Применение метода эффективного гамильтониана в динамике открытых квантовых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.145

А. И. Иванов, А. А. Иванов

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭФФЕКТИВНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА В ДИНАМИКЕ ОТКРЫТЫХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

Показано, что уравнение Линдблада для измеряемой квантовой системы в конечномерном гильбертовом пространстве можно записать в виде уравнения Шредингера в гильбертовом пространстве большей размерности. Это уравнение можно рассматривать как уравнение эволюции объединенной системы, состоящей из двух подсистем: измеряемой и вспомогательной. Такое уравнение допускает решения в виде перепутанных состояний.

The article shows that the Lindblad Master Equation for finitedimensional Hilbert space can be presented as a Schrödinger Equation on a Hilbert space of greater dimension. This equation can be considered as an equation of the evolution of an integrated system consisting of two subsystems: observational and auxiliary ones. This equation allows solutions in the form of entangled states.

Ключевые слова: уравнение Линдблада, эффективный гамильтониан, открытая квантовая система.

Keywords: the Lindblad Master Equation, effective Hamiltonian, open quantum system.

Введение

В случае открытой квантовой системы в рамках техники проекционных операторов Накаджима — Цванцига, можно получить уравнение эволюции — управляющее уравнение (master equation)

Р i [Й, p(t)] + \k ts [p(t )]&,

dt h J

0

где p = Tr (X) — статистический оператор рассматриваемой системы; X — оператор плотности объединенной системы (рассматриваемая система и ее окружение). След берется по независимым переменным, характеризующим окружение; f — гамильтониан рассматриваемой системы (без взаимодействия с окружением), Kt S — ядро интегрального

оператора (определяет описываемую "память" системы — эволюцию до момента t).

Для большинства приложений достаточно хорошим приближением является приближение Борна — Маркова, согласно которому ядро интегрального оператора представлено в виде

к, s т)] * Kö(t - s)p(s).

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2009. Вып. 4. С. 25 — 30.

В этом случае не учитывается предыдущая история эволюции системы, а динамика такой системы называется марковской. В данном приближении уравнение эволюции может быть записано в виде локального во времени уравнения:

где Xt — линейное отображение, являющееся эрмитовым, бесследовым.

Линдблад [1] показал, что управляющее уравнение может быть приведено к виду:

^ = - h [й, р] - 2 X (Г+Г р+&,+Г - 2Г рГ+). (1)

і

Рассмотрим двухуровневый атом с двумя различными состояниями

1 и |2, облучаемый электромагнитным полем на резонансной частоте. Удобно описать этот атом в терминах трех операторов Паули:

^ = |1)(2| + |2)(1|, d2 = i (l)(2 -|2)(1|), =|Щ -H(l|.

Для двухуровневого атома, облучаемого электромагнитным полем, эти операторы отвечают вещественной и мнимой частям диполя и разности населенностей уровней соответственно.

В представлении взаимодействия гамильтониан, описывающий резонансное взаимодействие с полем (которое считаем классическим), имеет вид

й =

2 1

где Q — частота Раби.

Положим далее, что двухуровневый атом в электромагнитном поле подвергнут серии мгновенных нежестких измерений, имеющих целью детектировать состояние атома.

Такие нежесткие измерения могут быть описаны в рамках подхода, который называется операторной мерой вероятности (Probability Operator Measure — POM)[2]. В рамках этого подхода вводятся операторы П, являющиеся эрмитовыми положительно определенными: и удовлетворяющими условию

*,П = 1

Каждый элемент П соответствует исходу измерения и представляет собой вероятность этого исхода, который может быть получен при измерении. В рассматриваемом случае ¿=1,2 и POM-элементы выберем в виде

П =Р 2)(2| + (1 - р)|1)(1|, Л2 =р|1)(1| + (1 - р)|2)(2|

в соответствии с измерениями, детектирующими атом в состоянии 1 или 2 соответственно. Здесь 0<p<1/2 — вероятность ошибочного детектирования состояния атома. Если p=0, то измерение считается идеальным, для p=1 / 2 измерение не дает никакой информации о системе.

Для того чтобы записать управляющее уравнение, введем эффективные операторы. Они не определяются однозначно элементами POM, но для простоты выберем их в виде:

А =М 2)(2| +4 (1 - р ) |1)(1| = А+,

а2 =4р 111+4(1 - р) 2 2 = А+.

Полагая теперь Г = А^]Я и Г2 = А24Я, где Я — частота, с которой проводятся измерения, и подставляя их в уравнение (1), получим:

дТ = - Т |Д’Лі+ Я(АіМ-+ + А2рА+2 і -р) = Р(^3 - Р) . (2)

дґ п 2

Я _______

Здесь у = у(^(1 - р) --,[р )2 — эффективная частота, характеризующая

частоту наблюдений и точность измерений. Уравнение (2) описывает измерение наблюдаемой величины *3, которая имеет смысл разности заселенностей уровней.

