Применение моделей топофункций в геоинформационных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 551.46

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ТОПОФУНКЦИЙ В ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

Рассмотрены вопросы интерполяции пространственных функций от 2, 3 и п переменных градидиентно-статистическим методом, способы и математические действия над топофункциями, применение топофункций для моделирования технических, технологических и экономических показателей в задачах управления территориями.

Ключевые слова: пространственно-нерегулярное расположение точек опробывания, качественные показатели объекта, регулярная сеть геометризации пространственных показателей, плотность расположения узлов, триангуляция, градиентно-статистическая интерполяция, топофункция математические действия, топофункции, изменчивость.

Введение

При решении задач организации и планирования сельскохозяйственного производства на земельных пространственных участках, а также задач землеустройства с использованием ГИС-технологий необходимо провести корректную постановку задачи, а именно, формализовать физический объект в математическую модель, в которой учитываемыми факторами будут геодезические координаты, показатели качества почв, содержание растительности и прочие.

В работах Лисицкого Д.В., Цветкова В.Я., Третяка А.М. Бондаря А.Л., Даценка Л.М. [1-3] и других ученых ставятся задачи по созданию моделей геометризации технико-экономических показателей для планирования и управлениями территориями. Рассматриваемые модели являются линейными или эвристическими, в то время как реальное распределение технико-экономических показателей по пространству анализируемых территорий является более сложным и носит нелинейный и часто дискретный характер.

Моделирование пространственной задачи управления

В данной работе решается задача поиска метода моделирования технических и экономических показателей, пространственно размещенных и достаточно адекватно описывающих реальное распределение. Это было реализовано путем построения пространственной сети, которая носит название сеть геометризации.

В настоящее время широко применяемые графические методы геометризации наглядно формализуют функцию размещения компонента в виде карт размещения показателя [4], линий показателя равных значений (изолиний) и прочее. В этих случаях для построения функции размещения используют эвристические (субъективные) приемы. Они основываются на получении дополнительных элементов построения.

Е.Г. ЖИЛЯКОВ БА ТАТАРИНОВИЧ

1) Белгородский государственный университет

e-mail: Zhilyakov@bsu.edu.ru

2)Харьковский национальный аграрный университет

При решении указанной задачи вычислительные и графические процессы на компьютерах в большинстве случаев повторяют действия проектировщиков, поэтому этот процесс построения функции размещения должен осуществляться с получением промежуточных элементов (точек, линий), которые в данном рассмотрении и понимаются как узлы формируемой сетки с задаваемой точностью, а процессами графического вывода можно пользоваться только по мере необходимости. Применение вычислительных процедур нахождения интегральных оценок и графических программ для вычерчивания линий одинаковых уровней показателя диктует применение регулярной сетки — такой, чтобы область между узлами образовывала прямоугольник, несмотря на то, что исходные точки, расположенные в характерных местах исследуемой территории, расположены как правило, не регулярно.

За степень нерегулярности расположения исходных точек принимается отношение Я/г радиусов сферы (Я), которую можно вписать в самую большую из областей в сети опробования, и сферы (г), которую можно поместить между наиболее близко расположенными исходными точками наблюдений.

В качестве регулярного расположение точек наблюдения предлагается применять их расположение в геополе [5] по какому-либо правилу (закону), например, расположение точек наблюдений в точках пересечения трех плоскостей, взятых из следующих совокупностей

ХОУ Х11У Х12У Х1ЪУ

ХО7 ХУх1 ХУ2 7 ХУЪ1 .

ХО7 УХ7 УХ21 УХъ2

Для компактности эту запись можно изменить, отметив при этом, что плоскости заменяются парами осей, которые записываются значением координаты в точке пересечения на координатных осях ОХ, ОУ, 07. В этом случае хранение и оперирование с координатами узлов сильно упрощается. Так, значение топофункции [1] ¥ в координатах Х{, Уу, 2к запишется ¥ук , где /, у, к - номера осей сети.

