CC BY
22
Bernnux&TyWT/Proceedmgs of VSUET, № 4, 2016,
Оригинальная статья/Original article_
УДК 644:043
DOI: http://doi .org/10.20914/2310-1202-2016-4-94-99
Применение метода PSO при решении задач распознавания _образов_
Дмитрий Б. Абрамов, 1 cuntz@mail.ru
Сергей О. Баранов, 1 serj@doctor.com
Сергей В. Лейхтер, 1 leykhter@mail.ru
Сергей Н. Чуканов 2 ch_sn@mail.ru
1 кафедра компьютерных информационных автоматизированных систем, Сибирская автомобильно-дорожная академия, пр. Мира, 5, Омск, 644050, Россия
2 лаборатория методов преобразования и представления информации, Институт математики им. С. Л. Соболева, Омский филиал, Певцова 13, Омск, 644043, Россия_
Реферат. В работе рассмотрена задача оценивания нормы расстояния между двумя замкнутыми гладкими кривыми при распознавании образов. Рассмотрены диффеоморфные преобразования кривых на основе модели больших деформаций, при этом преобразование исходных точек области в требуемые формируется на основе зависящего от времени векторного поля скоростей. Рассмотрены действия групп переноса, вращения и масштабирования на замкнутую кривую, инварианты к действию этих групп. Положение кривых нормализуется центрированием, приведением главных осей инерции из ображения к осям системы координат и приведением к единице площади замкнутой кривой соответствующим масштабированием. Для оценивания нормы расстояния между двумя замкнутыми кривыми формируется функционал, соответствующий норме расстояния между двумя кривыми, и уравнение эволюции диффеоморфных преобразований. Уравнение эволюции позволяет перемещать объекты вдоль траекторий, которым соответствуют диффеоморфные преобразования. Диффеоморфизмы не изменяют топологию вдоль геодезических траекторий. В задаче неточного сравнения минимизируемый функционал содержит член, который оценивает точность попадания точек в требуемые позиции. При этом в уравнения эволюции вводится параметр дисперсии ошибки преобразования. Предложен алгоритм решения уравнения диффеоморфного преобразования, построенный на основе метода PSO, который позволяет значительно сократить объем вычислительных операций по сравнению с градиентными методами решения. Разработанные в работе алгоритмы могут использоваться в биоинформатике и биометрических системах, классификации изображений и объектов, системах машинного зрения, нейровизуализации, при распознавании образов и объектов, системах трекинга. Алгоритм оценивания нормы расстояния между замкнутыми кривыми методом диффеоморфного преобразования может быть распространён на пространственные объекты (кривые, поверхности, многообразия).
Ключевые слова: распознавание образов, машинное зрение, инвариантность, диффеоморфные преобразования, биоинформатика, метод PSO
Application of PSO for solving problems of pattern recognition
Dmitrii B. Аbrаmоv, 1 cuntz@mail.ru
Sergei O. Ваrаnоv, 1 serj@doctor.com
Sergei V. Leikh^r, 1 leykhter@mail.ru
Sergei N. ^икапоу 2 ch_sn@mail.ru
1 computer information automated systems department, State automobile and highway academy, Mira av., 5, Omsk, 644050, Russia
2 transformation and presentation of information laboratory, Sobolev institute of mathematics, Omsk department, Pevtsova str., 13, Omsk, 644043, Russia_
Summary.The problem of estimating the norm of the distance between the two closed smooth curves for pattern recognition is considered. Diffeomorphic transformation curves based on the model of large deformation with the transformation of the starting points of domain in required is formed on the basis of which depends on time-dependent vector field of velocity is considered. The action of the translation, rotation and scaling closed curve, the invariants of the action of these groups are considered. The position of curves is normalized by centering, bringing the principal axes of the image to the axes of the coordinate system and bringing the area of a closed curve corresponding to one. For estimating of the norm of the distance between two closed curves is formed the functional corresponding normalized distance between the two curves, and the equation of evolution diffeomorphic transformations. The equation of evolution allows to move objects along trajectories which correspond to diffeomorphic transformations. The diffeomorphisms do not change the topology along the geodesic trajectories. The problem of inexact comparing the minimized functional contains a term that estimates the exactness of