CC BY
82
УДК 629.488 Бочаров Вячеслав Михайлович,
директор ООО «Производственное конструкторско-технологическое предприятие «Транспорт» (ООО «ПКТП «Транспорт»), г. Омск, тел. (3812) 46-60-27, 89139768133, e-mail: [email protected]
Мишин Анатолий Иванович, к. т. н., доцент, начальник отдела ООО «Производственное конструкторско-технологическое предприятие «Транспорт»
(ООО «ПКТП «Транспорт»), г. Омск, тел. (3812) 46-60-29, 89136719515, e-mail: [email protected]
Сиряк Павел Анатольевич,
ведущий инженер-конструктор ООО «Производственное конструкторско-технологическое
предприятие «Транспорт» (ООО «ПКТП «Транспорт»), г. Омск, тел. (3812) 46-60-29, 89620494472, e-mail: [email protected] Мельниченко Виталий Александрович, инженер, ООО «Производственное конструкторско-технологическое предприятие «Транспорт»
(ООО «ПКТП «Транспорт»), г. Омск, тел. (3812) 46-60-29, 89514287077, e-mail: [email protected]
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛЕВЕНБЕРГА - МАРКВАРДТА ДЛЯ АНАЛИЗА ДАННЫХ БОРТОВОЙ ДИАГНОСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЛОКОМОТИВА
V. M. Bocharov, A. I. Mishin, P. A. Siryk, V. A. Melnichenko
LEVENBERG-MARQUARDT METHOD APPLICATION FOR LOCOMOTIVE ONBOARD DIAGNOSTIC SYSTEM DATA ANALYSIS
Аннотация. Статья посвящена одному из направлений обеспечения деятельности по поддержанию безотказности тягового подвижного состава на заданном уровне - автоматизированной информационной поддержке процессов на всех этапах жизненного цикла локомотивов, в результате чего формируется единое (интегрированное) информационное пространство. Для создания автоматизированных информационных систем необходимы методики и алгоритмы обработки информационных потоков, сформированных при эксплуатации локомотивов.
В настоящее время реализации этих задач способствует широкая номенклатура разработанных и внедренных средств контроля и диагностирования основных узлов локомотива. На основе получаемой измерительной информации создаются статистические базы экспериментальных данных. Вопросы разработки, внедрения методик и программных продуктов для обработки этих данных остаются актуальными.
В работе предложена методика аппроксимации данных измерительной информации бортовой системы АПК «Борт», описываемых нелинейными регрессионными моделями, на примере тока тягового генератора в режиме разгона тепловоза. Алгоритм Левенберга - Марквардта применяется при решении систем нелинейных уравнений, формируемых при использовании метода наименьших квадратов. Полученные в результате аппроксимации регрессионные модели являются основой для дальнейшего анализа статистическими методами.
Результаты работы можно использовать для статистического анализа технического состояния тяговых узлов, агрегатов и локомотива в целом. Изложенная в данной статье методика ориентирована на применение в области технического диагностирования тягового подвижного состава по результатам анализа информации, получаемой от бортовых измерительных систем.
Ключевые слова: экспериментальные статистические данные, диагностирование, аппроксимация, матрица, метод наименьших квадратов, метод Левенберга - Марквардта, средняя ошибка аппроксимации.
Abstract. The article is about one of the activities providing directions to infallibility traction rolling stock supporting - automatic information support for processes on all life phases of locomotive. As a result, uniform information space is forming. Information streams processing methods and algorithms are required for creating automatic information systems. Currently realization of this problems is supported by wide nomenclature of developed locomotive control and diagnostic devices. Experimental data statistic bases are compiled from received measurements information. Methods and software development for processing this data are still actual.
The HSC «BORT» systems measurement of generator current information data approximation method is proposed. Levenberg - Markvardt algorithm used for solving nonlinear equations systems as a result of least squares applying. Acquired regression models as a result of approximation are basis for further statistic methods analyze.
Results of this work can be applied for statistic analyze of locomotive and locomotive parts technical state.
Keyword: Experimental statistic data, diagnostic, approximation, matrix, least squares, Levenberg - Marquardt method, percentage approximation error.
F fa, w ) =
У m
+ ■
(1)
atl + bti + ctt + y max где F1 (ti, w) - аппроксимирующая функция; ti - время измерения тока в реализации; ymin, ymax - наименьшее и наибольшее значения тока в одной реализации;
i = 1, 2, ..., n - номер измерения в одной реализации;
w = (a, b, c) - вектор неизвестных коэффициентов.
