CC BY
7
УДК 330.4 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-6-74-78
ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО КРИТЕРИЯ СОГЛАСОВАННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
СИ. Носков
Рассмотрена непрерывная форма критерия согласованности поведения расчетных и фактических значений выходной переменной в регрессионной модели, описанного в предыдущих работах автора. В отличие от обычной и обобщенной форм представления этого критерия, использование которых для уточнения оценок параметров приводит к необходимости решения задач частично-булевого линейного программирования, задача одновременной минимизации данного критерия и функции потерь, соответствующей методу наименьших модулей, сводится к задаче линейного программирования.
Ключевые слова: регрессионная модель, критерий согласованности поведения, расчетные и фактические значения зависимой переменной, критерии адекватности.
Для оценки качества регрессионных моделей разработано значительное количество соответствующих критериев адекватности. Одним из основных при этом является критерий множественной детерминации. Так, в работе [1] он используется при моделировании некоторых технологических параметров. В [2] критерий множественной детерминации задействован при оценке качества факторных зависимостей численности населения Российской Федерации, в [3] с его помощью произведена оценка влияния основных показателей деятельности российских университетов на количество онлайн-курсов. В [4] на его основе производится отбор оптимального числа информативных регрессоров в регрессионных моделях. Другим часто применяемым показателем адекватности моделей является критерий Дарбина-Уотсона (см., например, [5-11]). Так, в работе [12] верификация моделей макроэкономических процессов в электротехнической и металлургической отраслях промышленности Самарской области осуществлена с помощью критериев детерминации, Фишера, Стьюдента и Дарбина - Уотсона. Используется этот критерий и при эконометрическом анализе зависимости преступности от безработицы в условиях современной Российской экономики [13]. Следует отметить, что все известные критерии адекватности включают в соответствующие расчетные формулы ошибки аппроксимации регрессионных уравнений.
Критерий согласованности поведения. Рассмотрим линейное регрессионное уравнение
Ук = Е™ 1 Щ хк1 + ек, к = 1, п, (1)
где у - объясняемая (выходная), а х^ - 1-ая объясняющая (входная) переменная; а^ - I-ый подлежащий оцениванию параметр; ек - ошибки аппроксимации, к- номер наблюдения, п- число наблюдений (длина выборки).
Представим уравнение (1) в векторной форме:
у = Ха + е, (2)
где у = (У1,---,Уп)Т, а = (а1,.,ат)Т, е = (е1,.,еп)т, X- (пхт) — матрица с компонентами хк1.
Заметим, что уравнение (1) имеет детерминированный характер.
Модель (1) можно представить в виде
л Ук=Ук + Ек, к = 1,п,
где ук и у^ - соответственно фактические (заданные исходной выборкой данных) и расчетные (вычисленные по модели) значения выходной переменной у.
В работе [14] предложен, а в [15-17] развит критерий согласованности поведения (КСП) расчетных и фактических значений объясняющей переменной для регрессионной модели (1). Содержательный его смысл состоит в следующем. Пусть для произ-
вольной пары номеров наблюдений выборки (k, s) при переходе от k-го к s-му наблюдению фактические и расчетные значения объясняемой переменной одновременно либо не убывают, либо не возрастают. Это означает, что на данной паре модель адекватно описывает исследуемый с ее помощью процесс. Если же знаки указанных приращений не совпадают, значит, модель на паре номеров наблюдений (k, s) описывает процесс плохо и подлежит корректировке. Для выявления подобных ситуаций как раз и разработан КСП, обобщенная форма представления которого (ОКСП) имеет вид
где
si п(а) = i1' a - ° ^ ^ ' (0, в противном случае.
Помимо того, что, наряду с традиционными для регрессионного анализа критериями, КСП (или ОКСП) позволяет в комплексе оценить адекватность модели, он может быть использован для повышения указанной согласованности. В этом случае, как описано, например, в [14], может быть сформирована задача частично-булевого линейного программирования (ЧБЛП), в целевую функцию которой включается как сам КСП, так и функция потерь, соответствующая методу наименьших модулей (МНМ)
22=1 k* I . (4)
Легко видеть, что ОКСП (как и КСП) имеет дискретный характер, что и приводит к необходимости при его использовании для решения различных оптимизационных задач вводить булевы переменные и привлекать вычислительные средства булевого программирования. Можно, однако, ввести непрерывную форму представления критерия согласованности поведения, идея которой предложена в [18]. Такая форма позволит свести процедуры оперирования им к линейно-программным задачам.
Непрерывный критерий согласованности поведения (НКСП). Непрерывный аналог ОКСП Может быть представлен в виде
N(a)= 2nkZ\2ns=k+1hs, (5)
где
^№ -%|' (Ук~Уз)(Ук - &)<° [0 в противном случае.
