CC BY
244
2007
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА__________________
Геология Вып. 4 (9)
Методы определения параметров систем опробования
Г.В. Лебедев
Пермский государственный университет, кафедра поисков и разведки полезных ископаемых.
614990, Пермь, ул. Букирева, 15, E-mail: poisk@psu.ru
В настоящее время в основном применяются методы определения параметров систем опробования, основанные на практическом опыте разведки и эксплуатации месторождений. Количественные методы имеют ограниченное применение. В соответствии с теорией геохимических полей, количественные методы могут быть подразделены на три группы: 1) методы, основанные на учете амплитудных характеристик геологических полей (аналитический, В.В. Богацкого, метод, базирующийся на теории информации); 2) методы, основанные на учете параметров, характеризующих одновременно и амплитуду, и частоту (вариограмм и нормированной корреляционной функции); 3) методы, основанные на учете частотных характеристик (метод П.Л. Каллистова, метод геометрической автокорреляции). Основной недостаток первой группы методов заключается в том, что они не учитывают пространственную изменчивость геохимических полей. Применение второй группы методов ограничено условием стационарности исходных реализаций. Третьей группе также присущи определенные недостатки: разрешающая способность метода П.Л. Каллистова зависит от начала отсчета (положения первой пробы). Метод геометрической автокорреляции более свободен от отмеченных недостатков. Из теории геохимических полей следует, что система опробования должна рассчитываться на основе их частотных характеристик. Амплитудная характеристика не имеет прямого отношения к выбору оптимального шага опробования.
Введение
Одним из основных вопросов практики опробования является проблема выбора рациональной системы размещения проб. Понятие «система опробования» включает в себя два основных элемента [42, 21]: 1) порядок размещения проб (форма сети); 2) расстояние между пробами при дискретном размещении проб или длину секции при непрерывном опробовании.
Порядок размещения проб часто самостоятельного значения не имеет, так как определяется пространственным расположением горных выработок и скважин, на заложение и проходку которых оказывает влияние комплекс разнообразных геологических и горнотехнических факторов. И лишь когда изменчивость свойств, устанавливаемых при опробовании, выступает в качестве ведущего фак-
тора, опробование является определяющим при выборе формы сети, типа выработок и мест их заложения. Вследствие этого расчет параметров систем опробования обычно сводится к установлению расстояний между пробами или определению длины секций. В соответствии с особенностями пространственного изменения геологических параметров рудных тел опробование прослеживающих выработок ведется, как правило, дискретно, а секущие выработки обычно опробуются непрерывно с подразделением на секции.
По экономическим соображениям густота проб не может быть увеличена до бесконечности, но должна быть достаточной для того, чтобы надежно решать задачи, стоящие перед опробованием на данной стадии изучения месторождения. Отсюда вытекает понятие оптимальной системы опробования и, в частности, оптимального расстояния между проба-
© Г.В. Лебедев, 2007
ми. Увеличение плотности сети проб выше оптимальной приводит к неоправданным затратам труда и средств, которые возрастают с увеличением объемов эксплуатационноразведочных работ, а ее уменьшение - к не-доизученности качества полезного ископаемого в недрах.
1. Эмпирические методы
В геологической литературе вопросам определения систем опробования и разведки уделено значительное внимание. Эти вопросы часто рассматриваются совместно и методически решаются одинаково, что принципиальных возражений не вызывает, если иметь в виду, что перед разведкой стоит более широкий круг решаемых задач, нежели перед опробованием.
Несмотря на большое количество опубликованных работ, проблема выбора оптимальной системы наблюдений до настоящего времени остается недостаточно разработанной, поэтому для ее решения используются чисто практические приемы определения плотности сети: по опытным данным, по макетам и по сравнению с результатами последующей эксплуатации [34].
Установление системы наблюдений на основе практического опыта, в сущности, является основным приемом определения расстояний между разведочными пересечениями и пробами. Рекомендации ГКЗ по плотности сети, выработанные на основе опыта разведки разнообразных месторождений, являются определяющими при выборе сети наблюдений. Однако эмпирическое установление параметров систем разведки и опробования по принципу аналогии путем переноса их с одних объектов на другие включает в себя элементы субъективизма и недостаточно учитывает специфику отдельных месторождений [34].
Опыт определения рациональной сети на различных макетах рудных залежей широкого развития не получил. Тем не менее работы, выполненные в этом направлении В.И. Красниковым [14], Д.А. Казаковским [12] и другими исследователями, открыли определенные возможности экспериментального подхода к решению задачи установления расстояний между разведочными пересечениями.
Попытки контролировать выбор оптимальной сети разведки и опробования по данным последующей эксплуатации также не дали
ожидаемого результата. Трудности применения данного метода заключаются в том, что данные разведки и эксплуатации часто оказываются несопоставимы вследствие различия контуров подсчета запасов, сложности дифференцированного учета потерь и разубожи-вания руд, особенностей учета добытых руд, проводимого на обогатительных фабриках, на которые руда обычно поступает из нескольких эксплуатационных единиц и т.д. [5, 11].
Однако основным недостатком метода сравнения данных разведки и эксплуатации, очевидно, является то, что он не дает ответа на вопрос о том, является ли выбранная сеть оптимальной. Так, на «переразведанных» («переопробованных»), т.е. изученных по сверхплотной сети месторождениях, при отсутствии систематических ошибок измерений свойств полезных ископаемых и исключении вышеотмеченных трудностей результаты сравнения всегда должны быть хорошими. Но это совершенно не означает, что выбранная сеть была оптимальной.
Таким образом, эмпирическим методам и приемам установления параметров систем наблюдений свойственны определенные недостатки. В частности, при использовании наиболее широко применяемого способа, основанного на обобщении практического опыта, возможны погрешности, обусловленные как субъективной оценкой изучаемого материала, так и недостаточно полным учетом его специфики. В наибольшей степени эти недостатки влияют на выбор сети ранних этапов разведки месторождений. Сеть же, выработанная на основе многолетнего практического опыта изучения эксплуатируемых месторождений, по-видимому, близка к оптимальной, поскольку она определяет планомерную и ритмичную деятельность горнодобывающих предприятий.
Стремление исключить недостатки эмпирических методов определения параметров систем наблюдений привело многих исследователей к мысли о необходимости разработки количественных методов решения проблемы.