Далее по тексту обозначение w1 соответствует a, w2 - b и т. п.
Модель (1) подбиралась экспериментально. Полиномы 3-й степени, возможно, имеют локальные экстремумы в области определения (t, е [°, tmax ]). Поэтому для дальнейших исследований дополнительно подобраны функции
F (t,, w ) = exp
,3 ,2
V W1ti + W2ti + W3ti + W4 J
(2)
Ш
Введение
Целью данной работы является разработка методики аппроксимации результатов измерения бортовой диагностической системой тока тягового генератора в режиме разгона тепловоза методом наименьших квадратов с использованием нелинейных моделей. Данная методика может быть использована для автоматизации процессов оценки технического состояния локомотивов по результатам измерения диагностических параметров бортовой системой и формирования рекомендаций по объему и периодичности технического обслуживания и ремонта.
Изложенная в данной статье методика ориентирована на применение в области диагностирования тягового подвижного состава по результатам анализа информации, получаемой от бортовых систем. При разработке использовались исходные экспериментальные данные из архивов результатов измерений аппаратно-программным комплексом «Борт» (АПК «Борт»).
1. Методика применения метода Левен-берга - Марквардта
В статье [1] описана методика оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным методом наименьших модулей (далее - МНМ). Выборками являлись результаты измерения АПК «Борт» тока тягового генератора в режиме разгона маневрового тепловоза. Данные одного переходного процесса названы реализацией. Определены требования к реализации. В качестве модели использовалась функция
(y max У min )У max
4 '
F (t,,
(3)
(4)
(5)
1~4, = м>1 ехр^"2 - )+1
п>) = ехр(12*г ^З^ + 2 + 1*! + 1) .
Регрессионный анализ в основном выполняется методом наименьших квадратов (далее -МНК), основанным на минимизации суммы квадратов некоторых функций искомых переменных.
С этой точки зрения измерения тока тягового генератора локомотивов образуют генеральную совокупность Л. Переходный процесс представляет выборку В = {*,, у, }"=1, где В с Л , * е N -время измерения тока в реализации В, у, е Z -соответствующее времени значение тока. Целью статистической обработки этих данных является нахождение коэффициентов функции регрессии
Fz (*г, м). При таких условиях формализация задачи о МНК имеет вид
s (w )=£ F (tt,, w)-y)
^ mm
(6)
i=i
где г = 1,..., 5 - номер функции.
Иными словами, требуется найти такие параметры м, при которых функция достигает минимального значения. Для этого решается система уравнений (7), где частные производные функции (6) приравниваются к нулю
dw1 SS
= 0,
dwn
SS Sw,
= 0,
= 0,
(7)
где к - количество коэффициентов м .
Если в формуле (6) функция линейна
или сводится к этому виду, то система уравнений (7) также будет линейной (функции (1), (2)). Такую систему можно решить любым численным прямым методом. Для функций (З), (.), (5) необходимо применять итерационные методы решения.
После анализа существующих методов многомерной оптимизации (градиентный спуск, покоординатный спуск, метод Ньютона и т. п.) выбран метод Левенберга - Марквардта (МЛМ), сочетающий метод наискорейшего спуска (т. е. минимизации вдоль градиента) и метод Ньютона (т. е. использование квадратичной модели для ускорения поиска минимума функции). От метода наискорейшего спуска МЛМ позаимствовал стабиль-
<
1
ность работы, от метода Ньютона - ускоренную сходимость [2].
Для реализации МЛМ вычисляется начальный вектор коэффициентов п>0. Общего правила нахождения п>0 для функций (3), (4), (5) не существует [3], поэтому для определения п>0 в функцию (3), в частности, подставляются значения Утах). Получается условие w1 + ^4 = утах, которое можно использовать для подбора начального значения коэффициентов. Приняты следующие значения начальных коэффициентов:
(8)
W0 = Утт, = Уmax - w4 •
Коэффициенты и находятся из
системы уравнений (9), по двум совокупностям данных (?, у), равномерно взятым из выборки В
У p = (Утах " Утт ) eXP (W0t) + У^ У? = (Утах - Утт ) eXP (W0t^ ) + Ут
(9)
ln
W0 =.
- ln
' ЧрР
o
- ln
V_V
w,
ln (t,)-ln (t, )
ln
wO =■
hp - wO >
v W0 ,
V 1 /
(10)
tW3 p
t-> 0
В результате начальный вектор w для функции (3) определяется выражениями (8), (10).
