CC BY
21
Современные технологии. Механика и машиностроение
Рис. 4 показывает, что при аппроксимации разностью первого порядка получается завышенный результат (пунктирные линии на рис. 4). Различие между результатами расчета с использованием формул (3) и (4) варьируется в пределах 1020 °С в зависимости от величины шага Ay. Следовательно, использование аппроксимации третьего порядка точности взамен первого позволяет повысить точность расчета на 1,5 - 3%.
Таким образом, в статье разработан численный метод, обеспечивающий высокую точность расчета в диапазоне шагов, используемых на практике.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алмазно-абразивная обработка материалов. Справочник под ред. д-ра техн. наук проф. А.Н. Резникова. - М., Машиностроение, 1977.
2. Киселев В.С., Ковальногов В.Н. Теплофизический анализ концентрированных операций шлифования. - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - 140 с.
3. Сипайлов В.А. Тепловые процессы при шлифовании и управление качеством поверхности. - М.: Машиностроение, 1978. - 167 с., ил.
4. Смирнов В.А. Шлифование прерывистыми кругами с упругодемпфирующими элементами. - СПб.: Политехника, 2009. - 91 с.: ил. ISBN 978-5-73250931-1.
5. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 304 с. - ISBN 5-92210153-6.
6. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с. - ISBN 59221-0479-9.
7. Хусаинов А.Ш. Повышение производительности бездефектного шлифования заготовок клиновидных изделий: дис. ... д-ра техн. наук: 05.03.01 Ульяновск, 2006. - 425 с.
8. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Уравнение теплопроводности. Режим доступа: http://crecs.ru/ru/numlabs2/Heat_index.html
9. Якимов А.В. Прерывистое шлифование. Издательское объединение «Вища школа», 1986. - 176 с.
УДК 621.3 Пыхалов Анатолий Александрович,
д.т.н., профессор ИрГУПС, тел.: 8964И 45025 Пашков Виктор Павлович,
ассистент, соискатель ИрГТУ, тел.: 89647310675
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ТВЁРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА В МОДЕЛИРОВАНИИ ФИКСАЦИИ КОСТИ ПРИ ПЕРЕЛОМАХ
A.A. Pykhalov, V.P. Pashkov
USE OF THE METHOD OF FINAL ELEMENTS AND CONTACT PROBLEM OF HARD DEFORMING FRAME WHILE MODELING BONES FRACTIONS FIXATION
Аннотация. Рассмотрены актуальные вопросы создания математических моделей сборных конструкций «кость-имплантат» на примере фиксации переломов костей внутренними средствами фиксации.
Ключевые слова: математическое моделирование, метод конечных элементов, контактная задача, модуль упругости.
Abstract. Urgent questions of creating mathematical models of assembled constructions « bone-implant» by the example of bone fractures fixation by inner means of fixation are considered.
Keywords: mathematical modeling, finite element method, contact problem, modulus of elasticity.
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Во время всей жизни человека его кости постоянно испытывают сочетанное воздействие различных нагрузок и негативных факторов окружающей среды, которые могут приводить к переломам и снижению прочностных характеристик кости, а также к изменениям формы и структуры костной ткани.
По данным международной Ассоциации Остеосинтеза, в 1945 году около 70% людей, имевших травмы, связанные с повреждением костей бедра, при консервативном лечении после снятия гипсовой повязки оставались инвалидами [2]. Начались разработки новых методов лечения переломов. Интенсивно разрабатываются и применяются средства внешней и внутренней фиксации переломов. Внедрена практика создания механических моделей сборных конструкций фиксации переломов, для отработки вопросов проверки на прочность и жёсткость, приёмов достижения правильной репозиции отломков в процессе моделирования хирургической операции [2, 9].
Отсутствие достаточного объёма диагностической информации о характеристиках прочности костной ткани конкретного больного после установки средств фиксации может приводить к разрушению средств фиксации или костной ткани в местах установки элементов крепления [9].