2. Количественные методы
Основным фактором, определяющим плотность разведочной сети, является природная пространственная изменчивость свойств тел полезных ископаемых. Однако решающее влияние на плотность сети оказы-
вают не все свойства, а лишь наиболее изменчивые из числа представляющих практический интерес. В качестве такого параметра, определяемого при опробовании, на многих месторождениях выступает пространственное распределение содержаний наиболее изменчивого главного компонента руд.
Применяя тот или иной количественный метод определения параметров систем опробования, геолог исходит из какой-то определенной теоретической модели изменчивости геологических параметров. В настоящее время наибольшим признанием пользуется модель, согласно которой пространственное распределение содержаний компонента (С) может быть представлено как сумма закономерной и случайной составляющих [13]:
С = / (х, у, г) + 3,
(1)
где х, у, г - координаты пространства, 3 - случайная составляющая. Закономерная составляющая пространственно детерминирована и может рассматриваться как геохимическое поле в трактовке П.К. Соболевского [36].
В свете современных данных в рассматриваемой модели необходимо сделать некоторые уточнения. Согласно Л.И. Четверикову [40] и А.Б. Каждану [10], месторождения полезных ископаемых можно рассматривать как иерархию структурных уровней различного порядка. В качестве элементов неоднородностей каждого уровня выступают минеральные обособления более высокого уровня. В частности, А.Б. Каждан выделяет шесть уровней, начиная от уровня строения минерального зерна и кончая уровнем строения минерализованной зоны.
Из уровенного строения месторождений следует, что и важнейшее из геологических полей - геохимическое - должно обладать уровенным строением. Поэтому геохимические поля залежей полезных ископаемых можно рассматривать как сумму иерархически соподчиненных дискретных уровней
(х, у, г), отличающихся друг от друга частотными характеристиками, осложненных случайными флуктуациями поля (8{) и погрешностями измерений (А). Согласно этим представлениям, наблюденные значения поля можно представить в следующем виде [6]:
где п - количество уровней строения поля, х, у, г - координаты пространства.
В зависимости от целей и задач исследования изучаются те или иные структурные уровни геохимических полей месторождений. При этом относительно изучаемого уровня более высокочастотные составляющие выступают как случайные, хотя и являются пространственно детерминированными. К чисто случайным, пространственно недетерминированным, следует отнести флуктуации, обусловленные техническими ошибками измерения содержаний компонентов. Очевидно, что выявить уровень поля, амплитуда которого меньше технических погрешностей измерения, невозможно.
Таким образом, в свете современных данных пространственное изменение концентр а-ций компонентов в залежах полезных ископаемых может быть представлено как геохимическое поле, характеризующееся уровен-ным строением и осложненное случайной составляющей. Исходя из этого основным требованием к системе опробования должно быть требование однозначного восстановления функции, описывающей строение геохимического поля того уровня, который соответствует задачам этапа изучения месторождения.
Задача оценки среднего содержания, которую при установлении параметров систем опробования часто считают главной, в действительности является частной по отношению к основной задаче - восстановления функции, описывающей геохимическое поле. Среднее
(С) в одномерном варианте представляет следующее:
С =
1
Хп - Хт х
(3)
где /(х) - функция, описывающая строение геохимического поля на интервале хп - хт. В геологии приближенное вычисление данного интеграла производится по формуле средневзвешенного содержания (С в), что соответствует известному в математике правилу прямоугольников Симпсона:
С в =
с = £[/( х, у, г) + 6, ] + А,
(2)
2 С, Ах,
'=т_________
,=п
2Ах,
(4)
2=1
г=т
где С, = f(x) - содержание компонентов в частных пробах; Ах, - интервал, на который распространяется влияние пробы.
Если расстояния между пробами равны (Ах = const), то формула средневзвешенного преобразуется в формулу среднеарифметического (С а):
I с,
С a =
n
(5)
где п - число проб.
Отсюда следует, что поднимаемый рядом исследователей вопрос о том, что точнее характеризует качество полезного ископаемого
- среднеарифметическое или средневзвешенное, должен быть решен в пользу последнего. Среднеарифметическое может применяться лишь в том случае, когда шаг опробования постоянен.
Оценим наиболее известные количественные методы определения параметров систем опробования, исходя из вышеизложенных принципов. Основными характеристиками геологического поля являются амплитуда и частота. Все параметры, применяемые для оценки изменчивости концентраций компонентов, могут быть подразделены на три группы: 1) параметры, характеризующие амплитуду, 2) параметры, характеризующие одновременно и амплитуду, и частоту, 3) параметры, характеризующие только частоту. В соответствии с этим делением можно произвести и группировку методов расчета параметров систем опробования: 1) методы, основанные на учете амплитудных характеристик геологических полей; 2) методы, базирующиеся на учете параметров, характеризующих одновременно и амплитуду, и частоту; 3) методы, основанные на учете частотных характеристик.
2.1. Методы, основанные на учете амплитудных характеристик геохимических полей
К группе методов, основанных на оценках амплитудных характеристик геологических полей, могут быть отнесены: аналитический метод; метод В.В. Богацкого; метод разрежения сети; метод, базирующийся на теории информации. Общим у этих методов является то, что в качестве характеристик изменчиво-
сти в них используются параметры, отражающие изменение концентраций компонентов вне зависимости от координат пространства, т.е., по существу, только изменение амплитуды геохимических полей без учета его частотных характеристик. В качестве теоретической основы этих методов выступает статистическая модель. Методы отличаются характеристиками, которые используются в качестве оценок изменчивости.
Аналитический метод. Данный метод полностью базируется на теории вероятности, в соответствии с которой концентрация компонента в рудном теле рассматривается как независимая случайная величина. В качестве характеристики изменчивости в методе используется коэффициент вариации (V).
В случае нормального распределения изучаемого параметра необходимое число наблюдений (К) при заданном коэффициенте вероятности (0 и заданной относительной погрешности среднего (т) определяется по формуле
N =
(tV )2
m
(6)
Несколько видоизменив эту формулу, через густоту сети наблюдений и исходя из принципа равномерности, Д.А. Зенков [5] предложил для определения расстояний между пробами использовать выражение
m
і=lm-,
V2
(7)
где I - оптимальное расстояние между пробами, Ь - длина исследуемого сечения. В формуле значение коэффициента вероятности (О, очевидно, принято равным 1, что соответствует вероятности 68,3%.
Практическое применение этой формулы (7) показало [10, 36, 37], что она часто дает завышенные, а иногда даже противоречащие здравому смыслу расстояния между пробами.