Степень равномерности расположения осей узлов регулярной сетки измеряется тройкой чисел рх, ру, рг, характеризующих степень равномерности по каждой оси

ОХ, ОУ, О7 , соответственно

р _ АХтах . р =АУ_ . р =АТ_

Рх ах . ' ру ау . ' рр ы .

тт тт тт

(здесь индексы «тах» и «тт» означают соответственно максимальный и минимальный шаги по осям ОХ, ОУ, О7 ).

Так если, рх, ру, рг = 1, то соответствующая сеть точек наблюдений является равномерной и задавать такую сеть можно, указав начальную точку используемой системы координат Хо,Уо,7о (т.е. условное начало координат исследуемой области), величины шагов Бх, Бу, и количество шагов пх, пу, пг по координатным осям.

Рассмотренные свойства расположения точек наблюдений присущи как сетям опробования (наблюдения), так и сеткам построений (моделирования). Взаимодействие этих двух видов сетей заключается в следующем. При наблюдении точки опробования стремятся располагать регулярно, исходя из стратегии разведки, но это не всегда можно осуществить, также дополнительно в процессе наблюдения меняется регулярность сети или берутся дополнительные точки. Координатную сеть для выполнения вычислительных и графических операций на объекте предполагается иметь равномерной. Допустим в результате поворота системы координат можно построить сетку, при которой максимальное число точек совпало с Ых узлами сетки построений;

тогда оставшееся число точек будет равно Ы2 _ N - М1, а число узлов — М2 _М - М1, где N и М соответственно количество узлов сети наблюдения и сетки построений. Чтобы не терять информативность об объекте, необходимо выполнить условие N2 < М2, а т.к. М1 _ N1, то, следовательно, N < М, т.е. количество узлов сетки построений должно быть не меньше количества узлов сети опробования. Выбрать расположение М2 узлов можно по критерию минимума суммы расстояний от исходных точек до выбираемых узлов

Очевидно, что эта оценка для N1 точек, совпавших с М1 точками (при условии, что совпадением будем называть бесконечно малое расстояние между точками), будет равна нулю.

Надо заметить, что условие (N2 < М2) можно преднамеренно выполнить в случае, когда информация об объекте получена в избыточном количестве точек во всей области или на отдельных участках. В этом случае сеть формируется разряженной относительно сети опробования следующим образом:

1. Берется участок, где плотность точек наблюдения максимальная.

2. На этом участке строится сетка построений.

3. Вычисляются значения показателя в узлах сетки.

4. Сеть разряжается и, начиная с пункта 2, строится новая сетка построений и вычисляются значения в узлах.

5. Сетка разряжается до тех пор, пока значения в узлах разряженной сетки (Ар) будут отклонятся от значений в узлах сетки при максимальной плотности (Аэ)

не более, чем на величину принятой точности, которая вычисляется как абсолютная, относительная и среднеквадратическая погрешность (А, р,3).

Кроме того, для общей картины величины отклонений можно получить среднее отклонение для всей области, которое вычисляется как:

Вышеописанным способом оценивается и выбирается сеть для создания моделей геометризации.

Надо заметить, что задача аналитического моделирования топофункции заключается в том, чтобы по N реализациям топофункции ¥(X { ,у, ) , найти анали-

тическое выражение функциональной зависимости ¥ _ /(X,У,7).

Простое решение вопроса построения аналитической модели распределения показателей в пространстве (или построение топографической поверхности) дает непосредственное обобщение линейной интерпретации при помощи определителя матричной записи коэффициентов линейной полной формы степенного многочлена.

С другой стороны линейно-кусочная интерполяция в трехмерном измерении для функции /(X,У) хорошо известна геодезистам и получила название, отражающее способ ее реализации, — триангуляция. При этом методе исходные точки соединяются таким образом, чтобы пространство было заполнено треугольниками. Вершина каждого треугольника — исходная точка опробования с высотной отметкой. Через

^■т'т, ук _ 1,М2.

