CC BY
14
УДК 532.5
Ю.В. БРАЗАЛУК, Д.В. ЕВДОКИМОВ, А.А. КОЧУБЕЙ, Р.А. ШУЛЬГА
Днепровский национальный университет имени Олеся Гончара
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЯ ПУАЗЕЙЛЯ В КАНАЛАХ СЛОЖНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Течение Пуазейля - ламинарное течение вязкой жидкости в трубах и каналах постоянного поперечного сечения - является простейшей и наиболее изученной математической моделью динамики вязкой жидкости, однако очень широкое распространение такого рода течений в современной технике заставляет совершенствовать методы расчета рассматриваемого класса движений жидкости. В последние годы исключительно актуальными в различных областях техники стали течения Пуазейля в каналах сложного, многосвязного поперечного сечения, для исследования которых следует прибегать к численным методам. В настоящей работе рассмотрены математические и вычислительные аспекты применения к указанному классу течений метода граничных элементов. Использовались как традиционные, так и разработанные авторами алгоритмы данного метода. Полученные результаты могут быть использованы в гидротехнике, энергетике, транспортном машиностроении, металлургической и химической промышленностях.
Ключевые слова: течение Пуазейля, метод граничных элементов, уравнение Пуассона, сопротивление трения, профиль скорости.
Ю.В. БРАЗАЛУК, Д.В. ЕВДОКИМОВ, О.О. КОЧУБЕЙ, Р.О. ШУЛЬГА
Дншровський нащональний ушверситет iменi Олеся Гончара
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТ1В ДЛЯ РОЗРАХУНКУ ТЕЧ11 ПУАЗЕЙЛЯ В КАНАЛАХ СКЛАДНОГО ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕР1ЗУ
Течiя Пуазейля - ламтарна течiя в'язкоХрiдини в трубах i каналах посттного поперечного перерезу - е найпростшою i найбшьш вивченою математичною моделлю динамжи в'язко'1 рiдини, проте дуже широке поширення такого роду течш в сучаснт технiцi змушуе удосконалювати методи розрахунку даного класу рухiв рiдини. В останнi роки виключно актуальними в р1зних областях техтки стали течИ Пуазейля в каналах складного, багатоз'вязного поперечного перерiзу, для до^дження яких aniд вдаватися до чисельних методiв. У дант роботi розглянуто математичнi та обчислювальт аспекти застосування методу граничних елементiв до зазначеного класу течт. Використовувалися як традицiйнi, так i розроблеш авторами алгоритми даного методу. Отриман результати можуть бути використан в гiдротехнiцi, енергетицi, транспортному машинобудуваннi, металургшнш та хiмiчнiй промисловостях.
Ключовi слова: течiя Пуазейля, метод граничних елементiв, рiвняння Пуассона, отр тертя, профть швидкостi.
Iu.V. BRAZALUK, D.V. YEVDOKYMOV, O.O. KOCHUBEY, R.O. SHULHA
Oles Honchar Dnipro National University
APPLICATION OF THE BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR CALCULATION OF THE POISEUILLE FLOW IN THE CHANNELS OF A COMPLEX CROSS-SECTION
Poiseuille flow, that is a steady-state laminar flow of viscous fluid in pipes or channels of constant cross-section in longitudinal direction belongs to the most wide-spread in modern engineering practice. In the same time, the mathematical model of Poiseuille flow, that is Dirichlet problem for Poisson equation, formulated in cross-section of the channel, is linear and quite simple in comparison with mathematical models of other flows. It was managed to obtain enough simple analytical solution of Poiseuille flow problem for channels of canonical geometrical shape of cross-sections (circular, elliptical, rectangular, and annular) using the mentioned mathematical model. These solutions are included in numerous text-books on fluid mechanics and hydraulics and became commonly known. However development of modern techniques and technologies stimulated by different reasons often forces to resort to channels of non-canonical cross-section shape. Nevertheless a mathematical model of Poiseuille flow saves its simplicity for such channels, enough sophisticated shape of the solution domain leads to sufficient computational difficulties. To overcome the mentioned difficulties, boundary element method was applied as in traditional algorithmical form, as computational schemes proposed by the authors of the present work. Application of boundary element method provides effective calculations of Poiseuille flow in channel of sophisticated cross-section shapes, beside of that, it gives an opportunity to develop effective computational tricks for qualitative and quantitative analysis of Poiseuille flows. The computational approach proposed here is easy for integration with existing and newly developing software on the base of boundary element method. An effectiveness of the proposed approach is shown on numerical solutions of illustrative test problems and accuracy of the obtained
numerical solutions were analyzed using the special technique, proposed in the previous works of the authors of the present paper. Computational schemes and numerical techniques developed in the present investigation can be used in hydraulic engineering, power engineering, and transport engineering, metallurgical and chemical industries.
