Применение одного класса агрегатов приближения сумматорного типа для реконструкции параметрических поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 59-75 = Математика

УДК 519.6

Применение одного класса агрегатов приближения сумматорного типа для реконструкции параметрических

_ «-* *

поверхностей *

Н. Ю. Додонов, А. В. Масальских

Аннотация. Пусть поверхность Б в М3 задана параметрическим уравнением (х,у,г) = /(п,и), (п,и) € Е — прямоугольник в М2. Известны значения /(пг, и^) в точках прямоугольной сетки {(пг, и^) € € Е}. Для реконструкции Б применяется оператор вида

V(/,х,у, а в) = ^2 <1(/^,1 )Е-у (х,у), г,0

где Л,(/,1,^) выражаются с помощью линейных операций через /(щ,и^), функции Ег^ : М2 ^ М не зависят от /. На базе ядра Стеклова третьего порядка построен алгоритм реконструкции Б.

Ключевые слова: модуль непрерывности, банахово пространство, финитное ядро, сумматорный оператор, реконструкция поверхности, кусочно-линейная функция, абстрактная функция.

1. Введение

Пусть для поверхности известно некоторое множество её точек. Под её реконструкцией по этим данным понимается метод построения поверхности, близкой к исходной в смысле требуемых критериев (см. [1]).

С математической точки зрения, поверхность — это отображение двумерной области в трехмерное пространство. Поэтому реконструкция поверхности может осуществляться с помощью некоторого метода приближения соответствующего отображения. В работах [5-9] рассмотрен подход к построению соответствующих агрегатов приближения, допускающий широкие модификации. Одна из таких модификаций применена в работе [10] для построения соответствующего алгоритма реконструкции поверхности, заданной таблично. Его применение сопряжено

* Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики (грант № 411540).

с необходимостью продолжения заданной таблицы координат точек поверхности на всю прямоугольную сетку плоскости. В [10] для этого используется два практически значимых способа: продолжение константами и периодическое продолжение. На примере тора показано влияние выбора способа продолжения на результат реконструкции.

В настоящей работе для решения задачи реконструкции поверхности применяется другая модификация подхода из [5-9]. Одна из её отличительных особенностей состоит в том, что продолжение таблицы известных точек поверхности за её границы осуществляется способом, учитывающим структурные характеристики отображения, соответствующего реконструируемой поверхности.

Применяемая модификация состоит в следующем (см. [8]). На первом этапе рассматривается функция одной переменной у = / (х) с известными значениями в точках : ао < а\ < ... < ар. Ломаная I с вершинами (аі,/(аі)) продолжается на отрезок [а_1,ар+1], где а-1 = а0 — а, ар+1 = = ар + а, а > 0, по формуле (1) (см. §2 настоящей работы). В результате получается ломаная 1а(/). К функции 1а(/) применяется сглаживающий оператор интегрального типа с финитным ядром. Результат его применения записывается в форме агрегата приближения сумматорного типа

где коэффициенты а(/, а, і) выражаются линейными операциями через табличные значения /(а^), функции ^(х, а) не зависят от /.

На втором этапе рассматривается функция двух переменных г = /(х,у), х Є [а,Ь], у Є [с,ё] с известными значениями /(аі,Сі) в точках (аі,Сі) прямоугольной сетки, где а = а0 < ... < ар = Ь, с = с0 < ... < ст = й. Оператор иа два раза применяется к / по переменным х и у соответственно. В результате, как показано в [8], получается сумматорный оператор приближения по типу иа, но с двумя переменными х и у.

На третьем этапе получившийся оператор распространяется на абстрактные функции двух переменных, принимающие значения в произвольном вещественном банаховом пространстве X. Далее, положив X = М3, соответствующий оператор применяется для реконструкции требуемой параметрической поверхности, заданной таблично.