Для функции (4) применялся иной подход
нахождения компонентов вектора w0. Коэффициенты w°, w° подбирались вручную и равны соответственно
wO = о,8 У wO = 0,2 У (11)
"1 "з ./тах' 4 ' ./тах • ViJ-/
Такие соотношения взяты из результата работы МЛМ по обучающей выборке Do6y4, являющейся одним из характерных переходных процессов.
тт 0 0
Для нахождения w2 и w3, использовался метод секущих, применяемый после определенных преобразований [4]. После выбора p, q и подстановки w0 , w0 в (4) получена система
I 0 l.w° -w^
IУp = wi exPVp2 - tp3
л I о 0
У а = wi exP(tq2 - tq
Она приводится к виду
1+ w
'+ w
(12)
ln
ln
iyzZwlЛ
v w0
4 - W4 ^
w0
0 0
_ . W0 . w3
= tp - tp,
_ , w° . w30
= tq - tq .
(13)
Заменим переменные следующим образом:
tп2 = и , ¿„3 = V, tч2 = и , 1а3 = V . Это позволяет
р р ч ч
вычислить показатель степени т, используя систему уравнений
откуда m =
где р, ч - числа из ряда 1, 2, ..., п, делящие отрезок [1, и] на равные интервалы.
Выражая коэффициенты из системы (9), получим уравнения для вычисления и :
Ь (tq )
Ю = Um ,
(14)
. Система (13) принимает вид
ln
Ч - w40'
w.
_ , w2 fw3 = tp - tp '
ln
fyq - w4'
w?
ln(tq )
4, )
= (tw) ЯЙ -fo) шй.
(15)
Результатом преобразований является уравнение с одной переменной:
f (wO )= ln
Ч - w4O^
w
ln(tq )
-(t;2 )ln(tJ
+
+
ln
У, - w4
wO
о Л
- tw
ln(tq )
(16)
Функция (16) нелинейная и является гладкой на отрезке [— 1,1], то есть имеет непрерывную
первую производную на этом отрезке (рис. 1). Решение данного уравнения выполняется итерационным численным методом, который должен обладать устойчивостью (нечувствительностью метода к неточностям в исходных данных) и сходимостью (близостью получаемого численного решения задачи к истинному решению) [5]. Расширенным понятием сходимости является порядок сходимости а. Для наиболее распространенных одинаково устойчивых методов хорд, дихотомии, секущих а имеет значение 1; 1; 1,618 соответственно. Поэтому в данной работе предпочтение отдано последнему методу, итерационная формула которого имеет вид [6]
о
0
,w1
tJ = u
p
1
■2+1 - п
(17)
разностную аппроксимацию
1 - ^
В процессе итераций новое приближение 1
2+1
определяется двумя предыдущими значениями 1
2
и 1-1 [6].
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4
-1,0
-0,5
0,5
1,0
Рис. 1. Зависимость / (п2) от
"2) 12 •
1, 2, 3, 4, 5 - реализации с п, равным соответственно 8, 11, 16, 24, 32
Из анализа совокупности Л начальные значения 1 1 и 1 принимались равными 0 и 0,5. Критерий остановки итерационного процесса -\/1 )|< 0,0001. После нахождения , значение
13 равно
^ =
1пУ +)
Ч,) '
ш
12)-/ (п2 где 2 = 1, 2,... - номер итерации.
Метод секущих является модификацией метода Ньютона. Суть модификации заключается
в замене производной /' (^) на конечно/ Й)-/ Й-1)
А™ = (3Т3 + X- ^(/т./)) 1 /т (у -(20) где 3 - матрица Якоби;
X > 0 - параметр регуляризации;
diag((/T«/) - диагональная матрица с элементами 3Т3;
у, Е - векторы экспериментальных и регрессионных значений.
Матрица 3 составляется из частных производных функции ^, м) по всем компонентам ж
д- (/„ w)
/ =
(21)
Для вычисления частных производных используется центральная конечно-разностная аппроксимация [6]
('г- м)_ Д (*г- м + П)- (>г- м - П)
д1,
к
2^
(22)
где п - конечно-разностный интервал.
(18)
Таким образом, начальный вектор 10 для функции (4) определяется выражениями (11), (17), (18).
Для функции (5) длительность переходного процесса приведена к единому отрезку времени 11 е [0,1]. Коэффициенты = [1; -1,5; 1; 1,5; 0,5] подобраны экспериментально.
Далее вектор начального приближения м0
заменяется на вектор м0 + Ам, и реализация итерационной формулы МЛМ имеет вид
м2+; = м2 + Ам2, (19)
где 2 = 1, 2,. - номер итерации.
