Об исследовании задачи планирования для некоторого класса неголономных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.62

© 2015

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА

НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ

Т. Н. Астахова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Информационные системы и технологии»

Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино (Россия)

Аннотация. В статье исследована задача планирования в классе нелинейных неголономных систем с использованием дискретно-переключаемого управления, зависящего от времени.

Проведен обзор литературы, посвященный исследованию задачи планирования для различных классов неголономных систем. Над данной проблемой работали такие известные ученые, как R. W. Brockett, M. Fliess, J. Levine, P. Martin, P. Rouchon, G. Lafferriere, H. J. Sussmann и др.

Рассмотрен пример нелинейной системы, введенный в работе M. Kawski, для которого конструктивно проверено условие управляемости в статье А. Л. Зуева, Т. Н. Чумаченко, линейное приближение которого не удовлетворяет критерию Калмана.

Для приведенной неголономной системы решена задача Коши с ненулевыми краевыми условиями и с использованием дискретно-переключаемой функции управления.

Построен метод Ньютона для нелинейной системы уравнений, решающей двухточечную задачу управления. Благодаря разложению в ряд Тейлора, нелинейная система преобразуется в систему линейных уравнений при отбрасывании величин второго порядка малости. Следовательно, итерационный метод Ньютона для нелинейной системы определяется системой уравнений, из которой последовательно, начиная с заданного начального значения, находятся все последующие векторы.

Приведена оценка области сходимости метода Ньютона решения двухточечной задачи для предложенной нелинейной неголономной системы. Проведена численная реализация предложенного метода, и доказана применимость метода для решения такого рода задач для класса нелинейных систем.

Таким образом, в работе особо уделяется внимание неголономной механической системе управления, на которую кроме геометрических, накладываются и неголономные связи.

Ключевые слова: двухточечная задача управления, дискретно-переключаемая функция управления, задача планирования, кинематические связи, метод Ньютона, неголономная система, нелинейная система, разложение Тейлора, сходимость.

Неголономные системы являются одним из важнейших объектов изучения в математической теории управления [4]. Неголономные системы характеризуются уравнениями связи с производными по времени от переменных конфигураций системы. Такие системы не являются интегрируемыми, как правило, такая зависимость возникает, когда параметров управления меньше используемых переменных, и, как следствие, любая траектория в про-станстве конфигураций не обязательно соответствует необходимой траектории системы [5]. Это системы, на которые кроме геометрических, накладываются и кинематические неинтегрируемые связи.

R. W. Brockett [6, 7] рассмотрел качественные и количественные аспекты решения класса задач оптимального управления неголономными системами. Данный класс задач был выбран для того, чтобы показать, что можно ожидать от структуры множества сопряженных точек для гладкой задачи, в которой существование оптимальной траектории

является решенной задачей, но при этом необходимо вычисление скобок Ли для оценки множества достижимости.

Для решения задачи планирования движения неголономных моделей может быть использована теория плоских (flat) систем [8]. M. Fliess, J. Levine, P. Martin и P. Rouchon ввели понятие плоских систем, эквивалентных линейным относительно преобразований с динамической обратной связью. Такие плоские системы могут быть представлены в виде нелинейного расширения класса линейных систем, удовлетворяющих критерию управляемости Калмана.

G. Lafferriere и H. J. Sussmann [9], развивая идеи R. W. Brockett [6], R. M. Murray, S. S. Sastry [10], усовершенствовали методы дифференциально - геометрической теории управления с использованием скобок Ли векторных полей и свойств алгебр Ли. В своей работе они предложили общую методику решения задачи планирования движения для вещественных аналитических управляемых систем

5

без дрейфа. Процедура предполагает вычисление управления, которое переводит заданную начальную точку в требуемую конечную точку для расширенной системы, в которой добавлено необходимое количество скобок Ли системы векторных полей.

