CC BY
28
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КОРРЕКЦИИ НЕСОВМЕСТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ КОМБИНАТОРНОГО ТИПА В ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
УДК 519.87
Оксана Александровна Клименко
аспирантка кафедры теоретической информатики и дискретной математики Московского педагогического
государственного университета Тел.: 89151452959, E-mail: akasana777@mail.ru
Вводится понятие матрицы комбинаторного типа, рассматриваются системы линейных уравнений и неравенств с такими матрицами. Для случая несовместности таких систем, предложены методы устранения проблемы противоречивости модели с использованием алгоритма обобщенной наименьшей нормы. Рассмотрены приложения систем комбинаторного типа.
Ключевые слова: комбинаторные системы, коррекция, ядро, алгоритм TLN
Oksana Aleksandrovna Klimenko
Post-graduate student of faculty of theoretical computer science and discrete mathematics of Moscow Pedagogical State University Tel.: 89151452959, E-mail akasana777@mail.ru
THE METHODS OF DATA CORRECTION OF INCOMPATIBLE LINEAR COMBINATORIAL SYSTEMS AND ITS APPLYING IN DECISIONMAKING
It's introduced the concept of combinatorial type matrix. The systems of linear equations and inequalities with such matrix are considered. It is discussed cases of incompatibility of such systems, the interpretation and possible ways to resolve the problem of inconsistency are proposed. The applications of combinatorial systems are given.
Keywords: combinatorial systems, correction, C-core, TLN-algorithm
1. Введение
Комбинаторные устройства и системы, являющиеся технической реализацией комбинаторных принципов, нашли применение в информационно-управляющей технике, в автоматизированных системах контроля. С каждым годом расширяется применение комбинаторики в области экономических наук. Используются комбинаторные схемы и в биологии. Для исследования и прогнозирования работы таких систем традиционно используют математическое и компьютерное моделирование. Как правило, рассмотрение возможных решений задачи и интерпретация ведется с помощью аппарата дискретной математики и геометрии. В данной работе вводится новое понятие матрицы комбинаторного типа, а для получения более полной информационной картины работы структур, функционирующих по законам комбинаторики, предлагается использовать системы линейных уравнений и неравенств комбинаторного типа.
С увеличением мощности современных вычислительных машин появилась возможность проводить более объемные по количеству операций расчеты, делать переборы, ранее требовавшие сотни лет. В этой связи видится возможным пересмотреть традиционный подход к математическому описанию моделей объектов и явлений, имеющих комбинаторную природу. При таком подходе появляется возможность всесторонне изучить модель, получать сведения не только о результатах работы, но и о факторах, существенно на нее влияющих, определять границы устойчивости. В случае противоречивости модели, описанной системой комбинаторного типа, имеется возможность применить методы коррекции систем линейных уравнений, с условием минимальности изменений исходных данных. Решение задачи коррекции рассматривается на базе алгоритма обобщенной наименьшей нормы (ТЬЫ). Описаны преобразования, которые необходимо осуществить для использования указанного алгоритма в задачах коррекции несовместных комбинаторных систем.
2. Понятие матрицы комбинаторного типа. Системы уравнений и неравенств с матрицами комбинаторного типа
Определение. Системой линейных уравнений комбинаторного типа назовем систему вида
Ах = Ь,
где Ь е Л", Ы" матрица^ е К™*» имеет вид
A =
a11 0 0 0 0 0 0
0 a22 0 0 0 0 0
0 0 a33 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
n 11 an 12 0 0 0 0
n 21 0 an 23 0 0 0
nn 0
ml
m2
m3
amn- 2 amn-1 amn у
т = (2п - 1), первые п строк матрицы содержат по 1 ненулевому элементу и представляют сочетание из п элементов по 1 или, что то же самое, подмножества множества {1, ... ,п} состоящие из одного элемента, следующие р = Сц строк содержат по 2 элемента и являются подмножествами множества {1, ..., п}, состоящими из двух элементов и т.д. Последняя строка содержит все п элементов. Очевидно, рч = С; , где - число элементов в подмножестве. Таким образом, строки матрицы представляют наборы лексикографически упорядоченных подмножеств множества {1, ..., п}.
Обозначим множество матриц комбинаторного типа К . В общем случае число ненулевых элементов матрицы^ равно к = 2"- и/2 = 2"'1 • и, нулевых -к = = 2" ■ п - 2"Л • п - п = (2'н1 - 1) • п.
