Применение общего метода наименьших квадратов при испытаниях АЦП Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62.50:621.789.32

М.В. Мусатов, А.С. Моисеев, А.А. Львов

ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ПРИ ИСПЫТАНИЯХ АЦП

Анализируется применение полного метода наименьших квадратов для улучшения качества оценивания параметров АЦП.

Метод наименьших квадратов, аналогово-цифровой

преобразователь, эффективное число бит

M.V. Musatov, A.S. Moiseev, A.A. L’vov

USING GENERALISED LEAST SQUARES METHOD FOR ADC TESTING

Analysis applied generalized LSM for improvement ADC testing quality.

Least squares method, analog-to-digital converter, effective number of

bites

Современная электроника активно развивается в направлении цифровых систем, которые применяются во многих областях жизни и деятельности человека. Существенная часть сигналов, на которые необходимо реагировать цифровой системе, являются аналоговыми по своей природе. Для преобразования аналоговых сигналов в цифровые используются аналого-цифровые преобразователи (АЦП) с различными характеристиками в зависимости от области применения. В связи с этим становится актуальной задача комплексной оценки параметров АЦП с целью выделения преобразователей с требуемыми характеристиками. Cуществует методика испытаний АЦП на основе метода наименьших квадратов (МНК), подробно описанная в международном стандарте IEEE 1241-2000 [3]. В результате испытаний оцениваются следующие параметры: среднеквадратичное отклонение синусоидальной волны, восстановленной от исходного синусоидального сигнала по результатам с выхода АЦП; эффективное число бит (ENOB). Данные параметры являются одними из основных при оценке качества АЦП, однако их значения могут быть неточны из-за погрешностей измерений, связанных с параметрами эталонного сигнала и тактового генератора, задающего частоту дискретизации.

Предлагаемая методика на основе общего МНК позволяет существенно увеличить качество оценки параметров АЦП за счет учета погрешностей тактовых сигналов (погрешностей во времени) [4]. Так же актуальна модель испытаний АЦП, позволяющая проводить анализ различных методик испытаний при моделировании различных погрешностей, без необходимости использования комплекса аппаратного оборудования, обычно используемого при реальных испытаниях.

Общий метод наименьших квадратов (ОМНК) предложен Голубом (Golub) и Ван Лоаном (Van Loan), как метод решения переопределенных систем уравнений вида AX » B , где Aе Rmxn и Bе Rmxd известные данные, а Xе Rnxd неизвестные [1]. ОМНК представляет собой обобщение метода аппроксимации с использованием классического МНК, в случае, когда матрицы A и B известны с ошибками.

Определение ОМНК связано с асимметрией классического МНК, т.е. предположения, что В известна точно, а А содержит ошибки, поэтому он основан на минимизации (в смысле нормы Фробениуса) корректирующих составляющих AA и ДБ известных данных А и B, формирующих следующую систему уравнений.

АХ = Б,

А = А + АА, следовательно: (А + АА)X = Б + АБ,

Б = Б + ДБ.

Задача оптимизации для системы (1) следующая:

шт||АА, ДБ \\р, (А + АА)Х = Б + АБ.

Для решения задачи оптимизации (2), определим функцию Лагранжа Ь Ь =|| АА, ДБ\\2Р +1 (Ах + ААх - Б -ДБ).

Г еометрическая интерпретация ОМНК в линейном случае может представлена как минимизация суммы квадратов расстояний до прямой I [2]

/(/) = £йЫ((*!,уДІ) .

(1)

(2)

(3)

быть

(4)

І=1

Рис. 1 Непрерывной линией обозначен эталонный тестовый сигнал, подаваемый на вход АЦП,

знаком «о» - дискретные отсчеты, получаемые на выходе АЦП

Рис. 2. Непрерывная линия - эталонный тестовый сигнал, подаваемый на вход АЦП, пунктирная линия - синусоидальная волна, полученная в результате анализа выходного сигнала АЦП с использованием общего МНК (ИБ)

2

Для проверки работоспособности предложенной методики оценивания параметров АЦП с использованием общего МНК, а также проверки качества моделирования условий испытания АЦП проведена серия экспериментов. Для проведения испытаний использовалась программа, реализованная на встроенном языке системы МайаЪ.

Модель синусоидального сигнала задается в следующем виде: у = А + Б ът.(ай) + С соз( ). Параметры синусоидального сигнала были инициализированы следующими значениям: А = 3,Б = 2, С = 2, (о = к/2. Для испытания использована модель трехразрядного АЦП с частотой дискретизации а>Лссг = 3к.

Ниже приведены характеристики восстановленных сигналов и среднеквадратичные отклонения от исходного сигнала. 1) у,е11 = 3 + 2зт(к/2) + 2со8(к/2) - эталонный тестовый сигнал; 2) у„8 = 2.4959 + 2.0182 зт(к/2) +1.9987 соз(к/ 2) - сигнал, восстановленный с

использованием общего МНК; 3) уоЬ = 2.4791 + 2.0465 $т(к/2) +1.9666 со$(к/2) - сигнал,

восстановленный с использованием классического МНК.

Анализируя представленные характеристики, можно видеть, что применение общего МНК целесообразно с точки зрения улучшения качества оценивания параметров АЦП,

таких как среднеквадратическая ошибка и другие параметры, рассчитанные с её использованием.

ЛИТЕРАТУРА

1. Marquardt D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters / D. Marquardt // SIAM J. Appl. Math., 1963, Vol. 11, pp. 431-441.

2. Nocedal J. Numerical Optimization / J. Nocedal, S.J. Wright. Springer, New York,

1999.

3. IEEE Standard 1241-2000 IEEE Standard for Terminology and Test Methods for Analog-to-DigitalConverters.

4. Blair J. Corrected RMS error and effective number of bits for sinewave ADC tests / J. Blair, T. Linnenbrink // Computer Standards and Interfaces. Jan. 2004.Vol. 26, No. 1, pp. 43-49.

Львов Алексей Арленович -доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Мусатов Михаил Викторович -аспирант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Моисеев Антон Сергеевич -магистрант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 08.11.10, принята к опубликованию 22.11.10