CC BY
16
с
истемный анализ
УДК 519.17;519.172.4;519.246.8
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ГРАФОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ T-СИНХРОНИЗАЦИИ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
A.B. Макаренко
Развит подход к анализу T-синхронизации хаотических систем, основанный на ранее предложенном автором оригинальном способе символического анализа дискретных отображений и последовательностей на основе конечного алфавита, символы которого кодируются по трем последовательным отсчетам в пространстве состояний. В качестве дальнейшего развития подхода введен в рассмотрение граф временной структуры синхронизации хаотических систем и изучены его основные свойства. Базовые возможности подхода продемонстрированы на примере связанных идентичных логистических отображений. Обнаружена чувствительность структурных характеристик упомянутого графа к перестроению аттракторов в системе при установлении различных режимов синхронизации хаотических колебаний.
Ключевые слова: синхронизация, символический анализ, перемежаемость, граф временной структуры синхронизации, многомерный временной ряд, логистическое отображение.
ВВЕДЕНИЕ
Синхронизация принадлежит к числу фундаментальных понятий теории нелинейной динамики и теории хаоса. Этот феномен широко распространен в природе, науке, технике и обществе [1]. Одно из важных его проявлений — синхронизация хаотических колебаний, которая экспериментально наблюдалась в различных приложениях (см. работы [1, 2] и приведенные в них ссылки).
Синхронизация хаотических колебаний объединяет несколько ее различных видов [2]: обобщенная [3], полная [4], противофазная [5], с запаздыванием [6], частотная [7], фазовая [8], синхронизация временных масштабов [9] и так называемая Т-синхронизация [10]. Под каждый из них разработан соответствующий аналитический аппарат и методы диагностики. Тем не м енее, продолжаются активные исследования, направленные, с одной стороны — на рассмотрение разных видов синхронизации с единых позиций, а с другой — на поиск новых видов синхронного поведения, не укладывающихся в означенные.
Несмотря на продолжительную историю изучения синхронизации хаотических колебаний, множество важных вопросов в данной области остаются нерешенными. В их числе и количественное исследование временной структуры синхронизации динамических систем. Под этой структурой будем понимать всплески синхронного поведения фазовых переменных систем, в промежутках между которыми уровень синхронности характеризуется малой величиной, т. е. перемежаемое поведение [11, 12].
Понятие перемежаемости весьма важно в физике (и не только в физике) для исследования структурных свойств процессов, и оно не ограничивается только синхронизмом хаотических систем. С физической точки зрения перемежаемость вообще означает появление неких структур различного масштаба в среде (например, вихрей, локализованных деформаций, температурных не-однородностей), которая исходно могла быть совершенно бесструктурной на этих масштабах. С математической точки зрения такое поведение характеризуется наличием редких, но сильных пи-
ков в поведении индикатора структуры — некой случайной величины [11].
В свою очередь, исследование структуры синхронизма [10] имеет как теоретическую значимость для самой нелинейной динамики [13], так и прикладное значение, например, в вопросах биологии и медицины [14, 15], стохастической финансовой математики [16—18] и др. Тем не менее, при всей актуальности проблематики исследования временной структуры синхронизации нелинейных систем, продвижение в этом вопросе весьма слабое. Основные причины сложившейся ситуации д оста-точно подробно рассмотрены в работе [10].
В целях решения проблем, связанных с диагностикой и количественным измерением характеристик временной структуры синхронизации хаотических колебаний, автором был предложен оригинальный метод исследования синхронизма на основе символического СТР-анализа (аббревиатура СТр обозначает три алфавита, которыми оперирует метод: С, Т и Р) [19, 20]. Отметим, что символическая динамика, при всей своей кажущейся внешней простоте, представляет собой весьма строго обоснованный инструмент анализа нелинейных динамических систем [21, 22]. Она позволяет исследовать такие сложные явления в системах как-то: хаос, странные аттракторы, гиперболичность, структурная устойчивость, управляемость и др. (см., например, работы [21—24] и приведенные в них ссылки).
В рамках предложенного символического анализа синхронизация хаотических колебаний исследуется через так называемую Т-синхронизацию [10, 25], увязанную на инвариантные характеристики формы траекторий динамических систем в расширенном пространстве состояний. Разработанные меры позволяют диагностировать и количественно измерять характеристики режимов перемежаемости при синхронизации хаотических систем, т. е. изучать временную структуру синхронизации нелинейных систем [10, 26]. Конструк-
тивность подхода на основе анализа Т-синхрони-зации хаотических колебаний была продемонстрирована автором на ряде модельных и реальных систем [10, 17, 25—27].
В статье [10] был поставлен вопрос о применимости теории графов при исследовании времен -ной структуры синхронизации в терминах символического СТР-анализа. В настоящей работе этот вопрос раскрывается. В § 1 приведено краткое описание основных положений Т-синхронизации, в § 2 содержатся базовые аналитические характеристики, а в § 3 дан пример применения разработанного инструментария. В Заключении приведены выводы по работе в целом.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Т-СИНХРОНИЗАЦИИ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Введем в рассмотрение траекторию динамической системы, заданную в виде дискретной полу-
к
последовательности (временного ряда): {}к =
где фазовая переменная б системы имеет размерность N а траектория состоит из К временных отсчетов. Таким образом, б е 8 с а к е К = 1, К. При этом каждому к-му отсчету может быть сопоставлен момент времени tk, причем 1к < к + г
Определим исходное отображение [19, 20], кодирующее, в терминах конечного Т-алфавита, форму траектории по к-му отсчету п-й компонен-
Г ,К
ты последовательности {Бк} к =
тал = г({ бП 1:
б
(п) (п)
к , Бк +
М),
гтгаф _
Т к =
гттаф|
Т к
гтгаф I
Т к
гттаф|
Т к
N
. (1.1)
Графические диаграммы, иллюстрирующие геометрию символов Т-алфавита для к-го отсчета и п-й фазовой переменной, приведены на рис. 1.