Отметим, что в задачах реконструкции широкое распространение получили методы сплайн-аппроксимации (см. [2, 3]). Их практическая реализация в многомерном случае (см. [2, 3]) нередко сопряжена с серьёзными вычислительными трудностями, что связано с построением собственно самих сплайнов. В нашем случае вычисление коэффициентов типа а(/, і) не требует учёта каких-либо граничных условий и все сводится к прямым арифметическим операциям с исходными табличными значениями. Такое отличие от сплайн-аппроксимации позволяет, в

частности, значительно упростить программную реализацию описанного подхода.

2. Приближение абстрактных функций двух переменных

на прямоугольнике

Приведем и прокомментируем некоторые результаты работы [8], которые требуются для построения соответствующего алгоритма реконструкции поверхностей.

В дальнейшем E обозначает отрезок [a, b] в R или прямоугольник [а,Ь] х [c,d] в R2, X — вещественное банахово пространство с нормой || ■ ||, XC (E) — пространство непрерывных абстрактных функций f : E ^ X с нормой

||f He = suplf СОН,

teE

в случае X = R вместо RC(E) пишем C(E).

Пусть f € XC(E), u,v ^ 0, тогда модуль непрерывности второго порядка определяем равенствами

U2(f,u; a,b) = sup ||f(x + ti) + f (x - ti) - 2f (x)H,

если E = [a,b], и

ш2(f,u,v; a,b,c,d) = sup ||f(x + ti,y +12) + f (x - ti,y - t2) - 2f (x,y)H,

если E = [a, b] х [c, d], где верхние грани берутся по всем x, y, ti ,t2 таким, что x ± ti € [a,b], y ± t2 € [c, d], |ti| ^ u, |t2| ^ v.

Множество A состоит их неотрицательных функций p : R ^ R таких, что

(1) f P = 1

R

(2) p(x) = p(—x) почти всюду на R,

(3) p(x) = 0 для почти всех x€[-1,1].

Если E = [a,b], a = a0 < ai < ... < ap = b, f € C(E), то l(f) = l(f; a0, . . .

..., ap) — кусочно-линейная функция, линейная на каждом отрезке [ak, ak+i] и такая, что l(f,ak) = f (ak).

При h € (0, (b - a)/2] полагаем

{l(f,x; a, a + 2h), x < a, f(x), x € [a,b], (1)

l(f, x; b - 2h, b), x > b.

Замечание 1. Ранее подобная идея продолжения функции за пределы отрезка [a,b], но для других целей, использовалась в работе [11, с.26].

Структурные свойства функции Д содержатся в следующем

утверждении (см. [8, с.1791]).

Лемма А. Пусть / е С [а, Ь], Н € (0, (Ь — а)/2], Е = [а, Ь], Еh = [а — Н,Ь + Н]. Тогда выполняются неравенства

\\fhWEu ^ 2\\/ ||е, и2(/н, Н; а — Н,Ь + Н) ^ 3ш2(/, Н; а, Ь).

Пусть 1а(/; а0,...,ар) обозначает продолжение кусочно-линейной функции 1(/; а0,..., ар) за пределы отрезка [а, Ь] по формуле (1), в которой вместо функции / фигурирует 1(/) и Н = а. Известны следующие результаты (см. [8, с.1793-1794]).

Лемма В. Пусть / е С[а,Ь], <р € А, а = а0 < а1 < ... < ар = Ь, Н =

= тах (ак+1 — ак), а € (0, (Ь — а)/2], Е = [а,Ь]. Тогда выполняется к=0,. . . ,р-1 неравенство

1

У Іа(/, • + м)<р(г)<и _ / -1

3

< 2ш^(/, а; а, Ь) + ш2(/, -/2; а, Ь).

Е

Лемма С. Пусть р е М, а > 0, а = а0 < а1 < ... < ар = Ь, а-1 = а — а, аР+1 = Ь + а, Нк = ак+1 — ак при к = —1, 0,... ,р, I : М ^ М — непрерывная кусочно-линейная функция, линейная на промежутках (—то,ао], [ао,а1],... ..., [ар-1, ар], [ap, +^о), р е A,

Тогда для произвольного х Є [а, Ь] выполняется равенство 1 р ак +1

J 1(х + аі)р(і)йі = І(а-і) + ^ (і(ак+і) _ І (а—)) ^ ф( и ^Х^йи. (2)

-і к=-1 ак

Применяя формулу (2) к функции 1а(/), приходим к сумматорному оператору вида

р і ак+1 _

иа(/,х) = Ш,а-і)+^(Ш’ак+і) Іа(/, а—)) — I ф( и~0^) <и, (3)

к=-1 — ак а

где / Є С[а,Ь].

