CC BY
10ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НА СТОХАСТИЧЕСКИХ СЕТЯХ
Керимов В.А.
Азербайджанский Государственный Университет Нефти и Промышленности, Баку, доцент
Гасымов Г.Г.
Азербайджанский Государственный Университет Нефти и Промышленности, Баку, доцент
Гаджиев Ф.Г.
Азербайджанский Государственный Университет Нефти и Промышленности, Баку, доцент
AN APPLICATION OF THE DYNAMIC PROGRAMMING METHOD FOR FINDING OPTIMAL SOLUTIONS ON STOCHASTIC NETWORKS
Karimov V.A.,
Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, assosiative professor
Gasimov G. G.,
Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, assosiative professor
Hadjiyev F.H.
Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, assosiative professor
АННОТАЦИЯ
Рассматривается проект по эксплуатации и изучению местности, включающий использование аэрокосмической информации. Классификация изучаемых площадей приводит к построению стохастической модели проекта. Построение альтернативных решений реализации проекта методами полного перебора не эффективно, поэтому предлагаются рекурсивные вычисления.
ABSTRACT
A project for the operation and study of the terrain, including the use of aerospace information, is being considered. Classification of the studied areas leads to the construction of a stochastic model of the project.
Building alternative solutions for the implementation of the project by exhaustive search methods is not effective, therefore recursive calculations are proposed.
Ключевые слова: стохастическая сеть, «разрешающие» работы, конъюнктивные вершины, дизъюнктивные вершины, динамическое программирование, методы полного перебора, рекурсивные вычисления.
Keywords: stochastic network, "resolving " works, conjunctive vertices, disjunctive vertices, dynamic programming, exhaustive search methods, recursive calculations.
Известно, что прежде чем приступить к поиску полезных ископаемых сначала надо собирать соответствующую геолого- разведочную информацию. В данной статье рассматривается проект по эксплуатации и изучению местности, включающий использование аэрокосмической информации (АКИ) [1]. Важнейшей информацией, например, является распределение линеаментов на поверхности Земли. Наличие природного ресурса в недрах Земли АКИ устанавливает с некоторой вероятностью. На практике для выявления природных ресурсов АКИ всегда сочетается с материалами наземных исследований [2]. При помощи АКИ с определенной уверенностью можно классифицировать площади на Земле по объему природного ресурса. Однако лишь наземные исследования могут доказать справедливость такой классификации. Наземные исследования, конечно, целесообразно начинать на площади, где АКИ предполагает наличие большего количества ресурсов. Эту площадь назовем площадью первого ранга, менее перспективную - площадью второго ранга .
Основной целью рассматриваемого проекта является выявление нефтегазоносных площадей и их освоение, но вместе с этим имеется еще и «побочная» цель, которая заключается в корректировке
на карте геологического строения местности. Проект включает следующие работы:1- определение нефтегазоносных площадей при помощи АКИ; 2-ранжирование площадей по их очередности; 3-определение ранее неизвестных структурных форм; 4- геофизические разведки на площадях первого ранга; 5- работы на участке первого ранга; 6-геофизические разведки на площадях второго ранга; 7- работы на участке второго ранга; 8- ввод месторождения на эксплуатацию; 9-нефтегазонос-ное районирование местности; 10- корректировка на карте геологического строения местности.
С точки зрения теории графов схема, изображенная на рис. 1 является сетью «И/ИЛИ». Имеется три типа связок между вершинами: конъюнктивные, дизъюнктивные и унарные [3]. Вершины, соответствующие «разрешающим» работам имеют дизъюнктивные связки со своими дочерними вершинами. Будем предполагать, что работы входящие в одну дизъюнктивную группу являются взаимоисключающими. Работы с номерами 4,6 это как раз те работы, за которыми следуют альтернативные продолжения. Число 0,7 отмеченное на стрелке (4,5) показывает вероятность наличия природных ресурсов на площадях первого ранга, а число 0,3 - вероятность их отсутствия. Работа с номером 1 - начальная вершина (миноранта)- имеет конъюнктивную
связку с работами, отмеченными через 2 и 3.