Очевидно, что в отличие от КСП или ОКСП значение НКСП тем лучше, чем оно меньше. При N(a)=0 поведение расчетных и фактических значений выходной переменной следует считать вполне согласованным.
Содержательный смысл НКСП (5) состоит в следующем. В случае несовпадения знаков приращений расчетных и фактических значений выходной переменной на паре номеров наблюдений (k,s) соответствующая его компонента равна модулю разности расчетных значений, поскольку изменить фактические значения невозможно, они фиксированы в выборке.
НКСП можно придать относительный характер, введя в рассмотрение его преобразование iV(a) следующим образом:
N (a) = WGb +ys).
Представление НКСП в форме (5) позволяет использовать его для повышения согласованности поведения расчетных и фактических значений выходной переменной наряду с функцией потерь в виде (4).
Действительно, введем в рассмотрение матрицу n=||o>fcs||, k=1,тг — 1, s =
lks —
к -\-1, п по правилу
Г 1, Ук~Уз> 0,
I 0 Ук -Уз = °.
Введем также положительные и и отрицательные у, V части векторов а и г соответственно:
= , ai>0 =\~ai , ai<0
Р1 (0 в противном случае, ™ (0 в противном случае, fefc , Ек >0 (~ек , ек <0
Uk (0 в противном случае, Vk (0 в противном случае так что выполняются соотношения
а=0-7, ßi Vi = 0, (6)
е= u - v, uk vk =0. (7)
Тогда задача одновременной минимизации соответствующей МНМ функции потерь (4) и НКСП (5) представима в виде следующей задачи линейного программирования (ЛП):
Г Z2=i(«fc +I7fc) + (1-r) ZVl Zns=k+i Iks + 5 Z£i(Ä +Yi) ^min, (8)
X(ß-Y) + u - v = y,_ __(9)
Юks -Ki) &ki -xsi) + lks >0, k=1, n-1, s = k-\-1,n, (10)
и >0, v >0, ß >0, Y >0, lks >0. (11)
Здесь r G (0,1] - заранее выбранное число, устанавливающее сравнительный приоритет в целевой функции (8) между функцией потерь и НКСП, 8 - малая положительная константа. При этом третье слагаемое в (8) гарантирует выполнение соотношений (6), а первое - (7). Легко видеть, что при г = 1 задача ЛП (8)—(11) реализует МНМ, а при г, близком к 0, она позволяет определить оценки параметров модели (2), обеспечивающие максимальную согласованность поведения расчетных и фактических значений выходной переменной в смысле представления (5), как это предложено в работе [19].
Задача ЛП (8)—(11) содержит п + п(п— 1)/2 ограничений и 2(n+m)+ (n-1)/2 переменных.
Заключение. В работе рассмотрена непрерывная форма критерия согласованности поведения расчетных и фактических значений выходной переменной в регрессионной модели. В отличие от обычной и обобщенной форм критерия, использование которых приводит к необходимости решать задачи частично-булевого линейного программирования, применение НКСП для корректировки оценок параметров модели совместно с минимизацией функции потерь, соответствующей методу наименьших модулей, сводится к задаче линейного программирования.
Список литературы
1. Григорьева Т.А., Толубаев В.Н. Корреляционно-регрессионный анализ технологических параметров // Системы. Методы. Технологии. 2018. № 3 (39). С. 57-61.
2. Мухин А.А. Применение методов статистического моделирования в оценке факторных зависимостей численности населения российской федерации // Вестник Удмуртского университета. Серия «Экономика и право». 2016. Т. 26. № 3. С. 29-39.
3. Кузнецова О.А., Розенцвайг А.И. Регрессионный анализ влияния основных показателей деятельности российских университетов на количество онлайн-курсов //Вестник Московского финансово-юридического университета. 2019. № 4. С. 182188.
4. Базилевский М.П. Отбор оптимального числа информативных регрессоров по скорректированному коэффициенту детерминации в регрессионных моделях как задача частично целочисленного линейного программирования // Прикладная математика и вопросы управления. 2020. № 2. С. 41-54.
5. Носков С.И., Потороченко Н.А. Диалоговая система реализации «конкурса» регрессионных зависимостей // Управляющие системы и машины. 1992. №2-4. С.111-116.
6. Базилевский М.П. Критерии нелинейности квазилинейных регрессионных моделей // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2018. Т. 6. № 4 (23). С. 185-195.
7. Базилевский М.П. Фундаментальный блок алгоритмов построения хорошо интерпретируемых качественных регрессионных моделей // Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. 2020. № 3 (8). С. 1-10.
8. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика. М.: Финансы и статистика. 2007. 576 с.
9. Pardoe I. Applied Regression Modeling. John Wiley & Sons, Inc. 2021.
310 p.