1
п
Рис. 1. Графические диаграммы, иллюстрирующие геометрию символов Та(р|и для к-го отсчета и и-й фазовой переменной
Строго, отображение (1.1) задается через соот-
ношения:
TO: As
TI: As.
T2: As.
T3N: As.
T3P: As
T4N: As
T4P: As
T5N: As
T5P: As
T6S: As
T6: As
T6L: As
T7S: As
T7: As
T7L: As
T8N: As
T8P: As
Здесь As_ =
s+ < 0, As+ s+ = 0; s+ = 0; s+ > 0, As+ s+ > As_; s+ < 0, As+ + > 0; s+ < 0, As+ s+ > 0, As+ + < 0; s+ > 0, As+ s+ < 0;
(n) к (n) (n)
sl-1 и As+ = sk+ 1 - sk •
(1.2)
Таким образом, отображение (1.1) в форме (1.2)
является сюръекцией f : К. ^ N17, а T-алфавит
17'
включает в себя следующее множество символов:
раф _
- {TO, T1, T2, UN, иг, T4N,
T7L,
Таф = {TO, TI, T2, T3N, T3P, T4N, T4P, T5N, T5P, T6S, T6, T6L, T7S, T7, T8N, T8P}.
Как видно из выражения (1.3), каждый символ из отсчета кодируется в виде Т/, где / — пра-
I п
вая часть кодов символов алфавита Т^ф. Мощность множества |Т^Ф | = 17. В свою очередь, символ кодируется через Т1г.лп...1№ см. соотношения (1.1). Полный алфавит Т^фN кодирующий форму траектории многомерной последовательности {8к}к = ! в целом, состоит из 17 символов.
Предположим теперь, для простоты, но без потери общности, что временная последователь-
к
ность {8к }к = ! размерностью N формируется путем объединения фазовых переменных N одно-
(п)
мерных динамических систем, т. е. 8к — это значение фазовой переменной п-й системы в к-й момент времени.
Введем определение символьной синхронности компонент последовательности.
Определение 1. к-й отсчет последовательности
{8к}к= 1 является полностью Т-синхронным, если выполняется условие
Ts
где Jk =
Jk - 1,
аф
Тгаф _ гр'
k , - ... Tk
иначе,
_ гг^аф
- k N (1.4)
K
Таким образом, последовательность {1к}к = 1 представляет собой индикаторную последовательность режима Т-синхронизации.
Индикаторная последовательность служит для диагностирования временной структуры синхронизации систем. Напомним, что под этой структурой понимаются всплески синхронного поведения фазовых переменных систем, в промежутках между которыми уровень синхронности характеризуется малой величиной, т. е. перемежаемое поведение [11, 12].
Определение 1 без труда расширяется на различные многомерные варианты синхронизирующихся систем и вариантов их наблюдения (анализа).
Случай двух многомерных систем (рис. 2, а):
Jsk таф ] = п
(i, i ") Е l2 L 0
1
аф Tk hi'
иначе,
аф Tk
2 i''
(1.3) где /2 — подмножество связей между системами
12
у = 1 и у = 2, по которым изучается их синхронность. Как видно из структуры индекса (/', / ' '), при построении индикаторной последовательности {1ак} кк= х возможно формирование произвольных «связей» между различными фазовыми переменными систем.
Случай четырех многомерных систем, организованных в кольцо, но синхронизация изучается между тремя из них (рис. 2, б):
Jk[тт] = П k '
(i , i")е 4 L0 иначе,
1
аф Tk
аф Tk
2 i'' X
п
1 T
аф
- Tk
аф
13 i "
(i , i")e /\ L0 иначе, причем по различным наборам «физических» свя-
11 зей /2 и /3 .
—?
—?
—^
+
k
X
1i
7 = 1
II
7 = 1 т1 7 = 2
2
7=2 7=3 7=4
а б
7 = П 7 = 12 7 = 21
^ У
i л.ч ч у i i ^ ✓ i i чч
ч- \ . \ *
7 = 13 7 = 14
7 = 23
7 = 22
Рис. 2. Различные варианты синхронизирующихся многомерных систем. Стили связей между системами: пунктир — множество «физических» связей; сплошная линия — множество «физических» связей, по подмножеству которых оценивается синхронность систем; штрихпунктир — множество «виртуальных» связей по которым оценивается синхронность систем
между ними. При этом построение индикаторной
. К
последовательности {4к} к = 1 однозначно и диктуется только задачами исследований и структурой анализируемой системы.
В свою очередь, подавляющему большинству существующих методов [2—9] свойственно принципиальное ограничение — их базовые м еры могут оценивать уровень синхронности только между парой скалярных величин. В случае исследования многомерных систем оценка уровня синхронности является векторной, что порождает принципиальный вопрос — правомочности применения той или иной нормы для свертки векторной оценки в скалярную. Следовательно, возникает произвол выбора, усугубляющийся в случае анализа систем неидентичных осцилляторов произвольной размерности и с произвольной топологией связей между ними. Предлагаемый метод от данного недостатка свободен, но при этом, как продемонстрировано, например, в работах [10, 26], его эффективность зачастую выше, чем у типовых анализаторов.
В работе [25] введено понятие синхронного домена ББ.