Рис. 1. Стохастическая сеть типа «работы-связи»
Вероятности наступления работ конъюнктивной группы считаются равными единице. Конечная вершина называется мажорантой. Унарные связки можно считать частным случаем дизъюнктивной, либо конъюнктивной связки[3]. Построенная стохастическая сеть позволяет без знания особых вычислительных алгоритмов построить все возможные альтернативные варианты проведения комплекса работ. Эти варианты описываются множествами работ: Х1={ 1,2,3,4,5,8,9,10}; X2={l,2,3,4,6,7,8,9,10}; Xз={1,2,3,4,6,10}.
Каждый из этих вариантов является случайным событием, а геометрически- подсетью типа «И», т.е. при котором отсутствуют дизъюнктивные связки. Когда число таких исходов слишком велико, их поиск полным перебором не пригоден, необходимо применять эффективные алгоритмы.
Кроме вероятности свершения р(х^, работы могут характеризоваться продолжительностью ^х^ и стоимостью реализации с(х^. Имея такую априорную информацию о работах и применяя рекуррентные формулы можно оценить вероятности свершения, продолжительности и стоимости выполнения вариантов. Каждый вариант моделируется подсетью типа «И» заданной стохастической сети. Ясно, что вероятность свершения каждого альтернативного варианта оценивается как произведение вероятностей свершения работ, входящих в этот вариант.
Продолжительность этих вариантов оценивается как продолжительность максимального пути, соединяющего начальную и конечную вершины, а стоимость - как сумма стоимостей всех работ, входящих в этот вариант [1,4]. Стохастическую сеть
обозначим через G=(X,A). Здесь Х- множество вершин, А-множество дуг стохастической сети. Множество всех исходов с минорантой в х1, с мажорантой в конечной вершине хк (в нашем примере хк=хю) обозначим {G1,G2,...,Gn}. Внесем параметры P(Gi), T(Gi), C(Gi) - соответственно вероятность, продолжительность и стоимость исхода Gi .
Ставятся задачи поиска оптимального плана:
1) по критерию Р:
p(Gio )=max p(g.) ;
2) по критерию Т:
Т(G )= minTG );
3) по критерию С:
С(Gh )= min С(G.) .
Ниже приводятся алгоритмы решения поставленных задач с применением метода динамического программирования. Динамическое программирование — это раздел математического программирования, где метод решения сложных задач реализуется путем ее разбиения на более простые подзадачи. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные подзадачи, после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Это полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико. Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.
Через P(i) обозначим вероятность свершения
той подсети типа «И» с начальной вершиной xi, конечной xk (в дальнейшем они будут обозначены через i, к, соответственно) , которая имеет максимум этого показателя из всех себе альтернативных.
Следовательно решение задачи 1) сводится на поиск Р(1).
Через T(i) обозначим максимальную продолжительность той подсети типа «И» с начальной вершиной i, конечной k, которая имеет минимум этого показателя из всех себе альтернативных. Решение задачи 2) сводится на поиск Т(1).
Через C(i) обозначим стоимость той подсети типа «И» с начальной вершиной i, конечной k, которая имеет минимум этого показателя из всех себе альтернативных. Наконец, решение задачи 3) сводится на поиск С(1).
Для решения поставленных задач внесем другой параметр Qi который является множеством включающим все дуги оптимального по некоторому критерию исхода с начальной вершиной i, конечной k. Таким образом Qi выдает структуру искомого оптимального плана.
Ниже приводятся рекуррентные формулы для решения поставленных задач. В этих формулах P(i),T(i),C(i) являются функциями от i.
Рекуррентные формулы для решения задачи 1:
а) для концевой вершины применяются формулы:
Qk =0, (i)
P(k ) = 1; (2)
б) если вешина i имеет дизъюнктивную связку c дочерними вершинами i1, :
P(i) = шах{Д/, ij fti )} = p(i, i0 )p{i0) (3)
Q, = (i, i0 Qk
(4)
в) если вешина i имеет конъюнктивную связку c дочерними вершинами i1, :
Qi = Ufe ij Ю Qj (5)
j=i j=i
р0=П p(ij)
(6)
j=1
дуге (г,). Покажем, что при решении задач 2) и 3) продолжительности и стоимости работ также можно приписать дугам стохастической сети, но прежде сеть, изображенную на рис.1 надо преобразовать в тип «события-работы»[5]. Каждая дуга на рис. 2 описывает некоторую работу, а каждая вершина - некоторое событие. Например, дуга (1,2) на этом рисунке соответствует работе хг. Однако ради не нарушения общности вершины на рис.2 так же
обозначены через Х = {1,2,...10}, а дуги - А = { (1,2), (2,3), ..., (9,10) }. Рядом с дугами на рис.2 в прямоугольниках отмечаны, слева- продолжительность, справа - стоимость соответствующей работы. Например, ^1,2) = 5 (единиц времени), с(1,2) = 6 (единиц стоимости). По правилам преобразования сети в тип «события-работы» строятся пунктирные дуги, которые описывают нереальные работы. Продолжительность и стоимость работ (4, 9) и (7,9) равны нулю, но их рассмотрение в модели важно, т.к. при упорядочении вершин снизу вверх по сети учитываются эти элементы.