Однако важнейшей проблемой теории планирования остается двухточечная задача управления с ненулевыми краевыми условиями [11]. В этом случае краевые условия задаются в двух ненулевых точках, и необходимо найти такое управляющее воздействие, при действии которых система переходит из одной заданной точки в другую.

Распространенной в теории управления формой записи кинематических связей является система дифференциальных уравнений следующего вида [12]:

х = х Е М”, i = lrm,

(1)

где f±. .... fm - вещественные аналитические векторные поля в К", ulr параметры управ-

ления. Известно [13], что условие управляемости системы (1) эквивалентно ранговому условию алгебры Ли, т. е. условию, что £(/) (алгебра Ли векторных полей, порожденная / = (Д, удоав-

летворяют свойству sponf^GOl Ц <= £0*0} = при всех х Е К".

В работе [3] M. Kawski рассмотрена неголо-номная система, которая является модификацией системы, введенной в 1986 г. G. Stefani [14]. Несмотря на то, что линейное приближение данной системы не удовлетворяет критерию Р. Е. Калмана [2], в работе [1] конструктивно проверено условие управляемости.

Рассмотрим систему управления:

Х1 = U,

X 2 = Х1 ,

Xз — Xi X2 ,

x(0)= 0,

IIu Oil ^1,

(2)

где x - фазовый вектор в К3, и -управление. Двухточечная задача сводится к следующему: для заданных д;0 Е К3 и у Е К3 найти измеримую

функцию и : [0, T] ^ {-1,+1} (T > 0), чтобы система (2) имела решение

x(t), t е [О, T] : x(0) = x0, x(T) = y.

Положим x0 = (0,0,0)T и будем рассматривать управления вида

u(t)

+1 a

c

T t

-1

b d

0

Рисунок 1 - Дискретно-постоянная функция управления u(t)

Зададим управление (рис.1) таким образом:

+1, t е [0, а),

-1, t е [а, а + b)

+1, t е [а + b, а + b + c),

-1, t е[а + b + c, а + b + c + d),

T = а + b + c + d

u =

(3)

для решения этой задачи. Пусть T

У = (У1, У2, У3 ) . Тогда решение двухточечной задачи сводится к системе нелинейных уравнений:

хг(а + b + c + d) = y1,

x2 (а + b + c + d) = y2, (4)

х3(а + b + c + d) = y3,

где функции X1(t), X2(t), X3(t) определяются формулами, зависящими от параметров a,brc,d [15, 16]:

' t, t E [Q,qJ,

2a + t, t E [q,q + b),

* t — 2br t E [a + b, a + b + c), 2a + 2c — tr

-1 E [a + b + cra + b + c + d);

6

21

a2b2c2 + 2 5a2bcd + 23 a3bc2

2

17 , 5 . 25 . 23 ,

Н--a4bc + - ab4c Н-abc4 Н-с6 +

2 2 2 12 23 115 . 23 115

Н--ас5 Н---о2с4 Н--о5с Н---о3 с3 +

2 4 2 3

5 13 1

+ -Ьс5 + —Ь4с2-Ь3с3--Ь5с-2 4 2

9 15

— b2c4-7c5t--ct5 + -c2t4-4 2 2

—20а2с£3 — 20 ac2t3 + 39q3c£2 +

117 3

+---a2c2t2 + b3ct2-b2c2t2 +

2 2

20 39

+39ос3£2 + ЬсЧ2 ~ — c3t3+ — сЧ2.

3 4

Фиксируем d, обозначим gi (a, b, c) = х, (a + b + c + rf) - j, (i = 1,2,3).

