yu. 1 - PhD,Associate Professor, Volos V. O . 1 - PhD, Associate Professor, Chokhan M. I.1 - PhD, Associate Professor, Mahola Ya. Ya.1,- student, Gonchar F. M.3- PhD, Associate Professor, 1 Lviv National University of Veterinary Medicine
and biotechnology S. Z. Gzhytsky, Ukraine 2 Kazimierz Wielki University in Bydgoszcz, Poland 3 Lviv Polytechnic National University, Ukraine
THE USE OF THE OPERATOR METHOD IN NONSTATIONARY HEAT CONDUCTION OF INHOMOGENEOUS ELEMENTS OF ASSEMBLIES AND MECHANISMS OF FOOD PRODUCTION
The use of the operator method for the study of heat phenomena in inhomogeneous plate elements equipment of food industry, was proposed. At the same time the inhomogeneous plate, thermophysical characteristics of which are a function of polar coordinates , was considered. With the submission of the temperature of the plate due to its integral characteristics in the operator form an interconnected system of differential equations of heat conductivity of infinitely high order, was obtained. For a complete formulation of the problem of nonstationary heat conduction, generalized terms from all surfaces of the plate, was recorded. This allows combining all possible variations of the conditions of heat transfer and forming their linear combinations. As particular cases heat equations for inhomogeneous flat surfaces are given the heat flux density and transient temperature of different environments by Newton's law, were considered. Expanding heat equation operators in the resulting in the power series, significantly simplified approximation of the heat equation, in particular, no more than the third degree of decomposition,was obtained. In this case, the interconnected system of differential equations of heat conductivity is allows spliting up, which significantly simplifies obtaining the general solution to the problem of heat conductivity integral Fourier and Laplace transformations.
Key words: operator method, unsteady heat conduction,, thermal diffusivity,thermophysical characteristics,plate elements,differential equations.
140
Вступ. Вщомо [1], що знания теплоф1зичних характеристик матер1ал1в необхщш для розрахунюв кшькост1 теплово! енергп, потр1бно! для охолодження або заморожування харчових продукпв за !х перевезення, збер1гання \ переробки, а також для розрахунюв змшн температуря усередиш сировини, тривалосп И терм1чно! обробкн (нагр1вання, охолодження) та ш.
Залежно вщ способу \ швидкосл нагр1вання (охолодження) можуть по-р1зному змшюватися структура \ властивосп об'екту, а для вологих, коло!дних, кашлярно-порпстих матер1ал1в велике значения мае ще \ взаемовплив процес1в перенесения теплоти (енергп) \ вологи (маси), особливо при наявносп фазових перетворень (випарювання, субл1мащя, конденсащя). Тому вивчення нестацюнарно! теплопровщносп, внзначення теплоф1зпчннх характеристик \ оцшку теплоф1зичних властивостей харчових продукпв необхщно пов'язувати з шшнмн властивостями \ характеристиками, а також ¿з засобами !х обробки у р1зних технолопчних процесах (пдротерм1чннй вплив, випарювання, сушшня, обжарювання та ш).
За терм1чно! обробки вологих харчових продукпв [2], коли усередиш матер1алу створюються значш град1ентн температури \ вологосн, визначну роль вщграе перенесения теплоти потоком маси. Таке явище спостер1гаеться, наприклад, за сушшня шфрачервоннмн променями, коли температура поверхневих шар1в зразка зростае значно швидше температури його центральних шар1в. За мало! вологосн матер1алу можливе перенесения вологи у вигляд1 пари, яке здшснюеться шляхом випарювання рщини з одше! сторони пори \ конденсацп пари на шшш сторош пори, що мае нижчу температуру.
Методи дослщження. Застосування операторного методу в задачах теплопровщносп дае можлнвють використовувати окр1м оператора Лапласа до рад1ально! \ кутово! координат бшьш розширеного та удосконаленого оператора, що враховуе нестацюнарну складову такого типу задач лшшно! теплопровщносп. Можлнвють \ справедлпвють розкладу таких оператор1в спочатку у тригонометричш, а поим \ у степенев1 ряди та обов'язкового наступного проведения оцшки точносп отримання наближених розв'язюв, було вже рашше [6] строго математично доведено \ мае у повнш м1р1 «право на життя».
