Анализ фрактальности в хаотической нейронной сети с фрагментарной синхронизацией Текст научной статьи по специальности «Математика»

полнять и управление группой, т. к. коррекция местоположения в строю тоже будет выполняться бортовыми комплексами. Однако данное управление повышает требования к аппаратуре навигационного вычислителя (к памяти, производительности и сложности программного обеспечения).

Проведенный выше анализ показывает возможность использования радиолинии АЗН-В режима 4 в качестве командного канала для управления полетом определенным классом БПЛА. Существенное достоинство применения данной ЛПД — повышение безопасности полетов [4]. Дей-

СПИСОКЛ

1. Сурков, A.M. Беспилотные летательные аппараты [Текст]/А.М. Сурков//Лего Business. —1998. —№1. —С. 35—37

2. Minimum Aviation System Performance Standards For Automatic DependentSurveillance Broadcast (ADS-B). RTCA/DO-242A. [Текст]ЖТСА, Inc. 2002. (Минимальные требования стандартов к характеристикам авиационных систем — автоматическое зависимое наблюдение в вещательном режиме (АЗН-В).

3. Кулик, А.С. Проблематика разработки пер-

ствительно, принцип построения систем автоматического зависимого наблюдения вещательного режима позволяет на борту каждого летательного аппарата (пилотируемого и беспилотного), оснащенного ЛПД АЗН-В, и пунктов управления (БПЛА и УВД) получить полную информацию обо всех объектах, контролируемых в области полетов. Таким образом, применение ЛПД АЗН-В режима 4 позволяет сделать шаг к использованию БПЛА в зонах полетов авиации общего назначения, что существенно расширит круг выполняемых БПЛА задач при сохранении высокого уровня безопасности полетов.

спективных малогабаритных летающих роботов [Текст]/А.С. Кулик, А.Г. Гордин, В.В. Нарожный [и др.]. -Национальный аэрокосмический университет имени Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт». -Украина, 2006. -33 с.

4. Ахмедов, P.M. Автоматизированные системы управления воздушным движением. Новые информационные технологии в авиации: Учеб. пособие[Текст]/ Р.М.Ахмедов, А.А.Бибутов, А.В.Васильев [и др.]; Под ред. С.Г.Тятко, А.И.Красова.-СПб.Лолитехника, 2004.-444 с.

УДК 004.8.032.26, 681.513.8

Е.Н. Бендерская, С.В. Жукова

АНАЛИЗ ФРАКТАЛЬНОСТИ В ХАОТИЧЕСКОМ НЕЙРОННОЙ СЕТИ С ФРАГМЕНТАРНОЙ СИНХРОНИЗАЦИЕЙ

Феноменология хаотических нейронных сетей все чаще становится объектом исследования. Выявление условий возникновения коллективной динамики в системе взаимосвязанных хаотических осцилляторов, проявляющейся в форме внутренней синхронизации отдельных элементов в отсутствии внешнего управляющего воздействия, является актуальной задачей. Ее решению посвящены многие научные междисциплинарные проекты ведущих университетов мира, т. к. эффект сохранения стабильности синхронных кластеров при условии нестабильности динамики каждого из нейронов может быть использован во множестве приложений при решении различных задач кластеризации [1, 2]. Поскольку колебательные

кластеры по своему составу не зависят от начальных условий, то под странным аттрактором понимается синхронный кластер [3, 4].

В подавляющем большинстве научных работ рассматриваются гомогенные хаотические сети с одинаковой силой связи между нейронами. Такое структурное упрощение позволяет значительно снизить сложность исследования динамики сотен взаимосвязанных хаотических элементов в системе. При этом задача решается методами компьютерного моделирования и сводится к установлению факта перехода колебательной системы в тот или иной синхронный режим в зависимости от силы связи между нейронами. Однако при таком подходе практическая значимость частных

решений остается под вопросом. Более ценным оказывается обобщение результатов имитационного моделирования гетерогенных хаотических нейронных сетей [3-6].