В дальнейшем систему (4) будем рассматривать в виде

L

-I

x3(t)= I

1. Пусть 0 < t < a, тогда

2. t e [a, a + b):

1

ХЧ 16 1 5 542 20 3

x3(t) = — t — t a + — t a-1 a

1 5 5

20

33

24 2

2

3

39 24^5 23 6

+--1 a — 7 ta +-a

4 12

3. t e[a + b,a + b + c):

115

x(fi = —t6--t4+-t*b2-3 24 2 2

20 39

-=^3Ь3+^ t2b4-7tb5 +

3 4

23

H--b6 + ob(b2t2 — 4o2bt —

12

3

— abt2 + 6ab2t— 4b3£ + a2t2 — 2

1 13 9

--o4 + — a3b-a2b2--ab3 +

2 4 4

5

+ -

4. t e[a + b + c,a + b + c + d)

■ £&a + - t4o2

20

T

t3 Q3 +

XgCO = — t6

3 24 2 2

39 23

H---t2o4 — 7ta& H-q6 + 6b2c3t —

4 12

—4b3c2t — 35gc4£ — 9ob2c3 — 5ob3c2 —

—70g3c2£ — 4bc4t+ 5oc£4 — 70a2c3t —

—35o4ct — 4ob3ct + V$ab2c2t — 12o3bct — +12g2 b2 ct — 24 a2bc2t— 16abc3t + 3a2 bet2 + —3ab2ct2 + 3abc2t2 — 7a3b2c — a2b3c-

gi(a, b, c) = 0, g2 (a, b, c) = 0, g3(a,b, c) = 0,

(5)

как операторное уравнение в некотором линейном пространстве H размерности 3. Обозначим

z = (a, b, c)T e H

G( z ) = ( gi( zX g 2 ( z ), g3( z )) и запишем (4) в виде операторного уравнения

G( z) = 0, (6)

где G : H —— H - нелинейное отображение из H в H .

Построим метод Ньютона [17] для системы (4) следующим образом.

Выберем начальное приближение

zk = (а*, Ъ*, с*)Т . Выпишем разложение функции

k

g. (a, b, c) по формуле Тейлора [18] в точке Z :

gi(a,b, c) = gi (a*, b*, c*) +(a — a) +

da

+ (b — b-) *£1 + (c — c-) + 4 — z* |)

и отбросим величины второго порядка малости. Тогда система (5) заменится системой линейных уравнений

7

i- z,)+gi)=о , (7)

j=1

8z

i = 1,2,3.

Решение z системы (7) примем за следующее приближение. Таким образом, итерационный метод Ньютона для (5) определяется системой уравнений

3

i (

z

,k+1

j

j =1

.ь, 8gi(Z)

z Hsr-

+ gi (zk) = 0, (8)

i = 1,2,3.

из которой последовательно, начиная с задан-

0 ,*-**, т k

ного Z = (a , О , С ) , находятся векторы z ,

k = 1,2,... .

Систему (8) можно записать в векторном виде

G'(zk )(zk+1 - zk) + G(zk) = 0, к = 0,1,..., (9)

Z 0 задан, а G' (х) определяется формулой:

G ' ( х)

8g1( z) 8g1( z) 8g1( z)

dz1 dz2 8Z3

8g 2(z) 8g 2( z) 8g 2( z )

dz1 dz2 8z3

8g3( z) 8g3(z) 8g3( z )

dz1 dz2 8z3

Для реализации метода Ньютона необходимо существование матриц (G '(zk ))-1, обратных к

G' ( zk ).

Приведем одну из теорем о сходимости метода Ньютона [19].

Пусть E3 - евклидово пространство 3мерных вещественных векторов с нормой

|| - норма матрицы A, подчи-

U=1 )

ненная данной норме вектора. Обозначим

z =

( 3 Л/2

i z2

и предположим, что в шаре Ur (z0) функции g (х), i = 1,2,3 непрерывно дифференцируемы.

Теорема 5 [20]. Предположим, что в Ur (z0 ) матрица G' (х) удовлетворяет условию Липшица с постоянной L , т. е.

||g ' (z1) - g ' (z 2)|| < lz1 - z li

для любых z1, z2 e Ur (z °) . Пусть в Ur (z0) матрица (G '(z))-1 существует, причем элементы ее непрерывны и

G (z))-1

< M.