Эффективный гамильтониан

Рассмотрим метод решения уравнения Линдблада (1), основанный

2

на представлении статистического оператора в виде вектора п — мерного гильбертова пространства, ассоциированного с данной системой. С этой целью заметим, что матрице X = х^ є М (п; С) можно поставить в

соответствие вектор \Хх'! є Сп2 с компонентами, расположенными в следующем порядке:

Х = (Х] ) ^ I Х) = (х11 ’ Х12 >-> х1пV, хп1> хп2 . хпп У ,

а матрице АХВ можно поставить в соответствие вектор АХБ^, компоненты которого выражаются через компоненты вектора |Х) следующим образом:

АХВ ^ | АХБ) = (а®Бг )Х Тогда уравнение (2) можно записать следующим образом:

йф) л I \

іП& = Й ЄЇГ ^

где эффективный гамильтониан (в общем случае неэрмитов) Й^ имеет вид:

йєїї = (й ®1-1 ® Й)+ту(#3 ®ct3I’ -1 ® іт ) (3)

где

*3 =ї- 1 0 ]; н = -Ї0 1 V={ 1 0'

3 I 0 1) 2 I 10 I 0 1

Найдем явное выражение для Й^ в матричном виде. Для этого введем новую систему векторов четырехмерного пространства состояний объединенной системы (атом + вспомогательная подсистема):

Щ ® 1^ = |11^|//) = ®2 ) = 12

|///) = |2®|і') = |21^, IV) = |2®|2^ = 22' где |1),|2) — ортонормированные вектора рассматриваемой системы (подсистемы А), 1^, 12 |) — ортонормированные вектора вспомогательной системы (подсистемы В).

Вычисляя прямые произведения по формуле (3), для эффективного гамильтониана Й^ находим выражение:

Й ч =

0 ЙО — ¡0

”2" 2

ЙО

2 — 2іпу 0

— ЙО

2 0 — 2іпу

0 — ЙО ЙО

2 2

Л

0

— ЙО 2

йо

2 0

Заметим, что в данном случае, гамильтониан объединенной системы Йе.д- является неэрмитовым.

Найдем его правые собственные вектора, определяемые из уравнения

ЙеД' фк) = Ек\фк)

Решение этого уравнения приводит к следующим результатам:

1. Е1 = 0.

-І11’)+122'))•

Ф = 72 + 22

2. Е2 =— Шу + Л1Й2О2 — Й2 у2 ;

|ф2) = —111 ) + а|12 ) — 122

л/3

),

(4)

(5)

где а =

О

1у + ,Ь2 +Г2

3. Е3 = —іПу — лІЙ2О2 — Й2у2 ;

ф |11 ) + а‘|21 )-| 22

л3

4.Е3 = —2іЙу;

p4 =

І12')+12Ґ;) •

(7)

Заметим, что состояния д\), і=1,2,3,4, представленные формулами (4—7) являются перепутанными состояниями. Они представляют состояния объединенной системні (рассматриваемая система + вспомогательная система).

Перепутанные состояния

Оценим степень перепутанности состояний рассматриваемой и вспомогательной подсистем для состояния (4). Известно [3], что если состояние двухкомпонентной системы, состоящей из подсистем А и В,

представимо в виде ^ = аг)®|ву), то редуцированные матрицы

плотности могут быть представлены так: рА = /+/,рБ = /+/, где матрица / образуется из элементов // . Для состояния (4) эта матрица имеет вид:

¥ =

1

0

Тогда для рассматриваемой подсистемы рА =

и для вспомогательной подсистемы рв =

В этом случае энтропия перепутанности:

E(p) = -Е Д log 4- = -Тг рА log Ра ) = -Тг (Рв log Рв ), где Д — собственные значения матриц р а и рв, определяемые из уравнений

РА Х = ДХ

Рв Хі) = Д\Хі)

Легко видеть, что Д = Д2 = 1/2, следовательно, E(pj) = - log21/2 = 11 (бит) — то есть в состоянии (4) обобщенной системы перепутывание максимально.

Заключение

Итак, мы показали, что уравнение Линдблада для квантовой системы, подверженной измерению, может быть записано в виде уравнения Шредингера в гильбертовом пространстве большей размерности с неэрмитовым гамильтонианом. Полученное уравнение можно рассматривать как уравнение эволюции системы, состоящей из двух взаимо-

1

1

0

действующих подсистем: рассматриваемой и вспомогательной. Такое уравнение допускает решения в виде перепутанных состояний, широко использующихся в квантовой телепортации [4; 5], квантовой криптографии [6; 7], квантовых вычислениях. Квантовое перепутывание играет очень важную роль в квантовых информационных процессах, в которых проявляется неклассическая корреляция между квантовыми системами. В данной работе приведен пример использования перепутанных состояний в новой области — квантовой теории измерений.

Список литературы

1. Lindblad G. Communications Mathematical Physics. 1976. Vol. 48. P. 119.

2. Helstrom C. W. Quantum Detection and Estimation Theory. New York, Academic, 1976.

3. Klyachko A. Dynamic Symmetry Approach to Entaglement. URL: arxiv.org: quant-ph/0802.4008v1

4. Bennett C.H., Brassard G., Crepeau C. et al. // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 70. P. 1895.

5. Bouwmeester D., Pan J.-W. // Nature. 1997. Vol. 390. P. 575 — 579.

6. Ekert A. // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 67. P. 661.

7. Bennett C. H., Brassard G., Mermin N. D. // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68. P. 557.

Об авторах

А. И. Иванов — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.

А. А. Иванов — студ., РГУ им. И. Канта.

Authors

A. Ivanov — Prof., IKSUR.

A. Ivanov — student, IKSUR.