Применение метода статистических испытаний для изучения характеристик рассеяния выборочных кривых повторяемости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т о М VII 1 9 76 №5

УДК 629.735.33.015.4.017

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК РАССЕЯНИЯ ВЫБОРОЧНЫХ КРИВЫХ ПОВТОРЯЕМОСТИ

А. И. Картамышев, Л. Н. Коноплев

Проводится статистический анализ повторяемости перегрузок. Предлагается способ построения доверительных областей для кривых повторяемости перегрузок с использованием метода статистических испытаний.

Важность оценки доверительных областей для кривых повторяемости перегрузок обусловлена тем, что в процессе получения экспериментальных данных необходимо делать обоснованные выводы относительно точности аппроксимации* истинной повторяемости средней выборочной повторяемостью и относительно объема выборки, необходимого для достижения заданной точности. Работа посвящена анализу выборочных кривых повторяемости, получаемых при обработке записей штатных бортовых регистраторов, с целью обобщения их статистических характеристик, необходимых для построения доверительных областей. Результаты используются также для прогноза объема статистической информации, необходимого для оценки кривых повторяемости с требуемой точностью. Изучение выборочных повторяемостей и обобщение их статистических характеристик может проводиться в следующих направлениях:

1) анализ структуры повторяемости с целью выбора статистических характеристик, которые могут быть использованы при построении доверительных областей [1];

2) прямой расчет на ЭЦВМ с применением метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), эффективного при изучении кривых повторяемости со сложной формой и позволяющего наилучшим образом использовать всю информацию.

В работе основное внимание уделяется методу статистических испытаний.

* Здесь и дальше под точностью аппроксимации повторяемости понимается ширина доверительной области.

Рассмотрим основные этапы расчета доверительных областей для кривых повторяемости перегрузок.

Описание объекта исследования. Эксплуатация маневренного самолета происходит в соответствии с перечнем упражнений, предписывающим характер их выполнения. Перегрузка гау(0, регистрируемая при эксплуатации самолетов, обрабатывается с целью

л

получения средних выборочных кривых повторяемости /^(я,,)* на час полета и других обобщенных характеристик, необходимых для оценки ресурса самолета.

л

Для повышения точности оценки /^(Яу) и уровня доверия статистических выводов, связанных с нею, обработка и анализ записей штатных бортовых регистраторов осуществляется в следующей последовательности:

— объединение в группы упражнений, близких по характеру исполнения и нагруженности элементов конструкции;

— обработка записей пу(каждой сформированной группы упражнений с целью получения выборочных повторяемостей перегрузок.

Далее полученные повторяемости суммируются с учетом налета по каждой группе:

м Л А

?/(«,)=-------------- (!)

V" Л

Д

где Рц(пу) — средняя на час полета повторяемость перегрузок пу для г-й группы упражнений с общим налетом ?,•(*= 1, 2,3,..., Щ М — число сформированных групп.

Формула (1) может быть написана в другом виде:

Л

'£-Л Л

А м Д Л А 2 МЧ ("у) .. Д л Л Л

?Д«у) = -^ Е Ъ ^ .п (»,), (2)

То 1=1 ггм 0 т0 '• = !

2 М;

где М0 — общее число записей продолжитель-

л

ностью Г0;

л

гг (г = 1, 2, 3 ,, М) — относительная доля записей М1 в г-й

группе;

А.,(г= 1,2,3,. . ., Ж; | .

" 1 - число максимумов перегрузки в у-м

у — 1,2,. . ., гі М0) I упражнении г-й группы продолжительностью Т(7;

* Знак Д принят для обозначения выборочных статистических характеристик.

л

7Уг (/ = 1, 2, 3,. .., М) — среднее число максимумов пу для

одной записи г-й группы;

л .

Тг (г = 1,2, 3,..., М) — средняя продолжительность одного

упражнения г-й группы;

1 ,(л„)(* = 1, 2,3, . .

*■! у д —функция распределения пу в у-м

7 = 1,2,..., ггЖ0) упражнении г-й группы.

Постановка задачи. В общем виде задача определения доверительной области для повторяемости перегрузок пу может быть сформулирована следующим образом.

По имеющимся выборочным статистическим данным при заданном объеме выборки требуется найти такие <р, (пу), и <р2 (пу), чтобы выполнялось соотношение

Р [®1 К) < (Пу) < ?2 {Пу)\ = 1 - а, (3)

где верхний индекс 0 означает истинную повторяемость перегрузок, а 1 —а — доверительную вероятность.

Однако следует отметить, что функции , (пу) и %{пу), удовлетворяющие соотношению (3), можно выбрать бесчисленным количеством способов, а для однозначного их определения требуется наложить на них дополнительные условия. Перепишем выражение (3) в следующем виде:

Р[<?Лпу)<Т'а{(пу)] = 1 — ан(пу); ) ^

р[^(пу)<92(пу)]=1 — ав(пу), |

где 1—ан(яу) и 1—ав(лу) — доверительные вероятности, связанные с верхней и нижней границами доверительной области, которые выбираются таким образом, чтобы выполнялось соотношение (3).