Определение 2. Синхронный д омен ББ — совокупность отсчетов временного ряда, для которых справедливо условие
ББг: {Гк. = 1, 4- = 0 V к" = 0, = 0 V к"' = К + 1},
Случай семи многомерных систем (рис. 2, в) организованных в две взаимодействующие группы, когда синхронизация изучается между тремя системами, входящими в различные группы и не имеющими прямых «физических» связей:
4[ТГ ] = П
1
гтгаф тк
11 г '
(Iг'') е 114 ^0 иначе,
граф
Т к ,
к 114 г X
П
1 Тк
аф
14г'
= Тк
аф
21 г''
(г, г") е А, 10 иначе,
причем по различным наборам «виртуальных» свя-
11 14 зей 114 и У21 .
Таким образом, как следует из представленных примеров, конструируя соответствующие функции на основе условия (1.4) можно исследовать Т-синхронизацию в произвольных системах с неидентичными осцилляторами произвольной размерности и с произвольной топологией связей
к е Ьг , Ьг + - 1, к = Ьг — 1, к = Ьг + Ьг ,
(1.5)
где Ьг — момент появления, Ьг и г — длина и
порядковый номер синхронного д омена, V — символ логического ИЛИ. ♦
Причем справедливо условие
ЦБ т К, и число синхронных доменов в индикаторной последовательности {4к}К= !: Я< (К + 1)<Иу2.
Тем не менее, изучение только синхронных доменов ББ — явно недостаточно для полного описания перемежаемого поведения хаотических систем при синхронизации. Чтобы представление о временной структуре синхронизма динамических систем было полным и замкнутым (полное и замкнутое представление о структуре перемежаемости), в работе [10] было дополнительно определено
понятие десинхронного домена §Б.
х
В
с
н'
н*
10 9
2 3 4 5 6 Ь
2 1 11 1 2 3 4
А В С
- БО
-БО
ш
Рис. 3. Модельный пример: а — порядок следования д оменов: ББ — десинхронных и ББ — синхронных; б — спектральные плотности
десинхронных и синхронных доменов; в — граф переходов ББ ^ ББ и ББ ^ ББ между доменами определенной длины; буквами А, В и С обозначены три случая различных структур десинхронного поведения
Определение 3. Десинхронный д омен ББ — совокупность отсчетов временного ряда, для которых справедливо условие
ББг : {Гк. = 0, 4- = 1 V к'' = 0, ,,, = 1 V к"' = К + 1},
к = Ьг , Ьг + Ьг - 1, к = Ьг — 1,
к''' = ¿?Б + ь?б, (1.6)
где Ьг — момент появления, Ьг и г — длина и порядковый номер десинхронного домена.
Для возможности количественного описания временной структуры синхронизации систем был введен ряд характеристик [10, 25]. Основная из них — функция спектральной плотности синхрон -ных доменов ББ
д8Б _
#8Б[Ь] = £5[Ь?Б, Ь], Ь е 1, К, (1.7)
г = 1
где 5[-, •] — символ Кронекера. Отметим, что величина (1.7) естественным образом переопределяется и для доменов §Б.
Из вида функции (1.7) следует определение интегрального коэффициента синхронности систем:
5' = К 1Н8Б[/]. (1.8)
К / = 1
Причем 5' = 0 и 5' = 1 — предельные случаи абсолютно десинхронных и полностью синхронных систем соответственно.
Необходимость согласованного рассмотрения десинхронных и синхронных доменов схематично проиллюстрируем модельным примером (рис. 3, а). Определим три варианта (А, В и С), имеющие одинаковый интегральный коэффициент синхрон -ности, одинаковый набор и последовательность синхронных доменов ББ, но существенно различающиеся набором и последовательностью десинхронных доменов ББ.
Если указанные модельные варианты сравнивать только по параметрам доменов ББ, то формулируется неверный вывод об идентичности процессов синхронизации в этих случаях. Но рис. 3, а указывает на обратное. Поэтому дополнительно к доменам Б Б требуется рассмотрение и доменов
ББ. Из рис. 3, б и в видно, что в случае А — все
десинхронные домены имеют длину 2 отсчета, в случае В — десинхронные домены имеют длину 2 и 11 отсчетов, причем десинхронный домен длиной 11 отсчетов единственный. Случай С — наиболее сложно устроен, помимо того, что десинх-ронные домены имеют четыре различные длины: 1, 2, 3 и 4 отсчета, так еще и структура переходов
8Б ^ ББ достаточно нетривиальна.
Таким образом, согласованный анализ параметров доменов 8Б и ББ, а также структуры переходов 8Б ^ ББ позволяет получить существенно больше информации о характере перестройки структуры аттракторов и перемежаемом поведении в синхронизирующихся системах.
Как следует из ранее полученных результатов (см. работы [10, 17, 25] и приведенные в них ссылки), Т-синхронизация обнаруживается не только при прямой синхронности систем, но и при обратной, а также в режиме лаг-синхронизации. Более того, Т-синхронизация детектируется и при фазовой синхронизации (с синхронизацией временных масштабов) [26] и потенциально способна диагностироваться при обобщенной синхронизации [27].
Отметим, что выражение (2.2) представляет собой фактически свертку условий (1.5) и (1.6), из которой проистекает
Свойство 1. Индикаторная последовательность
{Бг } г = I не может содержать два последовательных домена одного сорта, т. е. справедливо условие
* б8+!, У г е 1, Я^ - 1. ♦
Переходы между доменами ББ и ББ в индикаторной последовательности {Бг } г = 1 можно представить в виде ориентированного графа
сс —
где V — множество вершин (доменов ББ и ББ),
ББ
а Е — множество дуг (ориентированных ребер,
междоменных переходов 8Б ^ ББ и ББ ^ 8Б).