0
a
Соответственно, систему вида Ах £ Ь с теми же характеристиками матрицы А е Л"'*" и векторов бе Л"' ихе Л" будем называть системой линейных неравенств комбинаторного типа.
Для ответа на вопрос о разрешимости системы уравнений комбинаторного типа легко проверить выполнение критерия Кронекера-Капелли, а для систем неравенств той же структуры можно предложить следующий критерий.
Теорема. Необходимым и достаточным условием совместности системы линейных неравенств комбинаторного типа вида Ах < Ь для а * О, У = 1, ..., п является выполнение условия
(
sign
2>1):
2n+1+2 j
aiA
j=1
k,l=\ k=l*j
= sign (A)
где \= [i
. i = 1.
Очевидно, что в общем случае комбинаторные системы несовместны (не имеют решения), т.к. являются примером переопределенных систем: m >> n.
3. Методы коррекции несовместных систем комбинаторного типа
В последние десятилетия получило развитие направление, связанное с исследованием несовместных (противоречивых) в классическом смысле моделей [1] - [4]. Получены серьезные результаты в изучении проблемы коррекции несовместных систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим вопрос коррекции несовместных систем комбинаторного типа.
Наиболее изученным для систем произвольного типа является вопрос коррекции правой части системы уравнений, т.е. нахождения вектора h е R™ такого, что система
Ax = b + h имеет решение и ||h|| = min llh .
x, h
Частным случаем такой коррекции является задача метода наименьших квадратов m
I
/г
■ mm
xjl
Гораздо больший интерес представляет проблема коррекции левой части или обеих частей несовместной системы комбинаторного типа, которая позволяет более тонко управлять процессом с минимальными затратами и нивелировать воздействие присутствующего в системе шума в показаниях как зависимых, так и независимых переменных.
Прежде всего, необходимо исследовать вопрос параметризации матрицы комбинаторного типа. Структура матрицы комбинаторного типа такова, что по полученному в результате параметризации вектору а размерности А" она может быть однозначно восстановлена. Для таких матриц выполняется равенство
Ща 1)+Я(ог 2)=Ща ^ а 2).
Зная размеры т х и и вектор а , можно однозначно построить матрицу
ЩаУ.
[а,„если У = Чъ]=Мси [О в противном случае
гдеу=1,...,А-, д = 1,...,С'„,1=1,..., /, /= 1,..., и, Мси е М (/) ,А/(/) - множество всех подмножеств индексов у, состоящих из I элементов, упорядоченное в лексикографическом порядке. Данный факт позволяет в сформулированной задаче заменить понятие малости нормы матрицы на эквивалентное понятие-малость нормы вектора а ,что в свою очередь дает возможность свести рассматриваемую задачу к задаче безусловной оптимизации.
Для линеаризации задачи 1 необходимо выполнить ряд матрично-вектор-ных преобразований. Матрица Н имеет ту же структуру, что и матрица А и однозначно определяется вектором а = = (к,,, к„, ..., к ). Использование запи-
4 11 22 тп
си Я( а ) подчеркивает, что матрица Я - параметрическая, зависящая от а . Вектору х поставим в соответствие т х к матрицу А'(х) следующим образом:
Xj|, если г = ¡1, 5 = /, 1 < / < А",
Ч
IA. jl
0
в остальных случаях
?-1
Ах = Ь + к , которая для систем комбинаторного типа решается с использованием псевдообратной матрицы, либо сингулярного разложения (особенно полезно при анализе влияния ошибок входной информации на решение задачи МНК), либо рЯ-алгоритма [5].
I=[v. (У,/) еАЛА!0}={7/1 /=1, ■ ■ ■, А'},
•Л {/■ I7-/ICА А ; ;./ / 1.....А;.
X(x) =
о о о о
00000000 0 .^0000000 00... 00000000 000 x Х2000000 00000 x x,0000 0 0 0 0 0 0 0 v0 0 0 0 0 0 0 0 X X
Параметрическая матрица Х(х) позволяет получить тождество, связыва-ющеех, а ,Ща )иЛ'(х):
Ща )х=Х(х)а . (1)
Решение задачи коррекции несовместной системы линейных уравнений комбинаторного типа с учетом использования описанных преобразований, может быть получено с помощью алгоритма ТЬК [6].
На практике чаще встречаются задачи, в которых условия записываются в виде системы неравенств, поэтому рассмотрим решение задачи коррекции несовместной системы неравенств комбинаторного типа.
