Применение гиперболической теории сдвиговой деформации для анализа свободных колебаний косинусоидальных функционально-градиентных оболочек двойной кривизны при различных граничных условиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.384.6

Применение гиперболической теории сдвиговой деформации для анализа свободных колебаний косинусоидальных функционально-градиентных оболочек двойной кривизны при различных граничных условиях

A.A. Daikh1,2, M.-O. Belarbi3, P.V. Vinh4, M. Ladmek2, A. Belkacem2, M.S.A. Houari2, H.M. Ahmed5, M.A. Eltaher5,6

1 Университетский центр Наамы, Наама, 45000, Алжир 2 Университет Мустафы Стамбули, Маскара, 29000, Алжир 3 Университет Бискры, Бискра, 07000, Алжир 4 Технический университет им. Ле Куй Дона, Ханой, Вьетнам 5 Университет короля Абдул-Азиза, Джидда, 21589, Саудовская Аравия 6 Университет Эз-Заказика, Эз-Заказик, 44519, Египет

В статье предложен подход к исследованию свободных колебаний функционально-градиентных (ФГ) оболочек нового типа на основе оценки сдвиговой деформации с использованием гиперболической синусоидальной функции. Предложенный подход обеспечивает параболическое распределение сдвиговых деформаций и напряжений по толщине с нулевыми значениями на верхней и нижней поверхностях оболочки и не требует использования поправочного коэффициента сдвига. Ранее подобный подход не применялся для изучения ФГ оболочек со структурой данного типа. Градиентное изменение свойств материала по толщине описывается тригонометрической функцией. Рассматриваемый ФГ материал отличается высокой жесткостью, а также плавным и непрерывным изменением компонентов по толщине, что позволяет компенсировать недостатки обычных многослойных ФГ материалов. Рассмотрены два типа ФГ оболочек: тригонометрическая ФГ-А оболочка и тригонометрическая ФГ-В оболочка. Основные уравнения равновесия ФГ оболочки получены с использованием принципа виртуальной работы и решены аналитически методом Галеркина, который может описывать различные граничные условия. Найденное решение ограничено случаем прямоугольных плоских ФГ пластин постоянного сечения. Точность и предсказательная сила аналитической модели подтверждены сравнительными исследованиями. Проведен подробный параметрический анализ для оценки влияния неоднородности материала, геометрии и различных граничных условий на колебательное поведение. Предложенная модель может использоваться при проектировании корпусов и оболочечных конструкций различного назначения.

Ключевые слова: свободные колебания, косинусоидальная функционально-градиентная оболочка, метод Галеркина, гиперболическая теория сдвига, аналитические решения

DOI 10.55652/1683-805X_2024_27_2_33-49

An assessment of a new hyperbolic shear deformation theory for the free vibration analysis of cosine functionally graded doubly curved shells under various boundary conditions

A.A. Daikh1,2, M.-O. Belarbi3, P.V. Vinh4, M. Ladmek2, A. Belkacem2, M.S.A. Houari2, H.M. Ahmed5, and M.A. Eltaher6,7

1 Artificial Intelligence Laboratory for Mechanical and Civil Structures, and Soil, University Center of Naama,

Naama, 45000, Algeria

2 Laboratory for the Study of Structures and Mechanics of Materials, Mustapha Stambouli University, Mascara, 29000, Algeria 3 Research Laboratory of Civil Engineering, University of Biskra, Biskra, 07000, Algeria 4 Department of Solid Mechanics, Le Quy Don Technical University, Hanoi, Vietnam 5 Department of Civil and Environmental Engineering, Faculty of Engineering, King Abdulaziz University, Jeddah, 21589, Saudi Arabia 6 Faculty of Engineering, Mechanical Design and Production Department, Zagazig University, Zagazig, 44519, Egypt 7 Mechanical Engineering Department, Faculty of Engineering, King Abdulaziz University, Jeddah, 21589, Saudi Arabia