Формально, правило для включения вершин и дуг
ББ
в граф ГББ представим в виде:
У г е 1, Я
ББ
2. ГРАФ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ СИНХРОНИЗАЦИИ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Vм э 8Б|Ь8Б : _ ББ л Ь8Б _ ,
Согласованное рассмотрение десинхронных и синхронных доменов позволяет ввести в рассмотрение индикаторную последовательность временной структуры Т-синхронизации р88 _
{бТ&}г= !, Бм е _ {ББ _ 0, ББ _ 1}, (2.1)
ББ
где г — номер домена, Я — число доменов, при-
ББ
чем Я < (К + 1)<у2. С последовательностью (2.1)
ББ
свяжем момент Ьг появления домена в индикаторной последовательности {4 }к = 1 и длину Ьг домена, см. выражения (1.5) и (1.6). Формально, правило порождения последовательности (2.1) представим в виде:
Б88 _
Г"Б 4. = 1, = 0 V к'' = 0, 4''' = 0 V к'" = К + 1, 1 СБ 4. = 0, 4'' = 1 V к'' = 0, 4„, = 1 V к'" = К + 1,
V88 э 8Б|Ь8Б : Б"8 _ "Б л Ь8Б _ Е"8, (2.3а)
СБ _ ^
У г е 1, Я88 - 1
Е88 э 8Б|Ь8Б ^ 8Б|Ь8Б : Б^ _ 8Б л б8+ 1 _ _ 8Б л Ь _ Ьг л Ь _ Ьг + 1,
Е88 э 8Б|Ь8Б ^ 8Б|Ь8Б : _ 8Б л Б8+1 _
_ 8Б л Ь8Б _ л Ь8Б _ ь8+ !. (2.3б)
88
Отметим, что ориентированность графа Г — принципиальный момент, вытекающий из структуры последовательности {Бг }г = 1, а именно, наличия порядка следования доменов.
Граф Г88 можно взвесить. Его вершины размечаются посредством частоты встречаемости (вероятностей) доменов заданной длины
88
88 88 88 88 к е Ь„ , Ь„ + Ь„ - 1, к _ Ь„ — 1
88
г г г
г
к'" _ ^^ +
(2.2)
р 8Б[Ь] _ /У1 , р 8Б[Ь] _ 1
Кн 8Б[ г 1 кн 8Б[ и
г = 1
г = 1
а разметка дуг — через условные переходные частоты встречаемости переходов м ежжду д оменами заданной длины
р 8Б[ ь , Ь] = к Н1 8 [ Ь Ь ]
Ъ Ън88[1, /]
1 = 11 = 1
Из свойств индикаторной последовательности
Р88 [Ь, Ь ] = к Нк [ Ь Ь]
Ъ Ънб8[/, 1 ]
I = 11 = 1
т-т-ББ т-т-ББ _
где Н и Н — спектральные плотности междоменных переходов ББ ^ ББ и ББ ^ ББ соответственно, по аналогии функций (1.7). Полные «вероятности» перехода определяются по формулам:
РББ [ь Ь] = рБ Б [ ь] РБ Б [ Ь, Ь]
К К
Ъ ЪРББ[ 1 ]р8Б["1, 1]
1 = 11 = 1
РбБ [Ь Ь] = РБ Б [ Ь] РББ[ Ь, Ь]
К К
Ъ ЪР8Б[ 1]Р88[ 1,1 ]
1 = 11 = 1
Сформулируем основные утверждения относи-
тельно свойств графа Г'
ББ
ББ
Утверждение 1. Граф Г является тривиальным, т. е. имеет место |У88| = 1 только в двух случаях: 5' = 0 или 5' = 1.
Доказательство утверждения элементарно. Рассмотрим случай 5' = 0. Исходя из выражения (1.8), Н 8Б[Ь8Б] = 0 УЬББ = ТГК и 4 = 0 У к = 17~К. Отсюда
следует, с учетом определения 2, что Н 8Б[ Ь8Б = К] = 1
и Н 8Б[ Ь8Б < К] = 0. Следовательно, с учетом правила (2.3а), граф Г88 содержит единственную вершину, |УББ| = 1. Случай 5' = 1 доказывается аналогично. Во всех остальных случаях |УББ| > 1, что доказывает требуемое.
88
Утверждение 2. Граф Г не содержит петель.
Доказательство утверждения построим от просе
тивного. Допустим, граф Г содержит петли, из чего следует, согласно правилу (2.3а), равенство
Зг : {Ю*8 , Ь*8} = {Ю*+1, Ь*+1}. (2.4)
Результат (2.4) противоречит свойству 1, что доказывает требуемое. ♦
„88
{Юг }г = 1 вытекает
Лемма 1. Если граф Г88 не является тривиальным, т. е. отвечает условию |У88| > 1, то он однозначно слабо связный.
Доказательство леммы проведем в несколько шагов.
Сначала учтем, что если лемма верна, то при замене 88
в графе Г дуг неориентированными ребрами, получившийся граф Г?8 = (У88, Б?8 > будет содержать одну и только одну компоненту связности, т. е. для всех пар
вершин будет существовать путь. Переход к графу Г?8 означает замену правила (2.3б) на правило
88
Уг е 1, - 1,
Б*88 э ББ|Ь8Б о ББ|ЬББ : Ю*8 = ББ д Ю*+1 =
- ст-> г*Б _ Т 88 ГББ _ т 88
= 8Б д Ь = Ьг д Ь = Ьг + 1 ,
8Б
8Б 88
88
Б*88 э ББ|Ь8Б о ББ|Ь8Б : Ю*8 = ББ д Ю*+1 =
- ст-> гББ _ г88 т ББ _ г88
= 8Б д Ь = Ьг д Ь = Ьг + 1 .
(2.5)
Далее, примем во внимание схему формирования графа Г*8: (1) — все элементы последовательности яББ
{Ю* } г = 1 так или иначе отображаются в вершины графа
Г*8 , см. правило (2.3а); (11) — ребра графа Г*8 формируются как переходы между последовательными эле-
яББ
ментами (Ю* и Ю*+1) последовательности {Ю* }г = 1, причем все переходы, так или иначе, отображаются в 88
ребра графа Г* , см. правило (2.5).
