CC BY
17
Т.Н. Астахова
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВОЗВРАТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ..
УДК 531.395
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВОЗВРАТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОСТИ
В КЛАССЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
© 2015
Т.Н. Астахова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Информационные системы и технологии»
Нижегородский государственный инженерно экономический институт, Княгинино (Россия)
Аннотация. В статье исследованы задачи управления нелинейными системами с помощью управления, зависящего от времени и параметра а. Приведено условие управляемости нелинейной системы, основанное на модификации метода возврата. Согласно указанной теореме, нелинейные системы локально управляемы в окрестности точки при выполнении рангового условия управляемости. Рассмотрены примеры нелинейных систем, для которых конструктивно проверено условие управляемости, линейное приближение которых не удовлетворяют критерию Калмана. Предложен способ построения функции управления при использовании дополнительного параметра. В частности, рассмотрены такие неголономные системы, как расширенная модель интегратора Брокетта и система, описывающая движение мобильного робота - машина Дубинса. Для интегратора Брокетта проверено ранговое условие, основанное на модификации метода возврата с использованием функции управления в виде композиции тригонометрических функций. В качестве неопределенного параметра в этом случае используются значения коэффициентов при тригонометрических слагаемых. Для машины Дубинса предложено построение параметризованной функции управления с переключениями, где параметры характеризуют меру интервалов, на которых управление является определенной константой. Таким образом, в работе особо уделяется внимание неголономным механическим системам управления, на которые кроме геометрических, накладываются и неголономные связи.
Ключевые слова: нелинейные системы, неголономные системы, управляемость, метод возврата, интегратор Брокетта, машина Дубинса, скобки Ли, критерий Калмана, дискретно-переключаемая функция управления.
В математической теории управления свойство управляемости является ключевым для решения таких проблем, как задача стабилизации, задача оптимального управления или, например, решение двухточечной задачи управления для класса нелинейных систем [1, p. 339-386; 2, p. 95].
Для линейных систем ранговый критерий Калмана является как необходимым так и достаточным условием управляемости [3, p. 155]. Также условие управляемости Калмана позволяет исследовать локальную управляемость по линейному приближению [4, p. 674; 5, p. 9; 6, c. 40; 7, p. 392]. Для класса нелинейных систем известно большое количество работ, посвященных необходимым, а также достаточным условиям управляемости, однако, большинство из них используют термины свойств соответствующих алгебр Ли [8, c. 60; 9, p. 6; 10, p. 163]. В настоящее время вопрос локальной управляемости нелинейных механических систем является открытым, так как, в частности, не существует эффективной оценки числа итерированных скобок Ли при проверке соответствующего рангового условия [11, c. 2].
Для нелинейных систем управления известен сильный метод доказательства - H.U.M.(Hilbert Uniqueness Method) - метод единственности Гильберта, предложенный J.- L. Lions [12, p. 2] и J.-M. Coron [5, p. 19]. Данный метод заключается в сведении проблемы локальной управляемости нелинейной системы управления к существованию соответствующих периодических траекторий и исследованию управляемости уже линейных систем. В данной статье использован предложенный метод исследования управляемости нелинейных систем - метод возврата [13, p. 660, 14, p. 2].
Будем рассматривать нелинейную механическую систему управления,
х = f(x, и), х G D , и Е U Ç !
(1)
влетворяет граничным условиям х(0) = х0, х(т) = х1.
В этом определении, если имеется возможность выбрать управление из некоторой окрестности точки х=0 для любых X0, х1, то система (1) называется локально управляемой в точке х = 0.
Приведем теорему о локальной управляемости нелинейных систем вида (1), основывающеюся на модификации метода возврата.
Теорема 1. [15, с. 137] Рассмотрим семейство управлений а) Е П. 0 < Г < г. зависящее от параметра а=(й1,...,яь)€ ^ для фиксированного т>0. Будем предполагать, что при каждом а Е Шк существует единственное х^,а) решение задачи Коши:
И пусть существует а = я*, где а" Е К1', при котором
соответствующее решение х(^а') удовлетворяет условию х(^а') = 0.