shooting points in the required positions. In the equation of evolution is introduced the variance of conversion error. An algorithm for solving the equation of diffeomorphic transformation is proposed, built on the basis of PSO, which can significantly reduce the number of computing operations, compared with gradient methods for solving. The developed algorithms can be used in bioinformatics and biometrics systems, classification of images and objects, machine vision systems, neuroimaging, for pattern recognition and object tracking systems. Algorithm for estimating the norm of distance between the closed curves by diffeomorphic transformation can spread to spatial objects (curves, surfaces, manifolds). Keywords: invariance, rotation group, translation group, diffeomorphic transformation, PSO method
Для цитирования Абрамов Д. Б., Баранов С. О., Лейхтер С. В., Чуканов С. Н. Применение метода PSO при решении задач распознавания образов // Вестник ВГУИТ.2016. № 4. С. 94-99. doi: 10.20914/2310-1202-20164-94-99
For citation
Abramov D. B., Baranov S. O., Leykhter S. V., Chukanov S. N. Application of PSO for solving problems of pattern recognition. Vestnik VSUET [Proceedings of VSUET]. 2016. no. 4.pp. 94-99. (in Russian). doi: 10.20914/2310-1202-2016-4-94-99
Введение
Распознавание объектов по изображениям независимо от их расположения, ориентации, масштаба и перспективы - является важным направлением информационных технологий в области распознавания образов и машинного зрения. В задачах математической морфологии важной является задача сопоставления близких форм, а не точное определение каждой формы; деформация сложной фигуры может привести к пониманию формы. Изучение формы и изменчивости изображения в рамках теории распознавания образов можно свести к оцениванию преобразований, которые последовательно деформируют изображения. Вычисление многомерных нежёстких преобразований изображений привело к развитию стратегии эластичного сравнения, при этом преобразование линеаризуется относительно системы координат исходного изображения и генерируется векторное поле смещений. Стоимость преобразования измеряется функционалом - нормой разности между преобразованным исходным изображением и эталонным изображением; оптимальному преобразованию этого функционала соответствует векторное поле смещений с наибольшей гладкостью. Измерение гладкости достигается указанием нормы в пространстве векторных полей с использованием дифференциального оператора. Одним из ограничений данного подхода является то, что не гарантируется биективность преобразования. Представляет интерес вычисление диффеоморфных преобразований, которые сами являются гладкими, но и обратные преобразования сохраняют свойства гладкости. Модель больших деформаций для вычисления преобразований изображений [1] гарантирует, что преобразования, вычисленные между изображениями, диффеоморфны. При этом преобразование исходных точек области в требуемые формируется на основе зависящего от времени векторного поля скоростей, которое определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE).
В работе рассмотрена задача оценивания нормы расстояния между двумя замкнутыми гладкими кривыми при распознавании 2D-образов. Рассмотрены действия групп переноса, вращения и масштабирования на 2D замкнутую кривую, инварианты к действию этих групп. Для оценивания нормы расстояния между кривыми положение кривых нормализуется центрированием, приведением главных осей инерции изображения к осям системы координат и приведением к единице площади замкнутой кривой соответствующим масштабированием. Для оценивания нормы расстояния между двумя замкнутыми кривыми формируется функционал, соответствующий норме расстояния
между двумя кривыми, и уравнение эволюции диффеоморфных преобразований. Предложен алгоритм решения уравнения диффеоморфного преобразования, построенный на основе метода PSO, который позволяет значительно сократить объем вычислительных операций по сравнению с градиентными методами решения.
Разработанные в работе алгоритмы могут использоваться в биоинформатике и биометрических системах, классификации изображений и объектов, системах машинного зрения, нейровизуализации, при распознавании образов и объектов, системах трекинга. Алгоритм оценивания нормы расстояния между замкнутыми кривыми методом диффеоморфного преобразования может быть распространён на пространственные объекты (кривые, поверхности, многообразия).