Пусть Е = [а,Ь] х [с,<], / Є С (Е), а, в > 0, а = а0 < аі < ... < ар = Ь, с = с0 < сі < ... < ст = <, р,ф Є А. Если оператор (3) применить дважды к функции / последовательно по переменным х и у, соответственно с параметрами а, в и ядрами р, ф, то в результате получится сумматорный оператор для приближения функции двух переменных с известными

табличными значениями /(аг ,3) на прямоугольнике Е. Как установлено в работе [8, с.1798], он имеет вид

V(/,х, у, а, в) = а(/,— 1, -1)+ (4)

р аг+1

'^2(а(/,г + 1, — ^ — а(/,г, —1))^1 —а—) йи+ (5)

г=-1 аг а а

т с^+1

£ (а(/, —1,3 + 1) — а(/, —1,]))-±- [ ^й'+ (6)

3 1 С ■

Сз

^2 (а(/,г + 1,з + 1) — а(/,г + 1,3) — а(/,г,3 + 1) + а(/,г,3))х (7)

і=-1,. . . ,р 3=— 1,. . . ,т

аі+1 Сз+1

1 1 !ф ('1-1 Ч іа ! 9(

Ааг Авз У V а ) ] \ в

аг СУ

Коэффициенты а(/,г,]) выражаются с помощью линейных операций

через табличные значения / (аг, с3), г = 0,... ,р, ] = 0,... ,т, следующим

образом. При ] = 0,1,... ,т строится ломаная 3 с вершинами (аг, /(аг, сз)), г = 0,1,...,р. Применяя к 3 формулу (1), получаем кусочно-линейную функцию 1а (3). Тогда

а(/, —1,3) = 1а(3 ,а-1),а(/,г,з) = 1а(3 ,аг),а(/,р + 1,3) = 1а(1у ,ар+1).

Меняя местами г и 3, строим ломаные 1г с вершинами (03,/(аг,с^)). Тогда

а(/, г, —1) = 1@(1г, с-{),а(/, г,т + 1) = 1@(к, ст+1).

Далее, строим ломаные 1-1 с вершинами (аг,а(/,г, —1)) и 1т+1 с вершинами (аг, а(/, г,т + 1)), где г = 0,... ,р, и полагаем

а(/, —1, —1) = 1а(1-1, а-1), а(/,р + 1, —1) = 1а(1-1, ар+{), а(/, —1, т + 1) = 1а(1т+1, а-1), а(/,р + 1,т + 1) = 1а(1т+1,ар+1).

Так как коэффициенты а(/, г,з) линейно зависят от табличных значений /(аг,сз), то оператор V(/,а,в) можно применять для приближения абстрактных функций / : Е ^ X, где X — произвольное вещественное банахово пространство, в метрике пространства ХС(Е). В этой связи приведем теорему, установленную в работе [8, с.1800].

Теорема А. Пусть X — вещественное банахово пространство, Е = [а, Ь] х х [с,й] — прямоугольник в М2, / € ХС(Е), а € (0, (Ь — а)/2], в € (0, (й — — с)/2], а — а = а—1, а = ао < а1 < ... < ар = Ь, Ь + а = ар+1, с — в = с—1, с — со < с1 < ... < ст — d, й + в — cm+l, Ааг — аг+1 aг, ^^сз — сз+1 сз,

Н\ = тах(Аа0,..., Аар-\), Н2 = тах(Ас0,..., Аст-\), Є А, оператор

V(/,а,в) определен по формуле (4). Тогда выполняется неравенство

15

(IV(/,а,р) - /||е < ^(Ш2(/,а, 0; а,Ь,с,і)+ и2(/, 0,в; а,Ь,с,і)) +

5

4 (ш2(/, Н\/2, 0; а, Ь, с, і) + ш2(/, 0, Н2/2; а, Ь, с, і)).