Приращение Ам находится по формуле [2]
Значение п выбирается методом подбора для конкретной функции. При отладке программной реализации МЛМ, использованы значения = 10 6,
Л4 = 10-6, л5 = 10-3 для функций (3), (4), (5) соответственно.
Матрица частных производных 3 транспонируется в 3Т . Результатом произведения 3Т3 является прямоугольная матрица размером к х к .
Сумма // + Х- d1ag(«/т«/) представляет собой матрицу Гессе Н. Обращение Н выполняется методом Гаусса - Жордана [7]. Он заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразования, которыми невырожденная матрица Н приводится к Е, то получается обратная матрица Н 1.
Наличие параметра регуляризации X является особенностью, отличающей МЛМ от прочих методов многомерной оптимизации. Монотонное убывание минимизируемой функции достигается в МЛМ за счет подбора значений X [6].
Критерием оценки качества аппроксимации и окончания итерации принимается средняя ошибка аппроксимации е = —■-;—-—100 %. При
п
исследовании пяти реализаций (1.5) с использованием функций (3), (4), (5) сделан вывод, что за-
0
висимость в = /(X) нелинейная (рис. 2). Различные значения в на начальной стадии адаптивной коррекции объясняются особенностями (точностью) определения м0 .
10
%
6 s 4 2
0 15 30 45 60 75
а)
15
30 45
х —
б)
60
75
90
шшт
ются действия блоков 8-15.
Если в результате достигается состояние, при котором
<т, (23)
(т - заданное малое число), то программа завершается, считается лучшим приближением. Коэффициенты считаются найденными (блок 30). Выход из цикла по г осуществляется при выполнении условия > е/ .
Цикл по к начинается после присвоения Ук = Х\ /1,618 (блок 16). При неверности неравенства (блок 23)
Щ <Ц, (24)
где е/ - СОА при , которому соответствует Х{;
sj - СОА при w
Ук = Xj /1,618,
которому соответствует
8
%
4
s 2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
х —-в)
Рис. 2. Зависимость s от коэффициента регуляризации (X) для функций: а) - (3), б) - (4), в) - (5)
2. Адаптивная коррекция
Цель адаптивной коррекции - найти значение X на текущем шаге итерации, при котором s ^ min . Так как аналитическое выражение s = f (X) отсутствует, то необходимо реализовы-вать алгоритм итерационного метода подбора соответствующего значения X (рис. 3).
Для решения этой задачи начальное X0 принимается равным максимальному значению из элементов матрицы JTJ (блок 7). Это приводит к тому, что МЛМ ведет себя как метод градиентного спуска с медленной сходимостью. При этих условиях начинается внешний цикл по j. Вычисляются
поправки Aw/, вектор w/ (блок 11) и средняя ошибка аппроксимации (далее - СОА) s1 (блок 12).
Полученное значение sj сравнивается с sj
(блок 14). При увеличении СОА X0 последовательно уменьшается в 1,618 и повторно выполня-
продолжается уменьшение параметра регуляризации (блок 25), для отыскания минимального значения Щ (блоки 17-25). Уменьшение Хк и окончание цикла по к происходит по двум критериям: 1) выполнение условия Х| <Т, при этом программа завершается, а м12 считается лучшим приближением;
2) увеличение Щ по сравнению с предыдущим е/ (блок 23), при этом считается лучшим приближением на текущем 2-м шаге и выполняются завершающие операции цикла 2.
Критерием окончания внешнего итерационного процесса по 2, то есть нахождения наилучшего приближения вектора 1, является выполнение
условия
s„ - s, < 10"
в течение трех итераций
(блок 27). В этом случае м = , и МЛМ считается реализованным.
Заключение
Аппроксимация переходных процессов В методом наименьших квадратов с применением МЛМ, функциями (3), (4), (5) обеспечивает получение значений искомых коэффициентов, при которых средняя ошибка аппроксимации не превышает 1,4%, (рис. 4). Такие значения меньше рекомендуемых предельных значений [ (Дата обращения 20.05.2014).
8].