Ниже приводятся рекуррентные формулы для решения задачи 2. В формулах (7-18) признаки вершин соответствуют пунктам а), б), в) формул (1-6):
а) а =0 ; (7)
Т{к) = 0: (8)
а а
в) д,=и ('', )и з* (11)
j=1
j=1
T (i) = max {(i, i.) + T (i )}
(i2)
В результате этих вычислений получаем реше-
ние:
Приведенные формулы применяются начиная от концевой, кончая на начальной вершине стохастической сети, но до того необходимо упорядочить вершины и получить определенную их последовательность обслуживания [1].
Из формул (3)-(6) видно, что если вершина , имеет дизъюнктивную связку сначала вычисляется Р(г), затем строится множество Qi, а в случае конъюнктивной связки - наоборот.
В результате этих вычислений получаем: р1={(1,2),(1,3),(2,4),(4,5),(5,8),(8,9),(3,10),(9,10)}, Р(1)=0,7.
Для представления структуры исходов целесообразно использовать множества Q5, которые включают в себе все вершины соответствующего исхода, так, что Q'1 ={1,2,3,4,5,8,9,10}.
Решение задачи 2. При решении задачи 1) вероятность свершения работы ^ была отмечена на
01= { (1,2), (2,3), (2,4), (3,5), (5,7), (4,9), (7,9), (9,10) }, Т(1)=61. Используя прообразы работ, входящих в множество Q1 получаем структуру решения:
= {х1' Х2' Х3' Х4' Х6' Х10 }. Для решения задачи 3 применялись формулы: а) =0 (13)
С (к) = 0 (14)
б) С(0 = тт{с(м7.) + С(^) } = е(1,10) + С(10) (15)
& = (г, 'о) ^ 0, о (16)
а , а
в) а=и{(',)ЮQJ (17)
1=1 1=1
й= о(0,)={х, х2} (18)
п
С (,') = 2 с(х') (19)
1=1
Рис. 2. Стохастическая сеть типа «события-работы» (рядом с дугами в прямоугольниках отмечаны, слева-продолжительность, справа - стоимость соответствующей работы.)
В формуле (18) через О^О обозначено отображение, строящее множество (х|,х2,...,х4}по заданному Qi, т.е. через х- обозначены прообразы соответствующих дуг сети типа «события-работы».
Наконец, применяя формулы (13) - (19) получаем решение:
Qí= {* 1? Х3' Х4? Х10 } С(1) 78
Выводы
В результате включения в сетевую модель «разрешающих» работ получается стохастическая сеть. Построение альтернативных решений реализации проекта методами полного перебора не эффективно, поэтому предлагаются рекурсивные вычисления, причем чем больше альтернативных вариантов решения, тем больше эффективны разработанные алгоритмы поиска оптимальных решений.
Литература
1. Керимов В.А. О возможности исследования планируемого эксперимента с использованием графовой модели типа «И/ ИЛИ»// Доклады Академии Наук Азербайджана, Баку, 2006, вып. LXП, № 3-4, стр. 83-87;
2. Обиралов А.И., Лимонов А.Н., Гаврилова Л.А. Фотограмметрия и дистанционное зондирование/ Издательство: Колосс, 2006, 335 с.
3. Нильсон Нильс Дж. Искусственный интеллект. Методы поиска решений /М.: «Мир», 1973, 270 с.
4. Голенко-Гинзбург Д.И. Стохастические сетевые модели планирования и управления разработками /Воронеж: Научная мысль, 2010, 283 с.
5. Кофман А., Дебазей Г. Сетевые методы планирования. Применение системы ПЕРТ и ее разновидностей при управлении производственными и научно-исследовательскими проектами / М.: «Прогресс», 1968, 181 с.;