В данной статье рассматривается фрагментарная синхронизация фрактальных волн, генерируемых гетерогенной хаотической нейронной сетью большой размерности; обнаружена фрактальность структуры синхронных кластеров. Предлагается использовать фрактальность колебательной динамики для снижения вычислительной сложности предложенного в [7, 8] алгоритма кластеризации.

Обнаружение макроскопического аттрактора

Исследуемая хаотическая нейронная сеть (ХНС) представляет собой однослойную рекуррентную сеть, в которой элементы связаны «каждый с каждым», без образования связи «сам на себя»:

(1)

ц ¡*]

/(у(0) = 1-2/(0, (2)

= ехр(-1 х( -х] I2 Па2), (3) где а - масштабирующая

а)

г)

20 40 60 80 100 120 140

20 40 60 80 100 120 140

константа, вычисляемая по алгоритму, представленному в [8]; W - сила связи (весовой коэффи-

V

циент) между / и] нейронами; N - число нейронов (число точек-объектов во входном изображении); Т - время моделирования. После переходного периода выделяется некоторый период наблюдения Тп, в течение которого накапливается статистика об активности сети для дальнейшего выявления колебательных кластеров.

Независимость состава колебательных кластеров от начальных условий в установившемся режиме - основа многочисленных применений этого явления, в т. ч., и в будущих приложениях.

На рис. 1 представлена визуализация выходов ХНС, образующих в установившемся режиме идентичные колебательные кластеры, несмотря на то, что отдельные траектории остаются хаотическими. Возникновение одного из типов синхронизации (полная, фазовая, фрагментарная) предопределяется свойствами входного образа, подлежащего кластеризации:

в ответ на простой образ (рис. 1 а), состоящий из компактных, разнесенных в пространстве кластеров, ХНС генерирует три кластера, в пределах каждого из которых нейроны полностью синхронно изменяют свои состояния (рис. 1 б, в);

20

40 60 Тп

80

ООО

ВДВ щ

№ ш

шш. ■

¿•П.!

Ш

ив®

Ышш

20

40

60

80

Тп

Рис. 1. Визуализация выходов ХНС: а - простой образ из 146 объектов; б-в - 146 выходов ХНС образуют три полностью синхронно колеблющихся кластера в течение периода наблюдения, равного 100 дискретным отсчетам; г - сложный входной образ, созданный 158 входными точками; д-е - 158 выходов ХНС, образующих три идентичных по составу фрагментарно колеблющихся кластера от различных начальных условий

в случае, если объекты во входном изображении менее компактны и располагаются в непосредственной близости друг от друга (рис. 1 г), имеет место фрагментарная синхронизация (рис. 1 д, е) [7, 8].

Несмотря на различия в мгновенных значениях выходов нейронов в зависимости от начальных условий, интегральное состояние траекторий нейронов друг относительно друга является инвариантным, что позволяет говорить о существовании макроскопического аттрактора системы в целом.

Факт перехода ХНС в установившийся режим фиксируется на основании совпадения результатов кластеризации по методу голосования [9] на различных периодах наблюдения и от разных начальных условий. Однако сравнение результатов кластеризации значительно превышает по трудоемкости решение самой задачи кластеризации хаотической нейронной сетью, что препятствует широкому применению метода, несмотря на очевидные его преимущества по сравнению с аналогами [7, 8]. Предлагается использовать другой способ, основывающийся на выявлении фрак-тальности колебаний в системе в целом, а не в ее отдельных частях.

Феномен фрагментарной синхронизации пока не поддается строгому математическому анализу [7]. Противоречивые результаты статистического анализа колебательной динамики выходов ХНС не позволяют сделать однозначные выводы о повышении качества кластеризации за счет увеличения периода наблюдения. Экстенсивное увеличение объема статистической информации (Тп = 100000) о колебательной активности ХНС приводит порой к получению менее качественных результатов кластеризации, чем на выборках небольшого размера (Тп =100).