На ограниченные возможности применения статистики случайных величин для решения геолого-разведочных задач указывали еще С.Н. Иванов [7], В.Г. Соловьев [36, 37] и К.Л. Пожарицкий [29]. Они отмечали, что значения содержаний в соседних пробах имеют определенную связь между собой и вследствие этого ряд проб, последовательно взятых по какой-либо выработке, не может рассматриваться как ряд независимых переменных.
Другие же исследователи [31, 32, 33, 38, 39 и др.], признавая случайный характер изменчивости геологических параметров, основной недостаток видели в формальном использовании математическом статистики: аппарат,
разработанный для нормального распределения, часто применяется к параметрам, не подчиняющимся этому закону. Для устранения указанного недостатка эмпирические распределения предлагалось аппроксимировать логнормальным, биноминальным законами, распределением Пуассона, функцией Вейбула и др.
В настоящее время большинство исследователей, занимающихся вопросами методики разведки месторождений, считает, что для решения задачи определения параметров сети опробования аппарат статистики случайных величин мало применим, поскольку его применение имеет конкретный смысл лишь при соблюдении следующих условий:
1) концентрация компонентов в залежах полезных ископаемых должна быть действительно случайной величиной;
2) должна быть хотя бы теоретическая возможность бесконечного повторения испытаний, в результате которого случайная величина могла бы принимать численные значения;
3) результат каждого последующего испытания должен быть независим от результатов предыдущих испытаний [20].
Однако ни одно из перечисленных условий при опробовании не выполняется. Для каждой точки рудного тела характерно строго фиксированное содержание компонента. Возможность повторного опробования исключена, так как дважды, а тем более бесконечное число раз, одну и ту же пробу отобрать невозможно. Можно взять вторую пробу в непосредственной близости от первой. Но в этом случае нарушается условие независимости испытаний. Как правило, если в первой пробе мы имеем высокое (низкое) содержание компонента, то и во второй концентрация его также будет высокой (низкой). В результате испытания оказываются не случайными, а зависимыми.
С нашей точки зрения, в аналитическом методе, помимо вышеуказанных недостатков, делается необоснованный переход от количества проб к расстояниям между ними. Аппарат теории случайных величин позволяет рассчитать только количество наблюдений, а не
расстояние между ними. Переход к расстояниям, осуществляемый через густоту проб, исходя из принципа равномерности сети наблюдений, вряд ли можно считать правомерным. Если исследуемая совокупность проб признана случайной, то следует признать и возможность случайного размещения проб на объекте, а это противоречит всей практике геолого-разведочных работ.
Таким образом, принципы, лежащие в основе аналитического метода, не соответствуют сущности пространственной задачи определения параметров сети опробования. Его применение возможно лишь при строгом соблюдении тех условий, на которых базируется аппарат теории случайных величин. Этим условиям, вероятно, могут удовлетворять только отбитые руды, поскольку в них нарушены пространственные закономерности [9].
Метод В.В. Богацкого. В качестве меры изменчивости в методе В.В. Богацкого [1] используется показатель неравномерности
Р
НР ____ тах
_ Р
(8)
где Ртах - максимальное наблюденное значение свойства; Р - среднее значение свойства в выборке. Густоту разведочной сети (густоту проб) В.В. Богацкий предложил определять на основе формулы
2(НР -1)
пр N -1
(9)
где N - число равномерно распределенных точек наблюдений; Апр - предельная погрешность аналогии, которую при решении задачи следует задавать.
В рассматриваемом методе в качестве характеристики изменчивости выступает максимальный размах колебаний изучаемого признака относительно его среднего значения. Применительно к данным опробования показатель НР следует трактовать как максимальное значение амплитуды геохимического поля, отнесенное к его среднему значению. Неопределенность этой величины становится особенно очевидной, если иметь в виду, что максимальное значение содержаний в пробах зависит от их размера. При этом максимально возможное значение концентрации равно содержанию компонента в рудных минералах.
В формулу, по которой предлагается определять густоту сети, не входят параметры,
характеризующие расстояние, площадь или объем. Эти параметры В.В. Богацкий предлагал определять, исходя из геологических особенностей изучаемого месторождения [30]. Указанные трудности применения метода В.В. Богацкого свидетельствуют о его крайне ограниченных возможностях.
Метод разрежения сети. Данный метод является одним из наиболее известных и, как считают многие исследователи, наиболее надежных. Сущность описываемого способа заключается в том, что реализованную в натуре сеть разведки или опробования подвергают искусственному разрежению и проводят сравнение средних значений параметра, рассчитанных по разреженной сети, со средним -по не разреженной сети. При этом в качестве характеристики изменчивости параметра обычно используется оценка дисперсии Б2. Считается, если все выборочные средние п-го этапа разрежения не выходят за допустимые пределы, то возможно дальнейшее разрежение сети. Если хотя бы одно среднее п-го этапа разрежения выходит за допустимые пределы, сеть разрежать нельзя. Доверительные границы отклонений выборочного среднего
(С) определяются по известной из математической статистики формуле
_ с
С ± ^, (10)
Ып
где Б - стандарт; п - число проб в выборке; t -критерий Стьюдента при заданном уровне значимости.
Опыт применения метода разрежения сети показывает, что существуют определенные трудности использования его для определения параметров сети опробования. Доверительные интервалы зависят от уровня значимости, выбор которого отличается известным субъективизмом. Если при расчетах ориентироваться, например, на данные В.М. Крейтера [15], который рекомендовал принимать допустимые отклонения для различных категорий запасов в пределах от ± 10 до ± 60%, то такие допуски часто не устраивают практику планирования добычи полезных ископаемых на горнодобывающих предприятиях. Применение традиционного 5% уровня значимости также не дает желаемого результата, особенно когда объем исходной выборки значителен.
Однако главный недостаток метода разрежения сети заключается в том, что в нем сме-
шиваются два совершенно противоположных подхода к изучению свойств залежей полезных ископаемых. С одной стороны, по определенной системе формируются пространственные выборки проб, а с другой стороны, для их оценки применяется аппарат статистики случайных величин. Против формирования пространственных выборок трудно что-либо возразить. Но прежде чем применять для их оценки статистический аппарат случайных величин, нужно доказать, что эти величины действительно являются случайными. Выше было отмечено, что результаты опробования месторождений не относятся к разряду независимых и случайных. Следовательно, использование оценочного аппарата случайных величии вступает в противоречие с сущностью решаемой задачи определения параметров систем опробования.
