CC BY
38
2010
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика, прочность, поддержание летной годности
№153
УДК 624.016
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОРТОГОНАЛЬНОГО ХЕШИРОВАНИЯ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КВАЗИДИАГОНАЛЬНУЮ СТРУКТУРУ РАЗРЕШАЮЩЕЙ МАТРИЦЫ ЖЁСТКОСТИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА УРОВНЕ ПРЕПРОЦЕССОРА ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ СИСТЕМ
ПРОЧНОСТНОГО АНАЛИЗА
И.В. НЕСТЕРОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Шапошниковым Н.Н.
В данной статье излагается методика построения облегчённого алгоритма уменьшения ширины ленты глобальной матрицы жёсткости метода конечных элементов для систем прочностного анализа с препроцессором, интегрированным в инженерную CAD-систему.
Ключевые слова: метод конечных элементов, матрицы жесткости, квазидиагональная структура, графический редактор AutoCAD, нумерация узлов.
При решении задач по методу конечных элементов результирующая матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений сильно разрежена и симметрична относительно главной диагонали. Чтобы минимизировать ширину ленты ненулевых чисел сосредоточенных вдоль главной диагонали матрицы жёсткости, и тем самым уменьшить расход оперативной памяти и время счёта, необходимо занумеровать конструкцию так, чтобы разность номеров узлов смежных конечных элементов была минимальной. Таким образом, матрица жесткости приобретает упорядоченную квазидиагональ-ную структуру, хорошо приспособленную для факторизации прямыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений [1]. Современные программные комплексы, как правило, оснащены графическими препроцессороми, в которых формируется геометрия конструкции. На выходе они генерируют структуры, хранящие координаты узлов и топологию конструкции, но делают это хаотично, не учитывая влияния порядка расположения узлов на ширину ленты матрицы жесткости.
Автоматическая перенумерация узлов чаще всего выполняется в расчётном блоке программы. Существует большое количество алгоритмов оптимизации профиля матрицы жесткости [1]. Все они используют математический аппарат теории графов и работают с топологическими структурами геометрической модели конструкции. Программы, реализующие эти алгоритмы, относятся к довольно специфическому классу программного обеспечения, не всегда доступному обычному прикладному программисту.
Оптимизацию профиля матрицы жесткости можно выполнить на уровне препроцессора до формирования топологии конструкции. Предлагаемый алгоритм достаточно прост в реализации и не требует проникновения во внутреннюю структуру программного комплекса. Прибегнуть к нему целесообразно, когда разработанное программное обеспечение для проблемно-ориентированных систем прочностного анализа, не оснащённое блоком перенумерации узлов, интегрируется в графический редактор (например АШюСАБ) и дополняется новым графическим интерфейсом.
Программа, выполняющая перенумерацию на уровне препроцессора, реализована на языке Аи1ю-ЬКР [2] и использует для своей работы графические примитивы и базу данных АШюСАБа.
Принцип оптимальной нумерации достаточно прост. Чтобы обеспечить минимальную разность номеров узлов на смежных конечных элементах, необходимо узлы нумеровать примерно по спирали, охватывающей наиболее узкие части конструкции (рис. 1).
Большинство алгоритмов перенумерации прямо или косвенно реализуют этот принцип на уровне топологических структур данных.
Разработанный автором блок оптимизации профиля матрицы жёсткости формирует на выходе текстовый файл, содержащий топологические и координатные структуры, описывающие геометрию конструкции или dxf-файл АШюСАБа [2], изменяя в нём порядок следования примитивов АШюСАБа по оптимальному направлению.
Отъттъиихсхлън-сх^ т-суи^ера- т^гх.ч:
3 ь 9 12 15 1В 21
2 5 8 11 14 17
1 4 7 10 13 16
15 16 17 18 19 80
8 9 10 11 18 13
1 г 3 4 5 6
Неоптимальна я нумерация
Отличительной особенность разработанной программы является то, что перенумерации подвергаются не узлы, а номера конечных элементов. Рассмотрим более подробно основные шаги этого алгоритма. Сначала формируется базовая структура данных ЬКТ_РТС - список координат центров тяжести графических примитивов, описывающих несущие элементы конструкции. Структура этого списка выглядит следующим образом:
(
(х1 у1 НаМ1)
(х2 у2 Hand2) ,
)
Рис. 1
где х1,у1 - координаты центра тяжести примитива;
Hand1 - метка графического примитива в базе данных АШюСАБа.
