CC BY
17
диаметром 28 мм. Частота электромагнитного поля составляла 23 МГц. Газовая температура факельного разряда измерялась нами спектральным методом по относительной интенсивности вращательных переходов [2] молекулярной полосы гидроксила 3064 А. Результаты измерений представлены на рис. 1.
Т,К
3000
2500
2000
1500
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Z=zl
Рис. 1. Осевое распределение газовой температуры высокочастотного факельного разряда мощностью 1 кВт; 1 - по ветви R2; 2
- по ветви Qj.
На этом рисунке осевая координата представлена в единицах длины
канала 1. Как видно из рис. 1, максимум температуры находиться на расстоянии от электрода, составляющем 0,3 длины канала разряда. При длине канала разряда 26 см максимум температуры будет расположен приблизительно в 8 см от электрода.
На основе полученного распределения газовой температуры можно определить осевое распределение удельной электропроводности плазмы разряда. Расчёт удельной электропроводности плазмы разряда проводился нами по температурному распределению, полученному по ветви R2, на основе предположения о существовании локального термодинамического равновесия в плазме разряда.
Расчёт осевого распределения первых четырёх гармоник радиальной компоненты электрического поля факельного разряда проводился на основе модели канала разряда в виде неоднородной электрической линии конечной длины. При расчёте учитывалась конусообразная форма канала разряда и полученное осевое распределение удельной электропроводности плазмы разряда. Результаты расчёта представлены на рис.2.
Ег/ЕгО 1,0 0,75 0,5 0,25 0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Z=z4
Рис. 2. Рассчитанное осевое распределение гармоник радиальной компоненты электрического поля факельного разряда. 1 - 23
МГц; 2 - 46 МГц; 3 - 69 МГц; 4 - 92 МГц.
Из рис. 2 видно, что при расчётах на основе значений равновесной электропроводности затухание электромагнитного поля слишком велико, чтобы обеспечить процесс горения разряда по всей его длине. Соответствующие экспериментальным данным расчётные значения величин затухания гармоник электрического поля могут быть получены посредством сдвига температурного профиля вверх на 2170 K. Результаты расчётов в соответствии со смещённым температурным профилем приведены на рис. 3. Как видно из рис. 3, рассчитанные кривые изменяются вдоль оси разряда по закону близкому к линейному.
Таким образом, совпадение расчётных результатов с экспериментальными результатами, наблюдается лишь при существенном отклонении величины удельной электропроводности от равновесных значений. Можно предположить, что подобное отклонение обусловлено наличием нелинейных электродинамических эффектов в плазме разряда.
Литература
1. Качанов А.В., Трехов Е.С., Фетисов Е.П. Электродинамическая модель высокочастотного факельного разряда // ЖТФ, 1970, т.40, №2, с. 340-345.
2. Михалевский В.Д., Прокофьева В.В. Исследование температуры металлической дуги по молекулярному спектру гидроксила // ЖЭТФ, 1950, т.20, Вып.7, с.584-593.
Мухаметов Е.М. ', Мустафаев А.П. 2
1,2Кандидат физико-математических наук, профессор, Семипалатинский государственный университет им. Шакарима,
Республика Казахстан
ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНИРОВАННОГО МЕТОДА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Аннотация
В данной работе делается попытка дать на элементарном уровне представления о применения комбинированного метода, т.е. метод характеристики и метод Фурье к решению одного линейного уравнения параболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами.
Ключевые слова: Дифференциальные уравнения, функция нескольких переменных, уравнений параболического типа, метод Фурье, метод характеристики.
Mukhametov E.M. \ Mustaphaev A.P. 2
41
1,2Semey State University named after Shakarim, Republic of Kazakhstan APPLICATION OF THE COMBINED METHOD OF FINDING SOLUTIONS OF PARABOLIC TYPE EQUATIONS OF THE SECOND ORDER WITH CONSTANT COEFFICIENTS
Abstract
This paper attempts to give a basic idea about the application of the combined method, i.e. a method of the characteristics and the Fourier method to the solution of the linear equation ofparabolic type of second order with constant coefficients.
Keywords: differential equations, function of several variables, equations of parabolic type, Fourier method, method of characteristics.
Многие задачи физики приводят к разысканию той или иной функции нескольких переменных. Для ее определения составляет дифференциальное уравнения в частных производных, которому должна удовлетворят искомая функция.
Большое значение особенно в прикладных вопросах имеет получение явных формул интегральных представлений решений дифференциальных уравнений в частных производных.
Наряду с общими методами принимаемые при нахождения общего интеграла упомянутых уравнений для каждого типа уравнений существует, и некоторые специфические методы, с помощью которого могут быть решены те или иные задачи математической физики.
Полученные при помощи уравнений математической физики решения тех или иных задач дают нам математическое описание ожидаемого хода или вида физических явлений, описываемых этими уравнениями.
В настоящей работе делается попытка дать на элементарном уровне представления о применения комбинированного метода, т.е. метод характеристики и метод Фурье к решению одного линейного уравнения параболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами. Известно, что уравнения
д2и.
д2и д2и.
+ С Ну -|- (I и о
где 3 ^ ; и Б Тс
имеют одну характеристику
у -X = с .