Тогда, если выполняется условие
то система (1) локально управляема в окрестности точки х = 0.
Доказательство данной теоремы приведено в работе [15, а 137].
Пример 1. Машина Дубинса [16]:
где х - фазовый вектор, и - управление; точка обозначает производную по времени г. Будем предполагать, что О != К.'1 область, 0 е О, 0 е Е/, /(0,0) = 0.
Определение. [6, с. 39] Система (1) называется управляемой, если для любых точек .¡с0, .¡с1 е О существуют
г > 0, измеримая функция и Е ([0,т] —• I}) такие, чго существующее решение х(%) системы (1), г е [0,г]. удо-
Система (5) является кинематической моделью движения тележки в случае управления угловой скоростью [8, а 194]. Для k > 1, j = 2,3, ... , k и вектора а=(а;, ... , а), а.> 0, обозначим через Б. полуинтервал вида
$ = К=1 Положим 5! = [О .а^ } в случае) = 1.
Т.Н. Астахова
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВОЗВРАТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ...
Зададим управление в виде дискретной функции с переключениями [17, p. 46]
Для заданного примера, положим k = 4 и рассмотрим управление и = и (^а) вида (6). Находим соответствующее решение задачи Коши для системы (5) с начальным условием х1(0) = Х2(0) = Х3(0) = 0 (здесь не будем приводить в силу его громоздкости). И для того, чтобы в момент времени а = а1 + а2 + а3 + а4 решение задачи Коши обращалось в нуль, необходимо решить систему уравнений относительно а1, а2, а3, а4:
В развернутом виде следующим образом:
эта система запишется
a+a3
■ a2 - a4 = 0,
2sina1 - 2(sin(a1 - a^ - sin(a1 - a2+a,)) - sin(a1 + a3 - a2 - a4) = 0, 1 - 2(cosaj - cos(a - a2) + cos^ - a2 + a,)) + cos^ + a3 - a2 - a4) = 0. Данная система имеет семейство решений вида
Ранговое условие (4) при значениях параметров (7) а1, а2, а3, а4 равен трем, и кроме того, все а. положительны в случае а1 > р. Следовательно, система (5) локально управляема в окрестности нуля по Теореме 1.
Пример 2. Интегратор Брокетта:
где (х1,х2,х3,х4,х5)Т ё состояние, и/ = (и*1,ш2)г ё К2
- управление. Система управления (8) является динамическим расширением интегратора Брокетта [18, р. 182].
Определим функции управления в виде суммы тригонометрических функций:
w, = я, 1 cos
w, = a,, cos L —
(2—) + fr^sin (2—) + a12cos (4 — (2f)+fe21sin(2f) + fe22sin(4f).
С помощью компьютерной алгебры находим решение задачи Коши (здесь не приводим в силу его громоздкости).
Далее, проверяем условие возврата
Х1(т) = Х2(т) = Х3(т) = Х4(т) = Х5(т) = 0, которое выполняется при следующих значениях параметров а11, а12, а21, Ьп, Ь21, Ь22:
Для каждого случая вышеперечисленных значений параметра, ранг матрицы Якоби (4) равен 5. Таким образом, система (8) - локально управляема в окрестности x по Теореме 1.
Вышеприведенные примеры показывают, что теорема 1 позволяет проводить конструктивную проверку условий локальной управляемости для класса неголономных механических систем [19, с. 9, 20, p. 207]. Для модели Дубинса представленный класс управлений с переключениями соответствует классу оптимальных по быстродействию управлений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Isidory A. Nonlinear control systems: An introduction. Springer, Berlin, 1985. 297 p.
2. Sussmann H. J., Jurdjevic V Controllability of nonlinear systems. J. Differential Equations. 1972. Vol. 12. P. 95-116.
