CC BY
34
УДК 624.04
М.И. Савенкова, С.В. Шешенин, И.М. Закалюкина*
ФГБОУВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова», *ФГБОУВПО «МГСУ»
СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА С РЕЗУЛЬТАТАМИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
ИЗГИБА ПЛАСТИНЫ
Приведено сравнение результатов, полученных с помощью двумерного конечно-элементного анализа, с результатами, полученными по методике осреднения физически нелинейных сред, для задачи упругопластического изгиба многослойных пластин под воздействием поверхностной нагрузки и последующей разгрузки. Слои пластины полагаются составленными из однородных упругих или линейно упрочняющихся материалов.
Ключевые слова: асимптотический метод осреднения, деформационная теория пластичности, слоистый композит, слоистая пластина, линеаризация, метод Эйлера, нелинейность, конечно-элементный анализ, параллельный алгоритм.
Одно из перспективных направлений развития математического моделирования в механике композиционных материалов связано с необходимостью точного и эффективного описания их нелинейных свойств на уровне микроструктуры. Примерами могут служить пластические свойства или свойства поврежденности в материале. В случае композитов, обладающих физически линейными свойствами и свойством периодичности структуры, наиболее широко используемым подходом к анализу их деформирования является строгий в математическом смысле асимптотический метод осреднения, основанный на комбинировании решения локальных задач, определенных на уровне структурной неоднородности материала, с решением глобальной задачи для эквивалентной однородной среды. Представительной областью такой среды служит ячейка периодичности, а условия на ее границе определяются условиями периодичности структуры, поэтому эффективность метода основывается на том, что локальные задачи достаточно решать только на одной ячейке. Однако если рассматривается физически нелинейный материал, то его средние по представительным областям свойства зависят от глобального решения задачи, что при численной реализации влечет за собой сложности практической реализации.
В [1, 2] предлагается вариант развития асимптотического метода осреднения для случая сред с физически нелинейными свойствами на примере упру-гопластического изгиба композиционных пластин. Он реализован в виде численного параллельного алгоритма, основанного на применении программного интерфейса пересылки сообщений MPI (Message Passing Interface) и метода перехлеста областей, который носит название аддитивного метода Шварца [3]. Задачи с использованием упомянутого параллельного алгоритма решались на суперкомпьютерном комплексе Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова [4].
В основе развитого алгоритма лежит идея линеаризации по параметру на-гружения (или времени) исходной физически нелинейной краевой задачи. Линеаризация позволяет свести ее к линейной относительно скоростей, т.е. производных по параметру нагружения. В результате получаем
(Cijki (§) щ ,i), j + Fi =0;
• I _ -0 Ui Щ = Ui '
(Cijkl (§) Uk ,l)
dV
=SO,
где в — тензор деформаций; и — вектор перемещений; дУ = дУ- <идУ2 — граница представительной области У материала; — вектор поверхностных сил; Е — вектор массовых сил, действующих на композит, индексы принимают значения 1, 2, 3. Точка означает производную по параметру нагружения.
Затем следует дискретизация полученной задачи по параметру нагружения и интегрирование с помощью явного метода Эйлера
C (n) \Cijkl
(х, tyAi
kn+1) ,i), j +Af( "+1)( х ) = 0,
Au
n+i)
dV
= Au0("+1), C«(x, 5)Auk''+1)„,
= AS?(n+1)
dV,
( x ),
(1)
где п — номер шага нагружения; за х обозначены глобальные координаты среды, а за % — локальные. В результате, на каждом шаге процесса нагружения мы имеем линейную относительно приращения перемещений задачу [5, 6]. Структура полученных соотношений такова, что к ним удобно применение метода осреднения почти в классическом виде [7—9]. Для этого решение задачи представляется в виде асимптотического ряда
д4п+1> (х, = А^1» (х) + X в^ММ (х, ^+1>(х), (2)
m=1
% ( m) (n)
где Ау(п+1) (х) — вектор средних перемещений; — функции, описы-
вающие локальные флуктуации на уровне структуры материала.