э

три точки проводится плоскость, треугольный участок которой и есть поверхность между данными тремя точками.

Для общих задач распределения компонентов в пространстве получение характеристик показателя между исходными точками опробования с помощью линейной интерполяции имеет смысл рассматривать как 4-мерную задачу. В этом случае строится не поверхность, набранная из треугольников, а поле, образованное тетраэдрами, вершинами которых являются исходные точки, распределение показателя внутри такого тетраэдра линейно, данный процесс называют тетраэдризацией. Рассмотрим процесс триангуляции— тетраэдризации. Так как сетка строится, прежде всего, с целью получения цифровых моделей, то при задании узлов сети на плоскости или в пространстве необходимо найти значения показателя в этих узлах линейным интерполированием при помощи определителя:

/1 X1 У1 71

/2 X 2 У2 7 2

/з X3 Уз 7 з

/4 X4 У4 7 4

В данном случае такая кусочно-линейная модель обладает громоздкостью, так как в алгоритме надо хранить и анализировать набор кусочно-линейных функций, число которых соответствует порядку исходных точек наблюдения. Поэтому в данной работе реализован градиентно-статистический метод. Рассмотрим способ построения сети геометризации относительно точек наблюдения. При взаимном расположении точки и узла сети геометризации возможны следующие случаи:

1. Исходная точка находится от узла не далее чем на Е (Е — величина погрешности измерения по направлениям ОХ, ОУ, О1).

2. Расстояние от исходной точки до узла сети г удовлетворяет условию Е<r<R, где R— радиус области, в которой выполняется условие топографичности функций.

3. Исходная точка находится на расстоянии, превышающем R. Значения функции показателя для указанных случаев будут вычисляться следующим образом:

а) значение показателя в узле приравнивается к значению показателя в исходной точке;

б) значения показателя в узле устанавливается при решении модели геометризации;

в) значения показателя в узле не присваивается, т.к. нарушается условие топографичности.

При построении модели геометризации необходимо найти функциональную зависимость Г(х, у, г), которая совпадает со всеми исходными точками и одновременно дает значения показателя у^ гк) в каждом узле /ук.

Градиентный аспект метода заключается в том, что значения наблюдаемого показателя точек, попавших в окрестность, переносятся в рассматриваемую точку по градиенту этого показателя (в 2-мерном измерении по касательной плоскости в этой точке).

Для того, чтобы найти градиенты в каждой исходной точке, построим для этой точки некоторую окрестность. Допустим, в нее попала точка J. Тогда определим градиенты поля в рассматриваемой точке К, как частные производные по направлениям

'д¥\ _ АР , ( '1 _ А¥ ■ (д ¥ )_ А ¥

X ) ш Ах' у ду ) Ау ' У д? ) АУ

Просмотрев все - точек, попавших в R — окрестность, получим - частных производных по каждому направлению ОХ, ОУ, О1. Поскольку идея метода статическая, то для этих градиентов надо найти среднее или средневзвешенное значение. Известно положение, что точки J, стоящие ближе к точке К, оказывают на неё большое действие. Если точка стоит на границе R-окрестности, то влияние её градиента должно быть

нулевое. Если же точка находится на бесконечно малом расстоянии от токи К, то градиент точки J приравнивается к градиенту точки К. Для получения средневзвешенного градиента, исходя из описанных условий, суммировать частные производные, получаемые от точки J, можно со следующим весовым коэффициентом

(Я - ,)

£(я - ,)

,_1

Тогда частная производная (например, по направлению ОХ) от влияния всех ^ точек запишется в следующем виде

дР } _£ АР (Я - г, )

& )к ,=1 Ах^(я - г,)'

Приведенный весовой коэффициент действительно удовлетворяет поставленным условиям:

1. На границе Я области весовой коэффициент равен 0, т.к. г, _ Я и

Я - г , _ 0.