В характеристических переменных
£ =У - X Г] = X
уравнение (1) записывается в виде (1 -I- (С — /
Ч +
Далее вводим новую функцию
'J7
+
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
где значение
^ и В определим из системы
Ь + 2 а{3 = О,
ЬВ + (с +d = о
(6)
b
Р=-~.
b2
а =
2 а 4(1 \С — D)
тогда (4) приводится более упрощенному уравнению вида
(7)
a vn7] +■
= о
(8)
Для нахождения решения этого уравнения используем метод разделения переменных, т.е решения произведения
ЪЧ^,ф = Н(Г]^ф
ищем в виде
где 11 'Ч } - функция только переменного т|, уравнение (8) получим
:) + <с -Ь)Я07)£'(£)
(9)
- функция только переменного ^. Подставляя предполагаемую форму (9) в
(10)
или после деления на
аН<г))%(0
а
(ii)
Чтобы функция (9) была решением уравнения (8) равенство (11) должно удовлетворяться тождество Правая часть равенства (11) является функцией только переменного S , а левая только V равенства (11) при изменений своих аргументов сохраняют постоянное значения. Это значение удобно обозначить через
поэтому правая и левая части ~Aj т е
а
!=-Л>
(12)
Из соотношения (12) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения J
т.е
42
(13)
Общее решения уравнения (13) и (14) соответственно может быть записано в виде
= Л. СОяЛ,?] + Б Sini?]
Л'а*. ’
(14)
(15)
с-Ъ
(16)
возвращаясь к старым переменным и подставляя (15), (16) в (9), заметили что функция
Ьг-«а^+«агАг Ъ_
и(х.у) = С (Л cos/Lr + Б sinA;t)e *охс-ь> У~**1ах
является частным видом общего решения уравнения (1).
Следует заметить полученные решения позволяет легко найти частное решения некоторых краевых задач для рассматриваемого уравнения.
Литература
1. Тихонова Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977;
2. А.В. Бицадзе, Д.Ф.Калиниченко. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., «Наука» 1977 г . 222
стр.
Остроух Е.Н.1, Солопова О.Г.2
'Доцент, Донской государственный технический университет, кандидат технических наук, доцент (ДГТУ, г. Ростов-на-Дону), 2Доцент, Ростовский государственный экономический университет, кандидат технических наук, доцент (РГЭУ, г. Ростов-на-
Дону)
СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МНОГОНОМЕНКЛАТУРНОГО ПИЩЕВОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
Аннотация
В статье рассмотрена методика использования сетевых моделей, описывающих работу предприятий пищевой промышленности, с большой номенклатурой продукции, предложен алгоритм, оптимизирующий стратегию и объемы выпускаемой продукции с учетом дефицита входных ресурсов.
Ключевые слова: технологический процесс, сетевая модель, максимальный поток
Ostrouh E.N.1, Solopova O.G.2
'Professor of department, Don state technical University, candidate of technical Siences ( DSTU, Rostov on Don),
2 Professor of department, Rostov state economic University, candidate of technical Siences (RSEU, Rostov on Don)
Network model of functioning of the wide nomenclature of food enterprises
Abstract
In this paper reviewed the technique of using network models, describing work of enterprises of food industry whis a wide range of products, proposed an algorithm for optimizing strategy and volumes of manufactured products with this, to a scarcity of resources Keywords: technological process, network model, maximum flow
Технологический процесс изготовления пищевой продукции можно интерпретировать некоторым простым ориентированным графом (без петель и кратных ребер) G(X,E), где E={e11,e12,^,enm}- дуги; дуга eij интерпретирует
j-й технологический процесс технологии Ti. Вершины X={xbx2,...,xk} интер-претируют факт начала и окончания технологического процесса j технологии Ti. Каждой дуге (eij) графа G(X,E) сопоставляется вес cj- стоимость процесса j технологии
i (затраты и издержки). На пропускные способности дуги (eij) наложены ограничения сверху и снизу: rij — xij — Rij, где x^-поток продукта по j-му процессу технологии Ti. Ограничение Rij получается, исходя из ограничений на максимальную производительность (мощность) оборудования и рыночный спрос на данную продукцию; ограничение rij связано с договорными обязательствами и обязательствами по госпоставкам. В самом общем случае граф G(X,E) -многопродуктовая, многополюсная сеть, в которой необходимо найти максимальный поток минимальной стоимости. Полюсы представляют собой один источник (вход) S, куда производится поставка исходного сырья (например, молока, если имеем молочный комбинат) и n стоков (выходов) по количеству номенклатуры выпускаемой продукции.
Итак, имеем следующую задачу:
ZZ cjxj
i=1 j=1
min,
rij — xij — Rij, i=1,2,...,n; J=1,2,...,m,
(1)
(2)
n m
ZZ xij
V= 1 _1 j_1 ^max (3)
Оптимальное решение задачи (1)-(3) позволит решить задачу о нахождении максимального потока в сети (максимальной загрузки оборудования), оптимальной с точки зрения номенклатуры выпускаемой продукции, с учетом ограничений, связанных с обязательными поставками готовой продукции, спросом на эту продукцию и мощностью имеющегося на комбинате оборудования.
Граф G(X,E) представим суммой двух графов: G(X,E)= G!(X',E')+ G2(Xn,En), где G1(XI,EI)-подграф, интерпретирующий набор общих технологий (например, процесс нормализации в молочной промышленности) для всей номенклатуры изделий; E'-множество дуг, интерпретирующих эти общие технологии, а X'-соответственно факты начала и окончания этих процессов. Вообще говоря, граф G!(X',E') представляет собой сеть с одним источником (сырье) и одним стоком - полуфабрикат для дальнейшей переработки в готовую продукцию. На этом этапе (интерпретированном графом G^X'^E1)) решаем классическую задачу о максимальном потоке: находим максимальное количество полуфабриката V1, получаемого из сырья (молока) объема V. При этом используем один из алгоритмов задачи о максимальном потоке, описанный в [1].
Граф G2(Xn,En) интерпретирует технологии (процессы) изготовления пищевых продуктов, здесь X11 и E11 соответственно вершины и ребра, связанные с особенностью каждой технологии Tk изготовления готовой продукции. Имеет один вход: Sr на который подается полуфабрикат, затем получается система n параллельных подграфов, с общим входом Si, интерпретирующих
43