Фрактальная структура кластеров

Понятие фрактал объединяет как пространственные, так и временные структуры, характеризуемые свойством самоподобия на различных масштабах рассмотрения [10]. В случае ХНС мы сталкиваемся не только с пространственной, но и с временной фрактальностью структуры многомерных временных рядов, наблюдаемых на разных уровнях детализации. Выявленная в ХНС фрагментарная синхронизация [7, 8], при которой синхронизированы отдельные фрагменты из всего множества наблюдений многомерного выхода ХНС, по всей видимости имеет фрактальную при-

роду, что перекликается со словом «фрагмент» (лат. «ГгасШв»). Появилась необходимость экспериментального подтверждения предположения о масштабируемости статистической выборки выходов ХНС.

Для выявления самоподобия колебаний внимание было сфокусировано на анализе выходов ХНС, представленных в различных масштабах, что позволяет увидеть фрактальную структуру многомерных временных рядов, составленных из последовательности временных отсчетов выходных значений всей сети. Временная фрактальность, так же как и пространственная, подразумевает наличие самоподобия - повторяемости структуры при увеличении и при уменьшении масштаба рассмотрения. Для временной структуры это равносильно уменьшению масштаба представления за счет прореживания (просеивания) временной последовательности с разным коэффициентом. Таким образом, мы получаем разную степень детализации, как если бы при моделировании был взят шаг времени отличный от единичного.

На рис. 2 а представлены исходные временные последовательности, подлежащие анализу на периоде наблюдения Тп = 2000, далее, на рис. 2 б-д детально представлены первые 500, 250, 100, 50 отсчетов соответственно. На рис. 2 е-и представлены временные последовательности выходов с разными коэффициентами просеивания и соответствующими масштабами рассмотрения: 1:4 на рис. 2 е, 1:8 на рис. 2 ж, 1:20 на рис. 2 з, 1:40 на рис. 2 и.

Сопоставление результатов, представленных на рис. 2 б и е, 2 в и ж, 2 г и з, 2 д и и, соответственно, позволяет обнаружить квазипериодические повторения одного и того же многомерного ряда не только в пределах одного кластера, но и в ХНС в целом. Подобие колебаний во времени свидетельствует о фрактальности колебательной динамики. Необходимо заметить, что если за первоначальную взять последовательность с шагом отображения 40 (рис. 2 и), то следующие в обратном порядке последовательности (рис. 2 з, ж) можно считать рассмотрением той же последовательности с коэффициентами увеличения относительно исходной в два, пять, десять раз.

Для исследования регулярности сложных и многомерных динамических систем часто используется рекуррентный анализ с построением наглядной рекуррентный диаграммы [11]. Обнаружение рекуррентности в двух различных по-

а)

б)

шшшмшт ■МВИНЯйЯ

1800 2000

т их т 'о т ш л тс I 'и: I Шшп

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

Рис. 2. Анализ фрагментарной синхронизации на примере естественного порядка следования состояний сети и порядка с прореживанием: а - исходные последовательности выходов ХНС; б - первые 500 отсчетов в выборке; в - первые 250 отсчетов; г - первые 100 отсчетов; д - первые 50 отсчетов; е - выборка, состоящая из каждого 4-го отсчета из исходной выборки (всего 500 отсчетов, масштаб рассмотрения 1:4); ж - выборка, состоящая из каждого 8-го отсчета из исходной выборки (всего 250 отсчетов, масштаб рассмотрения 1:8); з - выборка 1:20 (всего 100 отсчетов, масштаб рассмотрения 1:20);

и - выборка 1:40 (всего 50 отсчетов)

следовательностях (кросс-рекуррентный анализ) свидетельствует о наличии синхронизации между ними, а при обнаружении рекуррентности между самой последовательностью и ее уменьшенным или увеличенным представлением, может использоваться для более наглядного изучения фрактальности (самоподобия).