This paper introduces a new shear deformation theory, employing the hyperbolic sine function, for exploring the free vibration properties of a novel functionally graded (FG) shell structure. The proposed theory ensures a parabolic distribution of shear strains and stresses across the thickness, with zero values at the top and bottom surfaces, eliminating the requirement for any shear correction factor. This is the first time such an approach has been utilized for studying this type of FG structure. The material properties are assumed to vary gradually across the thickness in the form of a trigonometric function. The proposed FG material stands out due to its excellent rigidity and smooth and continuous variation of the material components through the thickness. This composition has the potential to compensate for the deficiencies found in conventional FG sandwiches. Two types of functionally graded shells are considered: the trigonometric FG-A shell and the trigonometric FG-B shell. The governing equilibrium equations of the FG shell are derived in detail with the principle of virtual work and are solved analytically by the Galerkin method that can cover different boundary conditions. The proposed solution is constrained to rectangular and straight FG plates of uniform cross-section. A wide range of comparative studies is carried out to establish the accuracy and the performance of the present analytical model. A detailed parametric analysis is performed to highlight the influence of the material inhomogeneity parameter, geometry and various boundary conditions on the vibration response. The proposed model has an important role in the design of various vessels and shells.

Keywords: free vibration, FGM cosine shell, Galerkin technique, hyperbolic shear theory, analytical solutions © Daikh A.A., Belarbi M.-O., Vinh P.V., Ladmek M., Belkacem A., Houari M.S.A., Ahmed H.M., Eltaher M.A., 2024

1. Введение

С момента введения в практику в 1980-х годах [1] функционально-градиентные материалы (ФГМ) получили широкое применение в различных отраслях промышленности и машиностроения. В ракетно-космической и авиационной отраслях ФГМ используются при производстве таких компонентов, как крылья, обшивка, газотурбинные двигатели и другие ответственные детали. Внедрение ФГМ в промышленное производство дает значительные преимущества при разработке различных изделий, например приводных валов, двигателей внутреннего сгорания, деталей морских судов. ФГМ также имеют перспективы применения в области медицины для протезирования костей, замены коленных суставов и изготовления стоматологических изделий. Благодаря исключительной термической стойкости данные материалы могут успешно применяться на атомных электростанциях. Они способны выдерживать экстремальные температуры и уровни радиации в активной зоне реактора, тем самым повышая безопасность и надежность производства ядерной энергии.

Исследование механических колебаний имеет первостепенное значение для понимания того, как механические системы реагируют на различные нагрузки. Эти знания позволяют разрабатывать оборудование, конструкции и транспортные средства с более высокой надежностью, эффективностью и безопасностью. Анализ колебаний облегчает выявление потенциальных проблем в действующих системах для принятия мер по предотвращению аварий и разрушения. По сути, понимание природы и управление колебаниями является фундаментальным аспектом в решении широкого спектра научно-технических задач: от гражданского строительства до авиакосмической техники, от промышленного производства до робототехники.

Изучению статического и динамического поведения функционально-градиентных (ФГ) балок, пластин и оболочек посвящены многочисленные исследования [2-5]. Значительные результаты получены при изучении балочных конструкций. Так, в работе [6] предложен новый подход к оценке характеристик изгиба и свободных колебаний ФГ балок на основе сдвиговой деформации, использующий аналитические и конечно-разностные методы, в рамках которого получены значимые результаты. С использованием метода дифференциальных квадратур изучено влияние

температурных условий на свойства свободных колебаний ФГ балок [7]. Для изучения изгибных характеристик двумерных ФГ нанобалок предложена нелокальная градиентная теория деформации [8]. В ряде работ исследовано статическое и динамическое поведение двунаправленных ФГ балок в рамках различных подходов к оценке сдвиговой и нормальной деформации [9-12].