88
Наконец, из схемы формирования графа Г* следует (при его нетривиальности), что в наихудшем случае (когда все пары Ю*81Ь*8 в последовательности яББ
{Ю* } г _ 1 различны) только две вершины, соответству-
г г.88, Я
ющие первому и последнему элементам {Юг }г _ 1 имеют степень 1, а остальные степень 2, т. е. граф Г*8 представляет собой цепь, что доказывает требуемое.
Утверждение 3. Нетривиальный граф Г88 является двудольным.
Доказательство утверждения основано на объединении нескольких моментов. Прежде всего, заметим,
88 88 что множество вершин У нетривиального графа Г , на
основании последовательности (2.1) и правила (2.3а),
можно разбить на два непересекающихся и непустых
подмножества У*Б э ББ и У*Б э ББ, которые включат
в себя только десинхронные и синхронные домены соответственно.
Далее, исходя из правила (2.3б) и свойства 1, не существует дуг, которые соединяют вершины в пределах
, , 8Б или "8Б . Также, на основа-
нии утверждения 2, в нетривиальном графе Г^ отсутствуют петли.
Наконец, в силу л еммы 1, нетривиальный граф Г — слабо связный, т. е. не имеет изолированных вершин.
Объединение сформулированных результатов доказывает требуемое. ♦
88
Исходя из свойства двудольности графа Г88 (см. утверждение 3), максимально возможное число дуг в нем определяется по формуле
^ _ 2
где — число вершин сорта 8Б, NVБ — число вершин сорта 8Б.
В заключение данного параграфа отметим, что 88
граф Г при исследовании временной структуры синхронизации хаотических колебаний, потенциально открывает широкие возможности по применению инструментария теории сетей [18, 28—32] с привлечением методов статистической физики [33] и символической динамики [21—24]. Отметим, что эти вопросы составляют предмет наших текущих исследований.
3. ПРИМЕР
Применим предложенный подход к изучению временной структуры синхронизации хаоса для исследования процесса выхода из режима полной синхронизации хаоса в системе д вух однонаправленно связанных л огис-тических отображений:
% + 1 _ ^к^ - ^ Ук + 1 _ 4Х[ук + У^к - ^к)](1 - у + у(хк - УМ (3.1)
где xk и ук — переменные состояния соответственно ведущего и ведомого процессов, x, у е (0, 1); у е [0, 1] — параметр связи между процессами; X е (0, 1] — управляющий параметр, задающий режим колебаний.
Система связанных логистических отображений представляет собой одну из популярных моделей нелинейной динамики при изучении хаотической синхронизации (см. работы [10, 19, 34]) и приведенные в них ссылки. Ее теоретическое значение обусловлено тем, что при относительной простоте логистическое отображение порождает ш ирокий спектр сложных, в том числе и хаотических колебательных режимов [20, 35], переход к которым осуществляется через классический сценарий удвоения периода. А с учетом универсальности Фейгенбаума многие результаты распространяются на широкий класс как м одельных, так и реальных физичес-
ких, биофизических, химических и других систем, что обусловливает и прикладной интерес к логистическому отображению [35, 36].
Параметры Т-синхронизации рассчитывались на интервале к е [1, 2] х 105. Подобный сдвиг от значения к _ 1 объясняется необходимостью сведения паразитного влияния переходного процесса к минимуму. Кроме того, все оценки анализируемых величин усреднялись по 103 реализациям начальных условий: x1 _ у1 _ где е (0, 1) — некоррелированные равномерно распределенные псевдослучайные величины. Это позволило нейтрализовать на траекториях процессов х и у эффект памяти индуцированный начальными условиями. Значение параметра связи изменялось на интервале у е [0; 0,5] с дискретностью 1 х 10-4. Значение управляющего параметра было принято X _ 0,95 — режим существования в модели (3.1) развитого хаоса [36]. Необходимо отметить, что согласно результатам работы [20] — окончательное качественное усложнение хаотической траектории происходит при X _ 0,98805... Тем не менее, выбранное значение управляющего параметра объясняется необходимостью взаимного анализа и согласования результатов, полученных в настоящей работе, с результатами работ [10, 19, 34].
Ранее было установлено, что при у > угЬ _ 0,38 в системе реализуется грубый режим полной синхронизации, в точке уЬЬ _ 0,35 устанавливается негрубый режим полной синхронизации, который существует на интервале уЬЬ < у < угЬ, а значение у5 _ 0,0191 можно считать статистически значимым порогом возникновения Т-синх-ронизации в системе (3.1). На шкале параметра связи отмечены еще четыре точки, ответственные за различные перестройки структуры аттрактора: ут _ 0,0639, У™ _ 0,14, уг1 _ 0,2606 и уг2 _ 0,2755. Так, при уж в аттракторе фиксируется неустойчивое квазипериодическое движение, на котором траектория проводит значительную часть времени [34] (см. также [10]), а при уг1 траектория ведомой системы (у) содержит максимальную концентрацию релаксационных колебаний, отсутствующих в ведущей системе [19].
Отметим, что построение критических интервалов производилось по эмпирическим функциям распределений рассчитываемых характеристик. Верхний и нижний квантили строились как двусторонние порядков 1 - а/2 и а/2 соответственно. Уровень статистической значимости принят а _ 10 3. При этом в качестве оценки средней величины исследуемых характеристик в работе используется медиана, как более робастный индикатор, нежели арифметическое среднее [37].
Далее показан анализ системы (3.1) с позиций изучения характеристик графа временной структуры синхронизации. На рис. 4 приведен график зависимости ч ис-ла вершин в графе Г от параметра связи у.