3. Kalman R. E. Contributions to the theory of optimal control. Bol. Soc. Mat. Mex. 1960. Vol.5. P. 147-166.
4. Krener A. On the equivalence of control systems and the linearization of nonlinear systems. SIAM J. Control. 1973. Vol. 11, №. 4. P. 670-676.
5. Coron J.-M. Control and Nonlinearity. AMS, Providence, 2007. 426 p.
6. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы оптимального управления / перевод с англ. Л.Л.Леонтьевой. М. : Наука, 1972. 574 c.
7. Hauser J., Sastry S. S., Kokotovic P. Nonlinear Control Via Approximate Input-Output Linearization: The Ball and Beam Example // IEEE Tran. on Automatic Control. 1992. Vol. 37, №. 3. P. 392-398.
8. Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М. : Физматлит, 2004. 392 с.
9. Sontag E. D. Kalman's controllability rank condition: from linear to nonlinear. Mathematical system theory. Springer, Berlin, 1991. P. 453-462.
10. Sussmann H. J. A general theorem on local controllability // SIAM Journal on Control and Optimization 25. 1987. P. 158-194.
11. Agrachev A. A., Blondel V., Sontag E. D., Vidyasagar M., Willems J. C. Is it possible to recognize local controllability in a finite number of differentiations // In: Open problems in mathematical systems and control theory / Eds. Springer, London, 1999. P. 15-18.
12. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems. Boston: SIAM. 1988. Vol. 30. P. 1-68.
13. Coron J.-M., Agrachev A. Return method: some applications to flow control // In: Mathematical control theory. Trieste: The Abdus Salam ICTP, 2002. P. 655-704.
14. Sontag E. D. Universal nonsingular controls // Systems and Control Letters. 1992. 19. P. 221-224.
15. Зуев А. Л., Чумаченко Т.Н. Исследование локальной управляемости нелинейных систем методом возврата // Механика твердого тела. 2008. Вып. 38. С. 136-144.
16. Dubins L. E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents. American Journal of Mathematics, 79. 1957. P. 497-516.
17. Krener A. A generalization of Chow's theorem and the bang-bang theorem to nonlinear control systems // SIAM J. Control. 1974. Vol. 12. P. 43-52.
18. Brockett R. W., Millman R. S., Sussmann H. J. Asymptotic stability and feedback stabilization // In: Differential geometric control theory. Birkhauser, Basel, 1983. P. 181-191.
19. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. M. : Наука, 1967. 520 c.
20. Bloch A. Nonholonomic Mechanics and Control. New York, Springer, 2003. 483 p.
Н.С. Батова, М.В. Шуварин
СТАНДАРТИЗАЦИЯ ИНФОКОММУНИКАЦИОННЫХ...
APPLICATION OF THE RETURN METHOD IN ORDER TO SOLVE THE CONTROLLABILITY
PROBLEM OF NONLINEAR SYSTEM CLASS
© 2015
T.N. Astakhova, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the chair «Information systems and technology»
Nizhniy Novgorod State Engineering-Economic Institute, Knyaginino (Russia)
Abstract. The article looks into the control problem of nonlinear systems by means of the time-dependent control with parameter a. The controllability conditions for nonlinear systems have been provided, based on a modification of the return method. According to this theorem, nonlinear systems are locally controllable in the vicinity of a point when the rank conditions for controllability are fulfilled. The article reviews examples of nonlinear systems, for which control condition has been constructively checked and whose linear approximation does not satisfy the Kalman criterion. The method for constructing control functions using the optional parameter has been proposed. In particular, such nonholonomic systems as the extended model of Brockett integrator and the system describing the motion of a mobile robot - Dubins' car - are considered. For Brockett integrator the rank condition has been verified based on a modification of the return method using the control function as a composition of trigonometric functions. As an uncertain parameter in this case the values of the coefficients are used with trigonometric terms. For Dubins' car building a parameterized function with switching control has been suggested where the parameters characterize the measure of intervals on which control is a definite constant. Thus, in this paper a particular attention is paid to nonholonomic control systems, where nonholonomic constraints are imposed along with geometric constraints.
