CC BY
28
УДК 624.953.014.2.004.15
ПРИМЕНЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ "СЛАБЕЙШЕГО ЗВЕНА" В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.
С.С. Насонова, к.т.н., доц., С.Н. Семенец, к.т.н., доц., Л.Ю. Кривенкова, ст.преп.
Ключевые слова: надежность, слабейшее звено, синтез показателей надежности
Актуальность. В настоящее время значительная часть строительных конструкций и сооружений, находящихся в эксплуатации на территории Украины, имеют срок службы, существенно превышающий нормативный и находятся в стадии активного физического износа, в связи с чем, в последние годы в значительной мере повысился фактический риск их отказов. Все это обуславливает актуальность исследований, направленных на повышение надежности указанных объектов, что связано, прежде всего, с адекватным математическим описанием показателей надежности.
Анализ последних публикаций. Соответствующие вопросы особенно актуальны применительно к конструкциям, относящимся к сооружениям высокой степени ответственности, для которых обеспечение надежности имеет решающее значение. Рассмотрению проблем надежности и методам расчетной оценки прочности и устойчивости конструкций посвящены работы Перельмутера А.В., Егорова Е.А., Семенец С.С. [6,3,4].
Цель исследования. С точки зрения надежности большинство строительных конструкций можно рассматривать после декомпозиции как систему с последовательным соединением элементов. Соответствующая структурная схема приведена на рис.1.
Рис.1. Структурная схема системы с последовательным соединением элементов.
Для нормального функционирования такой системы все ее элементы должны быть работоспособными. Отказ же хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Под отказом понимается переход объекта из работоспособного состояния в неработоспособное состояние.
В разнообразных прикладных задачах, связанных с моделированием надежности строительных конструкций возникает проблема формирования оператора £, связывающего показатели надежности конструкции с вероятностными характеристиками ее конструктивных элементов. В случае независимости отказов отдельных элементов (т.е. отсутствия причинно-следственных связей между отказами) эта проблема легко решается на основе известного правила умножения вероятностей [5]. Если же отказы отдельных элементов рассматриваемой системы статистически зависимы, то построить оператор £, адекватно отображающий зависимость показателей надежности конструкции от вероятностных характеристик ее конструктивных элементов, значительно сложнее. Известный в теории вероятностей подход к построению оператора £ для случая зависимых отказов основан на синтезе функций (интегральной или плотности) совместного распределения вероятностей наработок до отказа отдельных конструктивных элементов. Однако для решения практических задач такой подход крайне неудобен и при п > 2 фактически не используется. В статье обсуждаются вопросы использованием гипотезы "слабейшего звена" [1,5] для формирования оператора £.
Основной материал. Рассматривается некоторая конструкция, выполняющая требуемые функции в условиях физического износа. Структурная схема конструкции соответствует системе с последовательным соединением элементов (см. рис.1). Считается, что наступление отказа отдельных элементов и конструкции в целом является следствием накопления недопустимой совокупности дефектов и повреждении.
Пусть Р, (?) - вероятность безотказной работы , - го элемента на протяжении времени I
Р (?)=Р(%, > о,,=1п, (1)
где 1, - наработка до отказа , - го элемента, рассматриваемая далее как нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием т и среднеквадратическим отклонением О,.
Тогда вероятность безотказной работы всей конструкции на протяжении времени t определяется вероятностью события, состоящего в том, что все конструктивные элементы находятся в безотказном состоянии
Р,(t) = P(ts > t) = P(t1 > tПТ2 > t...nt„ > t), (2)
где ts - наработка до отказа всей конструкции.
Как правило, для физического износа строительных конструкций характерно развитие эксплуатационных повреждений различной природы (различного вида). Если любые два конструктивных элемента не имеют повреждений одного вида, то наработки t1, t2...tn можно считать величинами независимыми, что позволяет определить вероятность Рs (t) на основе правила умножения вероятностей
Ps (t )=П Р (t) . (3)
i=1
Если же для всех конструктивных элементов характерно наличие хотя бы одного общего вида эксплуатационных повреждений, то величины t1, t2...tn будут коррелированными, а значит и зависимыми. Покажем, что в случае положительной корреляционной зависимости между наработками до отказа t1,t2...tn для определения вероятности Рs(t) может быть использована модель "слабейшего звена"
Ps (t )= min р. (t), i = 1n. (4)
Заметим, что модель (4) выражает в математической форме гипотезу, согласно которой, если в процессе эксплуатации причиной отказов всех элементов системы является воздействие совокупности одних и тех же факторов, то первым выходит из строя тот элемент, вероятность безотказной работы которого наименьшая на момент отказа. Прообразом этой модели является механическая цепь, состоящая из некоторого числа звеньев, когда она разрушается, если приложена нагрузка, превышающая прочность какого-либо одного звена.