В результате применения данного метода может быть определено только количество проб, а не расстояние между ними. Переход к расстоянию, осуществляемый через густоту проб, в методе разрежения сети так же, как и в аналитическом методе, не обоснован.
При применении данного метода задача опробования сводится лишь к оценке среднего содержания. Тем самым игнорируется важнейшая задача - выявление закономерностей пространственного распределения компонентов, т.е. задача восстановления структуры геохимического поля. Можно сформировать бесконечное число выборок, среднее по которым будет достаточно близким к истинному, но структура поля распределения компонента при этом не будет выявлена. В этом нетрудно убедиться на примере простейшей модели геохимического поля.
Пусть линейное сечение геохимического поля будет представлено в виде суммы синусоиды и некоторой постоянной. Такая модель не противоречит выводу П.Л. Каллистова [13] о том, что изменение концентраций компонентов в рудных телах месторождений подвержено некоторой периодичности. Поставим перед собой задачу - восстановить геохимическое поле по дискретно размещенным на равных расстояниях друг от друга пробам достаточно малого размера. Нетрудно убедиться, что на выявление всех экстремумов, независимо от начала отсчета, можно претендовать, если пробы расположены на расстоянии % длины волны (Т) и менее. Выборочное
среднее в этом случае будет строго совпадать с генеральным средним.
При расстоянии, равном 1АТ, возможность выявления структуры поля зависит от начала отсчета. Если первая проба будет располагаться в экстремальной точке, структура поля будет восстановлена, если же - посредине между соседними экстремумами, то она не будет восстановлена. При этом выборочные средние всегда равны генеральному. При расстоянии между пробами, равном %Т, выборочные средние опять-таки совпадают с генеральным, но структура поля уже не выявляется. При расстоянии, равном Т, средние совпадают лишь при совпадении начала отсчета с точками перегиба. Структура поля также не восстанавливается.
Метод разрежения сети позволяет в этих условиях принять расстояние между пробами равным %Т. Однако очевидно, что структура поля при таком расстоянии не может быть выявлена, хотя выборочные средние будут совпадать с генеральным.
Нетрудно убедиться, что и для более сложных моделей типа синусоиды, осложненной линейным трендом, или типа суммы двух синусоид различной частоты метод разрежения сети не применим. Вследствие того, что дисперсия содержаний для данных моделей значительно увеличивается за счет линейного тренда (низкочастотной синусоиды), доверительный интервал становится весьма широким. И, как результат этого, согласно сущности метода, сеть можно довольно интенсивно разрежать, хотя в действительности это недопустимо, так как структура геохимического поля не будет выявлена. В этом и кроется основной недостаток метода разрежения сети.
Метод, базирующийся на теории информации. Близким к способу разрежения сети является метод, основанный на использовании теории информации. Применительно к решению задачи определения плотности разведочной сети и сети опробования данный метод применялся в работе [4].
Сущность метода заключается в том, что содержания компонента в залежах полезных ископаемых рассматриваются как некоторая система (С), которая случайным образом может оказаться в том или ином состоянии и принимать конечное множество состояний: С1, С2, ..., Сп с вероятностямирь р2, ..., рп, при
г=п
этом X р = 1. Данной системе присуща ка-
г=1
кая-то степень неопределенности. В качестве меры неопределенности системы в теории информации применяется специальная характеристика, называемая энтропией. Энтропией системы называется сумма произведений вероятностей различных состояний системы на логарифмы этих вероятностей, взятая с обратным знаком [2]:
г=п
Н (х) = “X Рг 10§ Рг .
г=1
Практически расчеты осуществляются следующим образом. Аналогично тому, как это делается при применении способа разрежения сети, формируются выборки проб различных объемов: через одну, две, три и т.д. По этим выборкам рассчитывается энтропия. Результаты расчетов оформляются в виде графика изменения энтропии в зависимости от расстояния между пробами. Абсциссу начала стабилизации энтропии (начала выпола-живания кривой) предлагается принимать за оптимальное расстояние между пробами.
Недостатки метода заключаются в следующем. Явная неопределенность существует при установлении точки начала стабилизации кривой изменения энтропии, так как эта кривая не имеет точек перегиба и является сравнительно плавной. Однако основным недостатком является то, что неслучайные данные опробования выдаются за случайные. И, как результат этого, переход от количества проб (а именно только количество проб позволяет определить аппарат, лежащий в основе метода), осуществляемый, как и в вышерассмотренных методах, через густоту, исходя из принципа равномерности сети наблюдения, является также необоснованным.
Обобщая группу методов, основанных на изучении амплитудной изменчивости геохимических полей компонентов, необходимо отметить, что общим у этих методов с позиции геохимического поля является то, что исходная информация по опробованию свертывается в одномерную статистическую совокупность, рассматриваемую в дальнейшем как выборка независимых и случайных величин. Это свертывание производится путем проектирования на ось содержаний точек, отвечающих содержаниям компонентов в исходных пробах, которые имеют вполне определенные пространственные координаты [23] (рис. 1). В результате такого проектирования получается оторванная от координат про-
странства совокупность проб. Для ее оценки используют различные статистические показатели, характеризующие, так или иначе, только изменчивость содержаний компонентов вне зависимости от их пространственной привязки, т.е. амплитуду геохимического поля. Так, в аналитическом методе в качестве
основного показателя выступает коэффициент вариации, в методе В.В. Богацкого - максимальный размах относительно среднего, в методе разрежения сети - оценка дисперсии, а в методе, основанном на теории информации, -энтропия.
Fe. % ¡60
--—'-Сглаженная кривая II уровня
Рис. 1. Статистическое (А) и пространственное (Б) распределения железа по скважине № 12 Естюнинского месторождения
Важно подчеркнуть, что после свертывания пространственной совокупности проб в одномерную обратный однозначный переход невозможен, так как одной и той же статистической совокупности может соответствовать бесконечное число пространственных реализаций.
Во всех методах, базирующихся на изучении амплитудной изменчивости, математический аппарат дает возможность определить только количество проб, а не расстояние между ними. Переход к расстояниям осуществляется через густоту проб, определяемую как отношение количества проб к длине или площади, на которой размещены исходные пробы. Далее, исходя из принципа равномерности сети наблюдений, определяется расстояние между пробами. Такой переход нельзя считать правомерным. Если исследуемая совокупность проб признана случайной, то следует признать и возможность случайного размещения проб на объекте, а это противоречит всей практике геолого-разведочных работ.