2. На бесконечно малом расстоянии от точки К весовой коэффициент максимален и равен

Я

-м--------, т.к. г, _ 0 .

3. Если точки J находятся на одинаковом расстоянии от точки К, то влияние на точку К от точек J одинаково и сумма весовых коэффициентов должна быть равна 1. Действительно,

'дР^_^ АР(Я - г, ) _АР £(Я - г, )

дх > Й А*]Г (Я - , )_ Ах 1(Я - г )'

, _1

Выше приведенный весовой коэффициент предполагает, что влияние каждой точки на рассматриваемую точку линейно, и тогда, значит, градиенты изменяются также линейно, что для физических объектов не характерно.

Если применить зависимость 2-й степени, то весовой коэффициент запишется в виде

(я - г, )2 Т(Я - , )2

(легко заметить, что при одинаковом расстоянии точек от узла в числителе, так же как в знаменателе, появится сумма квадратов, что обратит весовой коэффициент в 1), тогда градиенты в точке К примут вид:

дП_у ар (я - г, )2 ; ГдрЛ^ ар (я - г, у ; |'дП_£ ар (я - г, )2 .

& 1 '_■ А*£(Я - , )2 ; ^ ' ,_1 Ау£(Я - г, ) ; |дг ' ,_1 (я - , )2 '

,_1 ,_1 ,_1

Надо заметить, что и эти весовые коэффициенты будут удовлетворять перечисленным выше требованиям. Значение показателя в узле сети геометризации V будет складываться из значений М точек, попавших в Я -окрестность. Значение показателей в /-точке (і=l,М) будет переноситься в узел Vпо градиенту поля 1-точке

ГдРЛ ■ ■ ^

(X,, -X,)+М \Уу -Г/)+|дГ| \!г -7,).

Переносимые в узел значения необходимо суммировать с весовыми коэффици-

ентами. Чтобы не усложнять метод, возьмём весовые коэффициенты такими же, как и в случае нахождения градиентов. Тогда значение показателя в узле запишется:

(К - г, )2

2(к - Г- )2'

м

ъ=2

, =1

^+(! 1'х- х>(| ] - Г-К!г ]>- г-)

(к - г )2

2(к - г, )2'

Поскольку метод градиентно-статистический, то величина 1-связности существенно влияет на значения показателя в узлах сети геометризации. Так, если радиус велик и захватывает большое число исходных точек, то значения показателя усредняется между всеми значениями показателя исходных точек, попавших в 1-область. Если 1 уменьшать, то возникает опасность, что ни одна точка не попадет в 1-область и значение в узле будет равным нулю. Поэтому значение 1-связности должно быть выбрано как некоторая оптимальная величина.

Первым правилом выбора радиуса связности может служить задание радиуса 1 в линейных единицах измерения, величиной, подобранной опытным путем. Для выполнения условия, чтобы выбранный радиус перекрывал любой участок исследуемой области для равномерной сети, он устанавливается равным

к = ,

2

где а — шаг равномерной сети.

Для выполнения условия устранения взаимосвязи значений в соседних узлах (условие неперекрываемости) значение R выбирается равным

К = а.

2

При таком подходе остаются неохваченные участки, поэтому 1-область топо-графичности в виде сферы для каждого узла нужно заменить на й-область в виде параллелепипеда (0=21), что сходно с точечной палеткой [4] и среднестатистическим окном размером й.

Вторым правилом выбора радиуса связности является нахождение расстояний от узлов сетки модели до ближайших исходных точек опробования и выбора из этих расстояний наибольшего. В этом случае в 1-область любого узла сети попадает не менее одной исходной точки. Таким правилом, очевидно, нужно пользоваться, когда сетка разряжена по сравнению с сетью опробования.