Поскольку - случайная величина, имеющая нормальный закон распределения вероятностей, то вероятность безотказной работы i - го элемента легко определяется через известную функцию Лапласа
2
л _ 2 _
R (t) = F(w ) = iехР() dz,, i = 1, n , (5)
V2p W 2
где wi = (t - m) / si; zi - нормированная нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением равным 1
Z (6)
Si
Важно отметить, что функция Лапласа является монотонно убывающей. Ее значения тем меньше, чем больше величина нижнего предела интегрирования. Причем F(wi )> 0,5 при wi < 0 и F(wi )< 0,5 при wi > 0.
Обозначим
* t-mi, t-mi . -т— w =-= max——, i = 1, n, (7)
S. S
где i* - номер конструктивного элемента, имеющего наименьшую вероятность безотказной работы.
Если наработки до отказа всех конструктивных элементов t1,t2...tn рассматривать как коррелированные случайные величины и обозначить через ti наработку до отказа элемента, имеющего наименьшую вероятность безотказной работы, то можно записать
Zi » rгZг,, i = 1 П , (8)
где ri - коэффициент корреляции ti на ti .
С учетом (6) - (8) следующие три события являются эквивалентными
(t > t У
f t > tzHi ^
(rzi, > w )•
Принимая во внимание (2) и (9) запишем следующее соотношение эквивалентности
К > t)'
(
\
(
\
(
\
w1 n z. W2 > — ... n wn Zu > —
l r1 У l Г2 У .r l n у
(10)
Пусть в период эксплуатации на основе действующей системы технического обслуживания и ремонтов производится периодическое восстановление конструкции, причем на протяжении всего срока службы риск отказа любого конструктивного элемента не превосходит 0,5 (при правильной организации технического обслуживания этот риск в действительности значительно меньше 0,5). Тогда все wi в (10) можно считать неположительными величинами, из чего следует (с учетом 0 < ri < 1) эквивалентность событий
(*, > t) ~ (z, > W ) • (11)
Это значит, что вероятность безотказной работы конструкции на протяжении времени t может быть найдена на основе модели "слабейшего звена"
Ps(t) = f(W)= minR(t),i = ~n • (12)
Заметим, что модель (12) можно использовать и для определения значений других вероятностных показателей надежности, таких как, например, вероятность ненаступления предельных состояний (ПС) конструкции. Кроме того, если все коэффициенты корреляции в (8) близки к 1, то эта модель будет полезной для приближенной оценки вероятности безотказной работы конструкции. Это не зависит от того, производилось или нет ее техническое обслуживание в период эксплуатации.
Рассмотрим методику синтеза показателей надежности строительных конструкций по показателям надежности их конструктивных элементов на примере стальных резервуаров для нефтепродуктов, структурная схема которых приведена на рис.2.
Нижние пояса стенки
Верхние пояса стенки
Рис.2. Структурная схема стального резервуара для нефтепродуктов.
В контексте надежности нефтяной резервуар можно рассматривать как систему, состоящую из 4-х основных конструктивных элементов (днища, узла сопряжения стенки с днищем, цилиндрической стенки и кровли), которые последовательно соединены между собой. В свою очередь цилиндрическая стенка состоит из последовательно соединенных поясов, которые подразделяются на пояса нижние и верхние. Цилиндрическая стенка и узел сопряжения являются несущими конструкциями, днище и кровля выполняют ограждающую функцию. В соответствии с нормативными документами [8,9] резервуар на протяжении всего времени эксплуатации должен удовлетворять требованиям прочности, устойчивости и герметичности. Заметим, что для корпуса нефтяных резервуаров не характерны эксплуатационные повреждения, приводящие к нарушению герметичности. Если же такие повреждения и возникают, то в виде сквозных пор в сварных швах, что не приводит к сколько-нибудь серьезным последствиям и практически не влияет на техническое состояние резервуара, поскольку этот вид повреждений обычно своевременно обнаруживаются и сравнительно легко устраняются на основе осмотровых ремонтов без вывода резервуара из эксплуатации. Поэтому можно считать, что резервуар в процессе эксплуатации находится в работоспособном состоянии, если его цилиндрическая стенка отвечает условиям прочности и устойчивости, узел сопряжения стенки с днищем - условию прочности, а днище и кровля - условию герметичности.