Из рисунка видно, что характер поведения кривых для десинхронных и синхронных доменов идентичен в районе уЬЬ. Это связано с вырождением числа доменов при наступлении негрубого режима полной синхрони-
Рис. 5. Зависимость числа дуг в графе Г^ от параметра у: а — Б Б ^ ББ; б — ББ ^ ББ
зации, подробнее см. работу [10]. При этом вид кривых существенно разнится в зоне у < уьь, где число вершин
сорта ББ (см. рис. 4, а) демонстрирует статистически значимые флуктуации, в частности в зоне у и уг1.
Зависимости числа дуг в графе ГББ от параметра связи приведены на рис. 5. Из графиков видно, что зависимости в принципе «качественно» подобны, отличаясь некоторыми количественными значениями. При этом также наблюдается существенное снижение количества междоменных переходов при наступлении негрубого режима полной синхронизации, что в первую очередь обусловлено собственно снижением количества доменов. На рис. 6 приведены зависимости среднего числа
88
исходящих дуг на вершину в графе Г от параметра
связи у. Усредненные величины вычислялись по формулам:
Г8Б .
8Б
п*Б лл = NE (у) Ю8б лл = NE ( у )
ЮЕоШ (у) = —- , ЮЕоШ (у) =
8Б
Ny (у)
8Б
Ny (у)
(3.2)
Величины (3.2) позволяют в определенной м ере нейтрализовать в характеристиках и эффекты, вызванные повышением числа доменов, и выделить собственно структурные эффекты, что подтверждается рис. 6. Характерно, что до момента уьь разнообразие по
междоменным переходам 8б ^ ББ нарастает, а по переходам ББ ^ 8Б снижается. При этом истинная исхо-
Рис. 6. Зависимость среднего числа исходящих дуг на вершину в графе Г^ от параметра у: a — 8Б; б — 8Б
Рис. 7. Зависимость исходящей степени вершин графа Г^ от параметра у: a — 8Б; б — 8Б
дящая степень вершин в графе Г , которая приведена на рис. 7 существенно отличается от усредненных значений, показанных на рис. 6. Но, качественно, поведение кривых на рис. 7 в общем-то соответствует кривым на рис. 6 (в том числе в части разнообразия междоменных переходов).
Отметим, что здесь и далее для упрощения первичного анализа все характеристики графов, формирующих оценки для индивидуальных вершин, усреднялись в пределах графа.
На рис. 8 приведена входящая степень вершин в графе Г . Сопоставление рис. 7 и 8 показывает качественную симметричность графа Г88 (по распределению вхо
в режиме полной синхронизации. Правда, стоит отметить некоторые отличия вблизи уж, где фиксируется неустойчивое квазипериодическое движение [34].
Плотность графа Г по исходящим дугам приведена на рис. 9. Эта величина вычисляется по формуле:
р8Б , , ( У ) П^Б . , 0NfD( у ) PEout М _ 2 - , PEout М _ 2 "
^8(у)
^8(у)
Как следует из рис. 9, плотность графа Г88 до момента уЬЬ в общем-то достаточно монотонно снижается. Исключение составляет локальное «проседание» характе-8б
дящих и исходящих дуг) для системы (3.1), находящейся ристики PEout в зоне Уж. Границы этого эффекта совпа
£>sd
Ein
60 .1 ' i '
50 Y, У wm \
40 :
30 :
20 :
10 0 -
rb
0,1 0,2 0,3 0,4 у
б
Рис. 8. Зависимость входящей степени вершин графа Г от параметра у: а — 8Б; б — 8Б
jSD
Eout
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0
1 ..... 1 .......
Js У wm У ws У r\ У Л Уьь J
"•N ^ :
/ F
N ч!
0,1
0,2 0,3 а
0,4
jSD Eout
Рис. 9. Зависимость плотности графа Г от параметра g: а — SD ^ SD; б — SD ^ SD
дают с границами гребенчатого спектра HSD , подробнее см. в работе [10].
Весьма важный класс характеристик графа составляют различные показатели его центральности [31, 32]. Основными считаются четыре [32]: degree (по степени); betweenness (по посредничеству); closeness (по близости) и eigenvector (по собственному вектору). Первый из них основывается на степенях вершин, которые были уже рассмотрены ранее (см. рис. 7 и 8). Три оставшихся подробнее изучаются далее.
Зависимость центральности по посредничеству от параметра связи приведена на рис. 10, а. Характерис-
„SS
тика CB выражает, сколько кратчайших путей между
всеми вершинами графа Г88 проходит через определенную вершину. Если у какого-либо узла высокий уровень „88
Св , можно предположить, что он — единственная связь между различными частями графа [32]. При ана-
сс
лизе графа Г центральность по посредничеству позволяет судить, насколько связь между двумя доменами зависит от третьего домена.
Зависимость центральности по близости для различных значений приведена на рис. 10, б. Параметр С88 выражает, насколько близко та или иная вершина графа Г88 расположена к остальным вершинам [32], т. е. он позволяет судить, насколько тот или иной домен связан с остальными.
Рис. 10. Зависимость параметров графа TSS от параметра g: a — центральность «betweenness»; б — центральность «closeness»
Рис. 11. Зависимость параметров графа TSS от параметра g: a — центральность по собственному вектору; б — Graph Reciprocity [37];
SS
в — демонстрация сути величины р
И, наконец, зависимость от параметра связи центральности по собственному вектору приведена на
рис. 11, a. Характеристика С^8 демонстрирует зависимость между центральностью вершины и центральнос-тями ее ближайших соседей в графе Г [32]. Отметим, что ближайшими соседями вершины в графе являются такие вершины, которые связаны с ней дугами. Интерпретировать параметр С^,8 в контексте графа Г88 можно
таким образом: домен, имеющий много связей с другими доменами, у которых также много связей, имеет высокую центральность по собственному вектору.