10. Guerard J.B., Gultekin A.S. Regression Analysis and Estimating Regression Models // Quantitative Corporate Finance. P. 263-300.
11. Дрейпер Н, Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. 3-е изд. М.: Виль-ямс. 2016. 912 с.
12. Бурцев А.В., Евелев А.Л., Качалин В.П. Оперативное математическое моделирование макроэкономических процессов в электротехнической и металлургической отраслях промышленности Самарской области // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Технические науки». 2020. Т. 28. № 1 (65). С. 22-33.
13. Фейзуллаева Р.Э. Эконометрический анализ зависимости преступности от безработицы в условиях современной российской экономики // Журнал «Экономика. Управление. Финансы». 2019. № 3 (17). С. 13-20.
14. Носков С.И. Построение эконометрических зависимостей с учетом критерия «согласованность поведения» // Кибернетика и системный анализ. 1994. №1. С. 177-180.
15. Носков С.И. Критерий «согласованность поведения» в регрессионном анализе // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. №1. С. 107111.
16. Носков С.И. Обобщенный критерий согласованности поведения в регрессионном анализе // Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. 2018. № 1 (1). С. 14-20.
17. Базилевский М.П., Носков С.И. Программный комплекс построения линейной регрессионной модели с учетом критерия согласованности поведения фактической и расчетной траекторий изменения значений объясняемой переменной // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 9 (128). С. 3744.
18. Носков С.И. Технология моделирования объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в данных. Облинформпечать. Иркутск. 1996. 320 с.
19. Носков С.И. Оценивание параметров линейной регрессии посредством максимизации числа совпадений знаков приращений фактических и расчетных значений зависимой переменной // Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. 2021. № 2 (10). С. 109-111.
Носков Сергей Иванович, д-р. техн. наук, профессор, sergey.noskov.57@mail.ru, Россия, Иркутск, Иркутский государственный университет путей сообщения
APPLICATION OF THE CONTINUOUS BEHA VIORAL CONSISTENCY CRITERION IN THE CONSTRUCTION OF REGRESSION MODELS
S.I. Noskov
The paper considers the continuous form of the criterion for the consistency of the behavior of the calculated and actual values of the output variable in the regression model. In contrast to the usual and generalized forms of the criterion, the use of which leads to the need
to solve partial-Boolean linear programming problems, the use of CCCB to correct the estimates of the model parameters together with the minimization of the loss function corresponding to the least modulus method is associated with a linear programming problem.
Key words: regression model, criterion of consistency of behavior, calculated and actual values of the dependent variable, criteria of adequacy.
Noskov Sergey Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, ser-gey.noskov.57@mail.ru, Russia, Irkutsk, Irkutsk State Railway University
УДК 620.17 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-6-78-83
ВЫЯВЛЕНИЕ ОПАСНЫХ СБЛИЖЕНИЙ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ АППАРАТА КВАТЕРНИОНОВ
Л.П.Зозуля, М.Ю. Булекбаева, П.С.Гончаров
Представлен методический подход оценивания расстояния между двумя космическими объектам на длительном интервале времени с применением математического аппарата кватернионов.
Ключевые слова: космический объект, кватернион, математическое моделирование, прогнозирование, линейное расстояние.
К настоящему времени сформировался ряд подходов выявления опасных сближений космических объектов (КО) в околоземном космическом пространстве (ОКП). Под потенциально опасным сближением понимается сближение двух КО на расстояние менее заданного с последующим возможным столкновением [1]. В данной статье предлагается методический подход к выявлению потенциально опасных сближений путем определения функции р(^) зависимости расстояния от времени между двумя КО. Определение данной функции осуществляется с применением математического аппарата кватернионов для КО, находящихся на произвольных орбитах. Определение такой функции вызвано необходимостью прогнозирования опасных сближений в ОКП.
Исходными данными для определения искомой функции р(^) являются:
- кеплеровские элементы двух КО - КОд и КОв ;
- гд и Гв радиус-векторы КОд и КОв ;
- моменты х д и Тв прохождения перигея.
На рис.1 представлены трассы двух космических объектов КОА иКОв, с соответствующими элементами орбит: КОд(^д, iА,юА ) и КОв (^В, ¡В, ®В ). Точки А1 и В1 являются подспутниковыми точками на сфере, с радиусом равным среднему радиусу Земли. М - подспутниковая точка встречи космических объектов КОд и КОв . Функцию р(() предлагается находить, используя скалярную часть кватерниона, который однозначным образом представлен дугой большого круга, длина которой определяется углом 9 . Введем векторы, направленные по радиус-векторам гд (() и Гв () КО и равные по величине земному радиусу:
- Г4 (() - направляющий вектор радиус-вектора гд (^);
- % () - направляющий вектор радиус-вектора ?в (^).