Keywords: Poiseuille flow, boundary element method, Poisson equation, frictional resistance, velocity
profile.
Постановка проблемы
В настоящее время во многих областях современной техники и технологий появилась тенденция проектных решений, предполагающих, что трубы, кабеля и другие протяженные конструкции помещаются в каналы, по которым протекает жидкость, например, машинное масло. Протяженные конструкции образуют в этих каналах весьма сложное поперечное сечение. Расчет даже простейшего ламинарного течения, называемого течением Пуазейля, в каналах такого сечения представляет собой нетривиальную вычислительную проблему. Однако потребности практики вынуждают разрабатывать методы анализа течений Пуазейля во все более сложных каналах. Одним из наиболее эффективных инструментов решения линейных краевых задач эллиптического типа в областях сложной геометрической формы является метод граничных элементов, поэтому представляется вполне естественным, что этот метод окажется удобным и для расчета течений Пуазейля, но в то же время, как и при применении любого нового численного метода, при использовании вышеназванного метода граничных элементов возникают множественные вопросы методологического характера и необходимость изучения вычислительных аспектов предложенного подхода, чему, вообще говоря, и посвящена настоящая работа. Актуальность подобного рода исследования определяется исключительной важностью вычислительного расчета течений Пуазейля для многочисленных областей и направлений развития современной науки и техники, в частности, гидротехники, энергетики (особенно для расчетов трубных теплообменников), транспортного машиностроения и ракетно-космической техники, металлургической и химической промышленности.
Классическое течение Пуазейля - установившееся ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе постоянного поперечного течения - является одним из наиболее изученных в современной гидромеханике течений. Для случаев трубы кругового поперечного сечения для течения Пуазейля построены исключительно простые аналитические решения в квадратурах. Для других канонических форм поперечных сечений аналогичные решения будут уже не столь просты, однако также могут быть построены аналитическими методами в форме, удобной для дальнейшего практического исследования. Разумеется, что в последнем случае наряду с аналитическими методами решения могут быть использованы и численные подходы, легко реализуемые в областях канонической геометрической формы. Однако потребности практики на современном уровне развития науки и техники заставляют рассматривать течение Пуазейля в областях, где геометрическая форма весьма далека от канонической, в том числе, в многосвязных областях, содержащих многочисленные замкнутые включения. Для такого рода областей вопрос об эффективности исследовании аналитических методов решения краевых задач для уравнения Пуассона, описывающих течение Пуазейля, не стоит вовсе, а применение численных методов вызывает весьма заметные трудности. Упомянутые трудности относятся к одной из основных проблем современной вычислительной математики [1] - решение краевых задач в областях сложной геометрической формы - и зачастую приводят к невозможности эффективно применять для численного расчета традиционные численные подходы - методы конечных элементов и конечных разностей. Как отмечалось в той же работе [1], в подобных случаях следует прибегать к так называемым альтернативным методам, наиболее известный из которых - метод граничных элементов - относится к вычислительной теории потенциала и позволяет локализовать решение линейных краевых задач эллиптического типа на границе области решения, что, безусловно, дает возможность экономить вычислительные ресурсы на построении и обработке расчетных сеток внутри области решения. Не останавливаясь подробно на достоинствах и недостатках метода граничных элементов как вычислительного инструмента, отметим только исключительно высокую точность этого подхода, что является следствием отказа в данном методе от численного дифференцирования в пользу численного интегрирования. Хотя идея применения метода граничных элементов для расчета течений Пуазейля отнюдь не нова, многие вычислительные аспекты этого подхода, связанные, в первую очередь, с течениями Пуазейля в каналах, экстремально сложных по форме сечений, до настоящего времени остаются неизученными. Так, например, в каналах сложного сечения зачастую возникает необходимость в качественном и количественном анализе внутренней структуры релевантного течения, что не было сделано и не может быть сделано с помощью традиционных инструментов граничноэлементного анализа. Таким образом, проблема, рассматриваемая в настоящей работе, состоит не столько в применении метода граничных элементов для расчета течения Пуазейля, что может быть сделано при помощи традиционных для этого метода алгоритмов, сколько в совершенствовании алгоритмических схем данного метода для рассматриваемого класса задач, повышении его вычислительной эффективности, создании инструментария качественного и количественного анализа полученных решений, а также рассмотрении ряда непосредственно связанных с этой проблематикой методологических вопросов.
