Применение интервальных вычислений в расчетах потенциальных электрических полей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В РАСЧЕТАХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

© Болотнов А.М.*, Мигранов Н.Н.*

Башкирский государственный университет, г. Уфа

На основе метода граничных элементов разработан алгоритм расчета потенциала и плотности тока в двумерной задаче с интервальными исходными данными. Полученные интервальные решения включают не только ошибки исходных данных, но также погрешности численного метода и компьютерных округлений. Представлены результаты расчетов.

Ключевые слова электрическое поле, электролит, интервальные вычисления.

Введение. Одним из важнейших этапов компьютерного моделирования является оценка погрешности численного решения задачи. Для получения достоверных результатов необходимы модели, учитывающие: неопределенности в исходных данных; погрешности аппроксимации непрерывных зависимостей их дискретными аналогами; ошибки компьютерных округлений действительных чисел. Эффективным средством учета всех типов погрешности являются интервальные методы. В ходе интервальных вычислений результат гарантированно содержит множество решений точечных задач, исходные значения которых содержатся в интервалах [1].

Целью данной работы является создание алгоритмов и программ решения двумерных краевых задач для потенциала электрического поля в электрохимических системах (ЭХС) методом граничных элементов с применением интервальных вычислений.

Интервальные арифметические операции. Интервальный тип данных на современных компьютерах реализуется двумя действительными числами для его концов

а=а, а2 ]={х | а < х < а; а, а е Щ,

а арифметические операции определяются правилом [1, 2, 10]:

А*В = {а*Ь | а е А, Ь е В}, где символу * соответствует любая из операций: +, -, х, /.

* Профессор, заведующий кафедрой Информационных технологий, доктор физико-математических наук, доцент.

* Магистрант.

Погрешность, возникающая при вычислении интервальных границ, включается в результирующий интервал направленными округлениями: левая граница округляется вниз (влево), правая - вверх (вправо). Режим округления процессора может быть установлен с помощью функций, имеющихся в стандартных библиотеках многих систем программирования.

Приведем пример накопления погрешностей округления при многократном суммировании чисел. В табл. 1 представлены суммы из 10, 50 и 1000 миллиардов слагаемых, равных 1е-9. В первом столбце - ожидаемые точные суммы, во втором - результаты компьютерных вычислений для типа с двойной точностью (double, мантисса 15 десятичных знаков), в третьем -для типа с расширенной точностью (long double, мантисса 18 знаков).

Таблица 1

Суммы действительных чисел

So Si (double) S2 (long double)

0 0.00000000000 0.00000000000

10 10.0000007372 10.0000000002

50 49.9999400979 49.9999999843

1000 999.990902435 1000.00001303

Из табл. 1 видно, что количество верных знаков в итоговой сумме убывает от 15 до 6 для типа double, и от 18 до 9 для типа long double, после 50 миллиардов операций сложения, что соответствует примерно 1 минуте счета на ПК средней производительности (соответственно для 1000 миллиардов операций время составляет около 20 минут).

В качестве примера интервального учета погрешностей округления приведем результаты суммирования вырожденного (ширина равна нулю) интервала. В табл. 2 представлены суммы из 10, 50 и 1000 миллиардов интервалов A = [1е-9, 1е-9], (тип double, мантисса 15 знаков).

Таблица 2

Суммы вырожденных интервалов типа double

S0 Sijejt S1,right Wa Wo

0 0.00000000000 0.00000000000 0.0e+00 0.0e+00

10 9.99999250768 10.0000007973 8.3e-06 8.3e-07

50 49.9998643669 50.0000680558 2.0e-04 4.1e-06

1000 999.989917214 1000.06479985 7.5e-02 7.5e-05

В первом столбце ожидаемые точные суммы, во втором и третьем -значения левых (S1left) и правых (Si.right) концов вычисленных интервалов, в четвертом и пятом - абсолютная (Wa = S1right - S1left) и относительная (Wa = (Si .right - Si .ieft) / Si .right) ширина интервала.

Легко убедиться, что направленное округление для типов с расширенной точностью (long double) приводит к ширине результирующего интерва-

ла на два-три порядка меньше, чем с типом double. Вместе с тем, применение типа double сокращает время счета.