В теореме А приводится оценка погрешности приближенного равенства

f (х,у) и V(/, х, у, а, в)

в терминах структурной характеристики f — её модуля непрерывности второго порядка, коэффициенты а(/, і, і) выражаются простыми линейными формулами через табличные значения f (аі,сз) абстрактной функции f Є Є ХС(Е). Всё это вместе служит основанием для применения в прикладных задачах оператора V^,а,в), как эффективного агрегата приближения абстрактной функции f.

3. Алгоритм реконструкции параметрических поверхностей,

заданных таблично

Пусть Б — параметрическая поверхность в М3 с известным конечным множеством её точек Ргз, каждая из которых — суть пересечение соответствующих координатных линий Ьи и Ьу. Требуется по этим точкам построить поверхность Б, близкую в некотором смысле к Б. Будем считать, что множество {Рг,з} упорядочено таким образом, что в плоскости параметров (—, ' ) им отвечает некоторая прямоугольная сетка с узлами (—г,'з).

Для решения поставленной задачи применим оператор V (см.(4)) в пространстве М3. Заметим, что реконструкции подлежит собственно сама поверхность Б, то есть нас не интересует её конкретная параметризация. Поэтому, не уменьшая общности, можно считать, что узлы соответствующей прямоугольной сетки являются целочисленными.

И так, для р,т € N полагаем Е = [0,р] х [0,т], / : Е ^ М3, Рг,з = = / (г,3), г = 0,1,... ,р, 3 = 0,1,... ,т. Фиксируем точку (х,у) € Е и запишем оператор V(/) в форме, удобной для вычислений. Для этого воспользуемся финитностью ядер <р,ф € А. В силу этого имеем

Ф(и) = J р(Ь)(М = ! р(Ь)(М.

и [-1,1]П[м,+те)

Поэтому,

1, — < —1,

Ф(и) = ^ / р(1)йЬ, —1 < и < 1, (9)

и

0, и ^ 1.

Аналогичные соотношения выполняются для функции

В формуле (4) полагаем

(10)

аг+1 (аг+1 Х~)/а

А — Аа/1 ф(и:аг)йи — ък ! ф(т

аг (аг-х)/а

Сз+1 (сз+1-У)/в

Вз = ^/ Ч '?)*’ —^1 тл

Сз (С3 -У)/в

а(г, 3) = а(/, г, 3).

Из соотношения (9) следует, что

1)Аг = 1, если аг+1 ^ х — а,

2)Аг = 0, если х + а ^ аг.

Пусть

г1 = тах{г : аг+1 ^ х — а}, г2 = шш{г : х + а ^ аг},

гех гех

где аг = г при г = 0,1,... ,р, а-1 = —а, ар+1 = р + а. Тогда из (10) будет

л. = { 1 г < гЬ Аг \ 0, г ^ г2.

