CC BY
49
УДК 551.24 В.Ф. Канушин СГГА, Новосибирск
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВИРИАЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ
Получено новое решение задачи о динамике Земли в собственном силовом поле, которое генерируется самим телом Земли, представляющим как консервативную, так и диссипативную систему.
V.F. Kanushin SSGA, Novosibirsk
APPLICATION OF VIRIAL METHOD FOR SOLVING DYNAMIC GEODESY PROBLEMS
A new solution has been found as regards the Earth’s dynamics in eigenfield of force, generated by the Earth’s body itself, the latter presenting both a conservative and dissipative system.
Регистрируемые с помощью современной техники измерений изменения гравитационного поля, неравномерность вращения Земли, движения блоков материковой коры и литосферных плит, глубинные геотектонические процессы свидетельствуют о необходимости развития новых подходов и решений задач динамической геодезии.
Земля - самогравитирующее тело, у которого гравитационные силы и силы инерции являются объемными величинами, действующими в пространстве 4тг. Объемное силовое поле Земли, генерируемое гравитационным взаимодействием масс, вызывает объемное движение и объемные деформации тех же масс, а силовые поля Луны и Солнца лишь возмущают колебательное и вращательное движение Земли.
В работе [1] показано, что между гравитационными и инерционными силами у неоднородного по плотности тела Земли образуются неуравновешенные моменты инерции и возникает сжатие оболочек.
При исследовании гравитационного поля и фигуры Земли прибегают к гармоническому анализу указанного поля с представлением потенциала притяжения Земли разложением в ряд Фурье по системе шаровых функций
fM
n=2
l~Y, — Jnpn( sm^) + 2Z|~ (Cnm™sm^ + SnmsmmZ)Pnrn(sm(p)
\n
v r У
n=2 m=1
, (1)
где Рп($т(р), Рпт($тф) - основные и присоединенные полиномы Лежандра; и (Спт, Бпт) - зональные и незональные гармонические коэффициенты,
n
r
являющиеся стоксовыми постоянными; М и ae - фундаментальные геодезические постоянные.
Стоксовы постоянные представляют собой линейные комбинации степенных моментов плотности земных недр вида Ipqr(S) = \\\дхр уя гг с1т
т (2)
р + q + г = п
где х, у, г - геоцентрические координаты; т - объем Земли; п - степень гармонического коэффициента геопотенциала.
Результаты определения с помощью искусственных спутников Земли гравитационных моментов 1п показали, что все четные моменты кроме второго, содержат члены равные квадрату сжатия [2].
Это позволяет при решении задач динамической геодезии использовать модель неоднородного самогравитирующего шара, гравитационный потенциал и полярный момент инерции которого можно разложить на нормальные (соответствующие однородной по массе плотности) и тангенциальные динамические эффекты неоднородного тела [1].
Выражения потенциальной и и кинетической энергии Т неоднородного самогравитирующего шара имеет вид [3]
и = (а]+а1)^, (3)
т = (А; - 2 А2 )М1<2(02, (4)
2 2
где а0 = /30 - безразмерные структурные коэффициенты для законов распределения плотности в теле Земли,
2
индексы о и t означают радиальную и тангенциальную компоненты рассматриваемых величин.
Потенциальная и кинетическая энергии однородного шара равны между
собой (а^ = /З2 =У^),то
ио=Т, (5)
Е0=и0+Т0=2110 (6)
Для динамического равновесия между потенциальной и кинетической энергии взаимодействия неоднородностей с однородной массой из (3), (4) имеем 2 и,=Т, (7)
Е,=и,+Т,=Ю, (8)
Ео, Е, ио, То, иь Тг - полная потенциальная и кинетическая энергия колебания и вращения соответственно.
Уравнения (5) - (8) представляют выражения теоремы вириалов для самогравитирующей однородной и неоднородной систем.
Из эффектов взаимодействия однородной и неоднородной по плотности массы вращательный момент сил N неоднородной гравитирующей системы относительно ее центра не равен нулю, угловой момент Ь системы величина не
постоянная, а энергия непрерывно расходуется при движении системы во внешнем пространстве на преодоление сопротивления трения и на поддержания равновесия, т.е.
N - — ф о 5 L Ф const, Е Ф const > 0. dt
Так как результирующая гравитационного поля не равна нулю и
динамическое равновесие системы определяется вириальным соотношением
между потенциальной и кинетической энергией, то уравнение движения самогравитирующего тела может быть записано в вид [4]
Ф = 2 E-U, (9)
где Ф = Jр 12.Jр - функция Якоби [4]; Jp - полярный момент инерции; Е =
U + T - полная энергия; U и T - потенциальная и кинетическая энергия системы.
Строгое решение уравнения (9) с учетом (6) и (8) для радиальной и тангенциальной составляющей имеет вид
Ф o=\E0-U0 (10)
Ф t=\E,-U, (11)
Учитывая (3) и (4) и связь между (5) и (7) можно написать
D
ф = ^ + 7= (12)
где A, B - постоянные величины.
Общим решением уравнения (12) в полярной системы отсчета будет [3]
4ф =^-[l-ecos(£-<p)] (13)
П
где 8 и (р - постоянные интегрирования зависящие от начальных значений функции Якоби Ф и ее первой производной в момент времени k; € -вспомогательная независимая переменная; А = А0 = -I/2E , В = В0 = U0 д/Ф0
для радиальных колебаний; А = А,=У3Е„В = В,=и1^Ф, для вращения.
Рассмотренное решение задачи о вращении и колебании неоднородной по плотности шарообразного тела Земли в гравитационном поле, которое генерируется самим телом, представляющим как консервативную, так и диссипативную систему может найти приложение при решении краевых задач динамической геодезии в постановке данной в работе [5].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ferronsry V.I., Denisir D.A., Ferronsry S.V. Jacobi Dynamics. Dordrecht: Reidel, 1987. - 366 p.
2. Жарков, В.Н. Внутреннее строение Земли и планет /В.Н. Жарков. - М.: Наука, 1978. - 192 с.
3. Garcia Lambas D., Vosconi M.B., Sersic J.L.//Astrop. & Space Sci. 1985.VII3P 89-98.
4. Якоби, К. Лекции по динамике / К. Якоби - М., Л.: Техматиздат, 1936. -252 с.
5. Постановка проблемы динамической геодезии, как решение
геодезической краевой задачи М.С. Молоденского с краевыми условиями и граничной поверхностью изменяющейся во времени: отчет о НИР
(промежуточ.) / Сиб. гос. геодез. акад., Бузук В.В. - Новосибирск: СГГА, 1997. -47 с. - № ГР0196.00012360, ИНВ № 02.97.0005664.
© В.Ф. Канушин, 2011