Если начальное приближение Z |G(Z0)|| < 7 и

0

таково, что

M 2 L7 „

q =------- < 1,

2

Причем

(10)

^ ~k ,

M7 i q2

k=0

< Г ’

то система уравнений (6) имеет решение z* Е Ur (z0) , к которому сходится метод Ньютона (9). Оценка погрешности дается неравенством

k

Z - z„

< M7

q

2k -1

1 - q q

k

Построим оценку области сходимости метода Ньютона решения двухточечной задачи для системы (2).

Воспользуемся (10) для построения области допустимых векторов у Е R3 , при которых система (2) с краевыми условиями х(0) = 0, х(Т) = у имеет решение х(?) , t Е [0, T] для некоторого управления и : [0, Т] ^ {-1,+1} вида (3), воспользуемся оценкой (10).

Ur(z0) = {z Е E3

z - Z

0

< г},

8

Переобозначим решение

a = d,

b = (42 + 1)d,

,

c = (42 + 1)d, d=d

приближений параметров (a, b, С, d) их значения

из решения (11) с d = 1. Первые десять итераций метода Ньютона дают такое приближение:

(11) a = 1.912342,

b = 4.230414, c = 4.318072.

как решение вида

*7 7* *7 7* /—

a = a , b = b c = c , d = d и, будем предполагать, d * > 0.

Соответствующее решение задачи Коши (2) x(t) с x(0) = 0 в момент времени

T = a + b + С + d имеет следующие координаты

Рассмотрим класс U управлений

u(t) = ua,b,c, d (t) вида (3), для которых параметры (a, b, С, d) лежат во множестве

D := {(a,b,c,d):

(a - a*)2 + (b - b*)2 + (c - c*)2 < A2, d = d *}.

Тогда краевая задача с условиями x(0) = 0, x(T) = у (T > 0) имеет решение x(t), t £ [0, T] при управлении U £ U, если норма вектора у удовлетворяет оценке (10). Таким

образом, получаем оценку области разрешимости двухточечной задачи для системы (2) в классе управлений U:

S = <

у £ R3

<

2

sup

D

(G)

-1

sup |G"||

D

(12)

>

2

Приведем результат вычислений оценки (12) для системы (2) при следующих значениях параметров: d = 1, A = d / 4:

S : ||У|| <-------1 7 = 9 • 10-8. (13)

17548 • V0.16 -107

Таким образом, получили оценку области разрешимости двухточечной задачи для системы (2).

Следует отметить, что оценка (13) обеспечивает лишь достаточное условие сходимости метода. Результаты вычислений показывают, что метод сходится и при больших значениях нормы вектора у .

Для примера рассмотрим краевую задачу для системы (2) с условиями x(0) = 0, x(T) = у, где у = (1,0,0). Выберем в качестве начальных

*t(T) = 1,

x2(T) = 0.1 • 10-17 « 0, x3(T) = -0.217-10-15 «0.

Таким образом, предложенный подход позволяет решать двухточечные задачи управления на примере системы (2). Представляет дальнейший интерес исследования условий сходимости метода Ньютона в зависимости от параметров нелинейной управляемой системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зуев А. Л., Чумаченко Т. Н. Исследование локальной управляемости нелинейных систем методом возврата // Механика твердого тела. 2008. Вып. 38. С. 136-144.

2. Kalman R. E. Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. Mat. Mex. 1960. Vol. 5. P. 102-119.

3. Kawski M. Combinatorics of nonlinear controllability and noncommuting flows. In Mathematical control theory.Trieste: The Abdus Salam ICTP, 2002. P. 223-312.

4. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика не-голономных систем. М. : Наука, 1967. 520 с.

5. Laumond J. P., Sekhavat S., Lamiraux F. Guidelines in nonholonomic motion planning for mobile robots. In Robot Motion Planning and Control. Berlin: Springer-Verlag, 1998. P. 1-53.

