CC BY
2
УДК 534.12; 629.78 doi: 10.18698/0536-1044-2023-11-92-103
Применение метода сил для расчета пространственного движения манипулятора с массивным твердым телом с учетом
*
упругости звеньев и поворотных приводов
Т.В. Гришанина1, С.В. Русских1'2, Ф.Н. Шклярчук
1 ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»
2 ФГБУН «Институт прикладной механики Российской академии наук»
Force method application in calculating spatial motion of a manipulator with the massive solid body taking into account the links and rotary drives elasticity
T.V. Grishanina1, S.V. Russkikh1'2, F.N. Shklyarchuk21
1 Moscow Aviation Institute (National Research University)
2 Institute of Applied Mechanics of the Russian Academy of Sciences
2,1
Рассмотрена динамика пространственного движения трехзвенного манипулятора, состоящего из двух упругих стержней, работающих на изгиб в вертикальной и боковой плоскостях и на кручение, и присоединенного к ним на конце массивного абсолютно твердого тела (схвата с грузом). Первое звено связано с неподвижным основанием. Между собой звенья соединены шарнирными узлами с заданными (управляемыми) относительными углами поворота. В расчетной модели учтены податливости механизмов приводов по этим углам. Разработана математическая модель нестационарных колебаний системы при произвольном кинематическом воздействии. Деформации стержней приняты малыми (линейными), инерция стержней не учитывалась. Уравнения динамики системы получены по методу сил на основании принципа Ка-стильяно, причем инерционные силы произвольного твердого тела со схватом заменены неизвестными реакциями в узле крепления. По методу сил построен алгоритм определения упругих перемещений и углов поворота в неподвижной системе координат в точке присоединения тела, и определена матрица податливости, зависящая от времени. Инерционные силы и моменты тела сначала определялись в связанной с телом подвижной системе координат, а затем записывались в исходной неподвижной системе координат с использованием линеаризованных уравнений движения тела при его малых угловых скоростях. В итоге задача сведена к шести дифференциальным уравнениям колебаний твердого тела в неподвижной системе координат с присоединенной к нему упругой стержневой системой переменной структуры. В качестве численного примера решена задача управляемого плоского движения симметричного манипулятора с двумя упругими стержневыми звеньями и переносимым твердым телом с учетом упругих податливостей в шарнирных соединениях. Выполнены сравнения с решением задачи в перемещениях с оценками влияния инерции стержней и по-датливостей в соединениях.
Ключевые слова: манипулятор типа руки, динамика пространственного движения, упругие колебания
* Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 22-29-01206).
The paper considers spatial motion dynamics of a three-link manipulator consisting of two elastic rods bending in the vertical and lateral planes and spinning with a massive absolutely rigid body (gripper with a load) attached to them at the end. The first link is connected to a fixed base. The links are connected to each other by the hinged units with the given (controlled) relative rotation angles. Calculation model took into account the mechanism compliance at these angles. Mathematical model of the system non-stationary oscillations under the arbitrary kinematic influence was developed. Rods' deformations were assumed to be insignificant (linear), their inertia was not taken into account. The system dynamics equations were obtained using the force method based on the Castigliano principle, and inertial forces of the arbitrary rigid body with a gripper were replaced by unknown reactions in the fastening unit. Using the force method, an algorithm to determine elastic displacements and rotation angles in the fixed coordinate system at the body attachment point was constructed, and the time-dependent compliance matrix was found. The body inertial forces and moments were first determined in the motion coordinate system associated with the body, and then they were registered in the initial fixed coordinate system using the body motion linearized equations at its low angular velocities. As a result, the problem was reduced to six differential equations of the rigid body oscillations in the fixed coordinate system with the attached to it elastic rod system of variable structure. As a numerical example, the problem of controlled plane motion of a symmetrical manipulator with two elastic rod links and transferred rigid body was solved taking into account elastic compliance in the articulated joints. Comparison was made with solution to the displacement problem estimating the rods inertia influence and compliance in the connections.
Keywords: hand-type manipulator, spatial motion dynamics, elastic vibrations
Задачам математического моделирования динамики манипуляционных роботов различного типа и назначения с учетом упругости звеньев посвящено много работ. Космические манипуляторы (КМ), предназначенные для работы в условиях невесомости, способны плавно и медленно перемещать массивные грузы на большие расстояния. Например, манипулятор ERA на Международной космической станции, имеющий два звена в виде тонкостенных стержней общей массой 630 кг, может перемещать восьмитонный груз со скоростью до 10 см/с при точности позиционирования до 5 мм в радиусе до 10 м [1].
Для сборки крупногабаритных космических конструкций, силовым каркасом которых являются регулярные фермы, образованные большим количеством однотипных элементов, требуются КМ, способные выполнять однотипные быстрые операции с высокой точностью позиционирования и устранением упругих колебаний после каждой операции [2, 3].
Подходы и методы моделирования динамики КМ с упругими звеньями рассмотрены в работах [4-8]. Многие из этих методов описаны и реализованы на примерах в публикациях [9, 10]. В монографии [10] подробно рассмотрена динамика пространственного движения КМ с двумя упругими звеньями в виде стержней, работающих на растяжение-сжатие, изгиб в
двух плоскостях и кручение при допущении, что масса звеньев пренебрежимо мала по сравнению с таковой перемещаемого груза.