Рекуррентный анализ и фрактальность колебательных кластеров

Применение фазовых портретов как инструмента визуализации сложной динамики многомерных систем ограничено в связи с необходимостью построения различных проекций. Это

препятствует комплексному анализу активности системы в целом. Для отображения т-мерной фазовой траектории состояний системы х(?) длиной N на двумерную квадратную двоичную матрицу размером N х N в [12] было предложено фиксировать на рекуррентной диаграмме информацию о поведении системы во времени в соответствии с соотношением:

Щ, .) = 0(Е - ||х. - х.||), г, . = 1..Л, (4)

где N - количество рассматриваемых состояний х.; Е - граничное расстояние; ||*|| - норма, 0 -функция Хэвисайда. Рекуррентная диаграмма позволяет выявлять временные структуры в виде горизонтальных, вертикальных (замирание колебаний) и диагональных (повторения колебаний) отрезков, визуализирующих 1 в матрице R.

Поскольку состояния хаотической системы не повторяются полностью, но находятся в непосредственной близости от предыдущих состояний, то рекуррентность определяется как достаточная близость состояния х. к состоянию х . Иными словами, рекуррентными являются состояния х., попадающие в т -мерную окрестность с радиусом Е и центром х .. Эти точки х. называются рекуррентными точками.

Поскольку Л (г,.) = 1, г = 1..^ по определению, то рекуррентная диаграмма всегда содержит черную диагональную линию - линию идентичности, под углом п/4 к осям координат. Произвольно взятая рекуррентная точка (г, /) не несет какой-либо полезной информации о состояниях в отсчетах времени г и.. Только вся совокупность рекуррентных точек позволяет восстановить свойства системы. Внешний вид рекуррентной диаграммы позволяет судить о характере протекающих в системе процессов, наличии и влиянии шума, наличии состояний повторения и замирания в ходе эволюции системы.

При построении рекуррентной диаграммы анализируется взаимная близость точек одной траектории х . Аналогичное сравнение можно провести для двух временных рядов, если добавить в то же фазовое пространство траекторию у Графическое отображение сравнения близости точек первой траектории с точками второй траектории называется кросс-рекуррентной диаграммой:

СЯ(/,.) = 0(Е - ||х. - у||), г,. = 1...Ж (5)

Это выражение полностью аналогично выражению для рекуррентной диаграммы. Если

состояние второй траектории во время . близко состоянию первой траектории во время , то 1 (черная точка) будет установлена в матрице CR в положении (г,Такая ситуация не означает «повторение» состояния и, таким образом, матрица отображает не повторяемость, а соответствие траекторий.

Аналогичным образом обобщается понятие количественного анализа.

Так как значения CR(г, г) не обязательно отличны от нуля, то, как правило, главная диагональ размывается. Сказанное выше относительно толкования топологии рекуррентных диаграмм, справедливо и для кросс-рекуррентных диаграмм, причем диагональные линии в данном случае представляют больший интерес, т. к. указывают на проходящие близко участки траекторий двух разных процессов. Частота и длины этих линий очевидным образом указывают на подобие динамики исследуемых систем. Увеличивающееся со временем подобие рассматриваемых траекторий приводит к увеличению плотности рекуррентных точек вдоль главной диагонали до появления на ней сплошной черной линии (которая, фактически, является линией идентичности, а кросс-рекуррентная диаграмма в области старших индексов превращается в обычную рекуррентную).

В данной статье предлагается использовать рекуррентные и кросс-рекуррентные диаграммы для анализа фрактальных свойств фрагментарно синхронизированных нейронов с колебательной активностью. Предпосылкой применения служит предположение о том, что, если структуры рекуррентной диаграммы и кросс-рекуррентной диаграммы окажутся схожими, то можно говорить о фрактальности фрагментарной синхронизации. Здесь под рекуррентной диаграммой подразумевается отображение динамики нейронов из исходной выборки в себя, а под кросс-рекуррентной диаграммой - отображение динамики состояний, следующих по порядку, в динамику, образованную отмасштабированной выборкой.