Результати дослщжень. Застосування операторного методу до вивчення нестацюнарно! теплопровщносп матер1ал1в дозволяе враховуватн \ дослщжуватп !х коефщент температуропровщносп, а значить вивчати теплошерцшш властивосп матер1ал1в. Чим вищий коефщент температуропровщносп а, тнм швидше вщбуваеться нагр1вання або охолодження матер1алу. Тобто за дослщжень \ розрахунюв нестацюнарннх процес1в - нагр1вання, охолодження, сушшня, зволоження \ т. ш врахування коефщ1ента а е обов'язковим. Кр1м того, у внраз самого коефщента температуропровщносп входять ще шш1 важлнв1 характеристики матер1ал1в. Так з виразу:
ср
де а - коефщент температуропровщносп, м/с; X - коефщент теплопровщносп, Вт/(мК), с - питома теплоемшсть, Дж/(кгК), р - густина продукту, кг/м3, важливим е добуток ср, що становить теплоемшсть однннщ об'ему матер1алу. Вш характернзуе теплоакумулюючу здатнють: чим бшьше ср тим, при одному \ тому ж значенш X пло буде повшьно нагр1ватнся, проте \ процес охолодження його буде пропкатп повшьшше.
141
Коефщент температуропровщносп практично не залежить вщ вологосп продукту, якщо вш волод1е високою пгроскотчшстю. В той же час волопсть суттево впливае на теплоемшсть. Теплопровщшсть \ температуропровщшсть харчових продукпв значною м1рою залежать вщ ступеня 1хньо! пористосп, тобто вщ кшькост1 внутр1шньокл1тинних газ1в. Наявшсть газ1в усередиш харчових об'екпв знижуе !х коефщенти тепло-1 температуропровщносп [3].
Для врахування у повнш м1р1 впливу теплоф1зичних характеристик на дослщження температурних пол1в неоднорщних пластинкових структур використаемо для виведення диференщальних р1внянь теплопровщносп операторний метод [4]. Розглянемо тонку неоднорщну пластинку товщиною 25, теплоф1зичш характеристики яко! е функщями полярних координат г, у. Для визначення температурного поля ^ ( г, г, т) в данш пластинщ використаемо вихщне р1вняння теплопровщносп:
s-t
dz'
+ p2t = 0
та граничш умови:
ß±[ ¿t(r,<p)^-±q±]+a± (г, ср) [t-tHr, <Р,т)] = 0 при z = ±5,
dz
St
faßt СК (Р) — - qj + as (п. s) [t-t%zr <p,т)] = 0 на s. i початкову умову:
t(r, ф, z, т)= t0(r, у z,) при т= 0 Тут р2 оператор, що мае вигляд
2 J г1 0 п / I 8 1 Э П / I Э 1) Э
р = J^/ rTr & V) ryJ + (г■ *> -]}
(1)
(2)
(3)
(4)
с р (.r,tp5 д
дф'' (гф) Зт (г,ср3 дт
/?-. - безрозм1рш коефкценти, д - , теплов1 потоки з поверхонь г — ¿5 та э пластини вщповщно.
Вщомо [5], що температура пластинки через И штегральш характеристики Т 1 Т виражаеться таким чином
^ р$ соЕрг ^ ^ 1 ^
Пщставляючи формулу (5) у (2), теля деяких перетворень для визначення штегральних характеристик Т 1 Т , отримуемо наступну систему диференщальних р1внянь безмежно високого порядку:
(Р++р-)(р8)2Т
- +«ю* - -
SctgpS + -as)f]
а
LC J ] _'
(6)
(ß+ + ß-УрБУТ- -
(psy
[r+
5
1 - -pSctgpS + 3PS [(J?+ 4- ß-Урб + (я; - er;}— ctgpf^T
4
142
Умова теплообм1ну на поверхш S пластинки i початкова умова теля штегрування по z у вщповщносп з Т i Т записуеться у виглядк
Л- Qs) + <*ЛТ- Ts) = О, QÏ) + - г;} =0н„
(7)
T(r, <р, Z, т) =Т0(г, <р, z), T*(r. <p,z, т)= TJ (г, tp, z) при т =0, (8) Ts, QS,Q'S штегральн] характеристики температур гсЛъ i тепловогэ патоку qs.
Покладаючи в систем! р1внянь (6)
Р — — Ofcts — Oj-t— = Bl4 = 1, = 0,tc — 0, отримуемо таю р1вняння
теплопров1дност1 :
2т-V3Tct3Va - -(р sfT- = fa-tc
(9)
(р W - - ЭрЛ{рВ + ctgpS)T = 3(f- tc),
1—pSctgpù VAf
що вщповщають випадку, коли на поверхш z о задаеться температура tr(r, ¿р,т~) а на поверхш z =—8 - тепловпй пот1к q(r, <р, т).
Поклавшп в систем! р1внянь (6)
^ (г,<р,}, cv = const, = /i- — 1, q~ = q~ = 0, отримуемо р1вняння
теплопров1дност1 для пластин, через 6okobî поверхш яких здшснюеться теплообмш i3 зовшшшм середовнщем за законом Ньютона. В цьому випадку система мае вигляд [6]:
A AT - а+(Т - t%\ - а_(Т* - £) = СТ. МТ* - 3[(«+ + - ) Т* - a+t± + а_(Т - ф] = СТ*.