В трудах [11-14] для системы упругих стержней, моделирующих многозвенные КМ, предложен подход, основанный на численном решении по методу конечных разностей связанной системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих продольные, поперечные в двух плоскостях и крутильные колебания стержней с учетом их кинематических и динамических условий сопряжения в подвижных соединениях.
В работе [15] для построения математической модели плоского движения трехзвенного КМ получено решение в перемещениях, приводящее к достаточно громоздким дифференциальным уравнениям.
Цель работы — построение уравнений динамики пространственного и плоского движения КМ с помощью метода сил, основанного на принципе Кастильяно.
Постановка задачи. Рассмотрим трехзвенный КМ типа руки, трехмерная модель которого приведена на рис. 1, где его упругие звенья показаны в недеформированном состоянии. Первые два звена КМ (к = 1,2) будем рассматривать как стержни постоянного поперечного сечения длиной 1к, работающие на изгиб в вертикаль-
% Чз
; 8
\Ф2
\я>1
-Щ
Щ
Лз 9
Рис. 1. Трехмерная модель трехзвенного КМ типа руки
ной и боковой плоскостях с изгибной постоянной жесткостью Е1к = const и на кручение с жесткостью GJk = const. Третье звено (к = 3) — схват с грузом — считаем массивным абсолютно твердым телом (ТТ).
Звенья связаны между собой в точках 1, 2 и в точке 0 с неподвижным основанием шарнирами с управляемыми углами поворота. Система трансформируется так, что эти три точки в программном движении недеформируемой системы остаются в одной плоскости x'y. С каждым k-м звеном связана подвижная система координат £к Лк С к.
Для первого и второго звеньев ось £к направлена по оси к-го стержня, а оси лк и Ск лежат в вертикальной и боковой плоскостях. Для ТТ начало осей £з, Лз, Сз помещаем в узле 2 в точке 2+, принадлежащей ТТ 3, которую далее отмечаем как точку 3 (2+ — 3), а направление оси £3 выбираем так, чтобы она оставалась в плоскости x'y и была осью цилиндрического шарнира, расположенного в ТТ.
Управляемое (программное) движение КМ во времени t характеризуют пять углов поворота: y0(t) — угол поворота системы в целом в нулевом узле относительно вертикальной оси y; 0o(t), 0i(t) и 02(t) — относительные углы поворота первого, второго и третьего звеньев в шарнирных узлах 0, 1, 2 в вертикальной плоскости x'y; y3(t) — угол поворота ТТ в цилиндрическом шарнире, ось которого совпадает с осью £3. В общем случае будем учитывать упругие податливости механизмов приводов по этим углам.
Считаем, что программное движение манипулятора, обусловленное этими углами поворо-
Рис. 2. Модель системы самолетных углов для ТТ
та, является достаточно плавным и медленным, что характерно для КМ. Поэтому инерционными силами тонких упругих звеньев к = 1,2 в таком движении будем пренебрегать.
Пространственное поступательно-вращательное движение ТТ в связанных с ним осях Лз, Сз с началом в узле 2+ — 3 будем описывать, используя самолетные углы рыскания у , тангажа ф и крена у (рис. 2). Для ТТ эти углы обозначим как уз, ф3, у3, причем Уз =Уо, ф1 =00, ф2 =00 +01, фз =00 +01 +02 (см. рис. 1).
Матрицу преобразования от системы неподвижных осей х, у, г к системе подвижных осей л, С, т. е. [Е, Л С]Т = Л[х у г]Т запишем в следующем виде [16]:
Л(у, ф, у) =
cos у cos ф sin ф - sin у cos ф Ф1 cos ф cos у Ф2 Ф3 - cos ф sin у Ф4
, (1)
где
Ф1 = sin у sin у- cos у sin ф cos у;
Ф2 = cos у sin у + sin у sin ф cos у;
Ф3 = sin у cos у + cos у sin ф sin у;
Ф4 = cos у cos у- sin у sin ф sin у.
Матрица (1) является ортогональной и обладает свойством Л-1 = ЛТ.
Координаты первого и второго узлов в переносном (программном) движении кинематически трансформируемой недеформируемой системы (отмечены верхним индексом «0»):
x0 = l1 cos ¥о cos ф1; y0 = l1 sin ф1;
z0 = -l1 sin ¥o cos ф1; x0 = x0 +12 cos ¥o cos ф2; (2)
У0 = У? +12 sin Ф2; z° = z° -12 sin ¥0 cos ф2.
Углы поворота ТТ трансформируемой неде-формируемой системы относительно неподвижных осей x, y, z можно определить следующим образом:
}°x 3 =Уз; ^У 3 =¥3 =¥0;
>0 3 =00 +01 +02. (3)
При нестационарном переносном движении системы с массивным ТТ возникает относительное движение в виде упругих колебаний вследствие деформирования первого и второго упругих звеньев и угловых податливостей элементов приводов, приведенных к узлам 0,1,2. Эти колебания создают повышенные динамические нагрузки и затрудняют позиционирование перемещаемого ТТ после окончания операции. Для расчета малых нестационарных колебаний рассматриваемой трансформируемой системы с безынерционными упругими стрежневыми звеньями предлагается использовать метод сил.