Погрешности численного метода. Для учета погрешностей дискретизации в методе граничных элементов, который используется в данной работе, применяется двойной пересчет на граничных сетках с шагами h1 и h2 = h1 / 2. Если SN и S2N - квадратурные суммы на k-м граничном элементе с N и 2N разбиениями, I - искомое значение интеграла, то главный член погрешности численного интегрирования по квадратурной формуле с порядком точности p, вычисляется по формуле Рунге

-1

а для уточнения результата может применяться экстраполяция Ричардсона

п _ 2N n /14

rn - 0р+1_ , , с1)

I = Б2х

Если в алгоритме предусматривается учет погрешности численного метода, то значение (1) на каждом граничном элементе включается в интервальное решение задачи.

Математическая модель электрического поля. Сформулируем математическую модель электрического поля в ЭХС. Потенциал и(р) стационарного электрического поля в области О удовлетворяет уравнению эллиптического типа:

Шу (о-(р) grad и(р)) = 0; р еП,

где с(р) - удельная электропроводность среды, См/м.

Так как удельные электропроводности металлов анода и катода на несколько порядков выше, чем электропроводность электролита, будем полагать значения потенциалов в металлах постоянными (иа, ис), а краевую задачу в электролите формулировать для уравнения Лапласа

д2и д2и п

—7+—7 = 0. (2)

дх2 ду2

На изоляторах (£,), которыми являются свободная поверхность электролита и границы симметрии, ставятся условия второго рода:

ди

ди

= 0,

(3)

где п - вектор нормали к границе.

На границах электролита с анодами (£а) и катодами (£с) потребуем выполнение краевых условий третьего рода:

S,

ды

и + реа—

= и ; е = а, с,

(4)

где индекс «е» принимает значение «а» для анода и «с» для катода; ра, рс -удельные сопротивления на границе электрод-электролит (Ом*м2); иа, ис -потенциалы электродов (В).

Алгоритм решения двумерной задачи. Для решения задачи (2)-(4) в двумерных областях предлагается метод граничных элементов, который без принципиальных осложнений можно использовать в областях с границей произвольной конфигурации, а также в трехмерных задачах [3-5]. Для построения граничного интегрального уравнения, эквивалентного задаче (2)-(4), воспользуемся интегральной формулой Грина, которая с учетом уравнения (2), для точекр и q, принадлежащих границе 5", примет вид:

т(р) = |

1п-

1

ды

г( P, Ч) д

-ы(ч)х

д дп

1п

1

Ч V

г( p, ч)

(5)

где г(р, q) - расстояние между точками р и q.

Из формулы (5) с учетом граничных условий (3), (4) будем иметь интегральное уравнение относительно неизвестной функции и(р):

ы( р)=-1К (p, ч ы(яЪ

(6)

в котором ядро К(р, q, u(q)) определяется соотношениями (аргументы р, q для краткости опущены):

К = 1п—-и рео г

1 д - м е

-1п— +—11п— 11; ч е Л ; е = а,с,

уРе(г г дп V г,

К = —ы-—|1п— |; ч е Л■

дп V г )

Алгоритм численного решения строится методом конечных сумм путем сведения интегрального уравнения (6) к системе линейных алгебраических уравнений. Аналогичный подход ранее применялся при решении задач в областях более сложной геометрии, в том числе в трехмерных задачах с нелинейными граничными условиями [6-9], но без использования интервальных операций.

Прямоугольная область. Задача решалась в единичном квадрате при следующих значениях основных параметров: Ьх = Ьу = 1 м; ра = рс = 0.7 Ом*м2;

Л

иа = 5 В; ис = 2 В; с = 12 См/м; число граничных элементов по сторонам квадрата Ых = Ыу = 100; обход границы в уравнении (6) от 0 до Ьх и далее против часовой стрелки по периметру квадрата.

Сравнение численных решений двумерной и одномерной задач на множестве действительных чисел (зависимости 1 на рис. 1 и 2) показало: их отличие в произвольных точках границы не превышает 2*10-5 для функции потенциала и(р) и 3* 10-5 для функции плотности тока _/(р), что в масштабе рисунка неразличимо.

I границе

Рис. 1. Распределение граничного потенциала в электролите

|точки на границе

Рис. 2. Распределение плотности тока по границе квадрата

Интервальные решения (зависимости 2 и 3) получены при следующих значениях исходных данных: иа = [4.95, 5.05], ис = [1.95, 2.05]; ра = рс = [0.68, 0.72]; с = [11.5, 12.5]. В приведенном примере определяющий вклад в погрешность решения вносит интервальная неопределенность входных параметров. Погрешности численного интегрирования и компьютерных округлений оказываются меньшими на несколько порядков и заметного влияния на ширину интервального решения не оказывают.