Задача 1. Дана несовместная система линейных неравенств комбинаторного типа. При этом в общем случае Ь № 0. Требуется найти матрицу Н и вектор Л € Л" такие, что система (А +Н)х<Ъ+И совместна и выполнено условие
||[Я/7]|^тт||[Я/7]||р
(в задачах коррекции наиболе часто используют нормы Гельдера:
(
\
(
Я = и Ир
х<=Е" 1
ЕЕКГ >ное»", \,=1 ]=х ) наиболее удобны в вычислительном плане значения р = 2нр=ю),
Для начала с помощью стандартного перехода приведем систему неравенств к системе уравнений: Ах = Ь -у, у>0 Предположим, что некоторый вектор х и матрица Ща) заданы. Рассмотрим вектор невязок исследуемой системы линейных алгебраических уравнений
7"( а , х,у) = Ь -у - (А +Я( а ))х. Исходная задача может быть сформулирована как задача условной минимизации вида
г(а,х,у)
—» mm
а.х.у и
(2)
0 0 0 0 0
0000
лп J
Так как (А + Я( а )) х = Ь - у + /?, то -Ь=г(а ,х,у),а Щ(а )||^ = ||а Ц^.Подвер-гнув векторы х, у и линейным приращениям Ах, А у и а , с учетом Я( А а )х=Л'(х) А а и отбрасывая слагаемое Я( А а) Ах как величину второго порядка малости, получим:
7"( а + А а, х + Ах, у + А у) = г(а , х, у) Л (XI V -1.1 • Я ,/ )) \л* • \ \(3) Используя соотношения (2) и (3), для решения задачи 1 применим алгоритм
п
п
V
X =
X
p
=1
т п
xrs
A
обобщенной наименьшей нормы (ТЬЫ-алгоритм, Рис. 1).
Алгоритм ТЬК непосредственно не применим для задачи коррекции левой части системы, т.е. задачи 1 с условием к = 0. По сути (2) есть свертка двух критериев оптимальности. Первый критерий - критерий малости коррекции матрицы левой части системы (норма 11 а \ \ минимальна), второй критерий - критерий малости нормы вектора поправок правойчасти \\г{а , х, у)||. Приисполь-зование свертки этих двух критериев совместность скорректированной системы при фиксированной правой части не гарантируется, потому что не гарантируется равенство нулю вектора поправок правой части. Если же рассматривать норму вектора || а || как целевую функцию, а норму вектора невязки ||г(а , х, у)|| (вектора поправок правой части) как штрафную функцию, то в такой постановке минимизируется норма коррекции левой части системы при ограничении в виде совместности. Совместность гарантируется тем, что штрафуется функция нормы вектора невязки (в пределе штраф равносилен ограничению, что скорректированная система совместна). Вышесказанное приводит к задаче условной оптимизации для решения задачи 1 с условием к = 0 в следующем виде
\\а\\р + Cll r x, -У)||
—> mm
Р г/..х.у ч
с
Вход: векторы а еИ , Ь е]?'", е > 0. Выход: векторы аорЬ уорЬ хор,.
1. СформироватьЛ(а) е Кот„.
2. Пол ожить х = х0, у = у0 сф ормир оватъ А'(.т) ,г=Ъ - у - Ах.
3. Повторять
Х(х) А +Н(а) -/„
I
к
о
о
"А а
- г
Ах +
а
Ä-V _
• nun ,
Аа. Ах, Av
Р
х = х + А х, а = а + Да, v, = max(y, + Av,,0), i = 1,... ,m СформироватьH(a),X(x), г = (b - v) - (А + H )х пока не выполнится ||Аа, Ах, Ду||„< е.
^ opt &opt ~ У opt ~ У •
Рис. 1. TLN-алгоритм
где С - коэффициент штрафа, .
На практике встречаются различные условия функционирования структур комбинаторного вида, следовательно, и системы их описывающие также могут быть различными: смешанными, содержащими ограничения на коррекцию отдельных строк и столбцов и т.п. Мы рассмотрели базовые алгоритмы и преобразования, необходимые для работы таких алгоритмов.
4. Применение систем комбинаторного типа к задачам коррекции пустых ядер отношения предпочтения
Особое место среди условий, в которых приходится принимать решения, занимают условия конфликта. Математическая модель конфликта называется игрой, а участники - игроками. Математическое описание игры как модели реального процесса сводится к перечислению всех действующих в ней игроков, указанию для каждого игрока всех его стратегий, а также численного выигрыша, который он получит после того, как игроки выберут свои страте-
гии. В результате игра становится формальным объектом, который поддается математическому анализу. Остановимся более подробно на кооперативных играх с трансферабельной полезностью.