По информации из этого списка определяются габариты конструкции, и на неё виртуально накладывается сетка хеширования (рис. 2).
Рис. 2
На следующем шаге выполняется распределение элементов списка ЬКТ_РТС по локальным полосам сетки хеширования (рис.2). На выходе формируются две информационные структуры:
ЬКТ_1 и Ы8Т_Т - структурированные списки, хранящие элементы списка ЬКТ_РТС, но распределённые по координатным полосам сетки хеширования:
Ы8Т_1 - элементы, находящиеся в зоне полос, параллельных оси X;
ЬКТ_1 - элементы, находящиеся в зоне полос, параллельных оси У.
Структура этих списков выглядит следующим образом (рис. 2):
( ¡_1 ¡_2 ¡_3 ¡_4 ... ¡_п ) , где ¡_1 1_2 ... ¡_п - локальные списки, состоящие из элементов списка
ЬКТ_РТС , находящиеся в зоне >й (|-й) полосы. Далее сравнивается размерность списков Ы8Т_1 и
Ы8Т_1. Список с наибольшей размерностью становится базовым для формирования фронта перенумерации. Например, для конструкции на рис. 2 размерность списка ЬКТ_1 равна 32 , а размерность списка ЬКТ_1 равна 36, поэтому список ЬКТ_1 становится базовым для формирования фронта перенумерации. После выбора базового списка начинается работа основного цикла алгоритма перенумерации. В ходе работы цикла последовательно перебираются элементы списка ЬКТ_1 (ЬКТ_.Т). Элементы подсписка, соответствующего текущей полосе хеширования сортируются в направлении возрастания (убывания) координаты X (для ЬКТ_1 ) или координаты У (для ЬКТ_.Т). Возрастание или убывание сортировки чередуется через полосу, таким образом достигается спиралевидный порядок обхода элементов. На выходе формируется последовательный набор графических примитивов АШюСАБа, который записывается средствами языка АШюЬКР либо в dxf-файл АШюСАБа, либо в тестовый файл, содержащий оптимизированные топологические и координатные структуры. На рис. 3 показан порядок нумерации стержней тестового примера, полученный в результате работы алгоритма геометрической перенумерации.
Рис. 3
На рис.4 приведена нумерация узлов пространственной расчётной схемы лопатки авиационного двигателя, сформированной по результатам геометрической перенумерации в препроцессорном блоке АШюСАБа системой прочностного анализа КАТРАН, разработанной на кафедре «САПР транспортных конструкций и сооружений» МИИТа. Предлагаемый подход к решению задачи оптимизации профиля матрицы жёсткости достаточно универсален и может быть адаптирован к входным форматам практически любой системы прочностного анализа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Писсанецки C. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988 - 410 с.
2. Полещюк Н.Н. AutoCAD 2004: разработка приложений и адаптация. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 624 с.
APPLICATION OF THE TECHNIQUE OF ORTHOGONAL HASHING FOR CONVERSION TO QUASIDIAGONAL STRUCTURE OF THE RESOLVING MATRIX OF THE FINITE ELEMENT METHOD AT LEVEL OF THE PREPROCESSOR OF THE PROBLEM-ORIENTED SYSTEM OF
STRESS ANALYSIS
Nesterov I.V.
In given article the technique of construction of the facilitated algorithm of reduction of width of a tape of a global matrix of a finite element method for the systems of stress analysis with a preprocessor integrated into engineering CAD-system is stated.
Сведения об авторе
Нестеров Иван Владимирович, 1966 г.р., окончил МИИТ (1988), кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой систем автоматизированного проектирования транспортных конструкций и сооружений МИИТ, автор более 20 научных работ, область научных интересов - прочностной анализ транспортных конструкций и сооружений.