Таким образом, основным недостатком методов, учитывающих только амплитудную изменчивость, является то, что они игнорируют пространственную изменчивость геохи-
мических полей и, в частности, их частотную изменчивость.
2.2. Методы, базирующиеся на учете параметров, характеризующих одновременно и амплитуду, и частоту геологических полей
К данной группе методов могут быть отнесены метод вариограмм и метод нормированной корреляционной функции. В основе обоих методов лежит теоретическая модель, согласно которой изменение геологических параметров может быть представлено в виде случайной функции. В качестве характеристик изменчивости геологических параметров в них используются или вариограмма (структурная функция) или корреляционная функция, вид которых зависит как от амплитуды, так и от частоты поля изучаемого свойства.
Структурная функция
, L-h 2
(h) = J^ \у О + h) - /О)] d > (12)
где L - длина исследуемого профиля, h - расстояние методу пунктами наблюдения, f(x) -переменная величина. Структурная функция
более наглядно характеризует размах, скорость, интенсивность изменения параметра и степень прерывистости оруденения в зависимости от его природных свойств и геометрии проб. Корреляционная функция
L— h
gx (h) =7— \{f (x) — Vx ][f(x + h) —Vx ¥* > L h 0
(13)
где flx - среднее значение переменной величины f(x) в интервале от 0 до L (остальные обозначения те же) характеризует силу связи между наблюдаемыми значениями параметров сети, позволяет установить предельное расстояние, на которое эти связи распространяются, и на этой основе оценить анизотропию изучаемого свойства. В целом же информативность указанных характеристик примерно одинакова [11].
При решении задачи выбора оптимального шага опробования с использованием аппарата теории случайных функций обычно рассматривается либо вариограмма, либо нормированная по дисперсии D корреляционная функция
Kx (h) = ^ (14)
и ее поведение около нуля. Одни исследователи предлагают в качестве шага опробования принимать абсциссу начала стабилизации вариограммы [9], другие - абсциссу начала стабилизации нормированной корреляционной функции [41]. В этом случае трудности возникают при определении точки начала стабилизации. Особенно явно они проявляются, когда в исходной реализации выявляется несколько составляющих, т.е. геохимическое поле характеризуется уровенным строением.
Отмеченные трудности исключаются, если за расстояние между пробами принимается радиус автокорреляции - абсцисса первого нулевого значения нормированной корреляционной функции. Радиус автокорреляции наиболее полно отвечает требованию однозначной увязки соседних измерений, осуществляемой обычно методом интерполяции. Однако необходимо отметить и некоторые сложности использования радиуса автокорреляции в качестве расстояния между пробами. Вследствие того, что в строении геохимических полей обычно выявляются составляющие нескольких порядков, функции, описы-
вающие строение геохимических полей, в большинстве случаев являются нестационарными [10] - на величину радиуса автокорреляции существенное влияние оказывает амплитуда низкочастотных составляющих поля. Это приводит к увеличению радиуса автокорреляции, и как результат этого, высокочастотная составляющая, на которую должно быть ориентировано опробование, при шаге, равном радиусу автокорреляции, в подобных случаях не выявляется. Радиус автокорреляции нормированной корреляционной функции может быть принят в качестве оптимального шага только при условии, если наблюденный ряд измерений может быть представлен в виде стационарной функции.
В завершение обзора рассмотренных в данном подразделе методов необходимо отметить следующее. Основные трудности применения методов вариограмм и нормированной корреляционной функции связаны с тем, что в основе этих методов лежит математический аппарат теории стационарных случайных функций. На некоторые аспекты ограниченности подобного подхода к геологическим объектам в свое время указывали еще Ж. Ма-терон [20] и редакторы русского издания его книги Д.А. Суражский и А.М. Марголин. При применении данного аппарата серьезные осложнения возникают в связи с тем, что значения переменной во всех точках поля мы можем рассматривать только как полученные в результате одного, а не многократных испытаний, как это предполагается в теории случайных функций. Выход из этого положения возможен, если признать уникальную в своем роде реализацию эргодичной. Однако эргоди-ческое свойство случайных функций проявляется лишь при условии их стационарности. Последнее для геологических объектов в общем случае не выполняется, так как предполагает их пространственную однородность, а это противоречит уровенному строению месторождений полезных ископаемых и их геохимических полей. Именно в невозможности применения рассматриваемых методов к нестационарным функциям, какими являются функции, описывающие строение геохимических полей, заключается основной недостаток методов вариограмм и нормированной корреляционной функции.
2.3. Методы, основанные на учете частотных характеристик геологических полей
К группе методов, основанных на учете частотных характеристик геохимических полей, могут быть отнесены метод П.Л. Каллистова и метод геометрической автокорреляции.
Метод П.Л. Каллистова. На основе многочисленных наблюдений П.Л. Каллистов [12] установил, что закономерная составляющая изменения содержаний компонентов в рудных телах месторождений подвержена некоторой периодичности. Эту периодичность он предложил использовать для установления оптимальных расстояний между пробами. Расстояние между пробами, по мнению П.Л. Каллистова, следует принимать равным среднему значению длины полуволны закономерной составляющей.
Такой подход к проблеме установления оптимальных параметров систем опробования вполне объективен, так как основан на анализе строения геохимических полей. П.Л. Каллистов, хотя и не в явном виде, верно заметил, что именно частотные, а не амплитудные характеристики пространственной изменчивости концентраций компонентов должны быть положены в основу определения расстояний между пробами, ибо суть проблемы в том и заключается, чтобы определить, как часто (через какое расстояние) нужно определять амплитуду поля, чтобы восстановить его строение. Если бы расстояние между пробами зависело от амплитудной характеристики поля, то при одной и той же частоте, но разной амплитуде следовало бы применять различные параметры сети наблюдений. Амплитудная характеристика геохимического поля, по-видимому, вообще не имеет прямого отношения к задаче определения оптимальных параметров сети опробования. В принципе определять расстояние между пробами, исходя из амплитуды геохимических полей, вероятно, возможно, но только при условии, если будет доказано существование связи между амплитудными и частотными характеристиками.