2 S
дс A=2\S.C=2cv£1rfj =
Розкладаючи фпуруюч1 в (6) оператори в ряд i збер1гаючи члени розкладу не вище третього степеня вщносно рЗ, отримуемо на&лижену систему р1внянь:
Р++Г +
aztc
f 1 + + а;) fi Т + № + Ю +
К' [(■
3 А, г г Л ' 4 * г А, ]
+ + Г) + + т- = V -
... . (1°)
Система р1внянь (1°) вщповщае куб1чному закону розподшу температури по товщиш пластинки:
+ (11)
1з р1вняння (6) випливають р1зш частков1 випадки, яю вщповщають будь-яким комбшащям лшшних граннчннх умов. Покладаючи в систем! (1°), наприклад,
= 10+- = = о, = 1,д+ = 0, £- = 0. отримуемо систему р1внянь теплопров1дност1 для випадку, коли на поверхш г = +8 задаеться температура (с(г, <р, т). а на поверхш г = —8 тепловий пот ¡к с](г, (р, т). Ця система мае вигляд:
143
Т..-; : - - Г-^Г' = -f; -:- f ; г - :-- ; : - =
3 3 Af * 15 yi.f
(12)
Система (12) приводиться до тако! системи р1внянь,що роздшилась:
К&щ - = Сфt - Qir (13)
де А=23\, С = 25с, Qг = +^Jq, <р{ = Т + ае" = 1 - Sfl^
^ = 1 + -Uir or* = — = —^ 1=1,2.
Висновок. Отриманий розв'язок задач! нестацюнарно! теплопровщносп для иеодиор1дно1 пластинки доводить ефектившсть використання запропонованого операторного методу. Процес розкладу оператор1в у степенев1 ряди дозволяе значно спростити отримання розв'язюв систем диференщальних р1внянь безмежно високого порядку та записувати наближення шукаш розв'язки ¿з наперед заданою точшстю. Великою перевагою запропонованого методу е те, що вш «автоматично» задовольняе повне виконання умов щеального теплового контакту на границях р1знорщних матер1ал1в та дозволяе розклад оператор1в у нескшченш тригонометричш i степенев1 ряди та наступне збер1гання довшьно! кшькосп члешв розкладу. KpiM того, цей метод у сукупносп ¿з методами безмежних i скшченних штегральних перетворень ( Ханкеля, Меллша, та ш.) дае можливють розглядати неоднорщш структури шших видав (неоднорщш суцшьш i порожнисп цилшдри, шаруват1 кул1, тша i3 чужорщними наскр1зними i ненаскр1зними включениями р1зно! товщини i висоти).
Лггература
1. Стабников В. Н. Общая технология пищевих продуктов: Учебное пособие для вузов / В. Н. Стабников, Н.В. Остапчук.-К. : Вища школа. 1980. - 303 с.
2. В. Я. Плахотш, I. С. Тюршова, Г. П. Хомич Теоретичш основи технологш харчових виробництв. Ки!в, 2006. - 634 с.
3. Ванкевич П. I., Бурнаев О. М. Дослщження температурних режим1в борошномельного вальця/ Машинознавство. - 2002. №5 (59). - С. 42-44.
4. Калыняк Н. И., Гладыш Р. В., Волос В. А., Каинский И. Е. // Проблемы прочности, 1990, №10, С. 88-93.
5. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках. Киев, 1972.
6. Подстригач Я. С., Ломакин В. А., Коляно Ю. М. - Термоупругость тел неоднородной структуры. М., 1984.
Стаття надшшла до редакци 15.04.2015
УДК 664.85.55
Юкало В. Г., д.б.н., професор © E-mail: biotech@tu.edu.te.ua Мельшчук О. С., к.т.н., доцент, Сельський В. Р., к.б.н, доцент
Тернотлъсъкий нацгональний техшчнийутеерситет гмеш 1ванаПулюя
РОЗРОБКА РЕЦЕПТУРИ ОВОЧЕВОГО СОУСУ 3 ВИКОРИСТАННЯМ НЕТРАДИЦ1ЙН01 СИРОВИНИ (ПЕРЦЮ Ч1Л1)
Проанал1зовано ринок соусног продукцп Украгни, який еияеиеся надто складним та таким, що хаотично розвиваетъея, оекглъки OKpeMi його сегменти маютьр1зну тенденц1ю еиробництеа, спожиеання, iмпорту та експорту. Сегмент быих, череоних i г1рчичних coycie на межя перенасичення; а соееих, гострих оеочееих та солодких фруктових, наепаки, залишаетъея залежним eid iмпорту.
© Юкало В. Г., Мельшчук О. £., Сельський В. Р., 2015
144