Уравнения квазистатического деформирования системы. Инерционные силы и моменты, действующие на ТТ при пространственном движении КМ, заменим неизвестными сосредоточенными силами и моментами, приведенными к точке крепления ТТ со вторым стержневым звеном.
Эти силы и моменты запишем в проекциях на неподвижные оси х, у, г и обозначим как Х2, Уг, ¿2 и Ьхз, Ьуз, Ьз (рис. 3). Будем учитывать упругие деформации первого и второго стержневых звеньев при изгибе в вертикальной и боковой плоскостях и кручении, а также угловые податливости приводов по управляемым углам поворота в узлах ¥о, во, 01, 02, у3.
Коэффициенты податливости, обусловленные местными и контактными упругими деформациями элементов механизмов приводов, определяют экспериментально. Для этого к зафиксированному по углу поворота узлу через соединенное с ним звено прикладывают момент и измеряют угол поворота звена. Отношение приложенного момента к измеренному углу поворота Ф представляет коэффициент угловой жесткости привода в этом узле сФ, обратную величину сф1 — коэффициент упругой податливости.
Рис. 3. Модель инерционных сил и моментов, действующих на ТТ
В линейном приближении метода сил изгибающие и крутящие моменты в первом, втором стержнях и поворотных узлах определяют с использованием геометрических параметров трансформируемой (для данного момента времени) недеформированной системы. Далее точку 2+ шарнирного узла 2, принадлежащую ТТ 3, будем обозначать цифрой 3 (т. е. точку 3 совмещаем с точкой 2+).
Моменты в нулевом, первом и втором узлах
Lxk Lx 3 -Y2(z0- -z0)+Z2( y0 - y0)
Lyk = Ly 3 + X2(z0 - -z0) - Z 2(x°°- -x°k)
Lzk Lz 3 - X2( y0 - y0) + ВД - x0)
.(4)
Моменты в произвольной точке ^, Щ = С к = 0 на оси k-го звена
Lx ( ^k ) = Lxk-11 1 -
+ L
'xk '
lk ) lk 0 <£k <lk, k = 1,2;
(5)
(X ^ у ^ £),
где Ък — текущая координата произвольной точки на оси Ък в промежутке 0 < Ък < 1к.
Крутящий момент М^ (Ък), изгибающий момент в боковой плоскости Мл (Ък) и изгибающий момент в вертикальной плоскости М^ (Ък) в поперечном сечении к-го стержня определяем с помощью матрицы преобразования (1) следующим образом:
" мф ) " Lx (k )
M^(k) = Лk Ly (k)
M c(k) Lz (k)
Лk = Л(¥ = ¥0, ф = фk, Y = 0), k = 1,2.
(6)
Запишем потенциальную энергию деформации системы в силах. Потенциальная энергия кручения и изгиба в боковой и вертикальной плоскостях к-го стержневого звена
Пк =
1 'к 11
г М2 (4) + МЛ (4) + М2 (4)'
0
01к
Е1к к = 1,2.
Е1к
й4к,
При углах 00 =ф0, 01 =ф2-ф1, 02 =фз-ф2 потенциальная энергия упругих податливостей в узлах по углам поворота у0, 00, 01, 02 и уз имеет вид
П* = 1 Е2у0 + се-01м2 (( = 0) + с^Щ (( = '1)
+
+ ((2 = ¡2) + с-М\ ((з = 0)]. (8)
В итоге потенциальную энергию деформации стержней и угловых податливостей в поворотных узлах
П = ¿Пк + П*
к=1
с учетом выражений (4)-(8) после вычисления интегралов (7) можно записать в виде квадратичной формы сил Х2, У2, Z2 и моментов Ьхз, Ьуз, Ьг з, приложенных к ТТ в точке 2+ — 3.
Уравнения квазистатического деформирования упругой системы под действием инерционных сил и сил тяжести массивного ТТ получаем на основании принципа Кастильяно, который в рассматриваемом случае запишем в матричном виде
8П-8ИТ (Г2 - г» )-8ЬТ (хз - хз ) = 0. (9)
Здесь
П =1 [И Т ьТ ]
Гья
Гы. Гц
И 2
Ь з
И2 = [ Х2 У2 22 ]Т ; Г2 = [Х2 У2 22 ]Т ;
г0 = [ х
у0
г0
] ; ьз = [ьхз Еуз
уз ^з]Т; хз = [^Хз Ъ
Егз ] ;
ГЫЫИ2 + ГЫЬьз = г2 - г20 ;
ГЫЕИ2 + Ги. Ьз = хз - хз
(10)
для неизвестных векторов сил И2 и моментов Ьз и векторов перемещений г2 и углов поворота х з. Векторы перемещений г20 и углов пово-(7) рота хз недеформируемой системы определяются по формулам (2) и (з).
Уравнения пространственного движения.
Рассмотрим пространственное движение произвольного ТТ (звена 3 КМ), которое соединено со стержнем 2 в точке 2+. Эту точку принимаем за начало связанной с телом подвижной системы координат и указываем как точку 3.