X
0
6
ш
Начало программы
-1 I
Нахождение
г2—1-
Вычисление
е0
■3-
Вычисление матрицы 3
4
Нахождение транспонированой
матрицы 3
т
■5-
Вычисление
т
матрицы 3 3
I
-6-Выделение
^(Л)
-7-
Выбор значения А] = тах
8
Умножение А] на
9
Сложение 3т 3 и ^^(Л)
Обращение матрицы
(JTJ+^jdiag(JTJ ))
■15
1 = ^/1.618 i = i+1
X
X
■16'
4=^ / 1.618
I
Умножение Ак на diag(JTJ )
-18-
Сложение Л13 и ^kdiag(JTJ)
19Обращение матрицы
(JTJ+^kdiag(JTJ ))
-20-
Вычисление
-21—1-
Вычисление
е2
25
^]к+1= ^¿/1.618
к = к+1 ■-
[
Л
26' .
w0 =
28
е0 = еЦ, i = 0, к = 0,1 = ,1+1
-29--
w = w1
-30 w = w0
Конец программы
i, 1, к - переменные циклов с начальным значением 0.
6
Рис. 3. Алгоритм реализации МЛМ
и
о «
и U
с
1,4
1,0 0,8
¥ О
0,6
и Й
а а 0,4
« В ' & & 0,2
О оо 0
1 2 3 4 5 6 7 8 Позиция
Рис. 4. Среднее значение СОА функции аппроксимации (3), (4), (5) в зависимости от номера позиции контроллера машиниста
На позициях контроллера машиниста с 1 по 5 заметна менее качественная аппроксимация, чем с 6 по 8 позиции. Влияние выбросов и их конкретные причины можно установить после статистического анализа и проведения эксперимента.
В работе описана методика аппроксимации данных изменения тока тягового генератора в режиме разгона тепловоза, получаемых с бортовой системы АПК «Борт». Методика распространена на линейные и нелинейные аппроксимирующие функции. Полученные результаты свидетельствуют о приемлемой погрешности аппроксимации и возможности использования их для контроля технического состояния локомотивов.
1.
2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
Математическое описание экспериментальных данных контроля технического состояния локомотивов [Электронный ресурс] / В. А. Четвергов и др. // Современные проблемы науки и образования. Электрон. продолж. изд. 2013. № 4. URL: http://www.science-education.ru/110-9767 (Дата обращения 20.05.2014). Метод Левенберга-Марквардта [Электронный ресурс]. URL:
http ://alglib. sources. ru/ optimization/levenbergmarq uardt.php (Дата обращения 20.03.2014).
3. Прикладная статистика: Исследование зависимостей / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. Москва : Финансы и статистика, 1985. 487 с.
4. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений : пер. с англ. / Дж. мл. Деннис, Р. Шнабель. Москва : Мир, 1988. 440 с.
5. Основы численных методов : учеб. пособие / Л. И. Турчак. Москва : Наука, 1987. 320 с.
6. Практическая оптимизация : пер. с англ. / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. М. : Мир, 1985. 509 с.
7. Метод Гаусса-Жордана [Электронный ресурс]. URL: http://goo.gl/r1RtpQ (Дата обращения 20.05.2014).
8. Метод наименьших модулей / В. И. Мудров, В. Л. Кушко. Москва : Знание, 1971. 61 с.
УДК 338: 378 Патрусова Алена Михайловна,
к. т. н., доцент, заведующий кафедрой менеджмента и информационных технологий, Братский государственный университет, тел. 8(3953) 32-53-95, e-mail: [email protected]
СОВРЕМЕННЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ IT-ПРОЕКТОВ
A. M. Patrusova
MODERN INFORMATION TECHNOLOGIES OF AN ASSESSMENT OF EFFICIENCY
OF INVESTMENT IT-PROJECTS
Аннотация. В статье обозначена актуальность вопросов инвестиционной политики Российской Федерации и раскрыта возможность оценки экономической эффективности инвестиционных IT-проектов с использованием инструментария инвестиционного менеджмента на базе пакета MS Project Expert. В качестве основной проблемы разработки инвестиционных проектов обозначена субъективность выбора ставки дисконтирования, диапазон выбора которой определяет «запас прочности» проекта. В первой части статьи рассмотрены динамические методы оценки эффективности инвестиций, учитывающие стоимость денег во времени: чистый приведенный доход, индекс рентабельности, внутренняя норма прибыли, дисконтированный период окупаемости -и обозначены их критерии с целью принятия управленческих решений по реализации проектов. Во второй части статьи рассмотрены основные разделы MS Project Expert: проект, компания, окружение, инвестиционный план, операционный план, финансирование, актуализация и др. Особое внимание уделено разделам «Результаты» и «Анализ проекта». Инструментарий указанных разделов позволяет оперативно оценить доходность проекта и его состоятельность. В качестве примера рассмотрен IT-проект по разработке и реализации программного обеспечения, жизненный цикл которого включает четыре этапа: инициация, планирование, реализация и заверше-