Создание механических моделей и представление формы и свойств костной ткани с определённой степенью упрощения без учёта индивидуальных особенностей материала и формы костной ткани пациента снижает достоверность результатов исследований.
Применение современных средств внешней и внутренней фиксации переломов требует инженерных расчётов биомеханической системы «кость - средство фиксации». Сложность геометрии костей, выраженная анизотропия свойств костной ткани, необходимость учета контактного взаимодействия элементов системы усложняют применение традиционных методов расчёта. Решение вопроса в применении математического моделирования.
Целью настоящей работы является создание математической модели сборной конструкции «кость-имплантат» при фиксации поперечно-
го перелома в области диафиза бедра близкой по параметрам биологическому прототипу. Данная проблема решается в работе с применением метода конечных элементов (МКЭ) и решением контактной задачи теории упругости.
Математическое моделирование с применением МКЭ при использовании данных компьютерной томографии обеспечивает создание математических моделей костей человека, подобных биологическому прототипу, а кроме этого позволяет рассматривать напряжённо -деформированное состояние (НДС) сборных конструкций фиксации переломов при функциональной нагрузке.
Настоящее исследование включает в себя:
- создание математической модели МКЭ кости бедра и рассмотрения её НДС при функциональной нагрузке;
- создание математической модели сборной конструкции «кость - имплантат» фиксации поперечного перелома кости бедра, решение контактной задачи твёрдого деформируемого тела;
- проведение анализа НДС представленной сборной конструкции при воздействии внешней нагрузки.
Создание МКЭ модели здоровой кости состоит из ряда этапов.
1. Моделирование геометрии.
Создание геометрии адекватной биологическому прототипу реализовано на основе послойных изображений, полученных с помощью компьютерной томографии. Контуры сечений созданы в программном пространстве AutoCAD. Они установлены так, что образуют каркасную модель кости. Затем сформирована 3D твердотельная модель (рис. 1).
2. Определение свойств материала костной ткани.
Механические характеристики костной ткани конкретного человека являются индивидуальными и зависят от многих факторов. Модуль упругости, характеризующий упругие свойства компактной костной ткани бедра человека среднего возраста, при испытаниях на сжатие колеблется в пределах от 12500 до 41500 МПа [1].
Рентгенограмма Каркасная модель 30 модель
Рис. 1. Моделирование геометрии
Рис. 2. Определение механических характеристик материала костной ткани в эксперименте
Значение модуля упругости, полученное при испытаниях, позволяет характеризовать материал костной ткани как изотропный. Модуль упругости Е=17100 МПа принят на основе данных эксперимента [6] при нагрузке сжатия 3000 Н (рис. 2).
При испытаниях образцов компактной костной ткани человека отмечено изменение модуля упругости по секторам сечений кости и по высоте кости (рис. 3) [1], а также отмечена достоверная корреляционная зависимость между минеральной плотностью кости (МПК), определяемой с помощью компьютерной томографии, и
характеристиками прочности при исследовании костной ткани в области шейки бедра [4].
В работе анизотропия свойств материала компактной костной ткани по радиусу кортикального слоя аппроксимирована интегральной характеристикой (рис. 5). Моделирование свойств материала костной ткани реализовано относительно цвета пикселей цифрового изображения в рассматриваемом сечении. Каждому узлу сетки конечных элементов по радиусу М0 соответствует значение ЯСБ-цвета пикселя (рис. 4).
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
OX1 - осевое направление OX2 - радиальное направление OX3 - окружное направление Рис. 3. Ориентация образцов различной формы при определении свойств анизатропии свойств костной ткани
После определения среднего значения номера RGB-цвета всех пикселей оно отождествляется со значением модуля упругости, полученного на основе данных эксперимента. Для остальных номеров RGB-цвета определяется значение весового коэффициента K. Каждому пикселю цифрового изображения присвоен номер RGB-цвета. Это позволяет присвоить каждому номеру RGB-цвета значение модуля упругости Е1 = RGBi*K (рис. 5)
Рис. 5. Распределение значений механических характеристик материала костной ткани относительно оптической плотности по радиусу среза костной ткани
3. Разбиение твердотельной модели на конечные элементы.