Общие нелинейные уравнения поступательно-вращательного движения ТТ в связанной с ним системе координат 4зЛзСз запишем, пренебрегая нелинейными членами, содержащими угловые скорости [16], в виде
тзиз - БзШз + Рз = 0; -БТиз + ЬШз + Мз = 0, (11)
где Рз и Мз — векторы сил и моментов;
тз = | йт; из = ^Сз ]Т ;
Уз
8з = |
Уз
0 -Сз Лз Сз 0 -4з -Лз 4з 0
йт;
Шз = [(%
ю
лз
• пТ
юс з ] ;
Ь = 1
Уз
л2 + сз -4зЛз -4зСз
-Лз4з 4 + С2 -ЛзСз -Сз4з -СзЛз 4 +лз
йт.
хз = [Ъхз Ъуз Ъгз ] ; хз = [^Хз Ъуз 0£з ] ,
где Гыы , Гш , Гьы = , Гц — блоки третьего порядка, представляющие собой симметричную матрицу податливости упругой трансформируемой системы в рассматриваемый момент времени.
Из вариационного уравнения (9) с произвольными независимыми вариациями 8И2 и 8Ь з получаем систему двух матричных уравнений
Векторы сил Рз и моментов Мз представляют собой реакции во втором узле со стороны стержневой системы, записанные в связанной с ТТ системе координат:
Рз = Р2 = ЛзИ2; Мз = ЛзЬз;
л л ( ) (12)
Лз = Л(у=^0, ф = фз, У = Уз).
Преобразуем упрощенные линеаризованные уравнения движения ТТ (11) к неподвижной системе координат хуг, полагая из = и2 = Лзг;
г......пт (1з)
Шз = [Ъ^з Ълз Ъсз ] = Лз хз.
После умножения каждого из двух матричных уравнений движения ТТ (11) слева на матрицу ЛТ с учетом преобразований (12), (1з) и
свойства ЛТЛ3 = 1 запишем их в неподвижной системе координат xyz как
ШзЕзГ -Л^БзЛзХХз = R2;
(14)
-(Л ТБзЛ з)Т Г2 + Л Т 1зЛ з X з = L з, где E3 — единичная матрица третьего порядка.
Полученную систему дифференциальных уравнений (14) решают совместно с системой линейных алгебраических уравнений квазистатического деформирования трансформируемой конструкции КМ (10).
Используя матричное уравнение (10) и исключая векторы неизвестных реакций R2, L3, задача динамики пространственного движения КМ с упругими звеньями, перемещающего по заданному закону массивное ТТ, сводится к шести неоднородным линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами для неизвестных перемещений и углов поворота ТТ, составляющих векторы r2 и \ 3.
Плоское движение трехзвенного КМ. Рассмотрим плоское движение КМ, состоящего из трех шарнирно соединенных между собой звеньев и управляемого кинематически за счет заданных относительных углов поворота в шарнирах 90(t), 9i(t), 92(t). Плоская модель трех-звенного КМ приведена на рис. 4, где упругие звенья показаны в недеформированном состоянии.
Первое и второе звенья принимаем упругими на изгиб стержнями длиной lk с постоянными по длине жесткостями EIk . Третье звено — недеформируемое тело массой M3 с центральным моментом инерции моделирующим схват с присоединенным ТТ (грузом),
Рис. 4. Плоская модель трехзвенного КМ
центр масс которого находится в точке 3 на расстоянии р3 от шарнирного узла 2.
Движение системы с массивным ТТ считаем достаточно плавным, поэтому инерционными силами и силами тяжести тонких стрежней можно пренебречь. Условное звено 2-3, связывающее шарнирный узел 2 с центром масс ТТ в точке 3, является недеформируемым. Углы поворота звеньев как твердых тел — произвольные (большие). Первый шарнир в точке 0 принимаем неподвижным (x0 = y0 = 0).
Внутри первого и второго полых стержней расположены механизмы и приводы, осуществляющие заданное кинематическое управление изменениями углов между соединяемыми звеньями 9k (t) (k = 0,1,2) с целью передвижения и позиционирования ТТ. Для учета возможной податливости в нулевом, первом и втором шарнирах введем эквивалентные пружины жесткостью ck.
В недеформированном состоянии с зафиксированными углами 9k (t) (k = 0,1,2) геометрические параметры системы определяются как
4 = x°-1 + lk cos 9k; y° = y°_1 + lk sin 9k; 9k = 9k-1 + 9k-1(t); x° = У00 = Ф0 = 0, k = 1,2,3.
В деформированном состоянии системы координаты центра масс ТТ обозначаем через x3(t) и y3(t), а его угол поворота — через #3(t). Тогда инерционные силы и моменты ТТ, приведенные к его центру масс (см. рис. 4), имеют вид
X3 = -M3Хз; Уз =-Мз ( Уз + g); L3 = -J0«з. (16)
При действии сил X3, Y3 и момента L3 стержни изгибаются, а в податливых по углам поворота соединениях с приводами изменяются углы 9k (t):
xk = x0 +Axk; yk = y° +Ayk; ■&k =фk + Aфk, k = 0,1,2.