Аналогично, пусть

31 = тах{3 : сз+1 < У — в},.П = : У + в < сз},

где сз = 3 при 3 = 0,1,... ,т, с-1 = —в, ст+1 = т + в. Тогда для В3 будет

1 3 < jl,

Принимая во внимание эти факты, упростим суммы в (4). Имеем

V (/,х,у,а,в) = а(—1,1)+

рт

У,(а(г + ~1, — ^ — a(г, —1))Аг + ^ (а(—1,3 + ^ — а(—1,3))Вз+ г=-1 3=-1

^2 (а(г + 1,3 + 1) — а(г + 1,3) — а(г,3 + 1) + а(г,3 ))АВз =

г=-1. . ,р

3= - 1 ,. . . ,т

а( — 1, 1)+^2 1 +22 + £ 1,2,

г1 г2-1

У~]1 У,(а(г + 1, —1) — a(г, —1)) + ^2 (а(г + 1, — ^ — a(г, —1))Аг

1

г=-1 г=г1+1

г2-1

(а(г1 + 1, —1) — а(—1,1)) + ^ ' (а(г + 1, —1) — а(г, —1))Аг

г=г1+1

31 32-1

^22 =^(а(—1,3 + 1) — а(—1,3))+ ^ (а(—1,3 + 1) — а(—1,3))В3 3 = -1 3=31 + 1

32 1

(а(—1,.]1 + ^ — а(—1, —1)) + ^2 (а(—1,3 + ^ — а(—1,3))В3,

3=31 + 1

1,2 = (а(г + 1, 3 + 1) — а(г + 1, 3) — а(г, 3 + 1) + а(г, 3))+

г^1 3^31

32 1

^ В3^2(а(г + 1,3 + 1) — а(г + 1,3) — а(г,3 + 1) + а(г,3)) +

3=31+1 г^1

г2—1

^2 Аг^2(а(г + 1,3 + 1) — а(г + 1,3) — а(г,3 + 1) + а(г,3))+

г=г1+1 3^31

^2 (а(г + 1,3 + 1) — а(г + 1,3) — а(г,3 + 1) + а(г,3 ))АгВ3.

г1+1<г<г2—1 31 + 1^3^32 — 1

Поэтому

= (а(г1 +1,31 + 10 — а(г1 + ~1, —1) — а(—1,.]1 + 10 +а(—1,1))+

32 -1

У (а(іі + 1,І + 1) — а(іі + 1,.І) — а(—1,І +1) + а( — 1,І))Б3 +

3=31 + 1 І2 — 1

'У ' (а(і + 1, іі + 1) — а(і, іі + 1) — а(і + 1, —1) + а(і, —1))Аі+

І1+1

^2 (а(і + 1,і + 1) — а(і + 1,і) — а(і,і + 1) + а(і,і '))АіБі.

І1 + 1^І^І2 — 1

31 + 1^3^32 — 1

Значит,

а(—1, ^ + ^21 + ^ 2 + ^ 12 = а(іі +1, іі + ^+

І2 — 1

^2 (а(і + 1,іі + 1) — а(і,іі + 1))Аі+

г=г1+1

32 — 1

^2 (а(г1 + 1,3 + ^ — а(г1 + 1,3))В3 +

3=31+1

^2 (а(г + 1,3 + 1) — а(г + 1,3) — а(г,3 + 1) + а(г,3 ))АгВ3.

г1+1^г^2—1

31 + 1^3^32 — 1

Определим конечные разности последовательности {а(г,3)} формулами

^\а(г,3) = а(г + 1,3) — а(г,3), А]а(г3) = а(г,3 + 1) — а(г,3),

АЬ а(г,3) = а(г + 1,3 + 1) — а(г + 1,3) — а(г,3 + 1) + а(г,3).

Тогда окончательное выражение для V(/,х,у,а, в) принимает вид

г2—1

V(/, х, у, а, в) = а(г1 + 1,31 + 1) + ^ А\а(г,31 + 1)Аг+ (11)

г=г1+1

32

^2 А)а(г1 + 1,3)В3 + ^2 АЪа(г,3)АгВ3. (12)

3=31+1 г1+1^г^2—1

31 + 1^3^32 — 1

Положим

Тогда в (11) для Аг и В3 выполняются равенства

Аг = ^~ (ф(—1) (аг — х) — ф(—1) (аг+1 — х))

В = т3 (¥—11 (нт)— ф(—1) (с±тгу

которые удобно использовать для вычисления V(/,х,у,а, в).

Обратим внимание на то, что формула (11) имеет локальный характер, то есть максимальное число слагаемых в суммах из (11) не зависит от конкретных значений (х,у). С точки зрения вычислений, это обстоятельство выгодно отличает (11) от (4).

Основываясь на общей схеме вычисления коэффициентов а(г, 3), описанной в параграфе 2, получим явные выражения для них.