В работе [13] на основе уточненной теории сдвиговой деформации проведен численный анализ изгибного поведения и колебаний многослойных ФГ пластин с использованием 8-узло-вого четырехугольного пластинчатого элемента ^иЛБ-8). Для исследования колебаний, потери устойчивости и распространения волн в ФГ пластинах разработаны теории сдвиговой деформации более высокого порядка и квазитрехмерные теории [14-16]. В ряде работ изучено влияние упругого основания на механическое поведение ФГ пластин [17-21]. С использованием теории сдвиговой деформации пластин первого порядка разработан подход для анализа колебательного поведения кольцевых ФГ нанопластин на основе напряжений [22]. В рамках теории сдвиговой деформации оболочек третьего порядка Редди изучены свободные колебания вращающихся армированных тороидальных оболочек из нанокомпо-зита под воздействием тепловых нагрузок [23]. В [24] представлена теория сдвиговой и нормальной деформации более высокого порядка, включающая гиперболические функции формы для описания касательных напряжений и учета растяжения по толщине при анализе многослойных ФГ пластин. Показана эффективность данной теории как для тонких, так и для толстых пластин. Теория сдвиговой деформации более высокого порядка также применялась для изучения термомеханического поведения макро- и наноразмерных ФГ сэндвич-пластин [25]. С использованием двумерной и квазитрехмерной гиперболических интегральных теорий сдвиговой деформации проанализирована потеря устойчивости ФГ пластин [26]. Простота развитых теорий обусловлена меньшим числом неизвестных, используемых в поле смещений. В работе [27] на основе теории сдвиговой деформации первого порядка (Р8БТ) исследованы характеристики колебаний и потеря устойчивости многослойных ФГ пластин. Для выполнения условий отсутствия касательных напряжений на верхней и нижней поверхностях пластин была увеличена жесткость поперечного сдвига. На основе аналитического подхода [28]

рассмотрено колебательное поведение неоднородных ортотропных цилиндрических оболочек средней толщины с заданными граничными условиями защемления. Исследование проведено в рамках теории Для анализа пористых ФГ

пластин предложен метод изогеометрического анализа на основе теории сдвиговой деформации первого и третьего порядка [29]. Также была разработана послойная модель конечных элементов [30] для изучения изгибного поведения и свободных колебаний многослойных ФГ пластин.

В работе [31] проанализированы свободные колебания цилиндрических ФГ оболочек с использованием теории оболочек Лява и получены зависимости деформация-перемещения [31]. Основные уравнения движения решены с помощью метода Рэлея. В [32] исследованы геометрически нелинейные колебания пологих оболочек двойной кривизны с помощью двух различных нелинейных зависимостей деформации от перемещения, полученных на основе теорий оболочек Дон-нелла и Новожилова. В [33] разработана двумерная теория сдвиговой деформации высшего порядка (ЖБТ) для исследования свободных колебаний и устойчивости пологих ФГ оболочек. Усеченные приближенные теории применялись для решения задач о нахождении собственных значений свободно опертых пологих ФГ оболочек. Для анализа свободных колебаний цилиндрических ФГ оболочек предложена полуаналитическая конечно-элементная модель на основе трехмерной теории упругости [34]. С помощью р-версии метода конечных элементов в сочетании с методом переходных функций изучены нелинейные колебания пологих ФГ оболочек двойной кривизны [35].

В работе [36] нелинейные колебания пологих ФГ оболочек двойной кривизны исследованы с использованием теории оболочек Доннелла и метода Галеркина. Также авторы анализировали влияние тепловой среды на нелинейное колебание пологих ФГ оболочек двойной кривизны с использованием мультимодального энергетического подхода [37]. В [38] на основе теорий оболочек Доннелла и Сандерса получено точное решение в замкнутой форме для анализа свободных колебаний сегмента сферической ФГ оболочки типа Леви. В [39] проанализировано изгибное поведение конической ФГ оболочки и ее сегментов с использованием обобщенной неограниченной теории третьего порядка. Работа [40] посвящена исследованию свободных колебаний армирован-

ных пологих ФГ оболочек двойной кривизны при тепловом воздействии с использованием схемы гомогенизации Мори-Танаки для определения свойств материала.

Влияние агломерации на свободные колебания ламинированных композитных ФГ оболочек двойной кривизны, армированных углеродными на-нотрубками, изучено в работе [41]. В [42] разработана нелокальная градиентная теория сдвиговой деформации для анализа радиальной неустойчивости многослойных композитных ФГ на-нооболочек, армированных пластинками графена. В ряде работ [43-45] на основе макро- и нано-масштабных моделей рассмотрены свободные колебания цилиндрических ФГ оболочек. В рамках теорий и ЖБТ проанализированы свобод-

ные колебания пологих ФГ оболочек двойной кривизны [46, 47]. Исследование статического изгиба и свободных колебаний цилиндрических ФГ оболочек методом дифференциальных квадратур представлено в [48]. В работе [49] на основе теории проведен анализ колебательного поведения открытых цилиндрических композитных оболочек при общих граничных условиях. Данная теория также применялась для анализа ортотроп-ных оболочек двойной кривизны на основе модифицированной моментной теории упругости [50].

