CC BY
70
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2008 Геология Вып. 10(26)
УДК 550.81:553.3
Методика определения оптимальной сети наблюдений в условиях скрытой периодичности геологических полей
Г. В. Лебедев, В. И. Набиуллин
Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15.
E-mail: poisk@psu.ru
В случае применения метода геометрической автокорреляции могут возникнуть трудности, связанные в определении оптимальной сети наблюдений для геологических полей, имеющих многоуровенное строение, так как низкочастотные составляющие «затушевывают» высокочастотные компоненты. Предложены два способа решения задачи: 1) вычитание линейного тренда, 2) дифференцирование геологических полей. Второй способ является более эффективным.
Ключевые слова: система разведки, опробование, геологическое поле, методика обработки результатов.
Нашими исследованиями [6, 2, 4] установлено, что в качестве оптимального шага наблюдения геологических параметров может быть принят радиус геометрической автокорреляции, равный % средневзвешенной длины волны колебаний наиболее высокочастотного уровня, который может быть установлен при данной системе наблюдений и геометрической базе. Преимущество метода геометрической автокорреляции перед методом нормированной корреляционной функции состоит в том, что он позволяет исключить влияние на вид корреляционной функции низкочастотных составляющих геологического поля. Например, для таких теоретических моделей линейных сечений геологического поля, как сумма синусоиды и прямой и сумма двух синусоид различной частоты, радиус геометрической автокорреляции равен % длины волны в первом случае и % длины высокочастотной синусоиды - во втором [2]. Радиус же нормированной корреляционной функции в обоих случаях превышает эти значения и, следовательно, не позволяет восстановить высокочастотную составляющую геологического поля, на выявление которой в условиях указанных моделей предполагается ориентировать опробование. Поэтому радиус нормированной корреляционной функции не может быть ис-
пользован в качестве оптимального расстояния между пробами.
Однако в некоторых условиях метод геометрической автокорреляции без специальных преобразований также не дает возможности исключить влияние на вид автокорреляционной функции низкочастотных составляющих геологических полей. В качестве иллюстрации подобной модели линейного сечения геологического поля на рис. 1,А изображен график функции
,т х ~т 4х °.х
У= -+ > (!)
2 4 п
представляющий собой сумму двух синусоид различной частоты и наклонной прямой. Прототипом такой модели могут служить, например, участки продольного профиля речных долин. Вследствие влияния линейной составляющей поля функция является возрастающей в интервалах (п/8; 3/8п) и (13/8 п; 15/8 п), в то время как без линейного тренда она на этих интервалах убывает. Таким образом, наличие линейного тренда вызвало исчезновение четырех из восьми экстремумов, которые исследуемая функция без линейного тренда имела бы на отрезке, равном длине волны низкочастотной синусоиды. Это отразилось и на виде автокорреляционной функции, рассчитанной геометрическим способом (рис. 1,Б): значение
© Г. В. Лебедев, В. И. Набиуллин, 2008
последней по мере увеличения интервала автокорреляции вначале уменьшается, но затем, не достигнув нулевого значения, начинает возрастать при шаге автокорреляции, большем п/4, т.е. / длины волны высокочастотной синусоиды. Далее она достигает максимума при шаге 7/16 п, вновь уменьшается, обращаясь в нуль при шаге автокорреляции между 9/16 п и 5/8 п или 3/5 п. Радиус автокорреляции, равный этому значению интервала автокорреляции, как видим, оказался больше % длины волны высокочастотного уровня (п/8) в 4.8 раза. При таком шаге опробования высокочастотная составляющая поля не может быть выявлена, восстановлена будет лишь низкочастотная составляющая.
Таким образом, линейная компонента в рассматриваемом примере как бы затушевывает периодические изменения признака, что ограничивает возможность применения метода геометрической автокорреляции для количественной оценки частотной характеристики поля.
Попытаемся решить задачу, связанную с выявлением скрытой периодичности в пространственном изменении геологического параметра и определением шага опробования для вышеприведенной теоретической модели. При этом будем исходить из следующих положений:
• выявление уровенного строения геологического поля необходимо начинать с установления наиболее высокочастотного уровня, так как при обратной последовательности изучения возникает трудно разрешимая применительно к геологическим полям задача выбора вида априорного аппроксима-ционного полинома и количества составляющих его разложения;
• амплитудная характеристика геологического поля не имеет прямого отношения к определению оптимальных систем опробования [2, 4], так как суть задачи заключается в определении того, как часто необходимо наблюдать амплитуду поля, чтобы восстановить его строение.