Анализ фрактальности колебательных кластеров

Совместное представление рекуррентных диаграмм выборки из первых 500 отсчетов (рис. 3 а) и отмасштабированной выборки 1:4 (рис. 3 б); рекуррентных диаграмм выборки из первых 250 отсчетов (рис. 3 в) и отмасштабированной выборки 1:8 (рис. 3 г); рекуррентных диаграмм

а)

б)

д)

500

ж)

100

20 30 1:40

Рис. 3. Рекуррентные диаграммы динамики ХНС: а - самоотражение первых 500 отсчетов; б - самоотражение отмасштабированной выборки 1:4; в - самоотражение первых 250 отсчетов; г - самоотражение отмасштабированной выборки 1:8; д - самоотражение первых 100 отсчетов; е - самоотражение отмасштабированной выборки 1:20; ж - самоотражение первых 50 отсчетов; з - самоотражение отмасштабированной выборки 1:40

выборки из первых 100 отсчетов (рис. 3 д) и от-масштабированной выборки 1:20 (рис. 3 е); рекуррентных диаграмм выборки из первых 50 отсчетов (рис. 3 ж) и отмасштабированной выборки 1:40 (рис. 3 з) дает возможность провести их сравнение и анализ. Кроме того, что из рис. 3 видна явная схожесть общей структуры диаграмм, можно сделать следующие выводы:

наличие диагональных линий и узоров в шахматном порядке в рекуррентных диаграммах на рис. 3 свидетельствует о наличии периодичности осциллирующей динамики;

диаграмма на рис. 3 б повторяет фрагмент диаграммы 3 а и является более подробным его представлением;

диаграмма на рис. 3 в повторяет фрагмент диаграммы 3 б;

диаграмма на рис. 3 д повторяет фрагмент диаграммы 3 г;

а)

0 20 40 60 80 100 1-100 1:20

диаграмма на рис. 3 е повторяет фрагмент диаграммы 3 в;

нерегулярность диагональных линий свидетельствует о наличии хаотической динамики, что объясняет некоторое различие в рекуррентных диаграммах в соответствующих масштабах (рис. 3 а и б; рис. 3 в и д).

Разная детализация нерегулярности диагональных линий, представленная на рис. 3, является следствием высокой требовательности к точности совпадения состояний системы. Как известно, при рассмотрении многомерных динамических систем с хаотической динамикой назначается допустимая погрешность на точность повторения траектории движения системы, и от нее также зависит структура рекуррентных диаграмм.

Проверка сохранения фрактальных свойств для последовательностей с большими коэффициентами уменьшения степени детальности

6)

250 200 150 100 50

0

0 50 100 150 200 250 1-250 1:8

40 :

30 20 10

0 ■ 0 10 20 30 40 50

1-50 i==0- 1:40

Рис. 4. Кросс-рекуррентные диаграммы динамики выходов ХНС: а - отображение исходных 500 отсчетов в масштабированные 1:4 отсчеты; б - отображение исходных 250 отсчетов в масштабированные 1:8 отсчеты; в - отображение исходных 100 отсчетов в масштабированные 1:20 отсчеты; г - отображение исходных 50 отсчетов в масштабированные 1:40 отсчеты

представления временной последовательности выходных значений ХНС показала, что выводы, сделанные для первых 500 отсчетов и первых 250 с масштабами 1:4 и 1:8 соответственно, справедливы и для первых 100, и для первых 50 отсчетов (более детальное рассмотрение исходной последовательности) и для масштабов 1:20 и 1:40.

Исследование самоподобия колебательных фрагментов в разных масштабах рассмотрения показало, что кросс-рекуррентные диаграммы аналогичны для исходной последовательности и последовательностей с масштабами рассмотрения 1:4, 1:8, 1:20, 1:40. Из их совместного рассмотрения можно констатировать, что свойство взаимного соответствия между ними сохраняется, несмотря на разные масштабы представления исходной последовательности. Это подтверждает наличие фрактальности в хаотической нейронной сети с фрагментарной синхронизацией.