Упругие перемещения и угловые податливости в соединительных узлах считаем малыми, будем использовать геометрические параметры системы в ее недеформированном состоянии. Коэффициенты податливостей в управляемых шарнирных соединениях (k = 0,1,2) с приводами обозначаем через с-1. Их можно определить экспериментально при зафиксированном угле 9k с помощью соотношения A9k = c-1Mk, где Mk — прикладываемый в узле момент.
Уравнения статического деформирования упругой системы составляем по методу сил, для чего определяем изгибающие моменты
в стержнях 0-1 M0—1 и 1-2 Mb2, нулевом M0, первом M1 и втором M2 шарнирных узлах:
(18)
(19)
Mo-1 = L3 -X3 (a13 - 4 sin ф1) + + Y3 (b13 -^1 cosф1); M1-2 = L3 - X3 (a23 - 4 sinф2) + + Y3 (b23 -^2 cosф2);
Mo = L3 - Хза1з + Y3b13; M1 = L3 -Хза2з + Y3b23; M2 = L3 - X3a3 + Y3b3. Здесь 4 — локальная координата точки стержня в связанной системе координат щк, 0 <4 <¡k (k = 1,2); с учетом выражения (15) a13 = a1 + a2 + a3; b13 = b1 + b2 + b3;
a23 = a2 + a3; b23 = b2 + Ьз ;
a3 =p3sinф3; b3 =p3cos ф3,
где
a1 = ¡1sinф1; a2 = ¡2 sinф2; b1 = ¡1 cosф1;
b2 = ¡2cosф2; ф1 =6o(í); ф2 = 6o(t) + 61(f);
фз =6o(f) + 61(f) + 62 (t). С учетом упругих податливостей приводов, осуществляющих управляемые повороты по углам 6k (f) (k = o, 1,2), в шарнирных соединениях, потенциальная энергия изгиба системы двух стержней
П =
UmoV4 +
EI1
¡2
+— 2f M?_2d^2 + — M02 +—M2 + — EI2 0 Со C1 C2
M 2
(20)
или в матричном виде
П = - [ Х3 Y3 L3 ] Г [ Х3 Y3 L3 ]T, (21)
Y22 = — i hb¡3 — ¡b cosф1 +1 l¡ cos2 Ф1 | + EI1V 3 )
+ ( ¡2b|3 — ¡2^23 cos Ф2 + 1 ¡23 cos2 Ф2 | + EI 2 V 3 )
+ — b23 +—b223 +—b32; C0 C1 C2
11 ¡2111
Y33 =-+-+ — + — +—;
EI1 EI2 C0 C1 C2
Y12 = Y21 =— I 1 ¡12Я13 cos Ф1 — ¡1^13 + EI1 V 2
+ 1 ¡2b13 sin ф1 —1 cos ф1 sin ф1 j +
+ — I 1 Z|fl23 cosФ2 —¡2023^23 + 1 ¡22b23 sinф2 — EI2 V 2 2
—1Z23cosФ2sinФ2 )—1 üubu ——a23^23 —1 fl3b; 3 ) C0 C1 C2
Y23 = Y32 =— I hbn—1 ¡12cosф1 I +
EI1V 2 )
+ — I ¡2b23 —1 ¡2 cosФ2 I +—b13 +—b23 +—b3; EI2 V 2 ) C0 C1 C2
Y13 = Y31 =— i1 ¡12sin ф1 —hü13 I + EI1 V 2 )
1 i 1 J2 • , I 1 1 1
+ -1 -¡22sinф2 —12Ü23 I--Й13--Й23--Я3.
EI2 V 2 ) C0 C1 C2
Уравнения квазистатического деформирования упругой системы двух стержней с учетом податливостей приводов по относительным углам поворота в шарнирных соединениях получаем по методу сил с учетом выражений (17) и (21):
где Г = [у,] — матрица размером 3х3, коэффициенты у- которой нелинейно зависят от угла Qk (t), у, =у-i.
Если не учитывать податливости в k-м шарнирном узле в выражении (20), то следует положить ck ^
После подстановки выражений (18) и (19) в формулу (20) получаем
у11 = -1-1 Z1a123 -l2a13 sinф1 +113 sin2 ф1 | + EIi V 3 )
+ | ¡2Ü^3 -l¡Ü23 Sinф2 + 1 \\ Sin2 ф2 | +
EI2 V 3 )
90; 01; Э2, рад
J_
C0
+ — a23 +—af3 +
1
C1
C2
15 30 45 t, с
Рис. 5. Зависимости углов поворота стержней 90, 62 и 83 от времени t
—- _ ДХз _ хз Хз, —— _ ДУз _ Уз Уз, 0X3 ЭУз
ЭП
Эь
■_#з фз.
Запишем их в матричном виде
Г [Хз Уз Ьз ]Т _ [Хз _ х0 уз _ у0 _фз ]Т.
С учетом выражений (16) система дифференциальных уравнений плоского движения массивного ТТ принимает вид
(22)
мз хз Хз х0
Мз (уз + g) + Г_1 Уз _ У0
_ 1 зфз _ фз
х3,м
10,0
9,5 9,0 8,5 8,0
V4-
4 , \ч
10,0 12,5 15,0 17,5 20,0
В
Рис. 6. Зависимости горизонтального хз (а), вертикального уз (б) и углового (в) положений центра масс схвата с грузом КМ от времени t для вариантов В1 ( ), В2 (----), Вз ( ) и В4 (........)