Анализ последних исследований и публикаций
Как отмечалось выше, течение Пуазейля является общеизвестной физической и математической моделью классической гидромеханики, которая для случая течений в трубах канонического поперечного сечения, особенно круглых трубах, весьма тщательно исследована как экспериментально, так и теоретически, а результаты этих исследований нашли применение в обширнейшей инженерно-технической практике. Не удивительно, что течение Пуазейля вошло как неотъемлемая часть в классические и современные учебники по гидромеханике [2-4]. Интенсивное применение течений в трубах и каналах постоянного поперечного сечения в самых разных областях современной науки и техники поддерживает неуменьшающийся интерес исследователей к этому классу течений [5-9]. Однако, возникшая в последнее время тенденция применять в технических устройствах каналы, вообще говоря, произвольного сечения, содержащие внутри себя трубы, кабели и другие протяженные объекты, не нашла в специальной литературе сколько-нибудь удовлетворительного отражения из-за возникающих в таких задачах вычислительных трудностей (о характере этих трудностей уже было сказано выше). Идея применения метода граничных элементов [10-11] для расчета течения Пуазейля достаточно давно и широко известна [5-9], но до сих отсутствуют работы, посвященные применению этого метода в случаях предельно сложных, многосвязных сечений каналов. Более того, авторы настоящей работы в последние годы сталкивались с попытками расчета течений Пуазейля на основе универсальных гидродинамических пакетов прикладных программ, что, безусловно, крайне затратно, неэффективно и нерационально. Вследствие исключительно широкого распространения течений Пуазейля в современной технике, расчеты таких течений проводятся многократно с различными инженерно-техническими целями в самых разнообразных организациях. Поэтому разработка высокоэффективного метода решения подобного рода задач, учитывающих сравнительную простоту математической модели данного течения, сулит немалые преимущества благодаря сокращению времени расчета по сравнению с универсальными численными методами, повышению точности расчета по сравнению с теми же методами, автоматизации анализа и существенного сокращения трудозатрат на него по сравнению с аналитическими методами, существенному расширению спектра эффективно решаемых задач по сравнению как с универсальными численными, так и с аналитическими методами. Перечисленные преимущества, обеспечиваемые рациональным выбором расчетного подхода, очевидно, будут иметь не только научно-технический, но и заметный экономический эффект.
Со времени появления классического метода граничных элементов, то есть, конца семидесятых -середины восьмидесятых годов прошлого века, итогом которого можно считать выход монографий [10-11], рассматриваемый метод претерпел множество изменений и усовершенствований, основные тенденции которых отражены в работе [12]. Ряд исследований, в том числе разработки авторов настоящей статьи, были направлены на повышение эффективности применяемого вычислительного аппарата, в частности, в работах [13-14] были предложены алгоритмы метода граничных элементов с точками коллокации вне актуальной границы области (регулярный метод) и интегрированием по реальной (не аппроксимированной) границе, что позволяет значительно повысить точность вычислений. В работе [15] был предложен эффективный итерационный алгоритм, позволяющий в рамках одной расчетной схемы метода граничных элементов использовать численные и аналитические решения частных задач гидродинамики. Наконец, точность полученных численных результатов в работе [16] предложено оценивать по специально разработанной методике, основанной на анализе результатов численного решения специально подобранных тестовых задач, имеющих аналитические решения в квадратурах, что, безусловно, повышает достоверность полученных результатов.
