Применение неопределенного интеграла для восстановления функции по ее градиенту Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.742.4

И.П. Попов

ПРИМЕНЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ГРАДИЕНТУ

Предложен способ восстановления функции по ее градиенту, в основу которого положено суммирование неопределенных интегралов от частных производных функции и исключение лишних слагаемых.

Ключевые слова: градиент, функция, частная производная, интеграл, переменная.

THE APPLICATION OF THE INDEFINITE INTEGRAL TO RECONSTRUCTING A FUNCTION

FROM ITS GRADIENT

The paper presents a method of reconstructing a function from its gradient. The method is based on the summation of indefinite integrals from partial derivatives of a function and elimination of redundant summands.

Key -words: gradient,function, partial derivative, integral, -variable.

Актуальность задачи определения функции по ее градиенту достаточно показать на примере пространственного распределения сил, которое является градиентом энергии соответствующего поля [1-5].

Применительно к большей части приложений можно ограничиться рассмотрением операций на пространстве векторных полей и гладких функций в R3.

Существует несколько способов [6-8] отыскания функции по ее градиенту

(1)

, , _ (д[ д/ д/) ё/ = У/ = .

^от ду дг)

Наиболее простой способ [9] заключается в вычислении криволинейного интеграла

/ = [ — йх +—dy +—dz =

J дх ду дг

(X, у0, г0)сЬс + (х, у, г0)4у + (х, у, £)дг.

* ох ду дг

Уо 2о

Достоинством этого метода является компактность, недостатком - необходимость выбора начальной точки интегрирования (хо,уо,г0). Последнее сопряжено с произволом, который может отразиться на виде окончательного решения. Кроме того, в ряде случаев это может быть сопряжено с трудностями, вследствие чего представлять собой дополнительную задачу. Пример 1. Для двухмерного случая

д[ д/ х2 х — = 2хагсзт у + 1п (у -1), — =--1--

— If, — I-- I

дх ду у-1

возникает проблема с выбором у0, поскольку должны одновременно выполняться условия: у < 1 и

У > 1-

Есть способы (например, [10]), лишенные этого изъяна. Они заключаются в подборе вспомогательных функций. Их существенные недостатки - трудоемкость и громоздкость.

Предлагаемый нами подход свободен от недостатков указанных способов. По трудоемкости и компактности он сопоставим с первым способом, и в нем нет необходимости определения исходной точки интегрирования.

Теорема. Функция/может быть восстановлена по ее градиенту (1) в соответствии с формулой:

/ = +\—dy - 2К - Г„ - УХ7 - К + С =

J дх су дг ^ ^ " ^

= Рху2 (X, у, 2) + Рху (х, у) + РХ2 (X, 2) + рх (X) + ^ (X, у, 2) + ^ (х, у) + ^ (у, 2) + 0у (у) + (2)

+Рху2 (х, .у, 2) + ЯХ2 (х, 2) + Яуг (у, 2) + (2) - 2¥хуг - ^ - ГХ2 - Гуг + С. При этом

Р = О = Р = V ("34)

хуг ¿^хуг хуг хуг ' V /

= <2ху = Уху, (4)

Р.в = = ^ , (5)

<2уг = Руг = ^ • (6)

Величины (3) - (6) представляют собой функции, содержащие переменные, указанные в индексах.

Доказательство. Очевидны равенства:

1= Р.^ (У, г) + Р,у (X, У) + Ра (X, 7) + Рх (X)

= О. (У,г) + (У) + в^ (У,г) + ву (У);

| ^ ^ = (х, у, 2) + Ях2 (х, г) + Яу2 (у, 2) + Я2 (г),

■ - Ят

хуг

дхдудг Зх дхдудг дхдудг 53 53 / 5 ^

-рЧу

■ * Ял;

дхдудг* ду дхдудг дхдудх 53 53 / 53 кху2

=

■ * я^

дхдудг1 дг дхдудг дхдудг Отсюда непосредственно следует (3):

Ж= Ж,

дхду1 дх дхду дхду дхду д2 [дГ д2/ 5^ , 5^

дхду1 ду дхду дхду дхду Отсюда, с учетом (3), следует (4):

^2 Г 2 / 2 Рху2 д > Р

=

■ • Яг

дхдг} дх дхдг дхдг дхдг

=

82/ _52+ 82Д

Зх& & 8х8г 8х8г 8х8г Отсюда, с учетом (3), следует (5):

а2 / _ а 2а,г а ^

дудг дудг дудг 82 ^ 82 Я 82 Я

V J хуг уг

дудг* 8у 82 гд/

-I-UZ —-—--1--

дудг* & дудг дудг дудг Отсюда, с учетом (3), следует (6). Координаты градиента функции (2) можно вычислить следующим образом.

