Математическое моделирование тепловых и электрических полей в цилиндрических областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

с компактным носителем в С такой, что

С

<------------, Сє С, где С, В — некоторые константы.

М (Bd (С))

у Є A(G,М), голоморфной на G положим S(у ) =----------- f у (z) f (z)dz .Заметим, что можно выбрать

2жі до

гладкий контур Гу, лежащий в пересечении области голоморфности у и D, так, что S(у ) =--- f у (z) f (z)dz .

2жі '

у

Это замечание нам потребуется при применении формулы Грина.

Воспользуемся теоремой о псевдоаналитическом продолжении из работы [1]:

М п

Теорема В. Пусть D - некоторая область в С и т =---------- - регулярная последовательность. Тогда

п п\

любая функция f из класса A(D,М) может быть продолжена до непрерывно дифференцируемой функции F

3F_

с

По этой теореме функцию f Є A(D,М) продолжим до функции F и применим формулу Грина

S(у ) = -^ f у (z)f (z)dz = -^ f у (z)F(z)dz = - — f у (z) 8FJC )da (C ) = - — f у (z) д^_ ) da (C ),

2жі Г, 2жі Г, Ж G дС ж К О G дС

где К - носитель функции F и da (C) - элемент площади. Из этого представления получим оценку

, , ІКІС |у (z)| ............................................... . . .. ..

S(у ) <------sup-= 2\К\С\М , где К - площадь компакта К и у - норма функции у в

1 1 ж сєіМ(Bd(C) ............................................... Xi

пространстве XB. Таким образом, S — линейный непрерывный функционал на пространстве H(G) по норме пространства Хв, а значит и в смысле топологии пространства A(G,М). В силу плотности H(G) в A(G,М) функционал S продолжается до линейного непрерывного функционала на A(G,М) . Прямо по определению и формуле Коши вычислим S (z) = f (z), z Є D . Таким образом, теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. ДынькинЕ.М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций, равномерная шкала.// Сб. Матем. программ. 1976. М. G4O.

2. Себастьян - и - Сильва. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в применениях //Математика. Сб. переводов иностранных статей. 1957. 1:1. CC. 6O-77.

3. SibonyN. Approximation polinomiale ponderee dans un domained'holomorphie de C" // 1976. Ann. Inst. Fourier. Grenoble T.26, V.2. PP.77-99.

Поступила в редакцию O3.O8.O5 г.

УДК 519.623.620:623.197:621.357

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

Болотнов А.М., Махмутов ММ, Хисаметдинов Ф.З.*

Рассматривается подход к совместному моделированию электрических и тепловых полей в заполненных электролитом областях с цилиндрическими границами. Для решения исходных трехмерных задач применяется дифференциально-разностный метод, в котором решения одномерных задач выписываются аналитически.

Болотнов Анатолий Миронович — д. ф - м. н., проф. каф вычислит. математики БашГУ; Махмутов Мажит Махмутович — к. ф. - м. н., зав. каф математики и информатики Сибайского инст. ГОУ ВПО «БашГУ»; Хисаметдинов Фиргат Зайнуллович — ст. препод. каф. математики и информационных технологий Сибайского инст. ГОУ ВПО «БашГУ».

Рассмотрим задачу совместного расчета электрического и теплового поля, учитывающую выделение джоулева тепла в электролите [1] в области с цилиндрическими границами (рис.1). Такая задача может возникать, например, при моделировании процессов в алюминиевых электролизерах [2].

2* 2

І Ц

анод

катод

*1

Рис.2

В силу геометрии области данная задача в цилиндрической системе координат может быть сведена к двумерным задачам (рис. 2) в областях

01 = {(г, 2) : Я1 < г < Я2, 0 < 2 < Н2} , 02 = {(г, 2) : 0 < г < Я1, 0 < 2 < Ц}

и = {(г, 2) : 0 < г < Я1, Ц < 2 < Н2} .

Границы областей 01, 0,2 и 0,3 будут составлены из участков 5 1 = {0 < Г < 2 = 0} ,

Б2 = {* < г < *2, 2 = 0}

£3 = {г = *2, 0 < 2 < Н2}

Бл = {К, < г < К#, 2 = Я,} , ^ = {г = К,, Ц < 2 < н#}, Б6 = {0 < г < К,, 2 = Д} ,

57 = {г = о, 0 < 2 < н,} , = {г = 0, н < 2 < н} , ^9 = {0 < г < К,, 2 = н#} ,

5,0 = {Г = К,, 0 < 2 < н}-

Математическая модель стационарного электрического поля [3], характеризуемого электрическим потенциалом и (г , 2 ) , в области О, представляет собой следующую краевую задачу:

1 5

г дг1Г

ди

дг

д2и д2 2

(« + Л10' ^^ = иа, (и + ^2 0 ))5г = Ч , (и - ^2 0 ))5з = Ч >

ди

д2

= 0,

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(“ + Л, 0' ))|Яш = ^(2 ), (6)

где иа и ис - заданные потенциалы соответственно анода и катода, "Л,, "Л# - нелинейные в общем случае функции [4], определяющие поляризацию электродов, величина у = —СТ (ди / дп) определяет плотность тока, П - внешняя к области нормаль, СТ - удельная электропроводность электролита, (т. ) - некоторая

неизвестная пока функция.