Кроме того потребуем, чтобы ширина доверительной области при каждом пу была обратно пропорциональна плотности повреждаемости

?(п)-пт Л¥ЛПу)

Лпу) — Пу ап^

(те —степень кривой выносливости), а именно:

Л 1

(Яу) == | (Яу), | .^4

л I “.(яу ) = кл\(пу). )

Другими словами, точность аппроксимации при каждом пу пропорциональна плотности повреждаемости, т. е. повторяемость

(пу) определяется тем точнее, чем большую повреждаемость вносят соответствующие величины перегрузки.

Коэффициенты £н и выбираются так, чтобы выполнялось соотношение (3). Это равенство может выполняться при различных их комбинациях, а следовательно, на нижнюю и верхнюю границы доверительной области можно наложить дополнительные условия оптимальности. Например, потребовать, чтобы доверительные области, построенные с использованием конкретных статистических данных, были самыми узкими или все множество

доверительных областей было самым узким в среднем. Последнее утверждение означает, что средняя ширина доверительной области, построенная по всем возможным выборкам объема М0, будет самой узкой. .

Метод расчета доверительной области для повторяемости перегрузок. При построении доверительной области для повторяемости перегрузок приняты следующие допущения: л '

— величины М0 г1 (/ = 1, 2, . . . , М) являются случайными Ли подчиняются мультиномиальному закону распределения, т. е. выборка проводится случайным независимым образом, причем вероятности выборки ИЗ' каждой группы упражнений г](1= 1, 2, ..М) остаются неизменными;

л л

— случайные величины Лг;;- и Т 1} подчиняются совместному нормальному закону распределения с параметрами Й\, адД Ть о°т2.,

р° (г = 1, 2, . . . , М; у = 1, 2,..., М0 гг). Приемлемость такого допущения иллюстрируется фиг. 1, где на „нормальной вероятностной шкале“ показаны выборочные функции распределения числа мак-

л л _

симумов перегрузки Р1(х) и времени выполнения Р2(х) одного упражнения для упражнений, принадлежащих к одной конкретной группе.

Принятые допущения позволяют получить совместные фиду-циальные распределения [2] величин

где -р* (пч)

С/(/*;*) = (Пук) (1= 1,2,3

с ° (/*;*)

^2 г]Ж,Т1{пу),

Т0 ;=1

М);

(6)

Пук{к = 1, 2, . . .) — набор опорных значений перегрузки, на основе которых с учетом соотношений (3) — (5) предлагается рассчитывать доверительные области для истинной повторяемости перегрузок.

Для расчета фидуциальных распределений параметров, входящих в (6), воспользуемся следующими соотношениями: л л

т1 - т\ г

' - 1\ Ь ------г- =г~ - 2 1>

/А

У Мпг

л 1/ л

о п Г М0 Г1

где 11 ,, t2 ь — случайные переменные, подчиняющиеся ^-распределе-

л

ниюСтьюдента с vг = Л^0ri— 1 степенями свободы (1= 1, 2, 3, Дополнительные соотношения

Л,

■*« 1?1

т,

ч

Лч

Х2/

° 2 Л

I 1 + ^ ( I * + Р' ,

----------------— — 1п---------------------------------- +

А I ° Л

1 — р,- V р«' П ■

|/

: Л,.

Л

где р/ — выборочный коэффициент корреляции числа максимумов перегрузки и времени выполнения упражнений 1-й группы; Х?»ч - случайные переменные, подчиняющиеся /^распределению

А

с числом степеней свободы у; = ./И0г; — 1 (г = 1, 2, 3, . . . ,

му

х-{— случайная переменная, подчиняющаяся нормальному закону распределения со средним ноль и дисперсией единица, позволяют рассчитать фидуциальные распределения параметров 3^2, о°г2, р°(г— 1, 2, 3, ... , М), лежащих в основе расчета вторичных распределений случайных величин N1; и 'Т1} (/=1, 2, 3, . . .). Здесь под вторичным распределением №(х) случайной величины X понимается распределение, получаемое усреднением распределения ш, (х, А°) по всем возможным значениям совокупности параметров А°, совместное фидуциальное распределение которых определяется плотностью вероятности (Л°):

Ш(х)= Г ш1 (х, А°) шА (А)йА°.

и

*

Распределение параметров г] (I— 1, 2, . . . , М) получается „обращением* относительно них мультиномиальной плотности вероят-

д

ности случайных величин М0г{(1= 1, 2, 3, . . . , М) [2]:

Ш/И (ж0 г I г°) ==> ШМ ^ уИ0 г°I г

Расчет фидуциальных распределений г], N/, Т), а также величин р](п*ук), входящих в выражения для С{пук) и С°(Иу*) (г = 1, 2, 3, . . . , М; к — 1, 2, . . . ), предлагается проводить методом статистических испытаний путем многократного „проигрывания1* (моделирования) на ЭЦВМ их числовых значений, получаемых с использованием выписанных выше соотношений.