Для выявления частотной изменчивости исследуемой функции (рис. 1,А) необходимо, очевидно, преобразовать ее так, чтобы частотные характеристики преобразованной и исходной функций были одинаковыми. Поскольку периодические изменения высокочастотной синусоиды «затушевываются» линейной составляющей, необходимым условием
решения задачи является исключение линейного тренда. Это может быть достигнуто путем аппроксимации линейного тренда уравнением ортогональной среднеквадратической регрессии и последующего вычитания его из исходной функции. На рис. 2, А изображен график изменения разности (Д ) функции
^,т х ~т 4х 2х „ ч
У= 1Г+ “Г-+ -+ (2)
2 4 п
и линейного тренда
у= >.4896х + .4618. (3)
Как видно на графике, благодаря операции вычитания линейного тренда удалось восстановить все экстремумы высокочастотной составляющей геологического поля (сплошная линия). Это, в свою очередь, позволило достаточно точно оценить ее частотную характеристику: радиус автокорреляции данного уровня равен п/8 (рис. 2,Б), т. е. % длины волны высокочастотной синусоиды. При таком шаге опробования структура поля на высокочастотном уровне может быть восстановлена однозначно независимо от начала отсчета (положения первой пробы). Для выявления низкочастотной составляющей (пунктирная линия на рис. 2,А) данные, полученные при вычитании линейного тренда из исходной реализации, были сглажены методом «скользящего окна», величина которого принята равной учетверенному радиусу автокорреляции предыдущего уровня. Как видно на графике, низкочастотная синусоида восстановлена полностью. Радиус автокорреляции второго уровня равен 2/5 п (рис. 2,Б), т.е. примерно % длины волны низкочастотной составляющей. При таком интервале опробования, как и в предыдущем случае, структура поля может быть восстановлена. Некоторое несоответствие радиуса автокорреляции второго уровня % длины волны (п /2) обусловлено конечностью исходной реализации, что оказало влияние как на точность аппроксимации уравнением прямой, так и на точность определения радиуса автокорреляции.
Таким образом, вычитание линейного тренда позволило восстановить закономерные составляющие обоих структурных уровней и количественно оценить их частотные характеристики. Однако более тщательное изучение графика изменения разности А исходной функции и линейного тренда (рис. 2,А) показывает, что исходная периодичность высокочастотной составляющей поля несколько ис-
кажена: расстояние между соседними экстремумами высокочастотной гармоники колеблется от % до 5/8 длины ее волны, в то время как при полностью снятом тренде оно должно ” У /
такого искажения исходной периодичности высокочастотных флуктуаций при снятом линейном тренде является влияние низкочастотной синусоиды.
К*хф)
х
Рис. 1. А - график функции у = 0.5 sin x + 0.25 sin 4x + 2 x / п + 5 (сплошная линия), пунктирная линия - сглаженная кривая; Б - график автокорреляционной функции Kx (h); r1 - радиус автокорреляции 1-го уровня
К*х(Ы
Рис. 2. А - график функции Ay = ( 0.5 sin x + 0.25 sin 4x + 2 x/ п + 5) - ( 0,4896x + 5,4618) (сплошная линия), пунктирная линия - сглаженная кривая; Б - графики автокорреляционных функций Kx (h); r1 и r2 - радиусы автокорреляции соответственно 1-го и 2-го уровней
К*х(Іі)
У
Кривая первой производной высокочастотного уровня -Кривая первой производной низкочастотного уровня
Рис. 3. А - график первой производной функции у' = [0.5 sin x + 0.25 sin 4x + 2 x / п + 5]' = 0.5 cos x + +cos 4x + 2/п (сплошная линия), пунктирная линия - сглаженная кривая; Б - графики автокорреляционных функций Kx (h); r1 и r2 - радиусы автокорреляции соответственно 1-го и 2-го уровней
х
При определенных условиях это влияние оказывается настолько существенным, что метод геометрической автокорреляции с предварительным вычитанием линейного тренда не позволяет оценить частотную изменчивость высокочастотной составляющей геологического поля. Поясним это на примере.
На рис. 4,А изображен график функции
ж т х ~т 4х 7х „ ч
у = ——+ —— + -+ , (4)
2 4 ж
возрастающей на всем исследуемом интервале, равном длине волны низкочастотной синусоиды. Влияние линейного и криволинейного тренда отразилось на виде автокорреляционной функции: последняя представляет собой прямую Кх (И) = 1, параллельную оси абсцисс (рис. 4,Б). При изучении бесконечно большой реализации значение радиуса автокорреляции с увеличением интервала автокорреляции будет стремиться к бесконечно большой величине. Как видим, количественно оценить частотную изменчивость закономерной составляющей даже первого (высокочастотного) структурного уровня в условиях данной модели не представляется возможным.