Для удобства численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (22) матрица третьего порядка Г обращается аналитически и записывается в виде формул.
Пример расчета. Приведем численные результаты интегрирования полученной нелинейной системы дифференциальных уравнений (22) второго порядка для нескольких вариантов модельного примера расчета.
Программное изменение углов 0к ^) (к _ 0,1,2) определяется следующими зависимостями (рис. 5):
6o(f) =
6i(f)=
0Г +0or 11 --cosп — I при 0 < t < T; ^ 2 2 T
9T + 00T при t > T; 0T при 0 < t < T;
0T + 01T
02 (t) =
11 I t - T
---cos I п-
2 2 I T
при T < t < 2T; 0T + 01T при t > 2T;
0T при 0 < t < 2T;
_ _ Г11 ( t - 2T
0T + 02Г---cos I п-
L 2 2 ^ T
при 2T < t < 3T; 0T + 02T при t > 3T,
где
п
.. л л л
0г _ —; 00Г _ —; 01Г _ —; 02Г _ —; Т _ 15 с. 16 6 4 з
Исходные данные: 11 _ 12 _ 6 м; Е11 _ _ Е1г _ 2,029 -105 Н-м2; рз _ 2 м; Мз _ 600 кг; 1з _ 100 кг-м2. Численное интегрирование выполняли по методу Адамса с шагом интегрирования 10_з с в интервале времени от ^ _ 0 до
у, м
tk = 4T = 60 с. В начальном положении стержни и схват находятся в покое и вытянуты вдоль оси, наклоненной под углом 0T к оси х (00 =01 =02 = 0t ).
В первом варианте расчета (B1) податливости в шарнирах не учитывали (c0 = c1 = c2 ^ Во втором варианте (В2) учитывали податливости в управляемых шарнирных узлах с коэффициентами жесткости c0 = 5 -105 Н-м/рад, c1 = 2,5-105 Н-м/рад и c2 = 1-105 Н-м/рад.
В третьем варианте расчета (В3) использовали математическую модель динамики двух-звенного КМ, полученную в работе [15] в перемещениях.
Четвертый вариант расчета (В4) представляет собой решение задачи для абсолютно жестких на изгиб первого и второго звеньев, т. е. решение кинематической задачи:
x3(t) = х0 = l1 cos00 +12 cos(00 + 01) +
+ рз cos (00 +01 + 02);
Уз(—) = y0 = I1 sin 00 +12 sin (00 +01) +
+ рз sin(00 +01 + 02);
фз (t) = 00 + 01 + 02.
Расчетные зависимости горизонтального х3 (я), вертикального y3 (б) и углового (в) положений точки 3 (центра масс схвата с грузом) КМ от времени для вариантов В1-В4 приведены на рис. 6, я—в. Годограф изменения положения центра масс схвата с грузом КМ на всем времени управления для вариантов В1-В4 показан на рис. 7.
Как видно из рис. 6, я-в, наибольшее влияние на характер движения вносят податливости шарнирных соединений. Особенно это проявляется при остаточных колебаниях после снятия управляющего кинематического воздействия, т. е. при t > 3T = 45 с.
12,0 11,5 11,0 10,5 10,0
X /У
/ ¿у
/\ /;
(! :/
- К
1
X, м
Рис. 7. Годограф изменения положения центра масс схвата с грузом КМ для вариантов В1 ( ), В2 (—-), Вз ( ) и В4 ( )
Результаты расчета параметров, характеризующих движение центра масс схвата с грузом КМ
Вариант х3, м у3, м «3, рад Вариант х3, м у3, м «3, рад
При £ = Т При £= 3Т
В1 9,0330 10,5217 1,1147 В1 1,8900 10,3087 2,9287
В2 8,8820 10,6387 1,1353 В2 1,5582 10,2575 2,9766
В3 9,0419 10,5161 1,1137 В3 1,8611 10,3083 2,9280
В4 9,0482 10,5099 1,1126 В4 1,7663 10,2949 2,9452
При £ = 2Т При £ = 4Т
В1 3,1902 11,7933 1,8860 В1 1,8810 10,3142 2,9284
В2 3,5269 11,7818 1,8455 В2 1,5437 10,2625 2,9769
В3 3,1571 11,7932 1,8874 В3 1,8437 10,3157 2,9267
В4 3,0850 11,7986 1,8980 В4 1,7663 10,2949 2,9452
Результаты расчета параметров, характеризующих движение центра масс схвата с грузом КМ, для вариантов В1-В4 в разные моменты времени £ приведены в таблице.
Выводы
1. Построена математическая модель динамики пространственного движения трехзвен-ного КМ, состоящего из двух упругих безынерционных стержней, работающих на изгиб в двух плоскостях и на кручение, и присоединенного к ним на конце массивного абсолютно ТТ. Решение задачи, построенной по методу сил на основании принципа Кастильяно, сведено к системе шести дифференциальных уравнений
Литература
колебаний ТТ в неподвижной системе координат с присоединенной к нему упругой стержневой системой переменной структуры.