Третьим правилом выбора радиуса связности будем считать переменное его значение, в случаях большой (более 8) неравномерности сети. В этом случае радиус выбирается, исходя из плотности исходных точек на данном участке, путем вычисления значения функции наблюдения по л-ближайшим точкам. В этом случае радиус связности выступает как аргумент от количества точек, которые должны попасть в его сферу. Представление топографической поверхности пространственноаналитическими и цифровыми моделями со значениями в узлах сетки модели диктует применение аналитических и вычислительных методов. В зависимости от регулярности сети опробования действия над топофункциями могут производиться сразу или после некоторого преобразования, направленного на получение сетки модели, которое идет по следующей схеме: исходные точки — выявление сети опробования — построение сетки модели — нахождение значений в узлах — операции над топофункциями. Кроме того, на выбор преобразования топофункции влияет решение задачи. Так, если необходимо получить карты изолиний и разреза, то оперировать можно значениями топофункции в исходных точек. Если же необходимо находить интегральные оценки топофункции, то тогда необходимо создавать сетку геометризации. Имеется два дополнительных пути, применяемых в специальных случаях:

1) после действия над топофункциями создается сетка модели;

2) действия производятся над топофункциями как с сетью опробования, так и с сеткой модели.

При указанных способах преобразования топофункции необходимо оценивать точность, которая определяется на этапах получения значений показателя в узлах чертежей на графических автоматах.

В условиях развития геоинформационных систем возникает необходимость расширять их направленность не только на совершенствование функций визуализации, построений, конкретных оцениваний, представлений, но и на математические операции с топофункциями, которые описывают рельеф местности, принадлежность участков к категориям, показатели качества почв, различные технико-экономические показатели участков, содержание растительности и т.д.

Операции над топофункциями делятся на алгебраические: сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, и математического анализа: дифференцирование, интегрирование.

Указанные математические действия применяются для следующих целей:

1) сложение и вычитание — пересчет абсолютных значений в относительные и наоборот;

2) умножение и деление — масштабирование значений функции;

3) возведение в степень — нахождение квадратов отклонений;

4) дифференцирование - нахождение градиентов функции;

5) интегрирование — нахождение интегральных оценок.

Операция над двумя топофункциями р1(Х|, У|, 7|) и р2(Х|, У|, 7|), представленными в узлах сети (опробования или построений), состоит в нахождении третьей топофункции Рз(Х|, У|, по операциям:

1) Рз = р1 + Р 2;

2) Рз = Р1 — Р 2;

3) Рз = Р1 * Р 2;

4) Рз = Р1 / Р 2;

5) Рз = Р1 Т П;

дЪ дЪ дЪ д дЪ

6) Рх = —; Ру = —; Р: = —; Р ху =-----------;

дХ дУ д2 дХ дУ

х 2 х 2у2 г1

7) I х = |Ъ(X)ёХ ; 1ху:= 111Ъ(ХУ1 )с1Хс1Ус11.

Х1 Х1У1 г 2

Дифференцирование рассматривается как нахождение градиентов, Одновременное дифференцирование по 2-м или з-м переменным, по процессу вычислений не отличается от вышеуказанной операции. Следует только указать, что дифференциал 1-й степени ЬР(Х,У,7) используется для прогнозирования изменения характеристик поля и нахождения инвариантов 1-й степени (глобальных и локальных экстремумов по подобластям). Дифференциал второй степени Ь2Р(Х,У,7) используется для нахождения инвариантных элементов поверхности (линии и поверхности перегибов топофункции).

Для получения интегральных оценок подсчета запасов взят способ, использующий объемную палетку, где значение точки — есть центр блока со своим средним значением, при этом математическое интегрирование заменяется на численное.

Геометрически-морфологическое прогнозирование в условиях цифровой модели геометризации имеет лишь то различие, что геометрия морфологии не выражается в непрерывных линиях, а отображается дискретно в узлах сети. Среднеквадратическая ошибка отклонения реализации от построенной модели поверхности ищется посредством двух операций над топофункциями: вычитанием и возведением в степень .