Сечение электролизера. Приведем пример применения изложенного подхода при компьютерном моделировании электрических полей в электролизерах для производства цветных металлов (рис. 3). Значения основных параметров: высота электролита 1 м, ширина 2 м; высота анода 0.8 м, ширина 1 м; удельное сопротивление анода 0.06 Ом*м2, катода 0.03 Ом*м2; потенциал анода 5 В, катода 3 В. Граница интегрирования дискретизирована с равным шагом на 800 граничных элементов; стрелками обозначено направление обхода границы в интегральном уравнении (6).

На рис. 4 представлены граничные распределения потенциала при интервальных исходных данных: иа = [4.99, 5.01], ис = [2.994, 3.006]; ра = [0.05988, 0.06012]; рс = [0.02994, 0.03006]; с = [9.98, 10.02].

Рис. 3. Вертикальное сечение электролизера

Рис. 4. Потенциал в электролите на границе области: 1 - при точных исходных данных; 2, 3 - нижняя и верхняя границы интервального решения

Программный продукт разработан на языке программирования С++ в среде Code Blocks (компилятор GCC Compiler), распространяемой по лицензии GNU General Public License.

Заключение. На основе метода граничных элементов построен алгоритм численного решения двумерных краевых задач для потенциала электрического поля в ЭХС. Установлено, что применение интервальных операций позволяет учесть в решении задачи неопределенности исходных данных, погрешности численного метода и ошибки компьютерных округлений. Представлены численные результаты, иллюстрирующие работу программы и подтверждающие эффективность предложенного подхода.

Список литературы:

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 356 с.

2. Калмьгков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука, 1986. - 218 с.

3. Иванов В.Т., Болотнов А.М. Пакет прикладных программ для численного исследования электрических полей в неоднородных электрохимических системах // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. -1991. - № 6. - С. 21-28.

4. Болотнов А.М., Иванов В.Т. Численное моделирование электрических полей анодной защиты некоторых электрохимических систем // Электрохимия. - 1996. - Т. 32, № 6. - С. 694-697.

5. Болотнов А.М., Зайков Ю.П., Закиева Г.Н., Ковров В.А., Храмов А.П., Щербинин С.А. Математическое моделирование и оптимизация токорас-

пределения в цилиндрическом электролизере с многоэлементным анодом // Вестник Башкирского университета. - 2003. - Т. 8, № 3-4. - С. 3-7.

6. Bolotnov A.M., Glazov N.N., Glazov N.P., Shamshetdinov K.L., Kise-lev VD. Mathematical Model and Algorithm for Computing the Electric Field of Pipeline Cathodic Protection with Extended Anodes // Protection of Metals and Physical Chemistry of Surfaces. - 2008. - Vol. 44, No 4. - P. 438-441.

7. Болотнов А.М., Лобастов С.А., Суюндуков А.Р. Расчет электрического поля в электролите на основе уравнений электрохимической и диффузионной кинетики // Системы управления и информационные технологии. -2012. - Т. 49, № 3(49). - С. 77-81.

8. Болотнов А.М. Численное исследование электромассопереноса в электролите в условиях смешанной кинетики // Приоритетные научные направления: от теории к практике. - 2013. - № 7. - С. 115-121.

9. Ivanov VT., Makarov VA., Bolotnov A.M. Electric field numerical models for anodic protection systems in heat-exchange equipment // Физикохимия поверхности и защита материалов. - 1992. - Т. 28, № 6. - С. 955-960.

10. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. -Новосибирск: Наука, 1990. - 208 с.

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА КРИТИЧЕСКИЙ ИНДЕКС КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ДЛИНЫ

© Дударева Ж.В.*

Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова, г. Абакан

Работа посвящена изучению и анализу корреляционной длину и ее критического индекса v, а именно исследованию влияния энергии взаимодействия вторых, третьих соседей и четырехчастичного взаимодействия, а также температуры на указанные параметры квазиодномерного наномагнетика, при наличии внешнего магнитного поля в ориента-ционном магнитном фазовом переходе антиферромагнетик ^ ферромагнетик в рамках обобщенной модели Изинга.

Ключевые слова корреляционная длина, критический индекс, модель изинга, фазовый переход.

Изучение кинетики квазиодномерных магнетиков уже в течение многих десятилетий остается актуальной задачей, поскольку в области фазового перехода кинетические свойства тела могут быть описаны набором критических индексов, определяющих законы изменения различных величин, при приближении к точке фазового перехода [1-3], кроме этого они измеряются экспериментально.

* Аспирант.