Для решения задачи (,) - (6) будем использовать итерационный процесс [4], на каждом шаге которого решается задача для линейных функций и ^# .

Введем на отрезке [0, н#] сетку по переменной 2 с постоянным шагом к , и будем считать, что

2 0 = 0 , г т+, = н,, 2 к +, = н#. Применяя к задаче (,) - (6) разностную аппроксимацию по переменной

2 , для линейных функций и ^#, получим систему из к задач относительно компонент вектор - функции

и = (и (г , 2 ,), и (г , 2 #), и (г , 2 к )) ' (здесь и далее X ' есть элемент, транспонированный к X )

1 (І

Г <іг

/

и - с л

d и <іг d и dr

d и dr

= иа

г =*

= ис.

(7)

(8)

(9)

где состоящие из к компонент вектора Ча = (4(21), 4(2 т), Ча, Ча) ' и

Ч = (Ч , •••, Ч)',(С1 > 0 , С 2 > 0 ) определяются как некоторые константы, вектор Ъ учитывает

краевые условия (3) и (5). Трехдиагональная якобиева матрица С является положительно определенной и может быть представлена в виде

С = р'щ

(10)

где Б = Л, ag (Р,, Р#, Рк), причем Р, > 0 (, = \..к) есть собственные значения

матрицы С, а матрица 0~1 = б состоит из столбцов - собственных векторов матрицы С. Разложение (Ш) позволяет перейти от задачи (7) - (9) к совокупности независимых задач [5, 6] относительно компонент вектор - функции V

, Л ( ^, , - 7

— Р, V, = Л,, (П)

г dr Г

dr

dv і dr dv і dr

= Vа

і

(12)

(13)

где V = б ■ и , Л = б ■ Ь , V; К ( есть компоненты векторов V = б ■ иа и ( = б ■ Ц ,

, = \..к . Решение задачи (П) - (,3) при каждом фиксированном , = \..к можно выписать аналитически

через функции Бесселя мнимого аргумента 10 (х ) , К0 (х )

v, = А,10 (#7г) + в,К (#7у )— р-,

где константы , 5, определяются краевыми условиями и содержат линейную зависимость от

неизвестных 4(2,), ..., 4(2 т) . Тогда решение задачи (,) - (6) на введенной сетке формально можно

записать в виде

йо, = б"1 • V = и а(г , 4(2,), ..., 4(2т)). (,4)

Применяя аналогичные рассуждения, можно выписать выражение для электрического потенциала в

области О# , зависящего от 4(2 ,), ..., 4(2 т)

и П2 = и П2 (г , 4(2 ,), ..., 4(2 т)). (,5)

В силу непрерывности потенциала и (г , 2 ) в области О, ^ О#, требуя, чтобы у вектор - функций и пг(г ) и и п#(г ) значения компонент, соответствующих одним и тем же узлам сетки 2, , , = !.т, при

Г = К, совпадали, получим уравнение

ЙП1(К,, 4(2,),..., 4(2т)) = ЙП#(К,, 4(2 ,),..., 4(2т)),

которое позволяет найти неизвестные 4(2 ,Х ..., 4(2 т) ■ П°сле этого электрический потенциал на

введенной сетке в областях О,, О# определяется из (М) и (,5).

Распределение теплового поля в области О# ^ О3, характеризуемого абсолютной температурой Т(г , 2 ) , определяется решением задачи [3]

с 2ст

1 д

X д2 V д2 у

-0 24а ((£■)! + (тт)!). (г.2) Є а2

т + а дт

а1 д2

0, (г ,2) Є ^3

дГ

дг

т - — А

а3 д2 у

__ и

Т

«1

= Т*(2 ),

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

где X - коэффициент теплопроводности, а . - коэффициенты конвективного теплообмена на различных

участках границы (. = , #, 3 ), Т0 - температура окружающей среды, Т (2 ) - некоторая неизвестная пока

функция.

Обозначив Т = (Т(г , 2 ,), ..., Т(г , 2 к)) ' и применив разностную аппроксимацию по переменной

2 , можно свести задачу (,6) - (#0) к совокупности независимых уравнений относительно компонент ( , , = I .к , вектора V = Р ■ Т

1 d ( dVl

--Нг ~т I - У і = * (г X

г аг V иг

т, X д(

VI +----------------------

а2 дг у

V

= V*

і

(21)

(22)

(23)

Г =Д!