Для нахождения функций N-
k%..%
ряд (2) подставляется в (1), после чего
приводятся подобные при одинаковых степенях малого параметра в. В результате определяются локальные задачи в области У
р(т+\)(п) +р(т)(п) =h{m)(n) ij4o-4m+l\j Щт+т-Чт Щт+Ш-Чт'
э(/и+1)(и)
с граничными условиями в виде условий периодичности
Jm+l)(n)
40
Jm)(n)
8Vf
N(m)(n) (x =N(m)(n) (x M
k40-4mK ' dV+ -Чт K >
dff
Локальные функции подчиняются также условиям единственности
4т )(и)( х, ¡о\ = о.
Особенностью полученных линейных задач является их зависимость от глобальных координат как от параметра, т.е. локальные задачи могут решаться независимо друг от друга для каждого значения х, что и открыло возможность создания параллельного алгоритма их решения.
Решение локальных задач определяет осредненные уравнения равновесия среды
Ует1к(т +1)(п) (х)Ау(п+^ (х)) +
т=0
+ ^ Л (^Г.4,.,т (х))■ / +А^(п+1) (х) = 0,
т=1
где и( т )( п )( х )-/ р( т )( п)\ ( х ) а ( т )( п )( х)-/ С ( п ) N т )( ПЛ , ( Х )
где 4%-Чт (х) \%0-Чт /у ^х), аЧЧ0-Чт (х) = \Н*^-Чт] у '' (х).
Глобальным граничным условиям при этом удается удовлетворить только в нулевом приближении (по теории эффективного модуля [7] так же, как в классическом варианте методики осреднения)
Ау(п+1)(х) =Аи?(п+1)(х), й(1)(п)(х)АУ<п+1),Ч (х)п. = <(п+1) (х). 1 v ' ду 1 v ' УЧ0Ч1 v ' Чо Ч1у ' . — 1 у '
д¥2
Предложенная методика применения метода осреднения к нелинейным задачам была развита для решения задачи упругопластического изгиба многослойных пластин. В [1] приведены формулы для нахождения напряженно-деформированного состояния пластины со слоями из функционально-градиентного материала. В данной статье рассмотрены численные результаты параллельного алгоритма, обозначенного далее на графиках AHM (Asymptotic Homogenization Method), на примере цилиндрического изгиба трехслойной и пятислойной пластин. Они сравниваются с результатами двумерного конечно-элементного анализа, обозначенного далее на графиках за FEM (FEM), проведенного с использованием плоских прямоугольных элементов.
Для случая задачи упругопластического изгиба пластин решение по описанной выше методике осреднения можно получить только в первом приближении, далее локальные и глобальные координаты не разделяются. В этом заключается основное отличие решения нелинейной задачи от линейной. В линейном случае возможно получение последующих приближений [11, 12].
Рассматривается безразмерная задача упругопластического цилиндрического изгиба трехслойной и пятислойной шарнирно закрепленных пластин (рис. 1).
Слои пластин полагаются составленными из однородных материалов: металла и керамики, причем металл является линейно упрочняющимся, а керамика — абсолютно упругой. Использовалась деформационная теория пластичности. Трехслойная пластина изгибалась под воздействием равномерно распределенной по ее верхней плоскости силы (рис. 1, а), пятислойная — под воздействием кусочно-постоянной (рис. 1, б). Приращение силы на каждом
шаге нагружения полагается одинаковым. Нагрузка увеличивается до некоторого момента, после чего начинается разгрузка пластины, которая продолжается до полного исчезновения поверхностной силы.
Рис. 1. Трехслойная и пятислойная пластины
Напряжения, деформации и перемещения, возникающие в пластинах, рассматривались в нескольких поперечных сечениях: в центральном, х = 5 для трехслойной пластины их = 25 для пятислойной, в х = 2,5 и х = 12, соответственно, а также в сечении, близком к точке закрепления пластин, х = 1 и х = 5, для изучения влияния краевого эффекта.