Необходимо отметить, что некая тривиальность рис. 10 и 11, а скорее всего вызвана существенным ростом числа вершин в графе Г88 а области у < уЬЬ, что потенциально маскирует структурные эффекты (аналогично ситуации с параметрами и ). Следователь-
но, требуется модификация стандартных мер центральности [31, 32], позволяющая корректно сравнивать графы различных размеров и потенциально выявлять эффекты, связанные с перестройкой аттракторов при изменении характера и режима синхронизации.
Дополнительно также рассмотрим такую характеристику, как Graph Reciprocity [38]. Модельный при-
ss
мер, иллюстрирующий смысл величины р , приведен
ss
на рис. 11, в. Зависимость р от параметра связи для системы (3.1) приведена рис. 11, б, из которого следует,
SS
что параметр р «видит» неустойчивое квазипериодическое движение на аттракторе при yws.
В заключение данного параграфа отметим три момента.
• Помимо приведенных, были рассмотрены и другие характеристики, отражающие те или иные свойства графа TSS. Но для системы (3.1) они оказались слабоинформативными в части анализа режимов синхронизации хаотических колебаний.
• Из полученных результатов следует, что многие характеристики графа TSS устойчиво реагируют на перестроения аттракторов в системе (3.1) при установлении различных режимов синхронизации хаотических колебаний.
• Проведенное исследование следует дополнить, сняв ограничение в виде изучения только дескриптивных характеристик (медианы и квантилей) и усреднения оценок для индивидуальных вершин в пределах графа. Представляется, что подобное развитие потенциально способно существенно улучшить аналитические возможности инструментария, вплоть до идентификации на качественном уровне типов бифуркационных перестроений аттрактора. Однако, данный вопрос требует дополнительных исследований.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе получил дальнейшее развитие метод диагностирования синхронизации хаотических колебаний, основанный на так называемой T-синхронизации [10, 25—27]. Существенное отличие рассмотренного подхода от аналогов заключается в способности разработанного инструментария количественно анализировать характеристики временной структуры синхронизации нелинейных систем [10] через перемежаемость [11, 12]. Кроме того, в отличие от подавляющего большинства существующих методов, подход на основе T-синхронизации может быть с успехом применен для исследования многомерных систем, состоящих из двух и более связанных неидентичных осцилляторов, в том числе и их многомерных решеток c произвольной топологией. Так, пример анализа T-синхронизации в трехмерных системах приведен в работе [26].
В данной работе впервые продемонстрирован анализ временной структуры Т-синхронизации с позиции теории графов, посредством исследования метрических и топологических характерис-
88
тик графа Г . Причем в качестве изучаемого примера намеренно выбрана система связанных логистических отображений. С одной стороны она является хорошо изученной моделью (см. работы [10, 34, 35] и приведенные в них ссылки), с другой — из-за универсальности Фейгенбаума — многие результаты с этого отображения распространяются на широкий класс других систем различной природы [35, 36].
Из совокупности полученных результатов следует, что анализ метрических и топологических
88
характеристик графа Г оказывается весьма чувствительным инструментом, позволяющим обнаруживать негрубость режима синхронизации и наличие бифуркационных смен режимов и/или характера синхронизации. Кроме того, инструментарий на основе символического СТР-анализа позволяет проводить комплексное исследование синхронизма хаотических колебаний, включая обнаружение запаздывания между системами и инверсные эффекты между их фазовыми переменными.
Однако укажем и на основные недостатки предложенного подхода к диагностированию синхронизации хаотических колебаний. Метод в настоящий момент не позволяет дифференцировать и определять тип бифуркационных изменений аттрактора [13, 22] и качественный характер режима синхронизации. Устранение данных недостатков составляет предмет наших д альнейших исследований.
В заключение отметим, что рассмотренный подход, основанный на положениях символического СТР-анализа [19, 20], может быть применен для анализа экспериментальных данных, поскольку не требует каких-либо априорных знаний об изучаемой системе. Более того, инвариантность символического анализатора к сдвигам и растяжениям фазовых траекторий [20] позволяет исследовать синхронизацию сильно нестационарных систем. Вполне возможно, это позволит эффективно применять предложенную методику для анализа многомерных временных рядов, порождаемых физическими и техническими [1, 2, 12], физиологическими и биологическими [14, 15], финансовыми [16, 17, 18, 27] и другими системами.
Автор благодарен рецензентам за ряд критических замечаний, учет которых позволил улучшить изложение материала статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences. — Cambridge: Cambridge University Press, 2001.
2. The synchronization of chaotic systems / S. Boccaletti, J. Kurths, G.V. Osipov, et al. // Physics Reports. — 2002. — Vol. 366. — P. 1—101.
3. Abarbanel H.D.I,, Rulkov N.F., Sushchik M.M. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach // Phys. Rev. E. — 1996. — Vol. 53. — P. 4528—4535.
4. Pecora L.M., Caroll T.I. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. — 1990. — Vol. 64. — P. 821—824.
5. Liu W., Qian X., Yang J., et al. Antisynchronization in coupled chaotic oscillators // Phys. Lett. A. — 2006. — Vol. 354. — P. 119—125.
6. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. From Phase to Lag Synchronization in Coupled Chaotic Oscillators // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Vol. 78. — P. 4193—4196.
7. Анищенко В.С., Постнов Д.Э. Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов // Письма в ЖТФ. — 1988. — T. 14. — C. 569—573.
8. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization in regular and chaotic systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. — 2000. — Vol. 10. — P. 2291—2305.