Для составления конечноэлементной модели используется восьмиузловой изопараметрический гексаэдр, который чаще всего применяется для моделирования объёмного напряжённо -деформированного состояния (НДС) [7]. Данный тип конечного элемента позволяет проводить анализ объёмного НДС объекта исследования (рис. 6).
4. Задание граничных условий.
Выбран вариант «Опирание» в области проксимального отдела кости бедра.
5. Определение нагрузок.
Основной нагрузкой для кости бедра является сжатие частью массы тела. Под действием нагрузки сжатия в материале костной ткани возникают деформации изгиба и кручения.
Задачей при дальнейшем моделировании фиксации поперечного перелома кости в области диафиза является выбор места установки пластины исходя из условия «нераскрытия стыка» при функциональной нагрузке (рис. 7).
Рис. 4. Плотность костной ткани в узлах сетки конечных элементов
Рис. 6. Разбиение твердотельной модели на конечные элементы
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
Рис. 7. Действие сжимающей нагрузки
6. Статический расчёт здоровой кости на сжатие.
В результате статического расчёта кости под нагрузкой сжатия в области диафиза определены зоны наибольших напряжений сжатия и растяжения (рис. 8).
Зона наибольших напряжений растяжения в дальнейшем должна использоваться для размещения и установки пластины фиксации поперечного перелома.
Создание МКЭ модели сборной конструкции «кость - имплантат» включает выполнение ряда последовательных операций.
1. Выбор варианта фиксации перелома (рис. 9).
В качестве элементов внутренней фиксации переломов используются пластины из нержавеющей стали или пластины из титанового сплава. Элементами крепления являются шурупы, проходящие через два кортикальных слоя компактной костной ткани.
Процесс репозиции отломков должен обеспечивать правильное анатомическое положение сборной конструкции после операции. В зоне контакта обеспечивается компрессия при отсутствии функциональной нагрузки.
2. Составление конечноэлементной модели сборной конструкции «кость-имплантат» (рис. 10).
Конечноэлементная модель сборной конструкции включает в себя два отломка кости, пластину фиксации, восемь шурупов крепления. Ко-нечноэлементная модель сборной конструкции должна быть составлена так, чтобы обеспечивалась возможность установки контактных конечных элементов «узел в узел».
3. Решение контактной задачи твёрдого деформируемого тела (рис. 11).
Рис. 8. Напряжённо-деформированное состояние здоровой кости
Моделирование условий сопряжения конструкций проводится с использованием специального контактного конечного элемента, построенного с применением решения вариационного неравенства, проводимого на основе метода штрафных функций (или уравнения Фредгольма второго рода).
Рис. 9. Вариант фиксации перелома
Рис. 10. Конечноэлементная модель сборной конструкции «кость-имплантат»
Рис. 11. Граничные условия сопряжений сборной конструкции
Граничные условия сопряжения элементов сборной конструкции следующие:
- по поверхности сопряжения костных отломков без функциональной нагрузки - натяг, а при функциональной нагрузке - натяг, зазор, переходная;
- по поверхности контакта пластины фиксации и кости - переходная;
- по поверхности головки шурупа и поверхности под закладную головку на пластине - натяг;
- между боковой поверхностью стержня шурупа и поверхностью отверстия в пластине фиксации - зазор;
- между боковой поверхностью стержня шурупа и поверхностью отверстия в верхнем и нижнем кортикальных слоях компактной костной ткани - натяг.
После статического расчета на прочность сборной конструкции «кость-имплантат» она под-
готовлена к проведению анализа напряжённо -деформированного состояния.
4. Анализ НДС сборной конструкции (рис. 12).
