CC BY
31
Небесная механика и астрономия
УДК 523.642
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ДВИЖЕНИЯ КОМЕТ
А. Ф. Заусаев, Л. А. Соловьев
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: Zausaev_AF@mail.ru
Применен метод регуляризации к дифференциальным уравнениям движения комет. Проведено численное интегрирование уравнений движения десяти короткопериодических комет на интервале времени с 1800 по 2204 гг. с использованием оскулирующих элементов больших планет. Показана высокая эффективность данного метода для короткопериодических комет.
Ключевые слова: интерполяция, численное интегрирование, дифференциальные уравнения движения, метод оскулирующих элементов.
Дифференциальные уравнения движения кометы в гелиоцентрической системе координат с учётом релятивистских эффектов от Солнца имеют следующий вид [1]:
где X — матрица-столбец с элементами х, у, г; Хі — матрица-столбец с элементами хі, уі, гі; т, х, у, г — масса и гелиоцентрические координаты возмущаемого тела; ті, хі, уі, гі — массы и гелиоцентрические координаты больших планет; г, Ді, г і —расстояния, вычисляемые по следующим формулам: г2 = х2 + у2 + г2, Д2 = = (хі — х)2 + (уі — у)2 + (гі — г)2, г2 = х2 + у2 + г2; X — матрица-столбец с элементами х, у, г; к — постоянная Гаусса; с — скорость света; а — параметр, характеризующий выбор системы координат. Случай а =1 соответствует стандартным координатам, случай а = 0 — гармоническим координатам.
Система дифференциальных уравнений (1) описывает движение п материальных точек в гелиоцентрической системе координат. Решение этой системы существенно упрощается, если известны координаты возмущающих тел, так как в этом случае вместо задачи п тел решается задача двух тел. Уравнения (1) сингулярны в начале координат. Для кометных орбит, имеющих большие эксцентриситеты, изменение расстояния от центрального тела приводит к неравномерному изменению правых частей дифференциальных уравнений (1). При численном интегрировании такая неравномерность требует постоянного изменения шага интегрирования, что приводит к потере точности вычислений. Преодолеть эти трудности можно путём преобразования сингулярных дифференциальных уравнений (1) в регулярные.
Анатолий Федорович Заусаев (д.ф.-м.н.), профессор, каф. прикладной математики и информатики. Леонид Александрович Соловьев, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.
Процедуру, позволяющую устранить в дифференциальных уравнениях движения сингулярность, называют регуляризацией. Регуляризацию выполняют в два этапа. Первый этап состоит в том, чтобы получить регулярные функции, описывающие движение, а также в устранении бесконечного возрастания скорости в точке соударения. Это достигается путём замены физического времени £ на фиктивное время в, с помощью преобразования
Л , .
- = г. (2)
ав
Если использовать фиктивное время в качестве независимой переменной, то уравнение движения (1) примет вид
3 1 2 ( ~ X Хг
г У к т.1\ -о---------о- +
гХ" -г'Х' + к2(1 + т)Х = г3^2к2ті (Хі ^
і \ Ді Гі /
~2
с2
(4 - 2а)— X - (1 + а) Vх + Зсч^Р X + (4 - 2а) ^ X'
, (3)
где штрих указывает на дифференцирование по в.
В дифференциальные уравнения движения (3) входят координаты возмущающих планет ж*, у*, г*. Эффективность работы программы при решении уравнений (3) можно повысить путём использования банка данных координат больших планет.
При численном интегрировании уравнений движения (3) необходимо вычислять физическое время на каждом шаге интегрирования с той же точностью, с которой вычисляются координаты возмущаемого тела. Выполнения данного требования можно достичь следующим образом. Продифференцировав уравнение (2) по в, получим:
I" = г'. (4)
Совместным решением уравнений (3) и (4) можно получить требуемую точность для физического времени по известному фиктивному времени.
Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений (3) и (4) для десяти короткопериодических комет проводилось методом Эверхарта 27-го порядка с использованием банка данных оскулирующих элементов больших планет [3]. Интегрирование уравнений движения проводилось двумя методами. В первом случае решались уравнения движения, полученные в работе [4], в которых учтены как гравитационные, так и релятивистские эффекты. Данные об эволюции орбит этих комет содержатся в работе [5]. Во втором случае численное интегрирование уравнений (3) и (4) проводилось с учётом первого этапа регуляризации с использованием оскулирующих элементов.
В табл. 1, 2 приведены элементы орбит, полученные в результате интегрирования первым и вторым способом, обозначены соответственно «Совм. интегр.» и «Регул. интегр.»; Д£ — абсолютная величина разности в значениях орбитальных элементов, полученных первым и вторым методами. Начальные данные элементов орбит комет взяты из каталога [5].