Преобразование исходной функции, выполненное путем вычитания линейного тренда, аппроксимированного уравнением ортогональной среднеквадратической регрессии у = 1.841х + +6.216, позволило восстановить лишь два экстремума высокочастотной гармоники, соответствующих максимуму и минимуму низкочастотной синусоиды (рис. 5,А). Остальные экстремумы восстановить не удалось, так как на высокочастотные флуктуации поля при снятом линейном тренде продолжает оказывать влияние низкочастотная синусоида: преобразованная функция монотонно возрастает в промежутках (0; 5/8 п) и (11/8 п; 2п) и убывает в промежутке (5/8 п; 11/8 п). Радиус автокорреляции первого уровня преобразованной функции равен 2/5 п (рис. 5,Б), т.е. примерно % длины волны низкочастотной составляющей. При таком шаге опробования структура геологического поля на первом (высокочастотном) уровне не может быть восстановлена; выявлена будет лишь низкочастотная составляющая поля.
Таким образом, решение задачи по выявлению скрытой периодичности геологического поля методом геометрической автокорреляции с предварительным вычитанием линейного тренда нельзя считать строгим, так как существуют условия, при которых данный спо-
соб преобразования исследуемой функции не устраняет «затушевывающего» влияния низкочастотной периодической составляющей поля (криволинейного тренда).
Рассмотрим второй способ преобразования исходной функции на тех же двух моделях. На графиках (рис. 1,А и 4,А) видно, что, несмотря на то что изучаемые функции в некоторых промежутках являются монотонными, скорость их изменения в этих интервалах не остается постоянной: наблюдается определенная периодичность в изменении скорости возрастания и убывания каждой из рассмотренных функций. Поэтому задача выявления скрытой периодичности поля в условиях исследуемых моделей (рис. 1 и 4) может быть решена путем изучения частотной изменчивости не самой функции, а скорости или ускорения ее изменения, т.е. производных исходной функции. Это становится возможным благодаря тому, что при дифференцировании исходной функции, во-первых, частота первой, второй и следующих производных равна частоте исходной функции; во-вторых, линейный член в рассматриваемых моделях устраняется полностью уже при первом дифференцировании; в-третьих, отношение амплитуды высокочастотной гармоники к амплитуде низкочастотной составляющей увеличивается при каждом новом дифференцировании.
При этом заметим, что операция дифференцирования, применяемая для выявления скрытых закономерностей строения геофизических полей, достаточно широко применяется благодаря разработкам А.К. Маловичко и
О.Л. Таруниной [5]. Операция дифференцирования фактически применялась и Д.А. Ка-заковским [1] на основе разработанного им метода первых и вторых разностей.
Рассмотрим применение способа дифференцирования на тех же моделях. На рис. 3,А приведен график первой производной функции, изображенной на рис. 1,А. Производная имеет следующий вид
, "юз х „ I
у =--------------1- оэ 4х + -
2 л
(5)
Как видно на графике, с помощью дифференцирования получена функция с частотой, равной частоте высокочастотной составляющей (сплошная линия на рис. 3,А), хотя она и смещена по фазе на % длины волны относительно исходной функции. Последнее вполне
объяснимо, так как х = - 1П х , Влияние
линейного тренда при дифференцировании в ней исключено полностью, поскольку первая производная линейной составляющей является постоянной величиной. Радиус автокорреляции первого (высокочастотного) уровня равен п/8 (рис. 3,Б), т.е. % длины волны высокочастотной синусоиды. Для выявления низкочастотной составляющей (пунктирная линия на рис. 3,А) данные, полученные при дифференцировании исходной функции, были сглажены методом «скользящего окна», величина которого принята равной учетверенному радиусу геометрической автокорреляции высокочастотного уровня, т.е. п/2. В результате получена функция с частотой, равной частоте низкочастотной составляющей геологического поля. Радиус автокорреляции второго (низкочастотного) уровня равен п/2 (рис. 3,Б), т.е. % длины волны низкочастотной синусоиды. Таким образом, благодаря дифференцированию исходной функции удалось восстановить частотную изменчивость обеих составляющих геологического поля, что, в свою очередь, позволило достаточно точно оценить их частот-
ные характеристики методом геометрической автокорреляции.