Статистический анализ многочисленных натурных обследований нефтяных резервуаров [4] показывает, что наработки до отказа всех их стальных конструкций являются случайными
величинами, имеющими положительную корреляционную зависимость. Это объясняется следующими обстоятельствами. Основными факторами, негативно влияющими на техническое состояние нефтяных резервуаров и понижающими их эксплуатационную надежность, являются: а) коррозионный износ; Ь) несовершенства технологии изготовления и монтажа; с) подрастание трещиновидных дефектов под воздействием циклического заполнения резервуара нефтепродуктом; ё) неравномерные осадки основания по нижнему контуру и под днищем. Если наступление отказа резервуара рассматривать как следствие накопления в нем недопустимой совокупности дефектов и повреждений, то отказы конструктивных элементов этого сооружения не являются статистически независимыми событиями, поскольку все стальные конструкции резервуара в той или иной мере подвержены коррозии. Поэтому наработки до отказа резервуарных конструкций являются коррелированными (а значит и зависимыми) случайными величинами. Покажем, что вероятность безотказной работы резервуара можно найти на основе модели "слабейшего звена".
Рассмотрим цилиндрическую стенку резервуара. Пусть Р" () - вероятность ненаступления
ПС цилиндрической стенки по условию прочности в течение времени t
2
^) = ф(^. ) = _ I ехр(-^) dzI,. = 1, т , (13)
1 _ 2 _
К (t) = F(wCI) = -7= f exp(-Z-) dz,, i = 1, m , V2p W. 2
где wa =(t -тс,)/ ;
zi = CC )/ ;
t" - наработка i - го пояса до наступления ПС по условию прочности, рассматриваемая как нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием mci и среднеквадратическим отклонением öci;
m - количество поясов цилиндрической стенки. Учитывая то, что цилиндрическая стенка резервуара представляет собой систему последовательно соединенных поясов, вероятность безотказной работы этого конструктивного
элемента P"(t) можно найти на основе модели "слабейшего звена"
Рсп (t) = min pi (t), i = 1,m, 14)
Пусть P^(t) - вероятность ненаступления ПС цилиндрической стенки по условию устойчивости, определяемая по формуле
PC(t) = F(wy )=-Д= f exp( 2 )dz, (15)
V2P у 2
где < = (t-тУ)/су ;
z = (ту-ту)/су ;
Ту - наработка . - го пояса до наступления ПС по условию устойчивости, рассматриваемая как нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием тУ и среднеквадратическим отклонением су .
Тогда вероятность безотказной работы цилиндрической стенки в течение времен t определяется на основе следующей модели "слабейшего звена"
Р^)= шт(рсп^),Рсу^)) . (16)
Обозначим через Р (t), Ра () , Рк () вероятности безотказной работы, соответственно, узла
сопряжения днища и кровли в течение времени t (эти вероятности выражаются через функцию Лапласа, если наработки до отказа указанных конструктивных элементов являются нормально распределенными случайными величинами с известными вероятностными характеристиками). Тогда вероятность безотказной работы (ненаступления ПС по условиям прочности и устойчивости) корпуса резервуара РСог () и вероятность безотказной работы всего резервуара Рж () можно найти на основе следующих моделей "слабейшего звена"
Рсог^) = тт^),РуС^)); (17)
Р, (г) = Ш1п(рс(г),РуС(г),Р,(г),Рк (г)) . (18)
Принимая во внимание модели (13) - (17) , можно легко определить и другие важнейшие показатели надежности нефтяных резервуаров, такие как, например, среднее время безотказной работы на протяжении заданного срока службы, вероятность отказа в данном промежутке времени, интенсивность отказов в заданный момент времени и т.д. Приведем расчетные модели перечисленных показателей надежности для произвольной резервуарной конструкции с вероятностью безотказной работы Р(£) и наработкой до отказа т, распределенной по нормальному закону.
Среднее время безотказной работы конструкции на протяжении срока службы Т
Т
Тср = I Р(^; (19)
о
Вероятность отказа в промежутке времени [ 1Х, £ 2 ]
Р(\ <т<Хг) = Р(?1 )-Р(?2). (20)
Интенсивность отказов в момент времени £
(2.)