Ясно, что при г = 0,1,... ,р, ] = 0,1,... ,т

а(г, 3) = /(г, 3).

Для других комбинаций значений г и 3 вычисления осуществляются следующим образом. Пусть ломаная I задана вершинами (Ьг,Вг), г = 0,1,... ,п, АЬг = Ьг+1 — Ьг, Вг € М3. Уравнением г-го звена [Ьг, Ьг+1] будет

‘(0 = « ^ + Вг+1 Ж' ^

Проведём прямую ‘ через точки (Ь0 + 2а, ‘(Ь0 + 2а)) и (Ь0, В0). Её уравнением будет

КО — Во {Ьо +2а) — <■ + ‘(Ьо + 2а)^. (14)

2а 2а

Пусть Ь0 + 2а € [Ьг0,Ьг0+1], Ь—1 = Ь0 — а, В—1 = 1(Ь—1). Тогда по (13) и (14) получаем

В 3 В 1 ( Ьг°+1 — (Ь° + 2а) В + (Ь° + 2а) — Ьг° В ) (15)

В—1 = 2 Во - 2^---------Щ,---------Вг° +------------------------Щ,-Вг"+7 ' (15)

Теперь проведем прямую ‘* через точки (Ьп — 2а, ‘(Ьп — 2а)) и (Ьп,Вп). Её уравнением будет

]*М — п ^ — (Ьп — 2а) I 1(и О \Ьп — ^ (ла\

‘ (ч = Вп—2а--------------+ ‘( — 2а)—2а—.

Пусть Ьп — 2а € [Ь3,,Ь^0+1], Ь,п+1 = Ьп + а, Вп+1 = ‘*(Ьп+1). Тогда по (13) и

(16) получаем

р 3 р 1 ( Ь30+1 — (Ьп — 2а) В . (Ьп — 2а) — Ь3о р ) (17)

Вп+1 = 2Вп - 2 I. В*‘ + 31) . (17)

Подставляя в (15) и (17) конкретные совокупности вершин (Ьг,Вг), получаем явные выражения для требуемых коэффициентов а(г,3):

(1) если Ьг = аг, Вг = f (І,]), П = р, ТО при ] =0, 1, . . . ,Ш а(-1] ) = В-1, а(р + 1,3 ) = Вп+1,

(2) если Ьг = сг, Вг = f (з, І), п = т, а = в, то при 3 = 0,1,... ,р а(з,-1) = В-1, а(з,т + 1) = Вп+1,

(3) если Ьг = аг, Вг = а(і, -1), п = р, то

а(-1, —1) = B-l, а(р + ~1, — ^ = Bn+l,

(4) если Ьг = аг, Вг = а(і, т + 1), п = р, то

а(-1,т + 1) = В-1, а(р + 1,т + 1) = Вп+1.

Отметим некоторые особенности предлагаемого метода реконструкции поверхностей.

(1) С помощью выбора ядер р и ф можно обеспечивать требуемую гладкость реконструкции.

(2) Для восстановления текущей точки поверхности используются те табличные значения, которые лежат в её "малой"окрестности.

(3) Все вычисления сводятся к простым арифметическим действиям.

4. Примеры реконструкции параметрических поверхностей

Применим оператор V(/, а, в) для реконструкции некоторых параметрических поверхностей. Полагаем а = в, Р = ф. В качестве ядра р принимаем ядро Стеклова третьего порядка, которое в приведенной форме записи для отрезка [—1, 1] равно

По поводу ядер и функций Стеклова см. [4,с.99-102]. Непосредственные вычисления функций

р(і)

и

и

приводят к формулам

0,

Ф(и) = <

27 ( и3 2 1

— I-------г- + и — и +““

16

3

9, 3 л 1 ё(и3 - и) + 2 ■

1 — Ф(— и),

3 < и < 1

1

0 < и < з •

и < 0,

0,

Ф(-1) (и) = <

27 (и4 и3 и2 и 1

— I — — — + — — — + —

16 V 12 3 2 3 12

9

——и4 + — и2 — — +

9

2

и

39

32

16

2 288

—V, + Ф(-1)(—и),

и ^ 1,

1

3 ^ и ^ 1 1

0 < и < 3 ■

и < 0,

(18)

Поэтому интегралы Аг и В3 в формуле (11) вычисляются явным образом по формуле (18):

Аг =

1

Ааг

Ф

и — х а

аи =

а

Ааг

Ф(-1)

аг — х

а

—Ф

(-1) [ аг+1 — х а

аналогично В3.