Рекуррентные диаграммы и кросс-рекуррентные диаграммы для анализа самоподобия между исходными и масштабированными последовательностями представлены на рис. 4. Как и для рекуррентной диаграммы исходной последовательности (рис. 3 б и рис. 4 а; рис. 3 в и рис. 4 б) и кросс-рекуррентных диаграмм масштабированных последовательностей видна схожесть с точностью до мелких фрагментов. Это также подтверждает необходимость введения в метод выявления фрагментарной синхронизации, кроме порога точности совпадения значений вы-

ходов ХНС, еще и некоторого дополнительного загрубения - процента совпадающих фрагментов. Кросс-рекуррентные диаграммы масштабированных последовательностей с различными коэффициентами масштабирования также подтверждают ранее сделанные выводы относительно фракталь-ности выходных последовательностей ХНС. Проверка общности самоподобия для ХНС была выполнена и на других входных образах.

Внутренняя структура фракталов

В данной статье исследована фрактальность структуры фрагментарной синхронизации выходов ХНС. Для выявления самоподобия были применены методы рекуррентного и кросс-рекуррентного анализа многомерных временных рядов. Результаты, аналогичные представленным на рис. 2-3, были получены на всем множестве широко используемых тестовых задач кластеризации.

Понимание механизмов образования колебательных кластеров со сложной внутренней структурой ведет к уменьшению ресурсоемкости метода кластеризации на основе ХНС.

Дальнейшее исследование фрактальности ХНС может быть направлено на получение множества числовых характеристик и выявление тонкой внутренней структуры фазового пространства и определение режимов синхронизации с помощью средств автоматического анализа рекуррентных диаграмм.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Politi, A. Stable chaos in Nonlinear Dynamics and Chaos: Advances and Perspectives [TeKcr]/A. Politi, A. Torcini//Understanding Complex Systems. -2010. -P. 103-129.

2. Pikovsky, A. Synchronization: Theory and Application [TeKCT]/A. Pikovsky, Y. Maistrenko//NATO Science. -Ser. II: Mathematics, Physics and Chemistry.-Springer, 2008.

3. Junji, Ito Spontaneous structure formation in a network of dynamic elements [TeKcr]/Ito Junji, K. Kaneko// Phys. Rev. E.-2003.-№ 67(14).-P. 119-129.

4. Anishchenko, V. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems: Tutorial and Modern Developments. [TeKCT]/V. Anishchenko, V. Astakhov, A. Neiman [et al.]-Springer-Verlag, 2007.

5. Inoue, M Dynamics of Coupled Adaptive Elements: Bursting and Intermitteny Oscillations Generated by Frustration in the Network [TeKCT]/M Inoue, K. Kaneko// Phys. Rev. E.-2010.-№81.-P. 126-203.

6. Li, S. Synchronization in coupled map lattices with small-world delayed interactions [TeKCT]/S. Li, X. Liao, J. Yu//Physica A.-2004.-№° 335.-P 365-370.

7. Бендерская, Е.Н. Использование фрагментарной хаотической синхронизации для моделирования межмолекулярных взаимодействий и процессов образования наноструктур [Текст]/Е.Н. Бендерская, С.В. Жуко-ва//Научно-технические ведомости СПбГТУ-2008.-№ 3.-С. 126-130.

8. Benderskaya, E.N. Clustering by chaotic neural networks with mean field calculated via Delaunay triangulation [Текст]/Е.№ Benderskaya, S.V. Zhukova// Lecture Notes in Artificial Intelligence.-2008.-Vol. 5271.-Springer,-P 400-416.

9. Журавлев, Ю.И. Распознавание. Математические методы. Программная система. Практические применения [Текст]/Ю.И. Журавлев, В.В. Рязанов, О.В. Сенько. -М.: Фазис, 2006.

10. Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature,

[TeKCT]/B. Mandelbrot W.H. -Freeman and Co, N. Y., 1983 11. Marwan, N. Recurrence Plots for the Analysis of Complex Systems [TeKCT]/N. Marwan, M.C. Romano, M. Thiel [et al.]//Physics Reports,

2007.-№ 438(5-6).-P. 237-329.

12. Eckmann, J.-P. Recurrence Plots of Dynamical Systems [TeKcr]/J.-P Eckmann, S.O. Kamphorst, D. Ruelle//Europhysics Letters.-1987.-№ 5.-P. 973-977.