ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕПЛОФИЗИКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.212

Канарейкин А.И.

кан. техн. наук, доцент Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе, г. Москва, РФ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕПЛОФИЗИКЕ

Аннотация

В статье рассматривается понятие метода конформного отображения. Показано применение данного метода в теплофизике. А также разобрано решение одной задачи по теплофизике на основании метода конформного отображения. Решение является достаточно простым, что показывает преимущество рассмотренного метода и может быть полезным для практических навыков расчета ряда инженерных задач в области теплофизики.

Ключевые слова

Метод конформных отображений, конформное преобразование, функция комплексного переменного,

температура, граничные условия.

The method of conformal maps is a practical application of the theory of the function of a complex variable. A conformal map is a continuous map that preserves the shape of infinitesimal shapes. For the conformal mapping, the property of constant angles and constant extensions is satisfied. The name comes from the Late Latin-conformis-like, a continuous map that preserves the shape of infinitely small figures: for example, an infinitesimal circle remains an infinitesimal circle; the angles between the lines at the point of their intersection with each other do not change. The field of application of the conformal mapping method for calculating electric fields is two-dimensional electrostatic fields.

The conformal transformation maps each point z=x+j*y of a real computational field described by a complex plane to a point w=u+j of another complex plane, with a simpler configuration of the field. The main difficulty of the method is to find the type of function for a given real electrode system. In practice, when trying to find a conformal mapping function, either special catalogs of conformal maps are used, or they search for it by means of consecutive samples.

Transformations endowed with this property allow us to successfully solve problems of aero-and hydrodynamics, elasticity theory, field theory of various nature, and many others. We will confine ourselves to thermophysics.

When constructing conformal maps, the principle of matching boundaries is very useful.

Let us assume that in the simply connected domain D of the complex plane z, bounded by the contour y, a unique analytical function w = f(z) is given, which is continuous in the closure D' and reflects the contour у onto some contour y' of the complex plane w. If the contour traversal directions are preserved, then the function w = f (z) performs a conformal mapping of the region D of the complex plane z to the region D of the complex plane w bounded by the contour y' (fig. 1).

Figure 1 - Simply connected regions.

Let us consider a specific problem in thermophysics [1, p. 40]. The pipe of the radius a is placed at a given depth h. Find the steady-state temperature distribution in the soil surrounding the pipe, if it is zero on the ground surface, and the pipe temperature is T0 (fig. 2).

Figure 2 - Drawing of the pipe. Let be r = z : |z — h| = a a circle.

Let's denote U - the temperature of the earth at the point (x,y). It is known that U must be a harmonic function, i.e. the equation holds for it

d2U d2U

■ + ■

= 0

cX2 cy2

and in addition, it must satisfy the boundary conditions

U (x, y)x==0 = 0, U (x, y) r = To

(1)

(2)

Note that our domain is doubly connected. Let's map it conformally to a circular ring: K = {a : r < < 1} (fig. 3).

Figure 3 - Conformal mapping to a circular ring.

In a circular ring, the analogous problem is solved simply, namely: let be U - a harmonic function in the ring K satisfying the conditions:

U

= 0,

U

= T

(3)

Then the solution of the Dirichlet problem in the ring has the form

U = T log r H (4)

Find r. To do this, consider the point x=h+a. Its image will be a point lying on the circle H = r . Where

from

r

_ h+a-ilh2 -a2

h+a+il h2-a2

(5)

It is known that a fractional linear function has a circular property, namely: straight lines and circles are

H=1

H=r

ISSN 2410-6070_ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА_№4 / 2021

mapped to straight lines or circles (If a straight line or circle passes through a pole, then they are mapped to a straight line, and otherwise to a circle). Therefore, using a fractional-linear transformation, we map the area under consideration to a steep ring

z — c

( =- (6)

z + c

where c = -yjh2 — a2 We substitute in (4)

U (x, y) = T0log t So the solution of our main problem has the form

-4k2

(7)

T , <J(x2 — c2 + y2)2 + 4c2y2 T = —ln^--(8)

ln h+c (x — c)2 + y2

a

As we can see, the resulting expression turned out to be quite simple. Which shows the advantage of the conformal mapping method.

Thus, the paper reveals the concept of the conformal selection method, shows its application in thermophysics, and also analyzes the solution of one problem in thermophysics. Which can be useful for practical calculations of a number of engineering problems in the field of thermophysics. References:

1. Lebedev N. N., Skalskaya I. P., Uflyand Ya. S. Collection of problems in mathematical physics. Moscow: State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1955. 420p.

© KaHapeHKHH A.H., 2021

z

УДК: 62

Колядин П.Г.,

г. Смоленск

ОДИН ИЗ ПОДХОДОВ К ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Под операцией будем понимать деятельность сложной организационно-технической системы, управляемую из единого центра и направленную на достижение цели или решение поставленной задачи. При этом орган управления операцией имеет возможность распределять в соответствии со своим замыслом все выделенные на операцию людские и материальные ресурсы. Замысел - это представление органа управления об основных принципах и этапах осуществления операции до ее начала.

В управление сложной организационно-технической системы (СОТС) будет входить как выбор целей (задач), т. е. выбор операций, как видов целеустремленной деятельности, так и управление конкретной операцией с выбранной или поставленной извне целью.

Сложная организационно-техническая система, осуществляющая операцию, представляется в виде двух подсистем: управляющей (орган управления) и управляемой (объект управления). Параметры состояния управляемой системы обозначим вектором х(^=(х 1^), х2^), ..., хп(ф. Поскольку изменение состояния системы называется ее поведением, то, осуществляя операции, СОТС реализует некоторый тип поведения. Но поскольку группировка взаимодействует со средой, то осуществление операции изменяет как состояние группировки, так и среды. Далее, поскольку совокупность состояний группировки и среды

~ 53 ~