Метод П.Л. Каллистова вызвал ряд критических замечаний [3, 28]. Однако все замечания касались не сущности метода, а математической нестрогости способа сглаживания исходных данных, примененного
П.Л. Каллистовым для выявления закономер-
ной составляющей, расчета амплитуд, периодов колебаний и дисперсий случайной составляющей. С нашей точки зрения, главный недостаток метода П.Л. Каллистова заключается в другом. При расстоянии между пробами, равном длине полуволны, всегда сохраняется опасность, что структура поля того уровня, которому соответствует полуволна, не будет выявлена. При таком расстоянии структура поля может быть вскрыта только в том случае, если первая проба окажется в экстремальной точке или вблизи от нее. Если же первая окажется посредине между соседними экстремальными точками, то структура поля необходимого уровня не будет выявлена, а будет вскрыт только более низкочастотный уровень.
Таким образом, разрешающая способность метода П.Л. Каллистова существенным образом зависит от начала отсчета (положения первой пробы). Именно в этом и заключается основной недостаток метода, хотя в целом идея П.Л. Каллистова о необходимости ориентироваться при выборе оптимальных расстояний между пробами на частотные характеристики геохимического поля является верной.
Метод геометрической автокорреляции. Данный метод предложен В.Ф. Мягковым и Г.В. Лебедевым [17, 18, 24, 25]. В основу метода геометрической автокорреляции положен разработанный В.Ф. Мягковым [22] геометрический способ корреляции физических полей, согласно которому среднее значение косинуса угла между градиентами для области определения двух функций, описывающих состояние полей, равнозначно оценке статистического коэффициента корреляции, если соотношение полей линейно, а сами поля изучены по равномерной сети. В качестве характеристики изменчивости геохимического поля в методе геометрической автокорреляции используется автокорреляционная функция КХ(И), рассчитываемая по способу градиентов. Ее определение напоминает расчет нормированной корреляционной функции КХ(Н). Различие заключается в том, что расчет коэффициентов корреляции при различных смещениях функции /(х) относительно самой себя заменяется вычислением средних скалярных произведений между единичными проекциями градиентов на ось расстояний.
Пусть «1 , «1 , ..., , ..., ап - единичные
векторы проекций градиентов аппроксими-
рующей функции /(х) в эквидистантных по оси абсцисс точках (рис. 2); рк - среднее скалярное произведение векторов при смещении функции /(х) по оси абсцисс относительно первоначального положения на величину И = кАх; Ах - расстояние между соседними проекциями градиентов (Ах принимается равным или меньшим среднего интервала между пробами, по которым построена аппроксимирующая функция.
Как известно, скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними. Произведение модулей единичных векторов всегда равно 1. Для одномерной функции проекции гра-
диентов на ось абсцисс коллинеарны и компланарны, вследствие этого косинусы угла между ними могут принимать значения, равные либо +1, когда градиенты направлены в одну сторону (со^0° = 1), либо -1, когда градиенты направлены в разные стороны (соя 180° = -1). Следовательно, и скалярное произведение двух единичных проекций градиентов тоже может быть равно либо +1, если градиенты совпадают по направлению либо -1, если они направлены в разные стороны.
Отсюда для функции /(х) на конечном интервале имеем:
при
И = 0
И = Ах
2 а а со<а,Ла) 2 сте(ала)
Р0 =
= 1;
п
2
-*■
а, а,+1
п
п-1
Лаг+1) 2 сте(ала-+1)
А =
п-1
п-1
(15)
(16)
h = 2Ах
2
-*• -*■
а, а,+2
cos(а,ла,,,) 2а а-+2 )
А, =
п-2
п-2
(17)
п
п
h = kАx
п-к
Ак = —
-*• -*•
а, а,+к
п к
с°^агла,+к) 2 cos(a,ла,,к)
_ 1
п-к
п-к
(18)
Рис. 2. Пример обработки данных опробования методом геометрической автокорреляции:
А - сглаженная кривая и результаты опробования; Б - график автокорреляционной функции К Х(И);
Ах - шаг смещения; ^ - единичные проекции градиентов; г - радиус геометрической автокорреляции
Так как С08(аілаі+к) = ± 1, то +1 > рк > -1. Поэтому автокорреляционная функция К Х(И), расчет которой осуществляется по частным значениям рк, изменяется в пределах от +1 до -1. При решении задачи определения оптимальных расстояний между пробами интерес представляет изменение К х(к) на интервале от нуля до первого пересечения с осью абсцисс. Расстояние от 0 до первого пересечения К Х(Н) с осью абсцисс назовем радиусом геометрической автокорреляции г функции К Х(к). Радиус автокорреляции г так же, как и радиус нормированной корреляционной функции (г), является предельным расстоянием положительной связи между точками наблюдения.
Естественно, возникает вопрос: почему для решения задачи определения оптимальных расстояний между пробами мы отказываемся от метода классической автокорреляции? Выше было доказано, что амплитудная характеристика геохимического поля не имеет прямого отношения к задаче определения оптимального шага опробования и что системы опробования должны рассчитываться исходя из частотной характеристики. Автокорреляция геометрическим способом позволяет выявить частотную характеристику геохимического поля, в то время как нормированная корреляционная функция учитывает одновременно и амплитудную, и частотную характеристики. При автокорреляции по способу градиентов влияние амплитуды на вид функции К Х(к) устраняется тем, что коррелируются не модули векторов, а единичные векторы. Корреляция по проекциям этих векторов на ось абсцисс исключает влияние низкочастотных составляющих геохимического поля.
Анализ теоретических моделей геохимических полей показал, что радиус автокорреляции, рассчитанный геометрическим способом, приближенно соответствует % средневзвешенной длины волны колебаний наиболее высокочастотного уровня, выявляемого при данной сети наблюдений. По этой причине
В.Ф. Мягковым [23] был предложен упрощенный метод определения радиуса геометрической автокорреляции (Я), позволяющий получить вполне удовлетворительные результаты:
Я =
Ь
, (19)
(1 + 2Е)
где Ь - длина профиля, Е - количество экстремумов сглаженной кривой.
Радиус геометрической автокорреляции может быть рекомендован в качестве оптимального расстояния между пробами, так как при таком шаге опробования структура геохимического поля восстанавливается независимо от начала отсчета.
Обработка информации методом геометрической автокорреляции осуществляется в следующем порядке:
1. На погоризонтных планах и поперечных разрезах залежей полезных ископаемых намечаются наиболее густо опробованные линии (обычно это горные выработки и скважины). Линии по возможности должны быть достаточно длинными.
2. По выбранным линиям строятся графики изменения содержаний главных компонентов.