6. Brockett R. W. Control Theory and Singular Riemannian Geometry // New Directions in Applied Mathematics. New York : Springer, 1981. P. 11-27.

7. Marsden J. E., O’Reilly O. M., Wicklin F. J., Zombro B. W. Symmetry, Stability, Geometric Phases, and Mechanical Integrators (Part II) // Nonlinear Science Today. Scientific Articles, 1991. Vol. 1. №. 2. P. 14-21.

8. Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P. Flatness and defect of nonlinear systems: Introductory

9

theory and examples // Int. J. of Control. 1995. Vol. 61. P. 1327-1361.

9. Lafferriere G., Sussmann H. J. A differential geometric approach to motion planning // Nonholo-nomic Motion Planning / Z. Li andJ. F. Canny, eds. Kluwer, 1992. P. 235-270.

10. Murray R. M., Sastry S. S. Grasping and Manipulation using Multifingered Robot Hands // Proc. of Symposia in Applied Mathematics. 1990. Vol. 41. P. 91 -129.

11. Красовский Н. Н. Теория управления движением, М. : 1968, 476 с.

12. Bloch A. Nonholonomic Mechanics and Control. New York : Springer, 2003. 483 p.

13. Sontag E. D. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. New York : Springer-Verlag, 1998. 531 p.

14. Stefani G. On the local controllability of a scalar-input system // Theory and Applications of Nonlinear Control Systems. North-Holland: Elsevier, 1986. P.167-179.

15. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. Л. : ОН-ТИ-ГТЩ 1934. 360 с.

16. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Мир, 1970. 720 c.

17. Волков Е. А.Численные методы. М. : Физматлит, 2003. 248 с.

18. Feigenbaum L. Brook Taylor and the Method of Increments, Archive for History of Exact Sciences 34, 1985. P. 1-140.

19. Самарский А. А. Введение в численные методы. М. : Наука, 1982. 269 c.

20. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М. : Наука, 1989. 432 c.

© 2015

ABOUT THE STUDY PLANNING PROBLEM FOR A SOME CLASS OF NONHOLONOMIC SYSTEMS

Т. N. Astakhova, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the chair «Information systems and technology», Nizhniy Novgorod state engineering-economic university, Knyaginino (Russia)

Annotation. The paper studies the problem of scheduling class of nonlinear nonholonomic systems using discrete switching time-dependent control.

The literature review devoted to the investigation of planning problem for the different classes of nonholo-nomic systems. Above this problem included such famous scientists as the RW. Brockett, M. Fliess, J. L'evine, P. Martin, P. Rouchon, G. Lafferriere, H. J. Sussmann et al.

An example of a nonlinear system, introduced in M. Kawski, for which the condition is verified constructively handling article A. L. Zuyev, T. N. Chumachenko, linear approximation that does not qualify Kalman is considered.

The Cauchy problem is solved for bring nonholonomic system with nonzero boundary conditions and using discrete switchable control functions.

The Newton method is built for nonlinear system of equations, solving two-point control problem. Due to the decomposition of the Taylor series, nonlinear system is transformed into a system of linear equations by neglecting the second order. Therefore, Newton iterative method for a nonlinear system of equations is determined, from which the sequence starting from a given initial value, are all subsequent vectors.

The estimation of the convergence domain of the Newton's method for solving two-point problem is proposed for this nonlinear nonholonomic systems. The numerical implementation of the proposed method is led, and the applicability of the method for solving such problems is proved for a class of nonlinear systems.

Thus, the special attention is paid to the nonholonomic mechanical control system, which in addition to the geometric, and nonholonomic constraints are imposed.

Keywords: two-point control problem, discrete switching control function, planning problem, kinematic constraints, Newton method, nonlinear systems, nonholonomic systems, Taylor series, convergence.

10