Построение инвариантов переноса, вращения и масштабирования
Для нахождения инвариантов при распознавании образов необходимо найти группу G , действующую на множестве аргументов функции изображения. Изображение объекта может быть описано функцией f{x,y) = 1, если
(ij)e^cf2 (/(х,^) = 0, иначе), где (х,у) -декартовы координаты изображения с границей с = dS множества S. Действие группы переноса на функцию f (x, y) в направлении оси X :
g*x f (x у)=f (x+£x , y); оси Y:
ge yf (x, y ) = f (x, y + e y)
Действие группы масштабирования на функцию f (x, y) :
gj (x У ) = f ((! + Ф,) x (1 + Ф,) У)
Действие группы вращения (поворот на угол а): gaf (x, y) = f (x cos а - y sin а, xsina + y cosa).
Инвариантность по отношению к группе переноса может быть обеспечена нахождением центра (x0, y0) с последующим переносом. Для действия группы переноса на функцию 2D-изображения нахождение центра изображения сводится к методу моментов [2]. Сформируем моменты порядка (p + q) 2D - функции f (x, y) :
mp,q =¡xpyqf(x,y)dS;p,qeZ+;
s
например, площадь изображения m00 = J f (x, y) dS .
S
Центр ( x0, y0) функции изображения f (x, y) определяется из соотношений: x0 = m Moo; Уо = m m- o. Центрированная
функция f ( x + x0, У + У0) является инвариантной по отношению к действию группы переносов. Для нормализации изображения перенесём центр f (x, y) в начало координат. Нормализо-
ванные моменты
: f(x + Xo,y + Уо )
являются
инвариантами масштабирования. Подействуем на / (х, у) таким элементом группы масштабирования § , что значение будет F = 1.
Для выделения определённой ориентированной системы координат построим тензор
(
изображения: J =
тп
-mi,i Л
. При повороте
»2,0
, "т1,1 т0,2 у
объекта угол а с матрицей направляющих ко-
синусов T =
^cos а -sina^
v sina cos а у
тензор инерции
изменяется по закону: J' = Т • J • Т . При повороте объекта на угол:
а = 0,5 • аг^ (2 Jxy (Jy - Jхх ) 1), тензор инерции
будет иметь диагональный вид
где Зх,Зу - собственные числа тензора инерции J. При ^ Ф ^ можно провести такое преобразование
координат: (х' у')Т = Т (х у )г - формированием поворота Т , что оси X, У будут направлены по главным осям тензора инерции 2D-изображения.
Будем рассматривать С1 замкнутую кривую - как непрерывно дифференцируемое
отображение с: Я1 -»М2;^ =|хеК2||х| =1|,
для которого производная с'(в) существует для любого значения а и с' (в) Ф 0; Vв е 5'1.
Для нормализации изображения необходимо решить задачу нахождения центра изображения и выделенной ориентации группы вращения с последующим центрированием и масштабирования изображения.
Действие элементов групп на кривые
Рассмотрим действие матричных групп на кривые можно представить: А—>Аос, где
v4:R2
I2 действие матричной группы в R2
Приведём примеры матричных групп [3].
• (7/. (2) - линейная группа матриц
С£(2) = {,4е]а2х2;с1еЫ^0} с законом композиции - умножением матриц.
• £О(2)еОЬ(2) - специальная ортогональная группа может быть представлена матрицами
БО(2) := {А е К2х21ААТ = АтА = Ы;с1(Л(Л) = 1} .
• Группа масштабирования может быть представлена диагональными матрицами
^ (Л
A =
• Ж( 2) -специальная группа Евклида определяется полупрямым произведением НО(2) ® Ж2.
Дифференцируемая кривая в ОЬ(2) это функция: § : (а,Ъ)^ОЬ(2), для которых
существует производная ^^^; Vt е (а, Ъ ) . Уравнение первого порядка для элемента матричной группы: = А • §г ; §(=0 = И, где
А е К2х2 - матрица с постоянными элементами, имеет решение: § = ехр (гА), которое обладает групповыми свойствами.
Кривая, соединяющая элементы §0, § е ОЬ (2), минимизирующая функционал:
vf dt = f (Lv,, И dt; L <
tWy J \ 2 '
(1)
и удовлетворяющая уравнению = V • §,
является решением уравнения Эйлера [4]:
)/Л = (ЬУ( К - V* (ЬУ( ). (2)
Группа диффеоморфных преобразований
Будем считать, что замкнутые кривые принадлежат открытому подмножеству 1с12. Диффеоморфизм X является обратимым непрерывно дифференцируемым преобразованием X ^ X; существует тождественное отображение (Ы - композиция прямого и обратного диффеоморфизма). Множество диффеоморфизмов МТ (X) определяют структуру группы. Диффеоморфизмы изменяют количественные характеристики объектов, которые определены на множестве X. Матричные группы диффеоморфизмов имеют конечную размерность и кодируется с помощью параметров матриц.
Рассмотрим группу бесконечномерных диффеоморфизмов, действующих на ограниченном множестве X а И2. Определим диффеоморфизм §: X ^ X с обратным элементом § 1 и определим группу преобразований О, как подгруппу диффеоморфизмов, с законом композиции о ;
=я(ё')• Д™ формирования диф-
феоморфных отображений диффеоморфизмы рассматриваются как потоки ODE. Предположим, диффеоморфизмы § (х) ; х е X эволюционируют
во времени г е [0,1] с векторным полем V (•):
(х)/л=V (§, (х)); §о (х) = х. (3)
Ветник&ТУИТ/ФгосшС^ № 4, 2016и
Формированием требуемого векторного поля в любой момент времени ¿е[0...1]
можно добиться такого действия элементов группы gt (•) на точки пространства X а К2,
что g0 (х) = x; g1 (x) = у;Vx, у е X. Допустим, что задана норма:
1Ы1Е = , =í(Lvt )* ^'
S
где а = ^^ е[0,1] - момент векторного поля. Для ^ е О существуют скорости V (& ) = dgt|dt, минимизирующие функционал:
1
1
НЫЕ dt = \{Lvt,vt)2 dt, (4)
О 0
на траектории, соединяющей элементы группы go = g|t=0 и g = g|t=1. Представим обратную связь между скоростью vt и моментом at в форме:
Vt = L-\ = Kat. (5)
Для дифференциального оператора: Л = ici-aV2 в К2 - обратный оператор К = L 1 аппроксимируем функцией:
K(х) = ре"У"|Н|2 . (6)
Уравнения эволюции диффеоморфизмов Эйлера-Пуанкаре можно получить решением уравнений вариационной задачи с функционалом Ф( v ) [5]:
dajdt = -(Dat)Vt - агVv( - (Dvt)T at, (7) где Df = (dfijdxj ) ; i, j = 1,2.
Если объектами являются точечные множества, то векторные поля в точках xt = (х^ (7),..., xN (t))
N
принимают вид: vt (-) = ^K(•, х1 )аг .
i=1
Уравнения вариационной задачи позволяют перемещать объекты вдоль траекторий, которым соответствуют диффеоморфные преобразования. Диффеоморфизмы не позволяют изменить топологию вдоль геодезических траекторий. Неточный вид диффеоморфизмов [6, 7] обеспечивает механизм, который позволяет при эволюции геодезических отклоняться от точных деформаций. В задаче неточного сравнения минимизируемый функционал содержит член, который оценивает точность попадания точек g1 (х° ) ;п = 1,..., N
в требуемые позиции х\ :
1 N 2
M dt + a-2ЦХ - gi (х01 , (8) 0 n=j при этом в уравнения Эйлера-Пуанкаре диффеоморф-
ных преобразований вводится параметр a2 :
dxjdt - Vt (х ) = aX ;v (•) =
=Z K (•' xi ) a ; dakldt=
(9)
= -Е¥1к (х'х)аТ а,
I=1
здесь У1К представляет собой градиент функции ( х, у К (х, у) по отношению к первой координате. Примем для оператора L функцию
K ( х,-) в виде: K ( х,-) = i
-(•)12
. Тогда:
-у-1 II xk - х,| |2
УгК(х,, х ) = -2у-1 (х, - х)е
Решение задачи методом PSO
При решении уравнения (9) необходимо определить краевые условия а0 = (а! (0)... ..а, (О))
и dj = (a, (l),...,a (1)) при известных
x0=(x1(0),...,xiv(0)) и ъ =(^(1),...,х^(1)).
Применение градиентных методов решения задачи (9) требует значительное количество вычислительных операций. Для решения этой задачи в работе предлагается применение метода пристрелки (shooting) с использованием алгоритма PSO (particle swarm optimization). Метод пристрелки заключается в нахождении такого начального вектора а0 = (оц (О),...,01^(О)),
что значение функционала (8) минимизируется.
Метод PSO основан на имитации поведения роя насекомых и был предложен J. Kennedy в 1995 году [8]. В контексте многопараметрической оптимизации рой (swarm) имеет фиксированный размер; каждая частица первоначально расположена в случайных местах в многомерном пространстве проектирования. Частицы имеют две характеристики: положение и скорость. Положение частицы определяется значением целевой функции. Частицы обмениваются информацией (лучшими позициями) и могут корректировать свои позиции и скорости. Алгоритм метода PSO приведён в приложении.
Пример. Рассмотрим пример диф-феоморфного преобразования замкнутой кривой -окружности единичного радиуса (эллипс с эксцентриситетом s = 0 и длиной окружности 2п) в отрезок прямой длиной п (эллипс с s = 1) за единичный период времени. Для этого выберем N = 12 точек на эллипсе, соответствующие параметру О, = 2niN 1: / = 1.....Л'. Выберем параметр уравнения диффеоморфных преобразований: о2 = 10-4; параметр метод PSO: 3 = 0,7; число частиц: 10. В таблице 1 представлены результаты моделирования диффеоморфных преобразований точек эллипса от значения эксцентриситета s = 0 до s = 1 для четырёх точек (из 12) замкнутой кривой.
l=1
Y II х
BernrnxBryMT/Proceedings of VSVET, № 4-, 2016
Таблица 1.
Результаты моделирования диффеоморфных преобразований
Table 1.
The results of simulations of diffeomorphic transformations
t x 0 x0 X30 x0 X9 X 0 x0 8
0 (0,00; 1,00) (1,00; 0,00) (0,00; -1,00) (-1,00; 0,00) (0,00; 1,00) 0,000
2 (0,01; 0,77) (1,41; -0,01) (-0,01; -0,77) (-1,43; 0,02) (0,01; 0,77) 0,840
4 (0,02; 0,55) (1,83; -0,01) (-0,02; -0,55) (-1,84; 0,02) (0,02; 0,55) 0,954
6 (0,02; 0,36) (2,22; -0,01) (-0,02; -0,36) (-2,22; 0,03) (0,02; 0,36) 0,987
8 (0,02; 0,18) (2,56; -0,01) (-0,02; -0,18) (-2,54; 0,03) (0,02; 0,18) 0,998
10 (0,03; 0,00) (2,85; -0,02) (-0,03; 0,00) (-2,82; 0,05) (0,03; 0,00) 1,000
x1 x0 x1 x1 X9 x0
x1 (0,00; 0,00) (3,14; 0,00) (0,00; 0,00) (-3,14; 0,00 (0,00; 0,00) 1,000
В результате получена дисперсия неточ-12 ||2 ности попадания ^ х^ - & (х° ) = 0,34 и средин
нее отклонение одной точки от цели
12 1 j^l|х1 - й (х0 )|| = 0,17 . Для повышения
точности попадания необходимо увеличить число итераций и количество частиц в методе PSO, а также уменьшить параметр дисперсии о2.
Заключение
Рассмотрена задача оценивания расстояния между замкнутыми 2D кривыми. Представлены методы нахождения инвариантов к действию групп переноса, вращения и масштабирования на замкнутую кривую, не зависящие от координатного описания изображения. Для оценивания нормы расстояния между двумя замкнутыми кривыми формируется функционал, соответствующий норме расстояния между двумя кривыми, и уравнение эволюции диффеоморфных преобразований, полученное решением вариационной задачи. Предложен алгоритм решения уравнения диффеоморфного преобразования, построенный на основе метода PSO, который позволяет значительно сократить объем вычислительных операций по сравнению с градиентными методами решения. В дальнейшем алгоритм решения уравнения диффеоморфного преобразования будет распространен на 3D объекты: точечные множества, кривые и поверхности. Следует рассмотреть задачу распознавания динамически изменяющихся объектов методом решения уравнений диффеоморфного преобразования.
Приложение
Метод PSO [9, 10]. Рассмотрим задачу оптимизации (максимизации) без ограничений:
Maximize f (X); X) < X < Х(м),
где X(), X(u) - нижняя (lower) и верхняя (upper) границы X . Пусть число частиц N.
Процедура Р80 применяется с использованием следующих шагов.
1. Сформируем случайное начальное множество Х1 (0),..Х,; (0). Положение и скорость частицы ] при итерации г: Х('), У('), соответственно. Определим значение целевой функции: /[Х1(0),...,Х^(0)].
2. Найдём скорости частиц. Начальные скорости всех частиц принимаются равными нулю и номер итерации: г = 1.
3. На итерации г найдём параметры
Х(г), V;) частицы 7 :
(а) Историческое лучшее значение положения Х('): К,,
"best j с лучшим значением целевой
функции f
X1
частицы j на всех предыду-
щих итерациях. Историческое лучшее значение положения Х(г): с лучшим значением це-
на всех предыдущих
левой функции / Х('-
итерациях для всех N частиц;
(Ь) найдём скорость частицы 7 на итерации г:
Vf = s. vj
(,-1)
+c2r2
best
+ ciri P 1 best, j
X(j-1) + c3
- X(
('■-1 )■
рации i: X(i) = X,
где с1,с2,с3 - скорости обучения, /;./;. л, е[()..,1] -равномерно случайно распределённые числа;
(с) найдём положение частицы ] на ите-(0 _ -*"(,-1) 4_ у(,), и соответствующее
значение целевой функции /
4. Шаг 3 повторяется с г = г +1 и новыми значениями ., . Процесс продолжается до
тех пор, пока все частицы не сойдутся к значению, обеспечивающему оптимум целевой функции.
Y(0 v(0
n=1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 14-07-0027215 и 14-08-14-08-01132) и при поддержке Программы РАН по проекту «Математические методы распознавания образов и прогнозирования» (№0314-2014-2017) (№ госрегистрации 01201351843).
ЛИТЕРАТУРА
1 Beg M.F. et al. Computing large deformation metric mappings via geodesic flows of diffeomor-phisms // International journal of computer vision. 2005. V. 61. №. 2. P. 139-157.
2 Чуканов C.H. Преобразование Фурье функции трехмерного изображения, инвариантное к действию групп вращения и переноса // Автометрия. 2008. Т. 44. №. 3. С. 80-87
3 Baker A. Matrix groups: An introduction to Lie group theory. Springer Science & Business Media 2012.
4 Arnold V.I., Khesin B.A. Topological methods in hydrodynamics. Springer Science & Business Media, 1998. '
5 Holm D.D. et al. Geometric mechanics and symmetry: from finite to infinite dimensions. London: Oxford University Press, 2009.
6 Mller M.I., Trouve A., Younes L. Geodesic shooting for computational anatomy // Journal of mathematical imaging and vision 2006. V. 24. №. 2. P. 209-228
7 Bruveris M„ Holm D.D. Geometry of image registration: The diffeomorphism group and momentum maps // Geometry, Mechanics, and Dynamics. 2015. P. 19-56
8 Kennedy J. et al. Swarm intelligence. Morgan Kaufmann, 2001.
9 Yang X.S. Nature-inspired optimization algorithms. Elsevier, 2014.
10 Карпенко А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Сергей Н. Чуканов д.т.н., профессор, ведущий научный сотрудник Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал (ОФ ИМ СО РАН), ул. Певцова, д. 13, Омск, 644043, ch_sn@mail.ru
Дмитрий Б. Абрамов аспирант, кафедра компьютерных информационных автоматизированных систем, Сибирская автомобильно-дорожная академия, Мира пр-т, 5, Омск, 644050, cuntz@mail.ru Сергей О. Баранов аспирант, кафедра компьютерных информационных автоматизированных систем, Сибирская автомобильно-дорожная академия, Мира пр-т, 5, Омск, 644050, serj@doctor.com Сергей В. Лейхтер аспирант, кафедра компьютерныхинформа-ционных автоматизированных систем, Сибирская автомобильно-дорожная академия, Мира пр-т, 5, Омск, 644050, leykhter@mail.ru
КРИТЕРИЙ АВТОРСТВА
Сергей Н. Чуканов предложил метод оценивания нормы расстояния между двумя замкнутыми гладкими кривыми при распознавании образов Дмитрий Б. Абрамов обзор литературных источников по исследуемой проблеме
Сергей О. Баранов выполнил расчёты
Сергей В. Лейхтер написал рукопись и несёт ответственность за отсутствие плагиата
КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
ПОСТУПИЛА 10.10.2016 ПРИНЯТА В ПЕЧАТЬ 24.11.2016
REFERENCES
1 Beg M.F. et al. Computing large deformation metric mappings via geodesic flows of diffeomor-phisms. International journal of computer vision, 2005, vol. 61, no. 2, pp. 139-157
2 Chukanov S.N. A rotation, translation, and scaling invariant Fourier transform of 3D image function. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2008, vol. 44, no. 3, pp. 249-255.
3 Baker A. Matrix groups: An introduction to Lie group theory. Springer Science & Business Media, 2012.
4 Arnold V.I., Khesin B.A. Topological methods in hydrodynamics. Springer Science & Business Media, 1998.
5 Holm D.D. et al. Geometric mechanics and symmetry: from finite to infinite dimensions. London, Oxford University Press, 2009.
6 Miller M.I., Trouve A., Younes L. Geodesic shooting for computational anatomy. Journal of mathematical imaging and vision, 2006, vol. 24, no. 2, pp. 209-228
7 Bruveris M., Holm D.D. Geometry of image registration: The diffeomorphism group and momentum maps. Geometry, Mechanics, and Dynamics. Springer New York, 2015, pp. 19-56
8 Kennedy J. et al. Swarm intelligence. Morgan Kaufmann, 2001
9 Yang X.S. Nature-inspired optimization algorithms. Elsevier, 2014
10 Karpenko A.P. Sovremennye algoritmy poiskovoj optimizacii [Modern algorithms of search engine optimization] Moscow, Izdatel'stvo MGTU im. N. E. Baumana, 2014.
INFORMATION ABOUT AUTHORS Sergei N. Chukanov doctor of technical sciences, professor, leading researcher, Sobolev institute of mathematics of the Siberian branch of the Russian academy of sciences, Omsk branch, Pevtsova str., 13, Omsk, 644043, ch_sn@mail.ru
Dmitrii B. Abramov graduate student, computer information automated systems department, State automobile and highway academy, Mira av., 5, Omsk, 644050, cuntz@mail.ru
Sergei O. Baranov graduate student, computer information automated systems department, State automobile and highway academy, Mira av., 5, Omsk, 644050, serj@doctor.com Sergei V. Leikhter graduate student, computer information automated systems department, State automobile and highway academy, Mira av., 5, Omsk, 644050, leykhter@mail.ru
CONTRIBUTION
Sergei N. Chukanov proposed a method of estimating the norm of the distance between the two closed smooth curves for pattern recognition Dmitrii B. Abramov review of the literature on an investigated problem
Sergei O. Baranov performed computations
Sergei V. Leikhter wrote the manuscript and is responsible for avoiding plagiarism
CONFLICT OF INTEREST The authors declare no conflict of interest. RECEIVED 10.10.2016 ACCEPTED 11.24.2016