Прогнозирование размещения компонента для пространственно-

аналитических моделей заключается в следующем:

1) установление закономерности распределения компонента способом сглаживающих поверхностей при построении сферы (круга, окна) для цифровых моделей,

2) прогнозирование с помощью градиента поля заключается в нахождении градиентов функции по нужным направлениям и вычисление значения функции по значениям градиента

АР АР АР

р2(Х,У,1) = РДХ,У,1) + А X---------+ А У + А1-.

АХ А7 А2

Коэффициент вариации для топофункции, заданной с помощью цифровой модели, вычисляется следующим образом

N 1 N 2

I ( д71Р - Р )

Квар= г=1 ^-------- *100%,

— IР

N £ г

где N — количество точек наблюдения.

Коэффициент изменчивости в этом случае вычисляется таким образом

1 N

Кизм= /

N £

В настоящее время указанные функции начали получать свою реализацию в отечественных и некоторых зарубежных ГИС-системах.

Таблица 1

Применение топофункций в ГИС-системах

Ґ с^- + дРг + дРг \

V дХ дУ д'А У

Показатели Тип функции Реализация

Технические:

— высотные отметки рельефа Нелинейная, непрерывная Хорошая, R-постоянная

— физико-технические характеристики почв Нелинейная, непрерывная Хорошая R-постоянная

-химико-минералосодержание Нелинейная, дискретная Хорошая, R-постоянная

—принадлежность к категориям ведения хозяйства Дискретная Хорошая, R-переменная

Технологические

— биохимическое содержание Нелинейная, непрерывная Хорошая, R-постоянная

— урожайность по основным культурам Нелинейная, дискретная Хорошая, R-переменная

— содержание гумуса Нелинейная, непрерывная Хорошая, R-постоянная

— минеральная составляющая Нелинейная, непрерывная Хорошая, R-постоянная

— органическая составляющая Нелинейная, непрерывная Хорошая , R-постоянная

Экономические: —

условная стоимость единицы территории — приведенная стоимость Линейная, дискретная Средняя, R-переменная

единицы территории Линейная, дискретная Средняя, R-переменная

Выводы

Таким образом, предложенная модель является эффективным инструментом для принятия решений по управлению территориями с использованием техникоэкономических показателей разного рода ресурсов, включая земельные, денежные и прочие. Данная модель может быть применена для формирования регулярных баз данных для решения разного рода задач с использованием ГИС-технологий.

Литература

1. Лисицкий, Д.В. Основные принципы цифрового картографирования местности [Текст] / Д.В. Лисицкий. - М.: Недра, 1988.

2. Цветков, В.Я. Геоинформационные системы и технологии [Текст] / В.Я. Цветков. — М.: Финансы и статистика, 1998. - 288 с.

3. Сизов, А.П. Мониторинг городских земель с элементами их охраны [Текст] / А.П. Сизов. - М., 2000. - 156 с.

4. Бондарь, А.Л. Представлення статистичних матеріалів у графічному вигляді та їх картографічна інтерпретація для аналізу [Текст] / А.Л. Бондарь, О.В. Барладин, Л.М Даценко // Матеріали ГІС-конференції. - К: 2003.

5. Шипулін, В.Д. Створення базового набору геопросторових даних [Текст] / В.Д. Ши-пулін // Матеріали ГІС-конференції. - Ялта: 2006.

APPLICATION OF TOPOFUNCTIONS MODELS IN GEOINFORMATION SYSTEMS

E.G. ZHILYAKOV1 BA TATARINOVICH

V Belgorod state university

e-mail: Zhilyakov@bsu.edu.ru

2) Kharkov national agrarian university

The questions of interpolation of spatial functions of 2, 3 and n variables by a gradient-statistical method, methods and mathematical actions over topofunctions, application of topofunctions for the simulating of technical, technological and economic indexes in the tasks of territories management are considered.

Keywords: spatially-irregular location of points of testing, object quality indexes, regular network of spatial indexes geometrizing, closeness of knots location, triangulation, gradient-statistical interpolation, mathematical actions, topofunctions, changeability.