При изучении частотной изменчивости высокочастотной составляющей во второй из рассматриваемых моделей (рис. 4,А) использование метода геометрической автокорреляции в сочетании с предварительным вычитанием линейного тренда, как было показано, дает отрицательные результаты. При дифференцировании же (рис. 6,А) периодичность высокочастотной синусоиды (сплошная линия) восстанавливается полностью, а радиус автокорреляции, определенный геометрическим способом, равен % длины ее волны или п/8 (рис. 6,Б). Последующим сглаживанием первого уровня восстанавливается и низкочастотная составляющая геологического поля (пунктирная линия на рис. 6,А). Радиус автокорреляции второго уровня равен 5/8 п, т.е. примерно % длины волны низкочастотной синусоиды, а некоторое несоответствие радиуса автокорреляции % длины волны (п /2) обусловлено конечностью исходной реализации.
Рис. 4. А - график функции у = 0.5 ж sin x + 0,25 sin 4x + 7 x / n + 5 ; Б - график автокорреляционной функции Kx (h)
Рис. 5. А - график функции Ay = (0.5 ж sin x + 0,25 sin 4x + 7 x / n + 5) - (1,841 x + 6,216); Б - график автокорреляционной функции Kx (h); r1 и r2 - радиусы автокорреляции 1- и 2-го уровней
х
х
К*х(Іі)
у
х
Рис. 6. А - график первой производной функции у' = [ 0.5 п sin x + 0,25 sin 4x + 7 x / п + 5 ]' = 0.5 п cos x + cos 4x + 7 / п (сплошная линия), пунктирная линия - сглаженная кривая; Б - графики автокорреляционных функций Kx (h); r1 и r2 - радиусы автокорреляции соответственно 1- и 2-го уровней
В качестве еще одного примера «затушевывающего» влияния низкочастотной периодической составляющей на высокочастотные флуктуации, рассмотрим график (рис. 7,А) функции
• ~т 4х , .
V = т х +---------1- (6)
' 18
представляющий собой сумму двух синусоид
с теми же частотными характеристиками, что
и в моделях, изображенных на рис. 1,А и 4,А.
Указанная функция монотонно возрастает на
интервалах (0; 9/16 п) и (23/16 п; 2 п), убывает на интервале (9/16 п; 23/16 п) и в пределах рассматриваемого отрезка имеет только два экстремума, соответствующих максимуму и минимуму низкочастотной синусоиды. Радиус автокорреляции 1 -го уровня такой функции равен 2/5 п (рис. 7,Б), т.е. примерно % длины волны низкочастотной гармоники. При таком шаге наблюдений высокочастотная составляющая геологического поля не может быть восстановлена.
Рис. 7. А - график функции у = sin x + ( sin 4x ) . Kx (h); r1 - радиус автокорреляции 1-го уровня
18 + 2; Б - график автокорреляционной функции
х
Для выявления исходной периодичности высокочастотной синусоиды рассматриваемая функция была продифференцирована (рис. 8,А). Однако в отличие от модели, изображенной на рис. 4, отношение амплитуд высокочастотной и низкочастотной гармоник в рассматриваемом примере (рис. 7,А) настолько мало, что при первом дифференцировании периодичность высокочастотной составляю-
щей (сплошная линия на рис. 8,А) восстанавливается неполностью. На рис. 8,А видно, что влияние низкочастотной составляющей поля привело к исчезновению четырех из восьми экстремумов (в интервалах п/8; 3/8п и 13/8 п; 15/8 п), которые высокочастотная производная функция должна иметь на отрезке, равном длине волны низкочастотной синусоиды. Это отразилось на виде автокорреляционной
функции (рис. 8,Б) и величине радиуса автокорреляции 1 -го уровня. Последний оказался равным 5/8 п, т.е. больше % длины волны высокочастотной синусоиды в 5 раз. При таком У
интервале наблюдений структура геологического поля на первом (высокочастотном) уровне также не может быть восстановлена.