Как видно из табл. 1 и 2, максимальные расхождения в элементах кометных орбит для всех 10 комет в обоих методах на конце интервала интегрирования незначительны. При этом в угловых элементах максимальное расхождение наблюдается в средней аномалии у кометы Б/Ыйа (0,0057°), а отличия в остальных элементах орбит не превышают точности оптических наблюдений. Так как оба метода дают незначительные расхождения в элементах орбит, то это позволяет считать, что метод регуляризации с использованием оскулирующих элементов можно применять для исследования эволюции орбит короткопериодических комет на интервале времени с 1800 по 2204 гг.
2
к
Таблица 1
Элементы орбит комет, полученные совместным интегрированием уравнений движения, а также с учётом регуляризации (Т = 1800 01 05)
I М I а I ё I ш I О I г
Р/Hailey
Совм. интегр. 191,4946 18,052023 0,968665 111,3587 58,0169 162,2889
Регул, интегр. 191,4944 18,052032 0,968665 111,3586 58,0168 162,2889
AS 0,0002 9,00E-06 0 1,00E-04 l,00E-04 0
Р/Епске
Совм. интегр. 60,5893 2,216543 0,845846 182,3158 337,1369 13,567
Регул, интегр. 60,5894 2,216543 0,845846 182,3158 337,1369 13,567
AS 0,0001 0 0 0 0 0
D/Biela
Совм. интегр. 37,7136 3,559049 0,746668 217,8642 254,2752 13,6419
Регул, интегр. 37,7135 3,559049 0,746668 217,8642 254,2752 13,6419
AS 1,00Е-04 0 0 0 0 0
P/Faye
Совм. интегр. 73,4076 3,866193 0,556092 191,2737 226,7653 7,3485
Регул, интегр. 73,4029 3,866174 0,556095 191,2729 226,7657 7,3483
AS 0,0047 0,000019 3,00Е-06 8,00Е-04 4,00Е-04 2,00Е-04
D/Brorsen
Совм. интегр. 63,0994 3,027727 0,733766 7,5765 106,8219 45,287
Регул, интегр. 63,09939 3,027759 0,733772 7,5767 106,8219 45,2868
AS 1,00Е-05 3,20Е-05 6,00Е-06 0,0002 0 0,0002
P/d Arrest
Совм. интегр. 37,2982 3,413185 0,669816 170,2287 153,3499 13,0505
Регул, интегр. 37,2989 3,413184 0,669816 170,2285 153,35 13,0505
AS 0,0007 1,00Е-06 0 0,0002 0,0001 0
P/Pons-Winnecke
Совм. интегр. 208,1477 3,337746 0,72313 5,6173 268,8229 2,6807
Регул, интегр. 208,1477 3,337746 0,72313 5,6169 268,8235 2,6808
AS 0 0 0 0,0004 0,0006 1,00Е-04
P/Tuttle
Совм. интегр. 260,0457 5,748858 0,819734 206,8318 271,662 54,3911
Регул, интегр. 260,0452 5,748858 0,819734 206,8318 271,662 54,3911
AS 0,0005 0 0 0 0 0
P/Temp el 1
Совм. интегр. 280,1281 3,128444 0,524341 131,945 105,2602 6,2927
Регул, интегр. 280,1292 3,128442 0,524342 131,9436 105,2616 6,2925
AS 0,001 2,00Е-06 1,00Е-06 0,0014 0,0014 0,0002
P/Tempel 2
Совм. интегр. 86,4843 3,023543 0,546203 178,2391 125,7648 12,4545
Регул, интегр. 86,4834 3,023543 0,546202 178,2392 125,7648 12,4545
AS 0,0009 0 1,00Е-06 0,0001 0 0
Таблица 2
Элементы орбит комет, полученные совместным интегрированием уравнений движения, а также с учётом регуляризации (Т = 2204 12 13)
м а е UJ П г
Р/Hailey
Совм. интегр. Регул, интегр. Д5 340,7337 340,737 0,0033 17,82704 17,82697 7,00Е-05 0,967167 0,967167 0 115,0549 115,055 0,0001 62.4152 62.4152 0 161.7191 161.7191 0
Р/Епске
Совм. интегр. 316,0063 2,221484 0,847531 192,2903 330,3659 9,2604
Регул, интегр. 316,0035 2,221485 0,847531 192,2903 330,3659 9,2604
Д5 0,0028 1,00Е-06 0 0 0 0
D/Віеіа
Совм. интегр. 155,9316 3,527373 0,763495 326,0849 139,6366 14,611
Регул, интегр. 155,9259 3,527377 0,763496 326,0847 139,6368 14,6105
AS 0,0057 4,00Е-06 1,00Е-06 0,0002 0,0002 0,0005
P/Faye
Совм. интегр. 281,7301 3,71421 0,610773 220,5747 167,8499 5,098
Регул, интегр. 281,7299 3,714211 0,610772 220,5747 167,85 5,098
AS 0,0003 1,00Е-06 1,00Е-06 0 0,0001 0
D/Brorsen
Совм. интегр. 41,2152 3,073071 0,863266 73,7416 39,4331 6,7586