2. На основании предложенного подхода рассмотрено плоское управляемое движение симметричного КМ с двумя упругими стержневыми звеньями и переносимым ТТ с учетом упругих податливостей в шарнирных соединениях. Получены конечные уравнения со всеми коэффициентами, записанные в удобном для численного интегрирования матричном виде. Выполнены численные сравнения с решением задачи о перемещениях, основанным на предыдущих публикациях, с оценками влияния по-датливостей в шарнирных соединениях.
[1] Афанасьев И. Начало новой «эры». Русский космос, 2021, № 10, с. 54-57.
[2] Тебуева Ф.Б., Петренко В.И., Антонов В.О. Методика определения взаимоположения
суставов руки оператора для управления антропоморфным космическим манипулятором. Экстремальная робототехника, 2018, т. 1, № 1, с. 69-81.
[3] Даляев И.Ю., Кузнецова Е.М., Шардыко И.В. Перспектива создания роботизированных
сервисных спутников для технического обслуживания и продления сроков активного существования космических аппаратов. Робототехника и техническая кибернетика, 2015, № 3, с. 27-31.
[4] Акуленко Л.Д., Михайлов С.А., Черноусько Ф.Л. Моделирование динамики манипуля-
тора с упругими звеньями. Известия АН СССР. МТТ, 1981, № 3, с. 118-124.
[5] Михайлов С.А., Черноусько Ф.Л. Исследование динамики манипулятора с упругими
звеньями. Известия АН СССР. МТТ, 1984, № 2, с. 51-58.
[6] Черноусько Ф.Л. Динамика управляемых движений упругого манипулятора. Известия
АН СССР. Техн. кибернетика, 1981, № 5, с. 142-152.
[7] Рахманов Е.В., Стрелков А.Н., Шведов В.Н. Разработка математической модели упруго-
го манипулятора на подвижном основании. Известия АН СССР. Техн. кибернетика, 1981, № 4, с. 109-114.
[8] Гукасян А.А. Исследование управляемых движений упругого манипулятора с тремя
степенями подвижности. Известия АН АрмССР. Механика, 1983, т. 36, № 3, с. 12-20.
[9] Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы. Москва,
Наука, 1989. 363 с.
[10] Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. Москва, Машиностроение, 1987. 232 с.
[11] Гуляев В.И., Завражина Т.В. Динамическое управление плоскими движениями упругого двузвенного космического робота-манипулятора. Проблемы управления и информатики, 1998, № 1, с. 140-154.
[12] Гуляев В.И., Завражина Т.В. Динамика управляемых движений упругого робота-манипулятора. Известия АН. МТТ, 1998, № 5, с. 19-28.
[13] Гуляев В.И., Завражина Т.В. Динамика робота-манипулятора с упругоподатливыми звеньями и приводными механизмами. Известия АН. МТТ, 2003, № 6, с. 18-30.
[14] Завражина Т.В. Влияние упругой податливости звеньев на динамику и точность позиционирования робота-манипулятора с вращательными и поступательными сочленениями. Известия АН. МТТ, 2008, № 6, с. 17-32.
[15] Русских С.В., Шклярчук Ф.Н. Динамика плоского движения космического крана-манипулятора типа руки с учетом изгиба звеньев. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2023, № 5, с. 112-122, doi: http://dx.doi.org/10.18698/0536-1044-2023-5-112-122
[16] Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Динамика упругих управляемых конструкций. Москва, Изд-во МАИ, 2007. 328 с.
References
[1] Afanasyev I. Beginning of new "Era". Russkiy kosmos, 2021, no. 10, pp. 54-57. (In Russ.).
[2] Tebueva F.B., Petrenko V.I., Antonov V.O. et al. A method of determining the mutual posi-
tion of operator's arm joints for anthropomorphic space manipulator control. Ekstrem-alnaya robototekhnika [Extreme Robotics], 2018, vol. 1, no. 1, pp. 69-81. (In Russ.).
[3] Dalyaev I.Yu., Kuznetsova E.M., Shardyko I.V. Development prospects of robotic service sat-
ellites for maintenance purposes and active lifetime extension of spacecraft. Robototekhnika i tekhnicheskaya kibernetika [Robotics and Technical Cybernetics], 2015, no. 3, pp. 27-31. (In Russ.).
[4] Akulenko L.D., Mikhaylov S.A., Chernousko F.L. Modeling of manipulator dynamics with
elastic linkages. Izvestiya AN SSSR. MTT, 1981, no. 3, pp. 118-124. (In Russ.).
[5] Mikhaylov S.A., Chernousko F.L. Study on manipulator dynamics with elastic linkages.
Izvestiya AN SSSR. MTT, 1984, no. 2, pp. 51-58. (In Russ.).
[6] Chernousko F.L. Dinamika upravlyaemykh dvizheniy uprugogo manipulyatora. Izvestiya AN
SSSR. Tekhn. kibernetika, 1981, no. 5, pp. 142-152. (In Russ.).
[7] Rakhmanov E.V., Strelkov A.N., Shvedov V.N. Dynamics of controlled motions of an elastic
manipulator. Izvestiya AN SSSR. Tekhn. kibernetika, 1981, no. 4, pp. 109-114. (In Russ.).