На рис. 2—5 приведены графики, отражающие изменения напряженно-деформированного состояния пластины (горизонтальная ось) вдоль ее высоты \ (вертикальная ось) с течением времени в выбранных сечениях: крайние слева графики соответствуют сечениям близ закрепления пластин, крайние справа — центральному поперечному сечению. Верхний ряд соответствует свойствам трехслойной пластины, нижний — пятислойной. На рисунках изображены остаточные напряжения, деформации и перемещения в пластинах. Для них погрешность метода осреднения достигает большего значения по сравнению с погрешностью соответствующих величин при максимальной нагрузке.
Рис. 2. Изменение продольного напряжения ст в пластинах
У точки закрепления пластины возникает краевой эффект, поэтому вблизи этой точки (рис. 2—4, 5, а, г) результаты осреднения и конечно-элементного анализа совпадают хуже, чем в центральном сечении (рис. 2—4, 5, в, е). Последнее утверждение особенно верно в случае трехслойной пластины (рис. 2—4, 5, а), ввиду того, что для нее отношение высоты к длине (величина малого параметра) г = И/1 = 0,1 значительно больше, чем для пятислойной г = к/1 = 0,02 (см. рис. 1). Это приводит к тому, что в случае пятислойной пластины краевой эффект при удалении от точки закрепления убывает значительно быстрее, в результате чего на графиках результаты по обоим методам практически совпадают (рис. 2—4, 5, г).
Для интенсивностей напряжений в сечениях пластин, близких к краю (рис. 3, а, б, г, д), расхождение результатов возникает также и вследствие наличия двумерного напряжения. Под воздействием изгибных сил возникают касательные напряжения и деформации, величина которых при приближении к точке закрепления сопоставима с величиной продольных напряжений. В свою очередь, в центральном поперечном сечении (рис. 3, в), где касательные напряжения малы по сравнению с остальными компонентами тензора напряжений, результаты имеют очень хорошее совпадение. Следует отметить, что в сечениях более тонкой пластины совпадение значительно лучше.
Рис. 3. Изменение интенсивности напряжений в пластинах
На рис. 4, а, б приведено распределение щ по % в сечениях х = 1 и х = 2,5. На рис. 4, в приведен график зависимости прогиба пластины от горизонтальной координаты. На рис. 4, е изображено ее распределение по высоте в этом сечении. В свою очередь, для пятислойной пластины график изменения ее прогиба в зависимости от горизонтальной координаты изображен на рис. 5.
Приведенные графики для перемещений также показывают, что совпадение результатов метода осреднения и конечно-элементного анализа для пятислойной пластины значительно лучше, чем для трехслойной пластины.
Рис. 4. Изменение перемещений в пластинах
В целом следует отметить, что относительная погрешность метода осреднения в случае трехслойной пластины для максимальных напряжений составляет около 13 %, для деформаций — около 10 %, для перемещений—около 13 %. В случае пятислойной эта величина для напряжений, деформаций и перемещений составляет менее 5 %. В итоге можно сделать вывод о том, что совпадение значений напряжений, перемещений
и деформаций для пятислойной пластины, обладающей соотношением сторон к/1 = 0,02 лучше, чем для трехслойной пластины, у которой Н)1 = 0,1. Тем не менее, первое приближение метода осреднения в обоих случаях дает довольно хорошую точность.
Рис. 5. Прогиб пятислойной пластины
Библиографический список
1. Савенкова М.И., Шешенин С.В., Закалюкина И.М. Применение метода осреднения в задаче упругопластического изгиба пластины // Вестник МГСУ. 2012. № 9. С. 156—164.
2. Шешенин С.В., Савенкова М.И. Осреднение нелинейных задач в механике композитов // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 2012. № 5. С. 58—61.
3. Barret R. et al. Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods. Philadelphia: SIAM, 1994.
4. Sadovnichy V., Tikhonravov A., Voevodin Vl., and Opanasenko V. "Lomonosov": Supercomputing at Moscow State University. In Contemporary High Performance Computing: From Petascale toward Exascale (Chapman & Hall/CRC Computational Science), pp. 283—307, Boca Raton, USA, CRC Press, 2013.
5. Fish J., Shek K., Pandheeradi M., Shephard M.S. Computational plasticity for composite structures based on mathematical homogenization: theory and practice // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 1997, № 148, pp. 53—73.