Цель исследования
Как всякая комплексная работа, настоящая статья преследует несколько разноплановых целей, основной из которых является обобщение математической модели и расчетных схем для течения Пуазейля на случай труб и каналов со сложным поперечным сечением. Достижение указанной общей цели невозможно без реализации ряда частных целей и решения связанных с ними специальных задач. К таковым относятся, во-первых, разработка эффективного алгоритма расчета течения Пуазейля в канале сложного поперечного сечения, доказательная демонстрация его точности и экономичности, во-вторых, разработки научно-методических основ качественного и количественного анализа полученных численных решений задач о течении Пуазейля, в-третьих, анализ путей практического применения полученных результатов расчета течения Пуазейля и разработанных методик его анализа.
Изложение основного материала исследования
Математическая постановка задачи. Поскольку течение Пуазейля общеизвестно в современной гидромеханике [2-4], не будем здесь останавливаться на выводе соответствующих уравнений и анализе полученных аналитических решений, но, дабы избежать терминологической путаницы, будем придерживаться системы обозначений и терминов, принятой в монографии [3]. Течение Пуазейля описывается следующим уравнением Пуассона в декартовой ортогональной системе координат, оси Ox, Oy
которой параллельны поперечному сечению цилиндра, а ось Oz направлена параллельно образующей цилиндра:
( я2 я2 ^
д w д w + -
хдх 2 ду \
где, как обычно, / - динамическая вязкость жидкости, w - скорость жидкости в направлении оси Ог, р - давление. При этом в течении Пуазейля компоненты скорости жидкости, параллельные поперечному сечению полагаются нулевыми, и
2
др
(1)
др п др _ др — = 0, — = 0, — = const. дх ду дх
Дополним уравнение (1) граничными условиями Дирихле:
(2)
w
= 0,
(3)
т- др
где Г - общая граница течения в поперечном сечении. При дальнейших рассуждениях величина —
дг
полагается заданной, если не указанно обратное, и из уравнения баланса сил [3]:
дР =
дг дп
Г
дп
(4)
Как отмечалось выше, задача (1)-(3) с дополнительными соотношениями (4) легко решается для простейших форм поперечного сечения, в частности, для круга, где для этой задачи получены простые аналитические решения в квадратурах. В настоящей же работе будет рассмотрен случай сложной многосвязной области, где
Г = U Г,
i=1
(5)
где Г - замкнутые, непересекающиеся контура.
Метод решения. Введем функцию щ , такую, что
Аыо = 1, 1 др
(6)
где Д - оператор Лапласа. Тогда функция--является частным решением уравнения (1), то есть,
/ дг
функция
будет удовлетворять уравнению Лапласа
с граничными условиями
1 др
u = w---uo
U дх
2 2 д u д u - + —^ = 0,
дх2 ду
2
I 1 др
u Г =---Г"u0.
и oz
(7)
(8)
(9)
В математической физике показано, что уравнению (6) удовлетворяет бесконечное число функций, однако здесь желательно было бы использовать функцию и§ , имеющую наиболее простой и удобный для вычислений вид, например
u0(х, У) =
2 2 х2 + У2
4
(10)
Применим к краевой задаче (8), (9) традиционную методику теории потенциала для уравнения Лапласа [10-11]:
с(хо,Уо)и(хо,уо) = [g(х,х0,у,уо)^(х,у)&(х,у) -[и(х,у) д(хХ(0,У,Уо) ёБ(х,у), (11) Г дп Г дп( х, у)
где с - функция расположения точки (хо,уо) относительно области течения О и ее границы Г, определяемая для гладкой границы Г следующим образом:
1, (X0, Уо) е D;
с( X0, Уо) = 11/2,( X0, Уо) еГ; (12)
_0, (Xo,Уо) ^ D,(Xo,уо) ^ Г, точка (Xo,Уо) называется точкой наблюдения и в данном случае играет роль точки коллокации, точка (х,у) называется точкой источника; в качестве функции g(x,Xo,у,Уо) можно использовать либо фундаментальное решение уравнения Лапласа в плоском случае (ро
1 I 2 2
Po(x, Xo, у, Уо) = - — l^V(x - Xo) + (у - Уо) , (13)
либо некоторую функцию Грина, в данном случае задачи Дирихле для уравнения Лапласа, но выбор между этими возможностями должен быть сделан после анализа конкретной конфигурации области решения, хотя обычно предпочитают использовать универсальное представление (13).