[8] Gukasyan A.A. Study on controlled motion of an elastic manipulator with three degrees of
freedom. Izvestiya AN ArmSSR. Mekhaknika, 1983, vol. 36, no. 3, pp. 12-20. (In Russ.).
[9] Chernousko F.L., Bolotnik N.N., Gradetskiy V.G. Manipulyatsionnye roboty [Manipulation
robors]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 363 p. (In Russ.).
[10] Dokuchaev L.V. Nelineynaya dinamika letatelnykh apparatov s deformiruemymi elementami
[Nonlinear dynamics of aircraft with deformable elements]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1987. 232 p. (In Russ.).
[11] Gulyaev V.I., Zavrazhina T.V. Dynamic control of planar motions of an elastic two-link space robot-manipulator. Problemy upravleniya i informatiki, 1998, no. 1, pp. 140-154. (In Russ.).
[12] Gulyaev V.I., Zavrazhina T.V. Controlled motion dynamics of an elastic manipulator robot. Izvestiya AN. MTT, 1998, no. 5, pp. 19-28. (In Russ.).
[13] Gulyaev V.I., Zavrazhina T.V. Dynamics of a robot manipulator with elastic-fit links and drive mechanisms. Izvestiya AN. MTT, 2003, no. 6, pp. 18-30. (In Russ.).
[14] Zavrazhina T.V. Influence of elastic compliance of links on the dynamics and accuracy of a manipulating robot with rotational and translational joints. Izvestiya AN. MTT, 2008, no. 6,
pp. 17-32. (In Russ.). (Eng. version: Mech. Solids, 2008, vol. 43, no. 6, pp. 850-862, doi: https://doi.org/10.3103/S0025654408060034)
[15] Russkikh S.V., Shklyarchuk F.N. Plane motion dynamics of a space-based crane-manipulator of the arm type taking into account the links' bending. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Mashinostroenie [BMSTU Journal of Mechanical Engineering], 2023, no. 5, pp. 112-122, doi: http://dx.doi.org/10.18698/0536-1044-2023-5-112-122 (in Russ.).
[16] Grishanina T.V., Shklyarchuk F.N. Dinamika uprugikh upravlyaemykh konstruktsiy [Dynamics of elastic controlled constructions]. Moscow, Izd-vo MAI Publ., 2007. 328 p. (In Russ.).
Информация об авторах
ГРИШАНИНА Татьяна Витальевна — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры 602 «Проектирование и прочность авиационно-ракетных и космических изделий». ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (125993, Москва, Российская Федерация, Волоколамское шоссе, д. 4, e-mail: [email protected]).
РУССКИХ Сергей Владимирович — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры 602 «Проектирование и прочность авиационно-ракетных и космических изделий». ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»; старший научный сотрудник ФГБУН «Институт прикладной механики Российской академии наук» (125040, Москва, Российская Федерация, Ленинградский проспект, д. 7, e-mail: [email protected]).
ШКЛЯРЧУК Федор Николаевич — доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник. ФГБУН «Институт прикладной механики Российской академии наук»; профессор кафедры 602 «Проектирование и прочность авиационно-ракетных и космических изделий». ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (125993, Москва, Российская Федерация, Волоколамское шоссе, д. 4, e-mail: [email protected]).
Статья поступила в редакцию 18.09.2023 Information about the authors
GRISHANINA Tatyana Vitalievna — Doctor of Science (Phys.-Math.), Professor, Professor of Department 602, Design and Durability of Aircraft, Rocket and Space Products. Moscow Aviation Institute (National Research University) (National Research University) (125993, Moscow, Russian Federation, Volokolamskoye Shosse, Bldg. 4, e-mail: [email protected]).
RUSSIKIKH Sergey Vladimirovich — Doctor of Science (Physics and Math), Associate Professor, Professor of Department 602, Design and Durability of Aircraft, Rocket and Space Products. Moscow Aviation Institute (National Research University); Senior Researcher. Institute of Applied Mechanics of the Russian Academy of Sciences (125040, Moscow, Russian Federation, Leningradskiy Ave., Bldg. 7, e-mail: [email protected]).
SHKLYARCHUK Fyodor Nikolaevich — Doctor of Science (Eng.), Professor, Chief Researcher. Institute of Applied Mechanics of the Russian Academy of Sciences; Professor, Department 602, Design and Durability of Aviation-Rocket and Space Products. Moscow Aviation Institute (National Research University) (125993, Moscow, Russian Federation, Volokolamskoye Shosse, Bldg. 4, e-mail: [email protected]).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Гришанина Т.В., Русских С.В., Шклярчук Ф.Н. Применение метода сил для расчета пространственного движения манипулятора с массивным твердым телом с учетом упругости звеньев и поворотных приводов. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2023, № 11, с. 92-103, doi: 10.18698/0536-1044-2023-11-92-103
Please cite this article in English as: Grishanina T.V., Russkikh S.V., Shklyarchuk F.N. Force method application in calculating spatial motion of a manipulator with the massive solid body taking into account the links and rotary drives elasticity. BMSTU Journal of Mechanical Engineering, 2023, no. 11, pp. 92-103, doi: 10.18698/0536-1044-2023-11-92-103