дх дх I

:(/£*+о^ + а, + оу. + оу +

++ ^ + я* + - 2 гхуг - гху - гхг - гуг + с):

Ж.

дх

Слагаемые в скобках, являющиеся функциями от х, кроме первого, взаимно уничтожаются. Частные производные по х от остальных равны нулю.

Аналогичным образом обстоит дело с частными производными по_у и г.

Таким образом, градиент правой части (2) равен (1), следовательно, правая часть (2) представляет собой восстановленную функцию/ Теорема доказана. Следствие.

/ = ^ + Уху + УХ1 + Ууг + Ух + Уу +У2 + С. (7)

Здесь Ух = Р(х), ¥у = <2у(у), = Яг(г). Пример 2.

(

\ (

хг

Л

grad/ = — + эт у н---ь 2х \ + х сое у--- + 2уг + 3у

,У

(

Х2

/ V Л (

у

(

У

х

\

— + 1п х + 3 у г - е2

V у

2

/ =--ь х эт у + г 1п х + х

IУ )

Х2

.2 3

Л

(

Х2

\

Х2

—ь х эт у + у г + у

кУ у

,2 3

--ь г 1п х + у г - е2 - 2--х эт у - г 1п х - у г + С =

v у ) у

Х2

=--ь х эт у + г 1п х + у г + х + у - е1 + С.

у

Здесь

хг

= = Ку; = Уху; =~, РХу = Яху = Уху = Х вШ У, Рхг = ^ = = 2 1п X,

у

<2у, = = г* = у2^ р* = к = х2, б, = = = = .

Вычисление по формуле (7) еще компактнее.

1. Попов, И.П. Приложение мнимых векторов к моделированию абстрактного силового поля // Вестник Амурского гос. ун-та. - 2016. - Вып. 73. - С. 10-24.

2. Сельвинский, В.В. Сдвиг с места твердого тела с распределенным контактом // Вестник АмГУ. - 2011. -№ 53. - С. 3-6.

3. Попов, И.П. О некоторых аспектах магнитоэлектрического взаимодействия // Вестник Челябинского гос. ун-та. - 2009. - Вып. 5, № 24(162). - С. 34-39.

4. Попов, И.П. О пространственной конфигурации вихревого электрического поля // Вестник Курганского гос. ун-та,- 2009. - Вып. 2, № 1 (15). - С. 50-51.

5. Попов, И.П. Дуально-инверсный аналог силы Ампера для магнитопровода с изменяющимся магнитным потоком, находящегося в электрическом поле // Вестник Курганского гос. ун-та. - 2009. - Вып. 2, № 1 (15). -С. 51-52.

6. Попов, И.П. Разновидности оператора набла // Вестник Амурского гос. ун-та. - 2015. - Вып. 71. - С. 20-32.

7. Попов, И.П. О некоторых операциях над векторами // Вестник Волгоградского гос. ун-та. - Серия 1: Математика. Физика. - 2014. - № 5 (24). - С. 55-61.

8. Попов, И.П. Поверхностные градиент, дивергенция и ротор // Вестник Псковского гос. ун-та. - Естественные и физико-математические науки. - 2014. - Вып. 5. - С. 159-172.

9. Богданов, Ю.С. Лекции по математическому анализу. - Ч. 2. - Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 384 с.

10. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. - Т. 2. - Изд. 13-е. - М.: Наука, 1985. - 560 с.

УДК 517.922.519.21

В.А. Труфанов, Т.В. Труфанова, М.Д. Штыкин ДЕЙСТВИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА НА ПРОЦЕСС (0

В статье рассматривается нахождение решения линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде осциллятора, правой частью которого является процесс ^ (t)

Ключевые слова: R-гармонический, случайный процесс, осциллятор, линейный оператор, дифференциальное уравнение.

EFFECT OF THE LINEAR OPERATOR ON PROCESS )

The paper deals -with the solution of a linear nonhomogeneous differential equation in the form of an oscillator, the right part of iwhich is the process ^ (t).

Key words: R-harmonic, casual process, oscillator, linear operator, differential equation.

В приложениях приходится исследовать случайные процессы, получающиеся в результате применения более сложных математических операций (символически обозначаемые оператором) к случайным процессам, характеристики которых известны.

Важный класс линейных операторов можно представить в виде:

t

7/(0 = {к(t, tl)^(tl)dtl, (1)

to

где процесс, к которому применяется данный оператор; К(t,известная функция, вид

которой и определяет свойство оператора. В частном случае, когда функция К(t, t^) является функцией разности своих аргументов, формула (1) принимает вид: