CC BY
48
ВЕСТНИК 9/2012
УДК 624.073
М.И. Савенкова, С.В. Шешенин, И.М. Закалюкина*
ФГОУ «МГУ им. М.В. Ломоносова», *ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ИЗГИБА ПЛАСТИНЫ
Рассмотрено развитие метода осреднения в совокупности с методом линеаризации для решения физически нелинейных задач о равновесии слоистых пластин или пластин из функционально градиентных материалов, а также численные алгоритмы его реализации с использованием современных вычислительных методов и систем.
Ключевые слова: метод осреднения, эффективные модули, пластичность, теория деформаций, изгиб, композит, слоистая пластина, линеаризация, метод Эйлера, нелинейность, функционально градиентные материалы.
Концепция функционально градиентных материалов FGM [1] была впервые представлена в Японии в 1984 г. в связи с развитием космической техники. Эти композиты характеризуются непрерывным изменением свойств и структуры составляющих их компонентов, которыми чаще всего являются металл и керамика. Непрерывная вариация характеристик от одной поверхности до другой позволяет получить новый материал, обладающий с одной стороны повышенной прочностью, с другой — жароустойчивостью. Как и в любом композите, процессы, происходящие в FGM материалах, описываются дифференциальными уравнениями, аналитическое решение которых зачастую не представляется возможным. Поэтому для изучения подобных сложных структур можно использовать осредненные характеристики, получаемые с помощью метода осреднения [2, 3].
Вообще говоря, метод осреднения является математически строгим подходом для решения задач деформирования элементов конструкций из композиционных материалов. Основной областью его применения являются линейные задачи, так как в основе метода лежит идея комбинирования решений локальных задач с решением глобальной задачи для материала с осредненными свойствами. Таким образом, представляется возможным вычисление эффективных свойств материала и всех характеристик его напряженно-деформированного состояния.
Наибольшее распространение метод осреднения получил для периодически неоднородной среды [4], так как в этом случае представительной областью является ячейка периодичности структуры, на которой и решаются все поставленные локальные задачи, что значительно сокращает объем и время вычислений. Условия периодичности в локальных задачах являются следствием периодичности структуры и означают, что перемещения, напряжения и деформации представляются в виде медленно изменяющихся составляющих, на которые наложены быстро меняющиеся периодические флуктуации.
Однако периодичность не является обязательным условием применения метода осреднения. В случае если она отсутствует, а задача линейна, то для определения эффективных свойств достаточно решить локальные задачи только один раз для представительной области, которая, в отличие от случая периодической структуры, уже не будет ячейкой периодичности.
В случае нелинейной задачи средние по представительным областям свойства зависят от глобальных координат [5] и для их определения требуется решать локальные задачи для каждой представительной области, из-за чего значительно возрастает объем вычислений. Помимо этого, метод суперпозиции, на котором базируется
метод осреднения, становится неверным. Решением этих проблем может служить, во-первых, использование современных многопроцессорных систем в совокупности с технологией параллельного программирования, основанного на программном интерфейсе MPI (Message Passing Interface) [6], для проведения расчетов, а, во-вторых, для применения метода суперпозиции возможна линеаризация нелинейной задачи по времени или параметру нагружения.
В случае, когда напряженно-деформированное состояние в глобальной задаче является однородным, локальные задачи не зависят от медленных координат, и, как в линейном случае, достаточно решить их для одной представительной области. При этом решение локальных задач можно рассматривать как численный эксперимент, заменяющий реальный эксперимент по определению эффективных материальных функций осредненного нелинейного материала. Такой подход применялся, например, в [7, 8].
В данной статье описывается реализация процедуры комбинирования метода осреднения и метода линеаризации при решении задачи о равновесии слоистой пластины [9, 10] или пластины из FGM материалов.
В теории пластичности при расчетах элементов конструкций часто пользуются скоростями деформаций. Вообще скорость деформации является одним из основных факторов, определяющих пластичность металла при обработке давлением. Поэтому определяющие соотношения можно сформулировать именно в этих терминах. Кроме того, эти соотношения подходят для применения метода линеаризации.
Будем использовать определяющее соотношение гипоупругого материала при малых деформациях. Оно линейно относительно дифференциалов по параметру нагружения и деформаций в рамках геометрически линейной теории деформирования:
<&ij = Cijkl (ç>§)çkl ■
Мы будем далее считать, что C = C (е). Здесь и далее точка обозначает дифференцирование по параметру нагружения. Уравнения равновесия с граничными условиями также формулируются в терминах скоростей перемещений
( (u К ,i ) j = 0
ui |2l = u0, Cijkl (u)uk,lnj = S?,
^ ^ -0 где ¿1 — кинетическая поверхность; ¿2 — статическая поверхность; ui — гранич-
~ о0
ные скорости перемещений; Si — поверхностные силы; n j — компоненты вектора нормали к ¿2.
В качестве примера используем деформационную теорию изотропной пластичности [11], для которой краевая задача записывается в виде, причем при активном нагружении
j (u )=4u H §ki+^(u )( sji +s/i 8jk )-2G4^ ,j ( \kl) ),
deu eu (u ) (2)
|(u) = G(1-ro(eu (u))), X(u) = K -2/3 |(u), eij = 1/368,j
где 9 = 6^ ; ю(е) — функция пластичности; К — модуль объемного упругого растяжения; О — касательный модуль сдвига в области упругости материала; X — постоянная Ламе. При разгрузке
] = Щ]5кг + О (5] + ЪцЪ]к), Х = К - 2/3О. (3)
Поскольку при пошаговом решении задачи в скоростях для композиционного материала в момент времени (т перемещение и известно, то определяющие соотношения можно переписать в виде
àij = Clikl ( х)гк1, где Cijkl (x) = Cijkl ( ( X ^ ) 1% (X j),
где x — глобальные (медленные) координаты, заданные в материале в целом; 5 = х/ г — локальные (быстрые) координаты, заданные на ячейке периодичности; s — малый параметр.
Далее рассматривается применение метода осреднения в совокупности с методом линеаризации решения задачи (1—3) на примере задачи изгиба слоистой пластины из FGM материала толщины h с постоянным поперечным сечением под воздействием равномерно распределенной нагрузки p (t ), нелинейно зависящей от времени (рис. 1).
h 2
0
l
Рис. 1. Двуслойная пластина, каждый слой которой состоит из FGM
Решение задачи (1) ищется, согласно методу осреднения, в первом приближении относительно скорости г/ в момент времени т в виде г/ = г/е + иЬ [8], где ие — скорость перемещений, возникающая вследствие растяжения-сжатия в плоскости пластины; г/1 — скорость перемещений вследствие изгиба.
« (5,X,t) = ц (х,t) + X _1 х,t)*р,Й0...ЙП-1 (х,t);
п=1
«I (^x,I) = -8^3*I (х,t)+ X 8ПКрд0..,дп_2 &х,tpQ0...Qn_2 (х,t); (4)
п=2
4 х,t) = *(х,t)+ X8 п^3Ьре0...еп _ 2 х,t)pQ.o-.Qn _ 2(х,t);
п=2
где / = 1, 2, 3;; I = 1, 2;; Р = 1, 2;; Q = 1, 2;; х = (х1, х^ ; 5 = 5з = х^е; у7 (х, т (I = 1, 2; ^3 = 0) — компоненты гладкой составляющей скорости перемещений в плоскости пластины; * (х, — скорость прогиба; 8 — малый параметр, являющийся отношением толщины к пластины к ее характерному размеру в плане; £ — единственная быстрая координата.
В классическом варианте метод осреднения позволяет удовлетворить уравнениям равновесия в первом приближении, а граничным условиям — в нулевом. Поэтому граничные условия приходится формулировать относительно средних скоростей перемещений VI и * . При этом возможно рассматривать граничные условия разных типов, например, жесткое закрепление (* = 0, д*/дп = 0) или шарнирное закрепление ( = 0, д2 дп2 = 0).
Будем считать, что проведено обезразмеривание всех соотношений, тогда характерный размер пластины в ее плоскости равен единице, а 8 = к . Поэтому будем использовать обозначение к для толщины пластины и для обозначения малого параметра.
Локальные функции рд ((, х, , ^¡рд ((, х, находятся из решения локальных задач, получаемых путем подстановки соотношений (4) в (1). Для слоистой пластины, как и в линейном случае [12], локальные задачи в момент времени /т имеют вид
Рзрд ((,х,т ),£ = 0, дард ((, х,т ) = 0, £ е (-1/2,1/2);
р зрд ((, х, т) _о, д,зрд (, х, т) _о, £ = ±12, где использованы обозначения
р ( )_ рт _ ст + ст Ne,m .
ррд х, 1т) _ ррд _ Ч]рд + Сг}кзкрд ,£. дрд х, 'т) _ д//рд _ -С1црд£+^/^^кз^рд,£.
Существенное отличие от линейного случая состоит в том, что эти задачи зависят от х как от параметра. Для обычной слоистой пластины и слоистой пластины из БвМ материалов локальные задачи решаются аналитически и имеют нетривиальные решения для функций N1рд ((,х,(т) и ^рд ((,х,/т). Заметим, что при численной реализации они решаются для каждого узла двумерной сетки в плоскости пластины.
В итоге эффективные жесткости [11, 12] как функции медленных координат определяются по формулам
Л^рд (х) _ И 7 ^рд (£, х)а£, Втрд (х) _ -И2 7 д^рд (£, х)^£,
-12 -12 (6) 12 12
Вцрд (х)_ И2 | ррд (£, х)^£, Бттрд (х)_-И3 | £дтРд (£, х)^£.
-12 -12 Тогда осредненная система уравнений равновесия примет вид
(ЛШЬ (хУк (х)L) -(ВШЬ (х)™т (х)к) _ 0
(В1Ж£ (хК (х),Р ),и (х (х), кь), и _ рт.
Процедура решения в приращениях типа явного метода Эйлера состоит в том, что на шаге т решение и _ и ((, х, предполагается известным. Тогда с помощью формул (2), (3) определяются модули жесткости С^рд, затем решаются локальные задачи (5) и вычисляются эффективные жесткости (6), после чего решаются глобальные уравнения (7) с соответствующими граничными условиями и получаются перемещения на шаге т +1: у]'+1 _ У + У А/, wm+1 _ wm + А/, и затем алгоритм повторяется для следующего шага нагружения.
Неявный метод Эйлера заключается в том, что вычисленные с помощью явного метода Эйлера перемещения считаются только нулевым приближением:
т+1,0 т+1 т+1 0 т+1 « т-г л.
V _ VI , w ' _ w , поэтому производится уточнение модулей. По формулам (2), (3) вычисляются С^рд0 _С^рд (ит+1,0^, далее решаются локальные задачи (5) и с помощью (6) вычисляются эффективные жесткости Л^КК^, В™жь°>
0Гт+1,0 р.т+1,0 ,
Викь , ^икь , после чего находятся уточненные перемещения на шаге т +1:
т+1,1 т , -т+1,1А, т+11 т .т+11.^ г^ г
VI _VI + VI А/, w ' _w + w 'А/. Таким образом, для итерации с номе-
т+1,л+1 т , -т+1,л+1 к, т+1 ^+1 т ,т+1 5+1 . ^ -пром ^ имеем VI _ VI + VI А/, ^_ ^ + а/ . После некото-
« л. т+1, х+1 т+1 ^+1
рого числа итераций функции ^ и ^ ' принимаются за окончательные
значения перемещений vm+1, wm+1 на шаге т +1.
Изложенные явный и неявный методы были реализованы в виде программ, использующих интерфейс MPI для параллельного вычисления локальных задач на ячейках периодичности. С их помощью было осуществлено решение задачи цилиндрического изгиба шарнирно опертых двуслойной и трехслойной симметричных пластин, слои которых состоят из FGM. При цилиндрическом изгибе ширина пластин предполагается бесконечной, поэтому -œ < x2 < , сечение пластин постоянно и представляет собой прямоугольник со сторонами 0 < xj < l по горизонтали и -0,5 < ^ < 0,5 по вертикали. В плоскости Ç = 0,5 на пластины действует равномерно распределенная нагрузка p (t), приращения которой изменяются во времени нелинейно. Отношение h/l было выбрано равным 0,1. Одна пластина состоит из двух FGM слоев, расположенных симметрично относительно ее срединной плоскости. Каждый слой имеет высоту 0,5 и занимает одно из двух множеств по координате Ç : = (-0,5; 0) и A2 = (0; 0,5). Для второй пластины, состоящей из трех материалов, таких множеств три: Aj =(-0,5;-0,2), A2 =(-0,2;0,2) и A3 =(0,2;0,5). Два внешних слоя этой пластины состоят из тех же FGM, что и первая пластина, а средний — из однородного материала, являющегося одним из составляющих использованных FGM. Численное решение задачи искалось из предположения, что каждый из двух материалов, составляющих FGM ма- au
териалы слоев пластины, является линейно упрочняющимся. Билинейная диаграмма аи : su для такого материала представлена на рис. 2. Параметры каждого из материалов приведены в таблице, где as — безразмерный предел текучести, G — модуль сдвига упругой зоны деформации, gtan — касательный модуль сдвига в пластической зоне, v — коэффициент Пуассона.
Параметры материалов, составляющих пластины
Рис. 2. Диаграмма линейно упрочняющегося материала
Слои пластины
Параметры материала Ai A2
black „white 3,27; 1,0 3,27; 1,0
G black G white 0,5; 0,8 0,5; 0,8
nTAN Gblack ; gTAN Gwhite 0,05; 0,08 0,05; 0,08
V black V white 0,28; 0,22 0,28; 0,22
Вследствие того, что приложенная к пластинам сила не зависит от координаты Х2 и эффективные жесткости и прогиб также от нее не зависят, далее будем обозначать Хц = х . Поскольку рассматриваемый изгиб пластин цилиндрический, в формулах (6) и (7) имеем Р = Q = 1. Кроме того, рассматриваемые пластины симметричны, при их изгибе функция Q¡JPQ является антисимметричной по поэтому соотношения (6) для изгибных жесткостей принимают вид 12
^11 (х) = -й3 | Ш?Л1 (I,х)а%.
-12
Уравнения равновесия и граничные условия следующие:
(( (*)<! (x)),j = pm, wm (0) = wm (/) = 0, wm (0) = (/) = 0, w0 (x) = 0.
Тогда решения локальных задач в нулевом приближении дают
Nn(x,£) = i £i^SCOnSt, bi^M^ = 0
и для каждого значения x в момент времени tm деформации и напряжения имеют вид
40)m=-ад, 4?m = Npq ,3 w,mQ;
•(0)m nm ■ , m -(0)m n = QIJPQw,PQ , = 0.
Вследствие симметричности слоев пластин задачи изгиба и деформирования в срединной плоскости разделяются, что учтено предыдущими соотношениями. На рис. 3—4 представлены вычисленные зависимости напряжения стц от вертикальной координаты £е(-1/2, 12) в поперечном сечении x = //2. По горизонтальной оси отложены значения координаты £ , по вертикальной оси — значения напряжений в сечении. Для построения графиков было рассмотрено пять моментов времени, которым соответствуют кривые 1—5. Ввиду симметричности пластин графики напряжений симметричны относительно начала координат. В силу структуры составляющих пластину слоев из FGM график на рис. 3 не имеет разрывов в отличие от графика на рис. 4, иллюстрирующего зависимость напряжений от вертикальной координаты для трехслойной пластины. Отметим, что у пластины, для которой изображены графики на рис. 4, внешние слои имеют те же характеристики, что указаны в табл., внутренний слой состоит из материала с характеристиками, соответствующими индексу black в табл. Однако момент возникновения пластичности и напряжения, сопутствующих этому моменту, разительно отличается. В случае двуслойной пластины он появляется между вторым и третьим моментом времени, в случае трехслойной — в первый. Рассмотрим отношение силы в момент возникновения пластичности в каждой из пластин к общей силе, которая одинакова в обоих случаях, как и приращения силы в процессе нагрузки. В случае двуслойной пластины это отношение равно 0,283619, в случае трехслойной пластины — 0,0592595. Таким образом, при одинаковых условиях в пластине из FGM пластичность наступает почти в пять раз медленнее, чем в пластине с центральным однородным слоем. Такая же картина будет наблюдаться, если, например, в качестве центрального материала трехслойной пластины взять материал из табл. с индексом white. Даже несмотря на непрерывное изменение характеристик материалов в этом случае, пластичность наступит в нем значительно раньше (почти в те же пять раз), чем в пластине из FGM.
Также стоит отметить разницу во времени, требовавшемся для решения задач последовательно и параллельно. Для расчетов использовался компьютер с современным четырехъядерным процессором Core i7-2600K, поддерживающим восемь вычислительных потоков. Рассматривается сетка сто на сто шагов по вертикали и горизонтали и тысяча шагов по параметру нагружения. Выполнение последовательной программы, использующей для вычислений одно ядро процессора и один поток, заняло 13,548 с; параллельной программы, задействовавшей четыре ядра, — 3,03 с. Как видно, разница в 4,5 раза.
Таким образом, в работе показано, что метод осреднения может быть обобщен на нелинейные задачи с использованием метода линеаризации (или прослеживания по параметру нагружения). Основная возникающая при этом сложность — решение большого количества локальных задач — в настоящее время может быть сведена к
минимуму благодаря возможности проведения вычислений на многопроцессорных компьютерных системах. Такой подход позволяет значительно сократить расчетное время вследствие высокой степени параллелизма при решении локальных задач. Ввиду того, что все рассмотренные в статье соотношения записывались в терминах скоростей напряжений и деформаций, возможно использование не только теории малых деформаций, выбранной в качестве примера, но и других теорий, например, теории течения, не вносящих никаких изменений в предлагаемый алгоритм.
-30-
-2
—5
Рис. 3. Зависимость для двуслойной пластины из FGM
-40,
Рис. 4. Зависимость ^(£>)
для трехслойной пластины
Библиографический список
1. Hui-Shen Shen. Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells. Boca Raton: CRC Press, 2009.
2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М. : Наука, 1984.
3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М. : Наука, 1984.
4. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М. : Едиториал УРСС, 2003.
5. Шешенин С.В., Fu M., Ивлева Е.А. Об осреднении периодических в плане пластин // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы : тр. Междунар. конф. М. : МГСУ, 2008. С. 148—158.
6. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. М. : Изд-во МГУ, 2004.
7. Муравлева Л.В., Шешенин С.В. Эффективные свойства железобетонных плит при упру-гопластических деформациях // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2004. № 3. С. 62—65.
8. Муравлева Л.В. Эффективные свойства ортотропных композитов при упругопластиче-ских деформациях // Упругость и неупругость: материалы Междунар. научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. М. : Едиториал УРСС, 2006.
9. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М. : Мир, 1982.
10. JonesR. Mechanics of composite Materials. Philadelphia: Taylor & Francis, 1999.
11. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. I. М. : ОГИЗ, 1948.
12. Шешенин С.В. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2006. № 1. С. 47—51.
Поступила в редакцию в июле 2012 г.
Об авторах: Савенкова Маргарита Ивановна — аспирантка кафедры механики композитов механико-математического факультета, ФГОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова», 119991, г. Москва, Ленинские Горы, МГУ, д. 1, Главное здание МГУ, [email protected];
Шешенин Сергей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики композитов механико-математического факультета, ФГОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова», 119991, г. Москва, Ленинские Горы, МГУ, д. 1, Главное здание МГУ, (8495)939-43-43, [email protected];
Закалюкина Ирина Михайловна — доцент кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8499)183-24-01, Irina. [email protected].
Для цитирования: Савенкова М.И., Шешенин С.В., Закалюкина И.М. Применение метода осреднения в задаче упругопластического изгиба пластины // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 156—164.
M.I. Savenkova, S.V. Sheshenin, I.M. Zakalyukina
APPLICATION OF THE HOMOGENIZATION METHOD TO THE ELASTOPLASTIC BENDING OF A PLATE
The authors present a method of homogenization used to solve nonlinear equilibrium problems of laminated plates exposed to transversal loads.
The homogenization technique is a general and mathematically rigorous solution to elasticity problems. It describes the processes of deformation of composite structural elements. It was originally developed for linear problems. This method encompasses the calculation of all characteristics related to deflection by combining solutions to local and global homogenization problems. Thus, it implements the general idea of the domain decomposition into subdomains.
The homogenization method has been most widely used in cases of periodical heterogeneity because of significant simplification that happens due to periodicity. This simplification implies that any cell of periodicity appears to be the material representative volume element (RVE). Therefore, it is sufficient to solve local problems within a single periodicity cell. Hence, with reference to local problems, conditions of periodicity are a mere consequence of the periodicity of the material structure. Decomposition of the domain causes decomposition of the solution. The latter means that displacements, stresses and strains are represented by functions that depend on both global and local coordinates. Global coordinates are associated with the whole body scale and local coordinates vary in the periodicity cell, i.e. in RVE only.
If the material structure is not periodic, but its properties do not depend on global coordinates, material effective properties can be determined by solving local problems in any RVE. That is not the
ВЕСТНИК 9/2012
case of nonlinear materials. Now local problems have to be solved in every RVE because of the homogenized properties dependence on global coordinates. Another complication arises due to nonlinearity. Indeed, the homogenization method employs the superposition principle to represent the solution to the elasticity problem as summarized solutions to global and local problems. This principle doesn't work in the case of nonlinearity. We suggest combining the standard homogenization technique with linearization by using the loading history to solve the nonlinear problem. On the contrary, local linear problems have to be solved in every RVE. Certainly, this method involves numerous calculations.
As for the problem considered in the paper, its nonlinearity is caused by material plastic properties. Most plasticity-related principles are formulated as tensorial linear relationships between the stress and strain rates. Hence, here we identify a perfect opportunity to employ the homogenization method combined with linearization with regard to the load parameter. This combined technique is implemented to resolve the heterogeneous plate bending problem. Heterogeneous materials are of the two types: laminates and functionally graded materials (FGM).
The computer code is developed for the purpose of numerical plate bending simulation. It employs the parallel programming MPI technique and the Euler type explicit and implicit methods. For example, laminated plate bending due to the distributed transversal load was the subject of research. Each layer of the plate was composed of FGM or a homogeneous material. The authors have discovered that FGM plates have a higher yield stress then the plates composed of homogeneous layers.
Key words: homogenization method, effective moduli, plasticity, deformation theory, bending, laminated plate, linearization, Euler method, nonlinearity.
References
1. Hui-Shen Shen. Functionally Graded Materials: Nonlinear Analysis of Plates and Shells. Boca Raton: CRC Press, 2009.
2. Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of Composite Materials]. Moscow, Nauka Publ., 1984.
3. Bakhvalov N.S., Panasenko G.P. Osrednenie protsessov vperiodicheskikh sredakh. [Averaging Methods for Processes in Periodic Media]. Moscow, Nauka Publ., 1984.
4. Bardzokas D.I., Zobnin A.I. Matematicheskoe modelirovanie fizicheskikh protsessov v kompoz-itsionnykh materialakh periodicheskoy struktury [Mathematical Modeling of Physical Processes in Composite Materials of Periodic Structure]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2003.
5. Sheshenin S.V., Fu M., Ivleva E.A. Ob osrednenii periodicheskikh v plane plastin [Averaging Methods for Plates Periodic in the Plane]. Proceedings of International Conference "Theory and Practice of Buildings, Structures, and the Element Analysis. Analytical and Numerical Methods". Moscow, MSUCE, 2008, pp.148-158.
6. Antonov A.S. Parallel'noe programmirovanie s ispol'zovaniem tekhnologii MPI [Parallel Programming Using the MPI Technology]. Moscow, MGU Publ., 2004.
7. Muravleva L.V., Sheshenin S.V. Effektivnye svoystva zhelezobetonnykh plit pri uprugoplas-ticheskikh deformatsiyakh [Effective Properties of Reinforced-concrete Slabs Exposed to Elastopastic Strains]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1. Matematika i mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1. Mathematics and Mechanics]. 2004, no. 3, pp. 62—65.
8. Muravleva L.V. Effektivnye svoystva ortotropnykh kompozitov pri uprugoplasticheskikh deformatsiyakh [Effective Properties of Orthotropic Composite Materials Exposed to Elastoplastic Strains]. Elasticity and Anelasticity. Proceedings of International Scientific Symposium Covering Problems of Mechanics of Deformable Bodies, dedicated to the 95th anniversary of A.A. Ilyushin. Moscow, Editorial URSS Publ., 2006.
9. Kristensen R. Vvedenie vmekhaniku kompozitov [Introduction into Mechanics of Composite Materials]. Moscow, Mir Publ., 1982.
10. Jones R. Mechanics of Composite Materials. Philadelphia, Taylor & Francis, 1999.
11. Il'yushin A.A. Plastichnost' [Plasticity]. Moscow, OGIZ Publ., 1948, Part 1.
12. Sheshenin S.V. Primenenie metoda osredneniya k plastinam, periodicheskim v plane [Application of the Averaging Method to Plates Periodic in the Plane]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1. Matematika i mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1. Mathematics and Mechanics]. 2006, no. 1, pp. 47—51.
About the authors: Savenkova Margarita Ivanovna — postraduate student, Department of Composite Mechanics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, MSU Main Building, Vorob'evy gory, Moscow, 119991, Russian Federation; [email protected];
Sheshenin Sergey Vladimirovich — Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Composite Mechanics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, MSU Main Building, Vorob'evy gory, Moscow, 119991, Russian Federation; [email protected];
Zakalyukina Irina Mikhaylovna — Associated Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Savenkova M.I., Sheshenin S.V., Zakalyukina I.M. Primenenie metoda osredneniya v zadache uprugoplasticheskogo izgiba plastiny [Application of the Homogenization Method to the Elastoplastic Bending of a Plate]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 156—164.