При рассмотрении напряжённо -
деформированного состояния сборной конструкции под действием нагрузки сжатия определяется, что наибольшие напряжения растяжения возникают в пластине фиксации, а напряжения сдвига - в стержнях шурупов в районе контакта пластины фиксации и прилегающего кортикального слоя кости. В зоне контакта отломков в процессе действия цикла нагрузки не происходит раскрытия стыка со стороны, где отсутствует пластина фиксации. Это свидетельствует о правильном подборе и размещении средств фиксации.
Контактное взаимодействие отломков и других элементов сборной конструкции в области перелома свидетельствует о наличии нагрузок кручения под действием сжимающих усилий.
Результаты анализа сборной математической модели позволяют оптимально разместить и закрепить средства фиксации перелома, прогнозировать ход лечения. Методика апробирована в клинических условиях. Сроки выздоровления сокращаются с 5 месяцев до 3 месяцев (в 1,7 раза).
Реализация методологии математического моделирования элементов опорно-двигательного аппарата человека как сборной конструкции на основе метода конечных элементов с решением контактной задачи теории упругости является актуальным научным направлением. Эта методология позволяет решать на более высоком уровне информативности задачи диагностики, определения тактики лечения и прогнозирования хода лечебных мероприятий в области ортопедии.
В настоящее время проводится работа по составлению с применением метода конечных элементов и контактной задачи твёрдого деформируемого тела фрагментарной модели поясничного отдела позвоночника и таза человека. Целью исследования является влияние одного из патологических проявлений причинно-следственных взаимоотношений положения костей таза и позвоночника.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кнетс И.В. Деформирование и разрушение твёрдых биологических тканей / И.В Кнетс., Г.О. Пфафрод, Ю.Ж. Саулгозис. - Рига: Зинатне, 1980. - 319 с.
2. Руководство по внутреннему остеосинтезу / М.Е. Мюллер, М. Алльговер [и др]. - М.: Ad Marginem,1996.
3. Пичхадзе И.М. Биомеханика тазового кольца и его структурных элементов / И.М. Пичхадзе, А.Г. Хо-
лодкова // Вестник РАМН. - 2008. - № 8. - С. 44 -47.
4. Родионова С.С. Значение минеральной плотности и показателей качества костной ткани в обеспечении её прочности при остеопорозе / С.С. Родионова, М.А. Макаров, А.Ф. Колондаев, Н.С. Гаврюшенко, А.К. Морозов // Вестник травматологии и ортопедии им. Н.Н. Приорова. - 2001. - № 2. - С. 76 - 80.
5. Малышкина С.В. Экспериментальное моделирование в научных исследованиях Института патологии позвоночника и суставов им. проф. М.И. Ситенко / С.В. Малышкина // Травматология, ортопедия и протезирование. ГУ «Институт патологии позвоночника и суставов им. проф. М.И. Ситенко АМН Украины», Харьков. - 2007. - № 4. - С. 5 - 16.
6. Акулич Ю.В. Исследование напряжённо -деформированного состояния эндопротезированно-го тазобедренного сустава / Ю.В. Акулич, Р.М. Подгаец, В.Л. Скрябин, А.В.Скрябин // Российский журнал биомеханики. - 2007. - Том 11, № 4. - С. 9 - 35.
7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир. - 1975. - 542 с.
8. Бейдик О.В. Математический анализ различных вариантов наружного чрескостного остеосинтеза / О.В. Бейдик, А.Г. Ромакин, К.К. Левченко, А.Ю. Цыплаков, Д.В. Афанасьев, Н.А. Ромакина, А.П. Любицкий // Гений ортопедии. - 2002. - № 3. - С. 19 - 22.
9. Бондаренко А.В. Разрушение имплантатов при накостном остеосинтезе переломов длинных костей / А.В.Бондаренко, В.В. Пелеганчук, Е.А. Распопова, С.А. Печенин // Вестник травматологии и ортопедии им. Н.И. Приорова. - 2004. - № 2. - С. 41 - 44.
10. Шимкович Д.Г. Femap & Nastran. Инженерный анализ методом конечных элементов - М.: ДМК Пресс, 2008.