Неточности в оценке доверительных областей являются следствием упрощения вероятностной модели объекта исследования и ограниченного числа реализаций моделирования. Для проверки статистической эквивалентности модели и объекта предлагается использовать сравнение экспериментальных выборочных распределений случайных величин

Сг* и С* (1=1, 2, , М; к= \ , 2, . . .)

и их вторичных распределений, получаемых на основе фидуциальных распределений параметров М, а^2, т], а°г2, г] и К(пу) (г=1, 2, 3,..., М). ‘ ‘

Число статистических испытаний выбирается таким образом, чтобы обеспечить практически необходимую точность результатов расчета.

Примеры расчета. При расчетах использовались материалы конкретной статистической обработки записей штатных бортовых регистраторов.

Анализ условий и характера эксплуатации самолета позволил разбить все выполняемые им упражнения на пятнадцать групп. Последовательное изучение однородных групп упражнений исключает долю рассеяния, связанную с неоднородностью выборки, что позволяет делать более обоснованные статистические выводы относительно точности аппроксимации.

Результаты обработки в виде средних интегральных кривых повторяемости перегрузок для каждой группы упражнений приведены на фиг. 2, там же показана средняя кривая повторяемости

А ДА

/^(«у), и в таблице, где выписаны Л11, Т1г ат. и соу Тг),

Основные статистические характеристики по типовым группам упражнений

Номер группы М[ / М о Nі а* "і ?. і Ті о*п СОVI

1 4 0,0351 43,25 452 2,31 0.5775 0,0394 0,1858

2 7 0,0614 44,07 261 4,55 0,6500 0,01435 0,632

3 16 0,1404 49,28 1350 10,98 0,6863 0,1015 -2,185

4 25 0,2193 62,76 826 13,3 0,5320 0,01606 -0,12056

5 23 0,2018 53,74 68 8,9 0,3870 0,00832 0,8

6 7 0,0614 24,29 380 3,54 0,5057 0,0163 -0,2415

7 12 0,1053 61,54 924 6,9 0,5750 0,00502 0,5667

8 1 0,0088 14,5 — 0,5 0,5000 — —

9 1 0,0088 34,0 — 0,7 0,7000 — —

10 . 10 0,0877 50,85 370 5,8 0,5800 0,0298 2,782

12 7 0,0614 65,64 1424 3,1 0,4429 0.0151 3,303

15 1 0,0088 47,0 — 0,Ь 0,5000 — —

Е 114 61,08

Фиг. 3

Л ,

а также время суммарного налета для каждой группы упражнений (г=1, 2, 3, , М). Эти экспериментальные данные являются

исходными для построения доверительной области для Ъ(Пу) и расчета других статистических характеристик.

Расчеты доверительной области были выполнены на ЭЦВМ БЭСМ-6 по программе, блок-схема которой приведена на фиг. 3, где под коррекцией исходных данных есть расчет фидуциальных распределений на основе выписанных выше соотношений. Резуль-' л

таты расчета — выборочная кривая повторяемости перегрузок Р((пу) и 90%-ная доверительная полоса для истинной кривой повторяе-

мости перегрузок (яу) приведены на фиг. 4. На фиг. 5 в качестве примера расчета, иллюстрирующего проверку статистической [эквивалентности модели и объекта, проведено сравнение функций рас-

Л Л

пределения случайных величин^ 5) и С4 = /5,/4(2, 5),

у 90 %-ная доверительная полоса. для Г+СЛц)

5ч'"“' ч Ч »« *4..

Оч X

ч N Л ч

х4^ V ч

V

10 ‘

10 ‘

10'

10

2 3

Фиг. 4

5 л„

- 1’° §

«81*

/ /

у/ / расчет с/ла ти стиха.

У

10 20 30 *О 50 60 70 30 А, (2,5)

' Фиг. 5

и ** 1,5

100

200 300

Фиг. 6

Мп

где /^(Лу) — экспериментальная повторяемость перегрузок пу на час полета, полученная для одного упражнения четвертой группы;

^ 4 (гау)“ вторичная повторяемость перегрузок пу на час полета, рассчитанная для одного упражнения четвертой группы.

При сохранении существующих условий и характера эксплуатации самолета метод статистических испытаний позволяет рассчитать зависимость точности аппроксимации [ширины доверительного интервала Д(яу)] от объема выборки М0(фиг. 6).

ЛИТЕРАТУРА

1. Картамышев А. И. Статистический анализ точности эмпирических оценок повторяемости перегрузки. Труды ЦАГИ, вып. 1716, 1975.

2. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М., .Наука”, 1973.

Рукопись поступила 71X11 1975 г.