Регул, интегр. 41,2165 3,073068 0,863267 73,7376 39,4371 6,7588
AS 0,0013 3,00Е-06 1,00Е-06 0,004 0,004 0,0002
P/d Arrest
Совм. интегр. 81,8749 3,789775 0,492992 169,5791 128,5464 23,3064
Регул, интегр. 81,8754 3,789774 0,492993 169,5791 128,5465 23,3063
AS 0,0005 1,00Е-06 1,00Е-06 0 0,0001 0,0001
P/Pons-Winnecke
Совм. интегр. 305,1878 3,366807 0,672255 193,3037 79,3204 18,0484
Регул, интегр. 305,1877 3,366807 0,672255 193,3037 79,3204 18,0484
AS 0,0001 0 0 0 0 0
P/Tuttle
Совм. интегр. 146,0471 5,698912 0,822694 207,7192 269,2077 55,0828
Регул, интегр. 146,0471 5,698912 0,822694 207,7192 269,2077 55,0828
AS 0 0 0 0 0 0
P/Temp el 1
Совм. интегр. 274,3968 3,223767 0,498254 200,3509 56,1666 8,2521
Регул, интегр. 274,3972 3,223768 0,498253 200,351 56,1665 8,2521
AS 0,0004 1,00Е-06 1,00Е-06 0,0001 0,0001 0
P/Tempel 2
Совм. интегр. 2,8662 3,027102 0,569752 217,0771 102,824 8,8981
Регул, интегр. 2,8647 3,027103 0,569751 217,0773 102,8239 8,898
AS 0,0015 1,00Е-06 1,00Е-06 0,0002 0,0001 0,0001
29І
Следует также отметить, что по быстродействию метод регуляризации с использованием оскулирующих элементов почти в 5 раз превосходит метод совместного интегрирования.
На основании выше изложенного можно сделать вывод, что при исследовании эволюции орбит как короткопериодических, так и долгопериодических комет с большими эксцентриситетами предпочтительнее проводить решение уравнений (3) и (4) с использованием оскулирующих элементов по сравнению с методом совместного интегрирования.
Работа выполнена в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010)» (проект РНП 2.1.1/745).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. — М.: Наука, 1972. — 382 с.
2. Штифель E., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. — М.: Наука, 1975. — 304 с.
3. Заусаев А.Ф., Заусаев Д.А. Численное интегрирование уравнений движения малых тел Солнечной системы с использованием оскулирующих элементов больших планет / В сб.: Труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи/ Матем. моделирование и краев. задачи. — Самара: СамГТУ, 2009. — C. 125-130.
4. Newhall X. X., Standish E. M., Williams J. G. DE 102 — A numerically integrated ephemeris of the moon and planets spanning forty-four centuries // Astron. Astrophys, 1983. — Vol. 125, No. 1. — P. 150-167.
5. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Каталог орбитальной эволюции короткопериодических комет с 1800 по 2204 гг. — М.: Машиностроение-1, 2007. — 410 с.
Поступила в редакцию 20/VII.2009; в окончательном варианте — 10/IX/2009.
MSC: 70F15, 70-08
APPLICATION OF THE REGULARIZATION METHOD TO DIFFERENTIAL EQUATIONS OF COMETS’ MOTION
A. F. Zausaev, L. A. Solov’ev
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.
E-mail: Zausaev_AF@mail.ru
Regularization method for differential equation of comets ’ motion is used. Numerical integration of the equation of motion of 10 short-period comets during the period of 1800 to 2204 with the use of osculating elements of the large planets is done. The high efficiency of this method for short-period comets study is demonstrated. efficiency of this method for short-period comets is shown.
Key words: numerical integration, differential equation of motion, method of the osculation elements.
Original article submitted 20/VII.2009; revision submitted 10/IX/2009.
Anatoliy F. Zausaev (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. Leonid A. Solov’ev, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.