Разобьем границу области решения Г некоторым образом на части Г^, которые будем называть
ды
граничными элементами, и аппроксимируем на каждом из них неизвестную функцию — некоторой
дп
наперед заданной пробной функцией, обозначенной здесь через | — | Функция | — | включает
\дп )к \дп )к
некоторые, подлежащие определению произволы, для нахождения которых потребуем выполнения уравнения (11) в заданном числе точек коллокации (%от, Уот). Простоты ради, здесь и далее будем полагать, что число неизвестных произволов и заданных точек коллокации равно числу граничных
(ды I
элементов К , то есть, функция I — I на граничном элементе является постоянной (метод граничных
\дп )к
элементов нулевого порядка точности). Отметим, что в зависимости от расположения точек коллокации на границе или вне ее, форма граничного элемента должна аппроксимироваться, например, отрезком прямой, или может не аппроксимироваться, что несколько сложнее в вычислительном плане, но дает заметный выигрыш в точности [13-14]. Тогда
К ( ды I ды
с(х0т, У0т )ы (х0т, У0т ) = £1 Т" I Г &(x, х0т, У, У0т ) (x, У^(x, У)
к=1Удп )к Г дп
к (14)
- Г"(х,у) дg(Х,Х0т,у,у0т) (х,у).
Г ^ дп(х,у) К
Представление (14) является несколько нетрадиционным для метода граничных элементов, поскольку последний интеграл в правой части не заменен суммой по граничным элементам с аппроксимацией функции ы (х, у), но в данном случае это необязательно в зависимости от формы области решения. Соотношение (14) представляет собой (после вычисления необходимых интегралов) систему
(ды Л „
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных I — I . В результате решения этой
\дп )к
(ды Л я
системы получим значения I — I , то есть, с точки зрения теории потенциала, задача будет решена
\дп ) к
полностью, так как, используя соотношение (14), решение может быть приближенно вычислено в любой точке внутри области решения.
Анализ полученных результатов. Согласно предоставлениям (7):
/ ч / ч 1 др
м/( х, у) = ы( х, у) + ыо. (15)
/и дz
Для практических целей интерес предоставляет распределение скорости w по области D, в частности, нахождение локальных и глобальных максимумов скорости w, и расход жидкости через сечение канала.
Найдем локальные экстремумы функции w градиентным методом, для этого возьмем на границе Г достаточно репрезентативное множество точек, например, середин граничных элементов, и из каждой, из выбранных точек, с достаточно малым шагом в направлении градиента функции w построим новую точку и
В1СНИК ХНТУ №3(66), ТОМ 1, 2018 р.
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ Ф1ЗИЧНИХI ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ПРОЦЕС1ВI ТЕХШЧНИХ СИСТЕМ
так далее, пока не будет достигнут максимум, где, как известно, градиент равен нулю (в численной
( с№ с№ Л
продифференцируем равенство (15) и в
процедуре достаточно мал). Для определения grad w -силу определения (10) получим:
дх ' ду
дw ди + 1 др х
дх дх и дг 2'
дw ди + 1 др у
ду ду и дг 2 '
(16)
ди ди
а значения —,— найдем, почленно продифференцировав основное соотношение теории потенциала (11).
дх ду
ди дхо
(хо,уо) -{М^д^ д-П(х,у^(х,у) -|и(х,у) д2*(уо) ¿Б(х,у), -1 дхо дп ^ дхоодп
дп
(17)
г г
ди (хо, уо) -¡д§ (х, д0, у,уо) дп (х, у^ (х, у) -|и( х, у)д2 (х;х0;у,уо) ¿б (х, у), у 0 Г у 0 п Г у0 п
где внутри области О дифференцирование по хо, уо как по параметрам, всегда может быть выполнено без
потери сходимости интегралов. На границе Г этот вопрос несколько сложнее, но точка (хо,уо) всегда
может быть смещена на малое расстояние внутрь области решения О, где формально указанные проблемы отсутствуют.