где Р - некоторая матрица, у, > 0 , Е, (г) - известные функции от переменной Г , ( есть

компоненты вектора V = Р ' (Т (2 ,), ..., Т (2 к)) '.

Для каждой задачи (#,) - (#3) можно выписать функцию Грина [4]

| С 0(>/у7г), 0 < г < х С (г ’х) [с/0(>/у7г ) + сзК0^>/у7г X х < ^ < К, ’

где константы С,, С#, С3 линейно зависят от неизвестных Т (2,), ..., Т (2 к). Общее решение

задачи (#,) - (#3) представляется в виде

К,

Тогда общее решение задачи (1) - (6) в области ^ ^ О на введенной сетке формально определяется

как

Тп2п3 = Р~1У = Тп2п3(г , т"(21), Г*(2к)). (24)

Применяя аналогичные рассуждения, можно получить выражение для теплового поля в области О1

Та, = Та(г , Г*(21), Г*(2к)). (25)

В силу непрерывности по переменной Г функции Т(г , 2 ) в области ^1 ^ О2 ^ ^3, имеет место

соотношение

7

5 ^10

0

Тп1(^1, T*(zj), T*(zt)) = TП2П,(Д15 T*(z j), T*(zt)),

являющееся системой линейных уравнений относительно неизвестных Т (z 1), Т (zк),

позволяющей эти неизвестные однозначно определить. После этого распределение теплового поля в областях n1s q2 и можно найти из соотношений (24) и (25).

На основе предложенной схемы реализуется алгоритм совместного расчета электрического и теплового полей, например, с учетом зависимости электрической проводимости электролита от температуры. Отметим, что рассмотренный подход позволяет свести исходную задачу к совокупности независимых задач, что допускает эффективное использование алгоритмов параллельного счета с применением многопроцессорной вычислительной техники.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоссель Ю.Я. Расчет потенциальных полей в энергетике. Л.: Энергия, 1978. 351 с.

2. Болотнов А.М. Методы граничных элементов в расчетах электрических полей. Уфа: РИО БашГУ, 2002. 144

с.

3. Иванов В.Т., Щербинин С.А., Галимов А.А. Математическое моделирование электромассопереноса в сложных системах. Уфа: УрО АН СССР, 1991. 199 с.

4. Болотнов А.М., Иванов В.Т., Кильдибекова Г.Я., Махмутов М.М. и др. Методы расчета трехмерных краевых задач для эллиптических уравнений в многосвязных областях с цилиндрическими границами. Деп. в ВИНИТИ 4.12.86. № 8870 -В86. Уфа: БГУ, 1986. 49 с.

5. Иванов В.Т., Глазов Н.П., Махмутов М.М. Расчет трехмерных полей в неоднородной среде с

протяженными тонкими цилиндрическими электродами // Электричество, 1985, №6. С. 48 - 52.

6. Махмутов М.М., Хисаметдинов Ф.З., Мансуров Я.Я. Расчет параметров электрического поля на

поверхности цилиндрического электрода в неоднородной среде //Сб. тр. рег. науч. - техн. конф. Магнитогорск: МГТУ, 2004. С. 182 - 185.

Поступила в редакцию 20.06.05 г.

УДК 681.3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО РАСКРОЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ГРУППИРОВКИ

Картак В.М*

1. Введение

Классическая задача одномерного раскроя состоит в следующем: заданы длина L раскраиваемого материала (прутков) и длины li получаемых из него заготовок m наименований, а также необходимое

количество bi каждой заготовки вида 1 = 1, m . Требуется рассчитать оптимальный план раскроя, обеспечивающий минимальный расход материала. Согласно Dyckhoffs типологии раскроя и упаковки - это проблема типа 1/V/1/M [1]. Задача одномерной упаковки P=(L,m,l) (Bin-Packing Problem, BPP) c

l = (l1,l2,...,lm) является частным случаем задачи одномерного раскроя E=(L,m,l,b) (Cutting Stock Problem,

CSP) c b = Ь ,..., bm ) и bj > 1, i = 1, m . Известно, что обе задачи могут быть сформулированы как задачи целочисленного раскроя и относятся к классу NP-трудных проблем.

1. Свойство целочисленного округления (IRUP) для задачи линейного целочисленного раскроя.

Пусть М - число всевозможных карт раскроя. Каждый допустимый способ раскроя прутка можно представить в виде m-мерного вектора aj=(alj, a2J, ..., amj)T, j=1,...,M с целочисленными неотрицательными

компонентами, для которого выполнено ограничение ^j а < ^ Данный вектор aj, j=1,...,M называется

i=11 У

картой раскроя, ау - количество i-х заготовок, входящих в j-ю карту раскроя, М - число всевозможных карт раскроя. Целое xj есть число прутков, которые должны быть разделены в соответствии с картой раскроя aj.

Картак Вадим Михайлович - к.ф.-м.н., доцент каф дифференциальных уравнений БашГУ