3. Полученные графики сглаживаются методом скользящей средней по двум точкам. Сглаживание по трем, четырем, пяти и более точкам нецелесообразно, так как может привести к уничтожению структуры геохимического поля того уровня, на который должно ориентироваться опробование.
4. Сглаженные кривые рассматриваются в качестве аппроксимирующих линейные сечения геохимических полей функций. По ним рассчитываются и строятся графики автокорреляционных функций К Х(И). Расчет можно прекращать после получения первого отрицательного значения рк.
5. По графику К Х(И) определяется радиус геометрической автокорреляции, который равен абсциссе первого пересечения графика с этой осью.
6. Рассчитывается средневзвешенное на длину реализации значение радиуса автокорреляции для каждого компонента с учетом пространственной ориентировки выбранных линий (анизотропии геохимического поля). Таких направлений на месторождениях обычно бывает не более трех: простирание, нормальная мощность, падение.
7. За оптимальное расстояние между пробами принимается средневзвешенный радиус геометрической автокорреляции наиболее изменчивого компонента, предварительно откорректированный таким образом, чтобы
система опробования органически вписывалась в систему эксплуатации.
При применении метода геометрической автокорреляции могут возникнуть некоторые трудности, обусловленные сложным строением геохимических полей. В тех случаях, когда геохимические поля имеют резко асимметричное строение (длина участков возрастания и убывания аппроксимирующей функции резко различна), а также когда частота аппроксимирующей функции по исследуемому линейному сечению сильно меняется, корреляционная функция К Х(И), не достигнув оси абсцисс, образует минимум и лишь затем пересекает ее. Для таких реализаций необходимо проводить дополнительные исследования как самой корреляционной функции К Х(И), так и исследуемой реализации, поскольку радиус автокорреляции в этих случаях значительно превышает % длины волны и не может быть принят в качестве оптимального расстояния между пробами. При наличии скрытой низкочастотной периодичности, как показано в работе [26], весьма эффективными являются предварительные операции по вычитанию линейного тренда, а также дифференцирование геохимических полей.
Опыт применения метода геометрической автокорреляции для обоснования параметров систем разведки и опробования на целом ряде скарново-магнетитовых месторождений Урала, Казахстана и Азербайджана [8], на хромитовых месторождениях Южно-
Кемпирсайской группы [6], а также на уральских россыпных месторождениях алмазов [27] показал, что он обладает достаточно хорошей эффективностью. Параметры сети разведки и опробования, рассчитанные данным методом, вошли в действующие инструкции по геологическому обслуживанию горно-добывающих предприятий Нижнетагильского металлургического комбината [8] и Донского ГОКа.
Библиографический список
1. Богацкий В.В. Математический анализ разведочной сети / В.В. Богацкий. М.: Госгео-лтехиздат, 1963. 212 с.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. М.: Наука, 1964. 576 с.
3. Гуськов О.И. О применении статистических методов для анализа плотности разведочной сети / О.И. Гуськов, М.В. Шумилин // Изв. вузов. Геология и разведка. 1968. № 6. С. 69
- 77.
4. Дементьев Л.Ф. Применение информационных мер в нефтепромысловой геологии / Л.Ф. Дементьев, В.А. Хитров, Ю.В. Шу-рубор // Тр. ПермНИПИнефть. Пермь, 1974. Вып. 10. 156 с.
5. Зенков Д.А. Методы определения плотности разведочной сети / Д.А. Зенков // Сов. геология. 1957. Сб. 61. С. 130 - 143.
6. Ибламинов Р.Г. Методика анализа частотной изменчивости морфометрических и геохимических полей (на примере залежи хромитовых руд месторождения Миллионного) / Р.Г. Ибламинов, Г.В. Лебедев // Геология, поиски и разведка месторождений рудных полезных ископаемых: меж-вуз. сб. науч. тр. Иркутск, 1984. С. 128 -137.
7. Иванов С.Н. Об определении густоты сети опробования методами вариационной статистики / С.Н. Иванов // Разведка недр. 1936. № 19.
8. Инструкция по геологическому обслуживанию горнодобывающих предприятий Нижнетагильского металлургического комбината / сост. Р.Г. Ибламинов, Г.В. Лебедев. Перм. ун-т. Пермь, 1989. 181 с.
9. Каждан А.Б. О математическом описании изменчивости геолого-разведочных параметров рудных залежей / А.Б. Каждан // Матем. методы в геологии. М.: Недра,
1968. С. 92 - 99.
10. Каждан А.Б. Методологические основы разведки полезных ископаемых /А.Б. Каждан. М.: Недра, 1974. 272 с.
11. Каждан А.Б. Разведка месторождений полезных ископаемых / А.Б. Каждан. М.: Недра, 1977. 327 с.
12. Казаковский Д.А. Оценка точности результатов в связи с геометризацией и подсчетом запасов месторождений / Д.А. Казаковский. М.: Углетехиздат, 1948. 130 с.
13. Каллистов П.Л. Изменчивость оруденения и плотность наблюдений при разведке и опробовании / П.Л. Каллистов // Сов. геология. 1956. Сб. 53, С. 118 - 151.
14. Красников В.И. Результаты экспериментальных работ по выявлению погрешностей подсчета запасов / В.И. Красников // Горный журнал. 1947. № 2. С. 9 - 18.
15. Крейтер В.М. Поиски и разведка месторождений полезных ископаемых / В.М. Крейтер. М., Госгеолтехиздат, 1960. Ч. 1. 332 с.; 1961. Ч. 2. 390 с.
16. Лебедев Г.В. Опыт обоснования системы рудничного опробования на скарново-магнетитовых месторождениях Урала / Г.В. Лебедев // Геология и полезные ископаемые Урала. Свердловск, 1976. С. 46 -48.
17. Лебедев Г. В. Системы опробования промышленных скарново-магнетитовых месторождений Урала, Казахстана и Азербайджана: автореф. дис. ... канд. геол.-мин. наук /Г.В. Лебедев. М., 1978. 16 с.
18. Лебедев Г.В. О методах определения параметров систем опробования / Г.В. Лебедев // Геометризация и анализ геологических полей месторождений полезных ископаемых /. Перм. ун-т. Пермь, 1981. Вып. 1. С. 14 - 40 (Деп. в ВИНИТИ, № 3758-81 деп.).
19. Марголин А.М. Послесловие к книге Ж. Матерона «Основы прикладной геостатистики» / А.М. Марголин. М.: Мир, 1968.