К числу важнейших понятий решения для кооперативных игр относится понятие С-ядра, определение которого опирается на отношение доминирования (по сути, отношение предпочтения) на множестве дележей.
Для нахождения С-ядра достаточно решить систему вида
П
;=1
где х. - выигрыш участника, величина у(5) - максимальный суммарный выигрыш игроков коалиции 5", который они могут обеспечить себе, действуя рационально и совместно, N - максимальная коалиция.
Проанализировав систему (4) нетрудно убедиться, что она является системой комбинаторного типа: последнее уравнение является максимальным подмножеством множества всех игроков, а неравенства вида
есть перебор всех возможных подмножеств заданного размера множества всех игроков. Таким образом, С-ядро можно найти как решение системы комбинаторного типа вида
4-v > Ъх А2х = Ь2,
(5)
где ненулевые элементы матриц А1 и А2 равны единице. Очевидно, такая
система, как пример системы комбинаторного типа может не иметь решение, т.е. C-ядро может быть пустым. Другими словами, в подобной ситуации мы имеем дело с противоречивой (несовместной) моделью. Для устранения противоречивости необходимо решить задачу коррекции кооперативной игры с пустым C-ядром, которую в общем виде можно сформулировать следующим образом.
Дана несовместная смешанная система вида (5). Требуется найти вектор h £ R" такой, что система АуХ >ЬХ+ Л;
A2x = b2+h2
где A=[A A2]t, b=[b1 b2]T, h=[hl h2]T, а ненулевые элементы матрицы A равны единице, совместна, и выполнено условие h —> min .
11 11Р h,x
В случае использования евклидовой нормы (p=2) в качестве критерия малости коррекции получим с математической точки зрения хорошо исследованную задачу метода наименьших квадратов.
Кроме того, в процессе коррекции противоречивой модели можно использовать дополнительные ограничения на коррекцию. Например, выигрыш максимальной коалиции может быть неподвержен изменениям (h2=0) можно ввести ограничения на значение величины h - неотрицательность, равенство заданной величине и т.д.
Предположим теперь, что каждый из участников кооперативного взаимодействия имеет заранее определенные предпочтения выигрыша ax. и текущих вложений x. в проект, то возникает воп-
рос о достижимости и возможности увеличения выигрыша в результате кооперирования с другими участниками. По сути, имеем кооперативную игру, описываемую с помощью характеристической функции, но не укладывающуюся в рамки имеющейся теории. Введем понятие обобщенной кооперативной игры.
Определение 1. Обобщенной кооперативной игрой n лиц в форме характеристической функции будем называть объект <N, v(S), a>, где функция v ( S) удовлетворяет условиям: 1) v(0 )=0; 2) v(skj т) > v(<S)+v(7), если S о Т= 0 для любых коалиций S и Т.
Определение 2. Дележом для обобщенной кооперативной игры в форме характеристической функции называется вектор q = (q ..., qn), q. = ax,, удовлетворяющий условиям коллективной
n
( ^ я,х, = v(yV) ) и индивидуальной
í=i
(ax. i v " i О N рациональности.
Понятие доминирования дележа обобщенной кооперативной игры сходно с соответствующим понятием для классической кооперативной игры.
Ядро обобщенной кооперативной игры, определяемое так же, как и для классической кооперативной игры, как множество всех ее недоминируемых дележей, описывается системой ^ я,х, > v( S) У S с N
ieS
(6)
« v =v(N).
T.-
(доказывается аналогично соответствующей теореме для С-ядра).
Таким образом, получаем новый объект кооперативной игры, содержательно более полно описывающий ситуацию кооперативного взаимодействия и основанный на понятии дележа -ядро СА.
Сл=\х IX v(S),
I ге5
Система (6) имеет структуру комбинаторного типа и, очевидно, может оказаться несовместной. В нашем предположении значение величины а для каждого участника индивидуально. С точки зрения возможности коррекции исходной несовместной модели этот случай представляет больший интерес: для системы вида (6) можно рассматривать задачи коррекции левой части или обе-
их частей (в отличие от классической кооперативной игры, где имеем дело только с правой частью системы). Для получения устойчивого решения обобщенной кооперативной игры можно применить методы коррекции, описанные в п. 2.
Несовместность модели обобщенной кооперативной игры говорит о том, что либо запросы (ожидания) завышены, либо вложений недостаточно, либо проект неудачен. Описывая решение кооперативного взаимодействия с помощью модели (6) можно не просто узнать выигрыш от совместной деятельности, но и прогнозировать размер прибыли в зависимости от объемов вложений.