Построив таким образом множество кривых, идущих от границы к локальным экстремумам скорости, получим не только положение локальных экстремумов, но и удобную визуализацию поля течения. Если же указанную визуализацию дополнить построением линий равных значений функции w, что тоже делается с помощью формул (16), то визуализация поля течения станет практически исчерпывающей. В силу соотношений (4) и (7):
др Г ^ г(ди 1 др дио Л ,„ др г дио
Г ^ ,„ Г ш
- и I — — и 11--+
дг 1^дп дп
Г
Г
ди ■ 1 дрдио ^ — * [^ + и|^р, г Г п п
дп и дг дп
Г
откуда
/Г
^ — и[ 1 -[ дио dS дг Г дп \ Г
Из соотношения (19) следует еще одно требование к выбору функции ио :
[^ dS Ф 1, £ дп
\
(18)
(19)
(2о)
но, поскольку кривая Г практически произвольная, то невыполнение условия (20) следует считать редким случаем, легко устранимым изменением функции ио .
Наконец, найдем расход жидкости Q через поперечное сечение О:
Q —1| wdхdy —1| w
( д2ио + д2ио Л
О
О
дхг
ду'
II
О
II
д ( дио Л д
-I w-
+ -
дио
w-
дх ^ дх ) ду I ду I дх дх ду ду
dхdy —
дw дио дw дио
— w
дио дп
dS -
О
д ( дw Л д
—I ио— И--
дх ^ дх ) ду
ио
дw ду
ио
(я 2 д2 Л
д w д м +
дх 2 ду
2
dхdy —
[wдиоdS - [ио дWdS + [[ио
Ям Ям
дw
дп
дп
1 др и дг
Г Г О
где первый интеграл в правой части (21) равен 0 в силу условия (3), второй интеграл в силу (7)
г г ( ди 1 др дио ^ г ди 1 др г дио
Ги0— ёБ = |и0| + = 1 иот-+ *] ио—0ёБ. (22)
Г дп Г у дп / дг дп ^ Г дп / дг Г дп И последний интеграл в (21)
Ц ио ——ёхёу = ——Ц иоёхёу, (23)
О и дг и дг
введем векторную функцию А такую, что
ёыА = ио, (24)
например, с учетом (10)
А = {[ ио«Х,| иоёу}=
( 3 2 ^ х ху
12 4
у
( 2 3 ^ х У +
4 12
/
(25)
тогда
1 др 1 др
[[ио--ёхёу =--[[А ■ пёхёу. (26)
О / дг / дг ••
Таким образом, расход жидкости через сечение О полностью может быть выражен через интеграл
др
по его границе. В последний интеграл в выражении (22) и в выражение (26) входит сомножитель —, а в
дг
первый интеграл в (22) не входит, однако данный сомножитель входит как масштабирующий коэффициент
_ др в граничные условия (9), то есть, расход ^ пропорционален градиенту давления —, что и следовало
дг
ожидать по аналогии со случаем круглой трубы.
Для иллюстрации предложенного подхода были проведены расчеты различных конфигураций поперечных сечений, результаты которых приведены также на рисунках и в таблицах.
Выводы
Основным результатом настоящей работы является систематическое исследование методических вопросов применения метода граничных элементов для расчета течения Пуазейля в канале произвольного поперечного сечения. Несмотря на кажущуюся очевидность и простоту заявленной тематики исследования, оно потребовало решения ряда нетривиальных задач. Благодаря проведенной работе удалось значительно расширить спектр течений Пуазейля, поддающихся эффективному расчету.
Следует отметить, что представление функции ио (10) является неединственным, и использование альтернативных частных решений ио может дать определенные преимущества при численном решении, однако сложные представления функции ио , имеющие особенности и специфические свойства, могут породить, вообще говоря, непредсказуемые трудности в расчетах. Проблема выбора частных решений, используемых для упрощения исходных краевых задач, является общей для всей современной вычислительной математики, и, к сожалению, мера исследованности этой проблемы никак не может считаться удовлетворительной. Действительно, с точки зрения математики, все частные решения, удовлетворяющие исходному неоднородному уравнению, равноправны и равноприменимы, однако при использовании разных частных решений получаются разные краевые задачи, подлежащие численному решению. Нелепо было бы ожидать, что численное решение совершенно различных краевых задач, сформулированных, правда, в одной и той же области решения и решенных одним и тем же численным методом, будут иметь близкие структуры погрешности, хотя определенная корреляция между полями погрешности, конечно, будет наблюдаться. При однократном решении задачи такие различия, не превосходящие общих оценок погрешности использованного численного метода, не будут существенны и, наверняка, будут приемлемы в силу выбора расчетной схемы с известными оценками погрешности, которые удовлетворяют исследователя. Однако при многократном решении задачи рассматриваемые различия, имеющие систематический характер, могут накапливаться и приводить к неприемлемой системной ошибке. В настоящей работе не был рассмотрен вопрос об использовании альтернативных представлений функции ио , поэтому следовало бы рекомендовать его в качестве тематики дальнейших исследований.