6. Ghosh S., Lee K., Moorthy S. Two scale analysis of heterogeneous elastic-plastic materials with asymptotic homogenization and Voronoi cell finite element model // Comput. Methods Appl. Mech. Enrgr, 1996, № 132, pp. 63—116.
7. Gorbachev V.I., Pobedrya B.E. The Effective Characteristics of Inhomogeneous Media // J. Appl. Math. Mech., 1997, v. 61, № 1, pp. 145—151.
8. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Доклады АН СССР. 1975. Т. 221. № 3. C. 516—519.
9. Победря Б.Е., Горбачев В.И. Концентрация напряжений и деформаций в композитах // Механика композиционных материалов. 1984. № 2. C. 207—214.
10. Kalamkarov A.L., Andrianov I.V, Danishevs'kyy V.V. Asymptotic Homogenization of Composite Materials and Structures // Applied Mechanics Reviews, 2009, v. 63, № 3, pp. 1—20.
11. Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 6. С. 71—79.
12. Шешенин С.В. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 2006. № 1. С. 47—51.
Поступила в редакцию в июле 2013 г.
Об авторах: Савенкова Маргарита Ивановна — аспирант кафедры механики композитов, Механико-математический факультет ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова» (ФГБОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова»), г. Москва, 119991, Ленинские Горы, д. 1, madgista@gmail.com;
Шешенин Сергей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики композитов, Механико-математический факультет, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова» (ФГБОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова»), г. Москва, 119991, Ленинские Горы, д. 1, (8495)939-43-43, sergey.sheshenin@mail.ru;
Закалюкина Ирина Михайловна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, 129337, Ярославское шоссе, д. 26, (8499)183-24-01, Irina.zakalyukina@mail.ru.
Для цитирования: СавенковаМ.И., Шешенин С.В., ЗакалюкинаИ.М. Сравнение результатов конечно-элементного анализа с результатами асимптотического метода осреднения в задаче упругопластического изгиба пластины // Вестник МГСУ. 2013. № 8. С. 42—50.
M.I. Savenkova, S.V. Sheshenin, I.M. Zakalyukina
COMPARISON OF FINDINGS OF THE FINITE ELEMENT ANALYSIS WITH THE FINDINGS OF THE ASYMPTOTIC HOMOGENIZATION METHOD IN RESPECT OF THE PLATE IN ELASTOPLASTIC BENDING
The authors present numerical results of the asymptotic homogenization method for elastoplastic bending of the plate. The plate is supposed to be laminated and exposed to the transversal load. Stresses and displacements in the cylindrical bending problem are compared with those calculated using the 2D finite element method.
The new trend in the mathematical simulation of structures, made of composite materials, contemplates accurate consideration of their nonlinear properties (for instance, plasticity or damage) on the micro-structural level of materials. The homogeni-zation method provides for the coupling between the microstructural level and the level of the entire structure. The authors have developed a numerical implementation of this coupling. It represents a combination of the homogenization method and linearization with account for the loading parameter. The approach was implemented as a parallel algorithm and applied to the plastic bending simulation of the FGM plate. The parallel algorithm is based on the overlapping subdomain decomposition method and the Euler explicit and implicit integration methods. MPI was used for software development purposes.
In this paper, the authors provide a concise description of the proposed method applied to the 3D boundary-value problem. The authors compare numerical solutions obtained through the application of the homogenization approach and the finite element method. Two types of laminated plates are taken as an example. Three-layered plate was exposed to uniformly distributed transversal loading. The second five-layered plate, that was a lot thinner than the first one, was exposed to piecewise constant transversal loading. All layers of both plates are homogenous; they are supposed to be elastic or bi-linearly plastic. It was discovered that the asymptotic homogenization technique provides a more accurate solution for the five-layered plate than for the three-layered one. Edge effects near the edges of the plates are smaller for the thin five-layered plate if compared with the thick three-layered plate. The edge effect appears due to the large value of the plate height-to-length ratio. Nevertheless, the first order asymptotic homogenized method provides sufficient accuracy in both cases.
Key words: asymptotic homogenization method, bending, laminated composite, plasticity deformation theory, laminated plate, linearization, Euler method, finite element method, parallel algorithm.