Можно рассмотреть следующие варианты устранения несовместности модели:
1) v(S) остается неизменным и коррекции подлежат только коэффициенты а.. В этом случае задачу можно свести к задаче 1 с к=0 и дополнительным условием фиксированной последней строки. С практической точки зрения это означает, что игроку потребуется изменить свои пожелания.
В матричном виде данную задачу можно записать следующим образом: Г(4 +Н)х > V]
[А * = ч N)
где элементы строк матрицы л1 (А€ Л"'--'*") представляют лексикографически упорядоченные подмножества (коалиции) множества всех игроков, элементы матрицы А2 - максимальное подмножество, v1 - вектор, составленный из значений v(S).
2) коррекции подлежит только v(S). Получаем задачу коррекции правой части, которая может быть решена с помощью МНК (случай коррекции, сходный с классическими кооперативными играми с пустым ядром).
3) коррекции подлежат обе части системы. Задача сводится к задаче 1 с дополнительным условием фиксирования последней строки (не подлежит коррекции):
Г(4 +Н)х> V] +/?
[А х = ^ N).
5. Заключение
При моделировании работы некоторых технических устройств, биологических и социально-экономических процессов может использоваться понятие системы комбинаторного типа. Такие системы являются примером переопределенных систем и с большой ве-
роятностью могут оказаться несовместными. Причинами несовместности любой модели могут быть неточность или неопределенность исходных данных, чрезмерное упрощение действительных связей, абсолютизация некоторых требований и т.д. Несовместная модель может быть отражением существующих противоречий (поэтому такие модели еще называют противоречивыми), а способы ее корректирования - отражением действительных процедур разрешения реальных проблем.
Использование систем комбинаторного типа и методов их коррекции позволяют описывать взаимодействие различных объектов и на основе такого моделирования получать прогнозы и детальную картину влияний отдельных факторов (обнаруживать и предсказывать направления для устранения помех), получать информацию о минимальных затратах, которые необходимо осуществить для устранения проблемы.
Литература
1. Еремин И.И., Мазуров В.Д., Астафьев Н.Н. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. - М.: Наука, 1983, 334 с.
2. Ватолин А.А. Несобственные задачи математического программирования и методы их коррекции: Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.09. - Екатеринбург, 1992.
3. Горелик В.А., Ерохин В.И. Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму евклидовой нормы. - М.: ВЦ РАН, 2004, 193 с.
4. Горелик В.А., Ерохин В.И., Печен-кин РВ. Численные методы коррекции несобственных задач линейного программирования и структурных систем уравнений. - М.: ВЦ РАН, 2006, 150 с.
5. Лоусон Е., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов /Чарльз Лоусон, Ричард Хенсон; пер с англ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 232 с.
6. Rosen J.B., Park H., Glick J. Structured nonlinear total least norm problems // UMSI reserch report. Minniapolis (Mn): Univ. of Minnesota. Supercomput. inst., 1995, 95/152, 11 p.
7. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели: пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 464 с.
References
1. Eremin I.I., Mazurov V.D., Astaf 'ev N.N. Nesobstvennye zadachi linejnogo i
^^^ Прикладная информатика
vypuklogo programmirovaniya. - M.: Nauka, 1983, 334 c.
2. Vatolin A.A. Nesobstvennye zadachi matematicheskogo programmirovaniya i metody ih korrekcii: Diss. ... d-ra fiz-mat nauk: 01.01.09. - Ekaterinburg, 1992.
3. Gorelik V.A., Erokhin V.I. Optimal'naya matrichnaya korrekciya nesovmestnyh sistem lineinyh algebraicheskih uravnenij po minimumu
evklidovoj normy. - M.: VC RAN, 2004, 193 c.
4. Gorelik V.A., Erokhin VI., Pechenkin R.V. Chislennye metody korrekcii nesobstvennyh zadach linejnogo programmirovaniya i strukturnyh sistem uravnenij. - M.: VC RAN, 2006, 150 c.
5. Lowson C., Hanson R. Chislennoe reshenie zadach metoda naimen'shih kvadratov / Charl'z Louson, Richard
Henson: per s angl. - M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1986. - 232 c.
6. Rosen J.B., Park H., Glick J. Structured nonlinear total least norm problems // UMSI reserch report. Minniapolis (Mn): Univ. of Minnesota. Supercomput. inst., 1995, 95/152, 11 p.
7. Moulin H. Kooperativnoe prinjatie reshenij: Aksiomy i modeli: per. s angl. -M.: Mir, 1991. - 464 c.