9. Короновский А.А., Храмов А.Е. Анализ хаотической синхронизации динамических систем с помощью вейвлетного преобразования // Письма в Журнал экотеримент. и тео-рет. физики. — 2004. — T. 79. — C. 391—395.
10. Макаренко А.В. Исследование временной структуры синхронизации в многомерных хаотических системах // Журнал экперимент. и теорет. физики. — 2015. — Т. 147. — С. 1053—1063.
11. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А, Рузмайкин А.А. Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // Успехи физических наук. — 1987. — T. 152. — C. 3—32.
12. Mandelbrot B.B. Intermittent turbulence in self-similar cascades: divergence of high moments and dimension of the carrier // J. Fluid Mech. — 1974. — Vol. 62. — P. 331—358.
13. Брур Х.В., Дюмортье Ф., ван Стрин С, Такенс Ф. Структуры в динамике. — М.: Ижевск: ИКИ, 2003. — 336 с.
14. Борисов С.В., Каплан А.Я., Горбачевская Н.Л., Козлова И.А. Анализ структурной синхронности ЭЭГ подростков, страдающих расстройствами шизофренического спектра // Физиология человека. — 2005. — Т. 31. — C. 16—23.
15. Symbolic analysis of 24h holter heart period variability series: comparison between normal and heart failure patients / A. Porta, G. D'Addio, Pinna G.D., at al. // Computers in Cardiology. — 2005. — Vol. 32. — P. 575—578.
16. Tino P., Schittenkopf C, Dorffner G. Temporal pattern recognition in noisy non-stationary time series based on quantization into symbolic streams: Lessons learned from financial volatility trading // Pattern Analysis & Applications. — 2001. — Vol. 4. — P. 283—311.
17. Makarenko A.V. Symbolic CTQ-analysis — a new method for studying of financial indicators // Intern. Conf. «Advanced Finance and Stochastics». Moscow, 24—28 June 2013, Steklov Mathematical Institute. — M., 2013. — P. 63—64.
18. Fiedor P. Networks in financial markets based on the mutual information rate // Phys. Rev. E. — 2014. — Vol. 89. — 052801.
19. Макаренко А.В. Символический анализ в пространстве «скорость — кривизна» структуры хаоса в режиме синхронизации // Письма в Журнал техн. физики. — 2012. — Т. 38. — С. 1—9.
20. Макаренко А.В. Символический анализ в пространстве «скорость-кривизна» многомерных динамических процессов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 2012. — Т. 52. — C. 1248—1260.
21. Боуэн Р. Методы символической динамики. — М.: Мир, 1979.
22. Gilmore R., Lefranc M. The topology of chaos. — N.-Y.: John Wiley & Sons, 2002.
23. Hsu C.S. Cell-to-Cell Mapping: A method of Global Analysis for Nonlinear Systems. — N.-Y.: Springer-Verlag, 1987.
24. Dellnitz M, Hohmann A. A subdivision algorithm for the computation of unstable manifolds and global attractors // Numerische Mathematik. — 1997. — Vol. 75. — P. 293—318.
25. Макаренко А.В. Мера синхронности многомерных хаотических последовательностей на основе их символьного представления в T-алфавите // Письма в Журнал техн. физики. — 2012. — Т. 38. — С. 53—60.
26. Макаренко А.В. Исследование фазовой синхронизации хаотических колебаний в терминах символического CTQ-анализа // Журнал техн. физики. — 2016. — Т. 86. — С. 110—118.
27. Makarenko A.V. Generalized synchronization of multidimensional chaotic systems in terms of symbolic CTQ-analysis // The 8th Chaotic Modeling and Simulation International Conference / Book of Abstracts. — Paris: ISAST; IHP. — 2015. — P. 77—78.
28. Battiston F, Nicosia V., Latora V. Structural measures for multiplex networks // Phys. Rev. E. — 2014. — Vol. 89. — 032804.
29. Davidsen J., Grassberger P., Paczuski M. Networks of recurrent events, a theory of records, and an application to finding causal signatures in seismicity // Phys. Rev. E. — 2008. — Vol. 77. — 066104.
30. Mathematical Formulation of Multilayer Networks / M. Domenico, A. Sole-Ribalta, E. Cozzo, at al. // Phys. Rev. X. — 2013. — Vol. 3. — 041022.
31. Newman M.E.J. Networks: An Introduction. — Oxford, UK: Oxford University Press, 2010.
32. Network Analysis: Methodological Foundations, Lecture Notes in Computer Science 3418 / U. Brandes, T. Erlebach (Eds.). — N.-Y.: Springer-Verlag, 2005.
33. Bianconi G. Statistical mechanics of multiplex networks: Entropy and overlap // Phys. Rev. E. — 2013. — Vol. 87. — 062806.
34. Количество информации как мера синхронизации хаоса / А.В. Шабунин, В.В. Демидов, В.В. Астахов и др. // Письма в Журнал техн. физики. — 2001. — Т. 27. — С. 78—85.
35. Mosekilde E., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic synchronization: Applications to living systems. (World Sci. Ser. Nonlinear Sci. Ser. A Monogr. Treatises, vol. 42.) River Edge. — N.J.: World Sci. Publ., 2002.
36. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физических наук. — 1983. — Т. 141. — С. 343—374.
37. Леман Э. Проверка статистических гипотез. — М.: Наука, 1979.
38. Garlaschelli D., Loffredo M.I. Patterns of Link Reciprocity in Directed Networks // Phys. Rev. Lett. — 2004. — Vol. 93. — 268701.
Статья представлена к публикации членом редколлегии П.Ю. Чеботаревым.
Макаренко Андрей Викторович — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН; руководитель, Науч.-исслед. группа «Конструктивная Кибернетика», г. Москва, И [email protected].