Примеры получены следующим образом: сначала по известным

параметрическим уравнениям х = /1(и,у),у = /2(и, у), г = /3(и,у) с выбранным для и и у шагом рассчитываются таблицы известных значений для /1, /2, /3. Затем к полученным таблицам применяется оператор V для реконструкции поверхности 5 с более мелким шагом и выбранными параметрами а и в.

Пример 1. Рассмотрим поверхность 51, задаваемую параметрически следующим образом:

!х = еов(и)вгп(у), у = вгп(и) вгп(у),

г = еов(у) + ‘д (уЬд (2)) + 0.2и — 4,

где и € [0, 4п], у € [0.001, 2].

На рис. 1 представлены визуализация табулированных исходных данных поверхности 51 и результаты реконструкции с различными значениями параметров а и в оператором V, значения которого вычисляются по формуле

(11). Прокомментируем визуальные эффекты, наблюдаемые при значении параметров а = в = 5: как следует из теоремы А с увеличением значений

а и в и при сохранении исходных табличных значений происходит потеря точности реконструкции.

Рис. 1. Визуализация исходных табличных данных поверхности (слева). Визуализация реконструированной поверхности 51 с уменьшенным в 2 раза табличным шагом и параметрами а = в = 1 (по центру). Визуализация реконструированной поверхности с уменьшенным в 2 раза табличным шагом и параметрами а = в = 5(справа)

Пример 2. Рассмотрим поверхность 52, задаваемую параметрически следующим образом:

х = сов (и) сов (и) + 3сов(и) ( 1.5 +

у = віп(и)сов(у) + 3віп(и) І 1.5 + = віп(у) + 2сов(1.5и),

віп(1.5и)'

2 (

віп(1.5и)'

где и Є [—2п, 2п], V Є [—п, п].

Рис. 2. Визуализация исходных табличных данных поверхности Б2 (слева). Визуализация реконструированной поверхности Б2 с уменьшенным в 2 раза табличным шагом и параметрами а = в = 1 (справа)

На рис. 2 представлены визуализация табулированных исходных данных поверхности Б2 и результаты реконструкции при а = в = 1 оператором V, значения которого вычисляются по формуле (11).

Рис. 3. Визуализация реконструированной поверхности Б2 с уменьшенным в 2 раза табличным шагом и параметрами а = в = 2 (слева). Визуализация реконструированной поверхности Б2 с уменьшенным в 2 раза табличным шагом и параметрами а = в = 5 (справа)

На рис. 3 представлены результаты реконструкции поверхности Б2 с уменьшенным в 2 раза табличным шагом и параметрами реконструкции а = в = 2 и а = в = 5. Прокомментируем наблюдаемые на этом рисунке визуальные эффекты. Обратим внимание, что поверхность Б2 является замкнутой по обоим параметрам и и у. С увеличением

значений а и в наблюдается нарушение замкнутости поверхности по обоим параметрам. Данный эффект объясняется тем, что применяемый оператор не учитывает замкнутость реконструируемой поверхности. Для восстановления замкнутых поверхностей лучший результат будет давать оператор, построенный с использованием периодического продолжения исходных таблиц (см. [10]).

Пример 3. Рассмотрим поверхность Б3, задаваемую параметрически следующим образом:

{х = сов(и)(сов(у) + 3), у = згп(и)(соз(у) + 3), г = вгп(у) + и,

где и Є [—2п, 2п], V Є [—п,п].