С. 387 - 407.
20. Матерон Ж. Основы прикладной геостатистики / Ж. Матерон. М.: Мир, 1968. 408 с.
21. Мягков В. Ф. Новый способ решения некоторых задач опробования / В.Ф. Мягков // Изв. вузов. Геология и разведка. 1958. №
10. С. 95 - 102.
22. Мягков В.Ф. О геометрическом способе корреляции физических полей / В.Ф. Мягков // Вопросы обработки и интерпретации геофизических наблюдений. 1971. №
9. С. 131 - 133. Учен. зап. Перм. ун-та. № 233.
23. Мягков В. Ф. Геохимический метод пара-генетического анализа руд / В.Ф. Мягков. М.: Недра, 1990. 126 с.
24. Мягков В.Ф. Автокорреляционный метод определения оптимальных расстояний между пробами / В.Ф. Мягков, Г.В. Лебедев // Тез. докл. Всесоюз. совещ. по математизации и автоматизации в геологии. Л.: 1972. С. 136 - 137.
25. Мягков В.Ф. Автокорреляционный метод определения расстояний между пробами / В.Ф. Мягков, Г.В. Лебедев // Полезные ископаемые Урала и новые методы их изучения: тез. докл. Свердловск, 1974. С. 203 - 204.
26. Набиуллин В.И. Методика определения оптимальной сети наблюдений в условиях скрытой периодичности геологического поля / В.И. Набиуллин, Г.В. Лебедев // Геометризация и анализ геологических полей месторождений полезных ископаемых / Перм. ун-т. Пермь, 1981. Вып. 1. С. 84 - 104 (Деп. в ВИНИТИ, № 3758-81 деп.).
27. Набиуллин В.И. Об уровенном строении геологических полей аллювиальной россыпи / В.И. Набиуллин, Г.В. Лебедев //
Там же. Перм. ун-т. С. 14 - 40.
28. Низгурецкий З.Д. Некоторые особенности использования метода скользящих средних при геометризации / З.Д. Низгурецкий
// Сб. трудов по вопросам исследования горного давления и сдвижения горных пород. Л.: Недра, 1961. С. 83 - 91.
29. Пожарицкий К.Л. Опробование месторождений цветных и редких металлов и золота / К.Л. Пожарицкий // Практическое руководство для геологов. М.: Металлург-издат, 1947. 280 с.
30. Погребицкий Е.О.. Поиски и разведка месторождений полезных ископаемых / Е.О. Погребицкий, Н.В. Иванов, А.В. Скорпы-шев и др. М.: Недра, 1968. 460 с.
31. Раевский В.И. Метод определения плотности сети, необходимой для выявления зон замещения в калийных солях Верхнекамского месторождения / В.И. Раевский // Науч. тр. Перм. политехн. ин-та. 1964. Сб. 12, вып. 2. С. 87 - 92.
32. Родионов Д.А. О виде функции распределения в изверженных породах / Д.А. Родионов // Тр. ИМГРЭ. 1961. Вып. 6. С. 9 -
16.
33. Родионов Д.А. Функции распределения элементов и минералов в изверженных породах / Д.А. Родионов. М.: Недра, 1964. 102 с.
34. Смирнов В.И. О плотности разведочной сети / В.И. Смирнов // Сов. Геология. 1957. № 58. С. 150 - 162.
35. Соболевский П.К. Современная горная геометрия / П.К. Соболевский // Геометризация месторождений минерального сырья как основа рационального освоения недр / Науч. тр. Моск. горн. ин-та. М.,
1969. С. 18 - 63.
36. Соловьев В.Г. Вариационная статистика в приложении к разведке и подсчету запасов полезных ископаемых / В.Г. Соловьев // Разведка недр. 1938. № 1. С. 37 - 43.
37. Соловьев В.Г. Методы вариационной статистики в приложении к разведке месторождений и подсчету запасов полезных ископаемых / В.Г. Соловьев // Тр. ЦНИГРИ. 1939. Вып. 115. С. 54.
38. Усиков Ю.Т. Сравнение результатов применения функции Вейбула с экспериментальными данными при оценке разведочной сети / Ю.Т. Усиков // Тр. Всесоюз. за-очн. политехн. ин-та. 1972. Т. 74, С. 93 -99.
39. Францкий И.В. Определение числа необходимых выработок при разведке месторождений полезных ископаемых / И.В. Францкий // Матер. по геол. и полезн. ископаемым Вост. Сибири. Иркутск, 1959 (1960). Вып. 5 (26). С. 203 - 212.
40. Четвериков Л.И. Теоретические основы моделирования тел полезных ископаемых / Л.И. Четвериков. Воронеж. ун-т. Воронеж, 1968. 152 с.
41. Шалагинова В.А. Опыт применения автокорреляционной функции для обоснования расстояний между пробами / В.А. Шалагинова// Геология и полезные ископаемые Урала. Свердловск, 1971. С. 167.
42. Якжин А.А. Опробование и подсчет запасов твердых полезных ископаемых / А.А. Якжин. М.: Госгеолтехиздат, 1954. 296 с.
Methods of determine of parameters of systems take samples
G.V.Lebedev
Perm state university, 614990, Perm, Bukirev street, 15
Now methods of determine of parameters of systems take samples based on practical experience of investigation and operation of deposits are applied basically. Quantitative methods have the limited application. Being based on theories of geochemical fields, quantitative methods can be subdivided into three groups: 1) the methods based on the account of amplitude characteristics of geological fields (analytical method, method of V.V. Bogatsky, a method which is based the theory of the information); 2) the methods based on the account of parameters, describing simultaneously both amplitude and frequency (the method of variagrams and the method of standardize correlation function); 3) the methods based on the account of frequency characteristics (P.L. Kal-listov method, method of geometrical autocorrelation). Principal defect of the first group of methods consists that they do not consider spatial variability of geochemical fields. Application of second group of methods is limited by a condition of stationary initial realizations. The certain defect also is inherent in the third group. Trustworthiness of the method of P.L. Kallistov depends on a reference mark (position of the first sample). The method of geometrical autocorrelation is freer from noted defects. From the theory of geochemical fields follows that the system of take a samples must calculation on the basis of frequency characteristics of fields. The amplitude characteristic has no direct attitude to a choice of an optimum step between samples.
Рецензент кандидат геол. -мин. наук А. С. Сунцев