Keywords: nonlinear systems, nonholonomic systems, controllability, return method, Brockett integrator, Dubins' car, Lie brackets, Kalman criterion, discrete switching control function.
УДК 006.022
СТАНДАРТИЗАЦИЯ ИНФОКОММУНИКАЦИОННЫХ И ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
© 2015
Н.С. Батова, преподаватель кафедры «Охрана труда и безопасность жизнедеятельности» М.В. Шуварин, кандидат экономических наук, доцент кафедры «Охрана труда и безопасность жизнедеятельности» Нижегородский государственный инженерно-экономический институт, Княгинино (Россия)
Аннотация. Телекоммуникации, информационные технологии, цифровые медиа - сфера, которая во всем мире подвержена непрерывным, стремительным, кардинальным изменениям.
Международные исследования показывают, что существует тесная связь между развитием инфокоммуникаци-онных технологий (ИКТ) и экономическим благополучием. Широкомасштабное развертывание технологий высокоскоростной связи и интернет-доступа является катализатором развития ИКТ проектов, создает множественный мультипликативный эффект на другие отрасли национальной экономики, способствует ускорению и масштабированию технологического прогресса и в конечном счете обеспечивает рост ВВП как отдельных регионов, так и страны в целом. Развитие инфокоммуникационных технологий является одним из стратегических направлений модернизации экономики, и инвестиции в развитие телекоммуникационной инфраструктуры способствуют усилению стратегического положения любой страны в долгосрочной перспективе. Придание проектам по созданию высокотехнологичной телекоммуникационной среды статуса общегосударственного значения признано стимулировать развитие телекоммуникационной инфраструктуры на уровне мировых стандартов, повысить статус и конкурентоспособность страны в мировом сообществе и максимизировать сопутствующий социально-экономический эффект посредством внедрения и популяризации использования ИКТ продуктов и сервисов, инновационных и высокотехнологичных разработок во всех сферах жизнедеятельности общества: в частной жизни, бизнесе и государственном секторе.
Ключевые слова: инфокоммуникации, информация, инфокоммуникационные технологии, информационные технологии, качество, потребитель, системы, стандартизация, стандарт, услуги.
Постановка проблемы: За последнее десятилетие наблюдается существенное усиление компьютеризации общества, что привело к прямой зависимости мира от информационных и коммуникационных систем (ИТС) различных уровней и назначения на основе информационных технологий (ИТ). Продукция, основанная на применении ИТ, используется сегодня повсеместно торговыми и промышленными организациями, предприятиями оборонных отраслей, а также в бытовых целях. Согласно исследованиям Института Гартнера, проведенным в 2002 г., мировая индустрия поставок в этой области оценивалась в 1,4 триллиона долларов.
Новые информационные технологии (ИТ) быстро изменяют наш мир, непосредственно влияют на производственные процессы, методы организации и развития общества. В силу единства реального мира, новые технологии организации бизнеса проникают в социальные, политические, культурные и другие сферы жизни общества, изменяют способы общения, ведения дел и образования. Эта технологическая революция сильно повлияла
не только на бизнес, но также на частную и профессиональную жизнь. Внутренняя сложность и предельная простота применения современных ИТ поражает воображение каждого, кто ежедневно сталкивается с применением ИТ в своей профессиональной деятельности.
В настоящее время отсутствует единая система стандартов, которая сдерживает повсеместное ее разработку и внедрение. Данная проблема обширно обсуждается в мировом научном сообществе, в частности, на регулярных конференциях и форумах, посвященных разработке и внедрению современных нормативов в сферу инфо-коммуникационных и информационных технологий.
Информационная технология - это комплекс взаимосвязанных, научных, технологических, инженерных дисциплин, изучающих методы эффективной организации труда людей, занятых обработкой и хранением информации; вычислительную технику и методы организации и взаимодействия с людьми и производственным оборудованием, их практические приложения, а также связанные со всем этим социальные, экономические и культурные проблемы.