Как отмечалось выше, вопрос об использовании функций Грина для некоторых составляющих частей общей границы области также не может быть разрешен однозначно, а должен быть проанализирован для каждой конкретной задачи на уровне рациональных рассуждений. Использование же алгоритмов, основанных на метода Блоха-Гиневского [15], несомненно может быть реализовано, поскольку они существенно сокращают время счета, но, правда, несколько снижают точность вычислений.
Перспективы дальнейших исследований в рассматриваемом направлении видятся в провидении
массовых прикладных расчетов для нужд науки и индустрии; усложнении граничных условий для течения
Пуазейля; изучении процессов переноса в течениях Пуазейля; разработке методов расчета течения Пуазейля
с малыми возмущениями.
Список использованной литературы
1. Евдокимов Д.В. Анализ тенденций развития современного математического и численного моделирования / Д.В. Евдокимов, А.А. Кочубей, Н.В. Поляков // Вюник Дншропетровського ушверситету. Серiя: Моделювання. - 2оо9. - Вип. 1. - № 8. - С. 5-17.
2. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - М.: Физматгиз, 1965.
- Т. 1. - 758 с., Т. 2. - 772 с.
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. - М.: Наука, 1970. - 9о4 с.
4. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости: Монография / Дж. Бэтчелор. - М.: Мир, 1976. - 756 с.
5. Шиллер Л. Движение жидкостей в трубах / Л. Шиллер. - М.-Л.: ОНТН, 1932. - 230 с.
6. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах / Б.С. Петухов.
- М.: Энергия, 1967. - 412 с.
7. Павловський В.Г. Особливосл гiдродинамiки i теплообм^ в некруглих каналах / В.Г. Павловський. -Харшв: НТУ "ХШ", 2оо6. - 104 с.
8. Гаев Е.А. Моделирование стабилизированного потока вязкой жидкости в некруглых каналах с легкопроницаемой шероховатостью / Е.А. Гаев, О.М. Бердник // Прикладна пдромехашка. - 2о11. -Т. 13. - № 2. - С. 3-16.
9. Деменок С.Л. Теплообмен и гидравлическое сопротивление в трубах и каналах / С.Л. Деменок, В.В. Медведев; науч. ред. В.В. Медведев. - Санкт-Петербург: Н-Пром Бюро, 2012. - 285 с.
10. Бреббия К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. - М.: Мир, 1987. - 524 с.
11. Бенерджи П. Метод граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. - М.: Мир, 1984. - 494 с.
12. Поляков Н.В. Вычислительная теория потенциала. Современное состояние и перспективы использования в механике сплошной среды. Часть 1. Линейные задачи / Н.В. Поляков, Д.В. Евдокимов // Вюник Дншропетровського ушверситету. Серiя: Мехашка. - 2оо6. - №2/1. - С. 7-25.
13. Евдокимов Д.В. Об одном варианте регулярного метода граничных элементов / Д.В. Евдокимов // Вюник Дншропетровського ушверситету. Серiя: Мехашка. - 1999. - Вип. 2. - Т. 1. - С. 150-156.
14. Евдокимов Д.В. Разработка прямых регулярных алгоритмов вычислительной теории потенциала с точками коллокации внутри области решения / Д.В. Евдокимов // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2о15. - № 2/7 (74). - С. 16-25.
15. Бразалук Ю.В. Численная реализация обобщенного метода Блоха-Гиневского / Ю.В. Бразалук, Д.В. Евдокимов, Н.В. Поляков // Вюник Дшпропетровського ушверситету. Серiя: Мехашка. - 2о13. -Вип. 17. - Т. 1. - С. 35-51.
16. Бразалук Ю.В. Совместное применение метода малого параметра и метода граничных элементов для численного решения эллиптических задач с малыми возмущениями / Ю.В. Бразалук, Д.В. Евдокимов, Н.В. Поляков // Вюник ХНУ. 2оо5. - № 7о3. - С. 50-66.