References
1. Savenkova M.I., Sheshenin S.V., Zakalyukina I.M. Primenenie metoda osredneniya v zadache uprugoplasticheskogo izgiba plastiny [Application of Homogenization Method to Elastoplastic Bending of a Plate]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 156—164.
2. Sheshenin S.V., Savenkova M.I. Osrednenie nelineynykh zadach v mekhanike kom-pozitov [Averaging Method for Nonlinear Problems in Composites Mechanics]. Vestnik Mos-kovskogo universiteta. Matematika. Mekhanika [Proceedings of Moscow University. Mathematics. Mechanics]. 2012, no. 5, pp. 58—61.
3. Barret R. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods. Philadelphia, SIAM, 1994.
4. Sadovnichy V., Tikhonravov A., Voevodin V.l., Opanasenko V. "Lomonosov": Supercomputing at Moscow State University. In Contemporary High Performance Computing: from Petascale toward Exascale. Chapman & Hall/CRC Computational Science. 2013, Boca Raton, USA, CRC Press, pp. 283—307.
5. Fish J., Shek K., Pandheeradi M., Shephard M.S. Computational Plasticity for Composite Structures Based on Mathematical Homogenization: Theory and Practice. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1997, no. 148, pp. 53—73.
6. Ghosh S., Lee K., Moorthy S. Two Scale Analysis of Heterogeneous Elastic-plastic Materials with Asymptotic Homogenization and Voronoi Cell Finite Element Model. Comput. Methods Appl. Mech. Enrgr. 1996, no. 132, pp. 63—116.
7. Gorbachev V.I., Pobedrya B.E. The Effective Characteristics of Inhomogeneous Media. J. Appl. Math. Mech. 1997, vol. 61, no. 1, pp. 145—151.
8. Bakhvalov N.S. Osrednenie differentsial'nykh uravneniy s chastnymi proizvodnymi s bystro ostsilliruyushchimi koeffitsientami [Homogenization of Differential Equations Having Partial Derivatives with Rapidly Ocillating Coefficients]. Doklady AN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR]. 1975, vol. 221, no. 3, pp. 516—519.
9. Pobedrya B.E., Gorbachev V.I. Kontsentratsiya napryazheniy i deformatsiy v kompoz-itakh [Concentration of Stresses and Strains in Composites]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of Composite Materials]. 1984, no. 2, pp. 207—214.
10. Kalamkarov A.L., Andrianov I.V., Danishevs'kyy V.V. Asymptotic Homogenization of Composite Materials and Structures. Applied Mechanics Reviews, 2009, v. 63, no. 3, pp. 1—20.
11. Sheshenin S.V. Asimptoticheskiy analiz periodicheskikh v plane plastin [Asymptotical Analysis of In-plane Periodical Plates]. Izvestiya RAN. Mekhanika tverdogo tela [RAS News. Mechanics of Solids.], 2006, no. 6, pp. 71—79.
12. Sheshenin S.V. Primenenie metoda osredneniya k plastinam, periodicheskim v plane [Application of the Homogenization Method for the In-Plane Periodical Plates]. Vest-nik Moskovskogo universiteta. Matematika. Mekhanika [Proceedings of Moscow University. Mathematics. Mechanics]. 2006, no. 1, pp. 47—51.
About the authors: Savenkova Margarita Ivanovna — postgraduate student, Department of Composite Mechanics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (MGU); Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation; madgista@ gmail.com;
Sheshenin Sergey Vladimirovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Composite Mechanics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (MGU), Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation; sergey.sheshenin@mail.ru, +7 (495) 939-43-43;
Zakalyukina Irina Mikhailovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; Irina.zakalyukina@mail.ru; +7 (499) 183-24-01.
For citation: Savenkova M.I., Sheshenin S.V., Zakalyukina I.M. Sravnenie rezul'tatov konechno-elementnogo analiza s rezul'tatami asimptoticheskogo metoda osredneniya v za-dache uprugoplasticheskogo izgiba plastiny [Comparison of Findings of the Finite Element Analysis with the Findings of the Asymptotic Homogenization Method in Respect of the Plate in Elastoplastic Bending]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 8, pp. 42—50.