Рис. 4. Визуализация исходных табличных данных поверхности Б3 (слева). Визуализация восстановленной поверхности 53 в уменьшенным в 2 раза табличным шагом и параметрами а = в = 1 (по центру). Визуализация восстановленной поверхности 53 в уменьшенным в 2 раза табличным шагом и параметрами а = в = 5 (справа)

На рис. 4 представлены визуализация табулированных исходных данных поверхности 53 и результаты реконструкции с различными значениями параметров а и в оператором V, значения которого вычисляются по формуле (11). Прокомментируем визуальные эффекты, наблюдаемые при значении параметров а = в = 5: аналогично примеру 1 в соответствии с результатами теоремы А с увеличением значений а и в и при сохранении исходных табличных значений происходит потеря точности реконструкции. Также аналогично примеру 2, наблюдается потеря замкнутости (визуальная

видимая "продольная"деформация), так как исходная поверхность замкнута по одному параметру, что не учитывается при реконструкции.

Список литературы

1. Velho L., Frery A., Gomes J. Image Processing for Computer Graphics and Vision. Texts in Computer Science. V. 3191. London: Springer, 2009. 478 p.

2. De Boor C. A practical guide to splines. New York: Springer, 1978. 392 p.

3. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 c.

4. Жук В.В., Кузютин В.Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. 352 с.

5. Dodonov N.Yu., Zhuk V.V. On uniform approximation in R2 of continuous functions of two variables with bounded variation in the sense of Hardy // J. of Mathematical Sciences. 2004. V. 123. № 3. P. 3184-3211.

6. Додонов Н.Ю. О равномерном приближении на R2 непрерывных банаховозначных функций // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2005. Вып. 2. С. 11-24.

7. Dodonov N.Yu. On analogs of Steklov averages for functions defined on convex compact sets in Rm // Journal of Mathematical Sciences. 2006. V. 132. № 4. P. 379-399.

8. Dodonov N.Yu. On uniform approximation of abstract functions by aggregates of summatory type on a rectangle // J. of Mathematical Sciences. 2007. V. 142. № 1. P. 1788-1805.

9. Dodonov N.Yu. On uniform approximation of abstract functions on convex polygons // Journal of Mathematical Sciences. 2007. V. 144. № 6. P. 4592-4611.

10. Додонов Н.Ю., Масальских А.В. Реконструкция параметрических поверхностей, заданных таблично, посредством сдвигов и сжатий одной функции // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 232-248.

11. Жук В.В. Функции класса Lip1 и полиномы С.Н. Бернштейна // Вестник ЛГУ. Сер.1. 1989. Вып. 1. С. 25-30.

Додонов Николай Юрьевич (dodonov140202@gmail.com), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического анализа, математико-механический факультет, Санкт-Петербургский государственный университет.

Масальских Александр Владимирович (rusalmas@gmail.com), аспирант, тьютор, кафедра компьютерных технологий, факультет информационных технологий и программирования, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики.

Applying a class of summatory type approximation aggregates for parametric surfaces reconstruction

N.Yu. Dodonov, A.V. Masalskikh

Abstract. Let the surface S in R3 be given by the parametric equation (x,y,z) = f (u,v), (u,v) £ E — the rectangle in R2. The values of the function f (ui,Vj) in the nodes of rectangle grid {(ui}Vj) £ E} are known. To reconstruct the surface S one can use the operator

V (f,x,y,a,p) = Y^ d(f, i,j )Fi,j (x,y), i,j

where d(f, i, j) are expressed by linear operations through known values f (ui, Vj), functions Fitj : R2 ^ R do not depend on the function f. The algorithm for reconstruction of the S surface is built by using the third-order Steklov’s kernel.

Keywords: modulus of continuity, Banach space, finite kernel, operator of summatory type, surface reconstruction, piecewise linear function, abstract function.

Dodonov Nikolay (dodonov140202@gmail.com), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical analysis, mathematics and mechanics faculty, Saint-Petersburg State University.

Masalskikh Alexander (rusalmas@gmail.com), postgraduate student, tutor, department of computer technologies, faculty of information technologies and software engineering, Saint-Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics.

Поступила 21.04-2014