К*х(Іі)
Рис. 8. А - график первой производной функции у' = [ sin x + ( sin 4x) /18 + 2 ]’ = cos x + ( 2 cos 4x) / 9 (сплошная линия), пунктирная линия - сглаженная кривая; Б - график автокорреляционной функции Kx (h); r1 - радиус автокорреляции 1-го уровня
Рис. 9. А - график второй производной функции у” = [sin x + (sin 4x) /18 + 2]" = - sin x - (8 sin 4x) / 9 (сплошная линия), пунктирная линия - сглаженная кривая; Б - графики автокорреляционных функций Kx (h); r1 и r2 - радиусы автокорреляции соответственно 1- и 2-го уровней
Для выявления периодичности высокочастотной гармоники изучаемую функцию необходимо дифференцировать до тех пор, пока отношение амплитуд производных высокочастотной и низкочастотной составляющих не окажется для этого благоприятным. В рассматриваемом примере такое соотношение выявляется у второй производной исходной функции. На рис. 9,А хорошо видно, что экстремумы как высокочастотной, так и низкочастотной гармоник второй производной расположены друг от друга на расстоянии, равном точно / длины их волны. Поэтому и радиусы автокорреляции обоих уровней, равные п/8 и п/2 (рис. 9,Б), точно соответствуют частотной изменчивости обеих составляющих
геологического поля.
Следует отметить, что теоретически могут существовать такие геологические поля, для которых с целью восстановления периодичности высокочастотных составляющих необходимо изучать производные более высокого порядка. Так, для модели, описываемой формулой
. ~in 2х
V = 'sin Х+------------------------b IX+
' 8
(7)
необходимо автокоррелировать пятую производную. Однако изучение реальных геологических полей с подобным соотношением амплитуд высокочастотной и низкочастотной гармоник (как и для модели, изображенной на рис. 7,А), по всей вероятности, не актуально,
х
поскольку погрешности измерений в этих случаях по абсолютной величине становятся сопоставимы с амплитудой высокочастотной составляющей. Поэтому порядок производной функции при исследовании частотных характеристик различных составляющих реальных геологических полей в условиях скрытой периодичности вряд ли целесообразно принимать выше второго. На это в свое время указывал А.К. Маловичко [5].
Таким образом, выявление и количественная оценка скрытой периодичности геологических полей могут быть осуществлены методом геометрической автокорреляции при ус-
Библиографический список
1. Казаковский Д.А. Оценка точности результатов в связи с геометризацией и подсчетом запасов месторождений / Д.А. Казаковский.
ловии предварительного дифференцирования функции, описывающей строение поля. Для реальных геологических полей следует применять численные методы дифференцирования, основанные на расчетах первых, вторых и т. д. разностей [5]. Это обусловлено тем, что аналитическое определение значений производных связано, как отмечалось, с трудно решаемой для геологических полей задачей выбора оптимального аппроксимационного полинома и количества составляющих его разложения.
Вып. 4(9). С. 76 - 90.
5. Маловичко А.К. Использование высших производных при обработке и интерпретации результатов геофизических наблюдений / А.К. Маловичко, О.Л. Тарунина. М.: Недра, 1981. 186 с.
М.: Углетехиздат, 1948. 130 с. 6
2. Лебедев Г.В. Системы опробования промышленных скарново-магнетитовых месторождений Урала, Казахстана и Азербайджана: автореф. дис. ... канд. геол.-минер. наук / Г.В. Лебедев. М., 1978. 16 с.
3. Лебедев Г.В. О методах определения пара- 7 метров систем опробования / Г.В. Лебедев //
Геометризация и анализ геологических полей месторождений полезных ископаемых.
Пермь, 1981. Вып. 1. С. 14 - 40. Деп. ВИНИТИ, № 3758-81 деп.
4. Лебедев Г.В. Методы определения параметров систем опробования / Г.В. Лебедев //
Вестн. Перм. ун-та. Сер. Геология. 2007.
Optimum network calculation method of measurement in conditions of the latent periodicity of geological fields
G. V. Lebedev, V. I. Nabiullin
Perm State University, 614990, Perm, Bukirev St., 15. E-mail: poisk@psu.ru
At application of geometrical autocorrelation method there can be difficulties in calculation of an optimum network of measurement for the multistructural geological fields due to low-frequency components that shade high-frequency components. For the decision of a problem two ways are offered: 1) subtraction of a linear trend, 2) differentiation of geological fields. The second way is more effective.
Key words: network, geological field.
Рецензент кандидат геол. -минер. наук А. С. Сунцев
Мягков В. Ф. Автокорреляционный метод определения расстояний между пробами / В.Ф Мягков, Г.В. Лебедев // Геол. месторождений полезных ископаемых Урала и новые методы их изучения: Тез. докл. науч. совещ. Свердловск, 1974. С. 203 - 204. Набиуллин В.И. Методика определения оптимальной сети наблюдений в условиях скрытой периодичности геологического поля / В.И Набиуллин, Г.В. Лебедев // Геометризация и анализ геологических полей месторождений полезных ископаемых. Пермь, 1981. Вып. 1. С. 84 - 104. Деп. ВИНИТИ, № 3758-81 деп.
