CC BY
156ВКВО-2019- Стендовые
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ДЛЯ АНАЛИЗА КОГЕРЕНТНЫХ СТРУКТУР В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Чеховской И.С.1*, Штырина О.В.1'2, Федорук М.П.1'2, Медведев С.Б.12, Турицын С.К.13
1 Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск 2 Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск 3 Институт фотонных технологий Астона, университет Астона, Бирмингем, Великобритания
* E-mail: i.s.chekhovskoy@gmail.com
DOI 10.24411/2308-6920-2019-16161
Работа посвящена новому приложению метода обратной задачи рассеяния (МОЗР), также известного как нелинейное преобразование Фурье (NFT - nonlinear Fourier transform). Захаров и Шабат показали [1], что с помощью МОЗР можно проинтегрировать одну из основных моделей нелинейной физики - нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), для чего нужно решить так называемую спектральную задачу Захарова-Шабата (ЗЗШ). Метод по аналогии с обычным преобразованием Фурье позволяет упростить анализ и свести сложную нелинейную динамику к простой эволюции в определенном базисе - так называемом нелинейном спектре сигнала.
Применение NFT к интегрируемым Гамильтоновским уравнениям, таким как НУШ, хорошо изучено. В данной же работе на примере уравнения Гинзбурга-Ландау (УГЛ)
Зо
-Г, E(z) = f \U(z,t)\2dt (1)
Рис. 1. Отношение энергии Еа, соответствующей дискретному спектру, к полной энергии Е1 от параметров а и 6 в случае аномальной
дисперсии (а) и нормальной (Ь) дисперсии. Числами черного цвета на рисунке обозначено число дискретных уровней для соответствующих стац. решений УГЛ (2), а черными линиями разделяются зоны с различным числом собственных значений
был исследован потенциал его применения к диссипативным неинтегрируемым системам [2]. Данное уравнение, в частности, используется при описании поля кольцевого резонатора волоконного лазера с насыщающимся поглотителем. Стационарные решения уравнения (1) представляют собой семейство чирпованных солитонных решений, которые могут быть записаны в виде \1 + Ю _____Г.- .1-1___"Р
U(z, t) = A1+lC(t)exp(i(pz], где A(t) =
(2)
cosh(t/т)'
Применение NFT к НУШ с аномальной дисперсией подразумевает нахождение непрерывного и дискретного спектра оператора ЗЗШ для потенциалов ^1 и \р2
\y± = u(z,W2-iWi
(3)
где = ^ + щ является элементом спектра оператора Ь =
д+ -и(г,
. Решение НУШ и(г,Ь) при всех г
U*(z,t)
dt
должно быть затухающим при Ь ^ ±<х.
Несмотря на то, что NFT не может быть использовано для решения УГЛ (1), можно проанализировать динамику нелинейного спектра решения и(г,Ь), считая, что в каждой точке по г поле и (г, Ь) подчиняется НУШ с аномальной дисперсией. Более того, можно показать, что эволюция оптического сигнала, подчиняющегося УГЛ, может быть с хорошей точностью описана с помощью конечного числа переменных с использованием NFT в тех случаях, когда дискретная составляющая спектра оператора ЗЗШ для соответствующего НУШ является доминирующей. Это соответствует случаям, когда отношение энергии сигнала, связанной с дискретным спектром, к полной энергии близко к единице.
308
№6 2019 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2019» www.fotonexpres.rufotonexpress@mail.ru
ВКВ0-2019 Стендовые
Все представленные в работе расчеты
проведены при значениях параметров
д0 = 0.3, Г = 0.1, Esat = 1. На рисунке 1
представлена зависимость отношения
энергии Ed, определяемой элементами
дискретного спектра, к полной энергии Et
от параметров а и S УГЛ (1). Рассмотрены
случаи аномальной (s = 1) и нормальной
(s = -1) дисперсии. Для различных пар
значений данных параметров численно
был найден непрерывный и дискретный
спектры ЗЗШ с помощью метода
Боффетты-Осборна для соответствующего
стационарного решения УГЛ (2). Белым
цветом отмечена область, где не
существуют стационарные решения.
Также на рисунке 1 обозначены области
параметров с различным числом собственных значений. Как можно заметить, в случае аномальной
дисперсии отношение энергии дискретного Рис. 2. Динамика интенсивности поля U(Z,t) и r r г
спектра к общей энергии всегда достаточно соответствующая динамика дискретных собственных ^ ^
значений 1,п = $п + Щп для различных значений высокое - более 82%. Однако, области,
параметров а и S в случае УГЛ (1) с аномальной с°°тветствующие решениям с°держащим
дисперсией 1 и 3 дискретных с. з., имеют подобласти,
где отношение энергий превышает 97.5%. Это говорит о возможности с хорошей точностью описывать стационарные решения УГЛ с помощью лишь знания дискретного спектра. В случае нормальной дисперсии это также возможно при больших значениях параметра а.
Рассмотрим теперь несколько примеров динамики оптического поля, подчиняющегося УГЛ (1), и проанализируем динамику нелинейного спектра. В качестве начальных данных будем использовать солитон НУШ U(z = 0,t) = 0.2/ cosh(0.2t), пиковая мощность которого меньше пиковой мощности стационарных решений УГЛ (2) при рассматриваемых значениях параметров а и S. Таким образом, начальное поле всегда имеет только дискретный спектр, состоящий из одного собственного значения, а пиковая мощность этого поля возрастает при распространении вдоль z (соответствующие стационарные решения содержат 3 дискретных уровня). На рисунке 2 приведены графики динамики вдоль z интенсивности поля и динамики дискретных собственных значений = + . В случае устойчивого стационарного решения (а = 3.5,5 = 0.35) при больших z дискретные собственные значения приближаются к собственным значениям стационарного решения УГЛ при рассматриваемых значениях параметров. Возникающие в них поначалу осцилляции быстро затухают, а появившееся вначале четвертое собственное значение исчезает. В случае неустойчивых стационарных решений ситуация кардинально другая. При « = 3.5,5 = 0.15 можно наблюдать сложную динамику дискретных собственных значений: периодически возникающее 4-е собственное значение сливается со следующим по величине собственным значением, после чего данные собственные значения становятся симметричными друг другу относительно действительной оси, а направление их осцилляций меняется. Тем не менее, даже в этом случае отношение энергии, соответствующей дискретному спектру, к общей энергии довольно высоко (более 95%), что говорит о возможности описания с помощью лишь дискретного спектра даже такой неустойчивой динамики.
Таким образом показано, что NFT может выступать в качестве метода, который позволяет уменьшить количество эффективных степеней свободы, когда в динамике оптического сигнала преобладают когерентные структуры, такие как солитоны, даже когда их эволюция протекает неустойчиво. Проведен анализ стационарных решений УГЛ, представляющих собой диссипативные солитоны, и найдены области параметров данных решений, когда подход к описанию динамики на основе NFT применим.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (Грант № 17 -7230006). Литература
1. V. E. Zakharov and A. B. Shabat, J. Exp. Theor. Phys. 34, 62 (1972)
2. I. S. Chekhovskoy, et al, Phys. Rev. Lett. 122, 153901 (2019)
№6 2019 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2019»
www.fotonexpres.rufotonexpress@mail.ru 309