где / - плотность нормированного нормального распределения вероятностей; w = (£-т)/а.
Выводы. В случае положительной корреляционной зависимости наработок до отказа отдельных конструктивных элементов для синтеза показателей надежности строительных конструкций может применяться модель "слабейшего звена". Эта модель адекватно отображает зависимость показателей надежности конструкции от показателей надежности ее конструктивных элементов, если вероятность отказа последних в рассматриваемом промежутке времени не превышает 0,5, что практически всегда имеет место в случае технического обслуживания конструкции в процессе эксплуатации. Кроме того, если коэффициенты корреляции наработок до отказа конструктивных элементов близки к 1, то эта модель может быть полезной для приближенной оценки вероятности безотказной работы конструкции. Это не зависит от того, производилось или нет ее техническое обслуживание в период эксплуатации.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Аугусти Г., Баратта А., Кашиати Ф. Вероятностные методы в строительном проектировании: Пер.с англ. М: Стройиздат, 1988. 584с.
2. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. М: Машиностроение, 1990. 448с.
3. Егоров Е.А. Исследования и методы расчетной оценки прочности, устойчивости и остаточного ресурса стальных резервуаров, находящихся в эксплуатации. Днепропетровск: Навчальна книга, 2002. 95 с.
4. Егоров Е.А., Семенец С.С. Систематизация фактора восстановления в моделях эксплуатационного состояния нефтяных резервуаров// Вюник ПДАБА. 2006, №.2.- с.10 18.
5. К. Капур, Л. Ламберсон Надежность и проектирование систем: Пер. с англ. М: Мир, 1980. 604с.
6. Перельмутер А.В. Избранные проблемы надежности и безопасности строительных конструкций. К: Укрниипроектстальконструкция, 1999. 212с
7. Правила техтчно! експлуатацп резервуарiв та шструкцп по !х ремонту //Доповнення та змши.-К.: Укрнафтопродукт, 1997.- 297 с.
8. Резервуари вертикальш сталевi для збереження нафти i нафтопродукпв з тиском насичених парiв не вище 93.3кПа // Вiдомчi будiвельнi норми Украши ВБН 2.2-58.2-94. -Кив, 1994. -98с.
9. СНиП 11-23-81. Стальные конструкции. Нормы проектирования. М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1990. 96 с.
УДК 624.953.014.2.004.15
Применение гипотезы "слабейшего звена" в задачах моделирования надежности строительных конструкций / С.С. Насонова, С.Н. Семенец, Л.Ю. Кривенкова //Вкник ПридншровськоТ державноТ академп будiвництва та арх^ектури. Днiпропетровськ: ПДАБтаА, 2009. № . С Бiблiогр.:(9 назв)
Определен класс задач математического моделирования надежности строительных конструкций, в которых может применяться модель "слабейшего звена". Методика использования этой модели рассматривается на примере формирования показателей надежности стальных резервуаров для нефтепродуктов.
Ключевые слова: надежность, слабейшее звено, синтез показателей надежности
Застосування гшотези "слабкоТ ланки" в задачах моделювання надшност будiвельних конструкцш / С.С. Насонова, С.М. Семенець, Л.Ю. Кривенкова //Вкник ПридншровськоТ державноТ академп будiвництва та арх^ектури. Дншропетровськ: ПДАБтаА, 2009. № . С. Бiблiогр.:(9 назв)
Визначений клас задач математичного моделювання надшносп будiвельних конструкцш, в яких може застосовуватися модель "слабко! ланки". Методика використання ще! моделi розглядаеться на прикладi формування показникiв надiйностi сталевих резервуарiв для нафтопродукпв.
Ключовi слова: надттстъ, слабка ланка, синтез показниюв надтност1
Application of hypothesis of the "weakest link" in the tasks of design of reliability of the building constructions / S.Nasonova, S.Semenets, L.Кrуvenkova //Вкник ПридншровськоТ державноТ академп бущвництва та арх^ектури. Дншропетровськ: ПДАБтaA, 2009. № . С. Бiблiогр.:(9 назв.)
The class of tasks of mathematical design of reliability of building constructions is certain, the model of the "weakest link can be used in which". The method of the use of this model is examined on the example of forming of reliability indexes of steel reservoirs for oil.
Keywords: reliability, weaker link, synthesis of reliability indexes