На основе теории проанализировано по-

ведение нелокальных свободных колебаний пьезоэлектрических нанооболочек двойной кривизны [51, 52]. В рамках нелокальной градиентной теории И8БТ [53] изучены свободные колебания и рассеяние волн в анизотропных нанооболочках двойной кривизны. С использованием теории ЖБТ и программного комплекса А№У8 рассмотрено колебательное и изгибное поведение пологих нанокомпозитных ФГ оболочек двойной кривизны [54]. Усовершенствованная теория И8БТ с тремя переменными для анализа изгибно-го поведения и свободных колебаний ФГ оболочек двойной кривизны предложена в [55]. Также свободные колебания ФГ оболочек двойной кривизны исследовали в рамках теории в сочетании с методом Ритца [56, 57]. Воздействие температуры на свободные колебания многослойных пологих ФГ оболочек изучали иерархическим конечно-элементным методом дифференциальных квадратур [58].

Представленный обзор литературы охватывает лишь часть многочисленных исследований в рассматриваемой области. Среди них можно выделить также работы, в которых изучены нелиней-

ные свободные колебания вязкоупругих пьезоэлектрических ФГ нанооболочек двойной кривизны с учетом эффектов растяжения [59], динамический отклик и распространение волн в пористых ФГ нанооболочках двойной кривизны с использованием нелокальной градиентной теории деформации [60, 61], а также влияние нелокальных изменений параметров на свободные колебания пологих ФГ нанооболочек двойной кривизны [62, 63]. В [64] рассмотрена динамическая устойчивость двунаправленных пористых цилиндрических ФГ оболочек на упругом основании. Методом Рэлея-Ритца исследованы свободные колебания композитных слоистых цилиндрических и сферических оболочек с произвольными граничными условиями [65]. На основе гиперболической теории сдвига проведен анализ свободных колебаний ламинированных поперечно-армированных композитных нанопластин и нанооболо-чек с углеродными нанотрубками с температур-но-зависимыми свойствами [66].

В большинстве приведенных в обзоре работ рассматривается поведение функционально-градиентных балок, пластин и оболочек. Для этих структур характерно непрерывное изменение компонентов материала и его эффективных свойств от нижней поверхности к верхней. В настоящей работе рассмотрены два новых типа ФГ оболочек, в которых распределение компонентов и эффективных свойств материала изменяется по толщине в соответствии с функцией косинуса. Данные

типы структуры перспективны с точки зрения оптимизации функционально-градиентных изделий в различных отраслях машиностроения и промышленности.

2. Математическая постановка

2.1. Свойства материала

Рассмотрим сплошную прямоугольную ФГ оболочку одинаковой толщины к, длины а и ширины Ь. Верхняя и нижняя грани пластины находятся в плоскости г = ± к/2. Рассматриваемые ФГ оболочки имеют два типа конфигурации: тригонометрическая ФГ-А оболочка и тригонометрическая ФГ-В оболочка.

Свойства материала ФГ-А и ФГ-В оболочек непрерывно изменяются по толщине в соответствии с функцией косинуса. Изменение объемной доли и распределение компонентов по толщине тригонометрических оболочек представлены на рис. 1, 2. Эффективные свойства материала описываются следующими уравнениями для тригонометрической ФГ-А оболочки:

Р( г) =

Р

т +1(Рс - Рт)

1 + соя

N

2пг Л к )

Аог N = 1,3,5,...,

Р

т +1(Рс - Рт)

1 - соя N

2пг

(1)

А

Юг N = 2,4,6,...,

Рис. 1. Изменение объемной доли керамического компонента по толщине функционально-градиентной оболочки типа ФГ-А (а) и ФГ-В (б). N = 1 (1), 2 (2), 3 (3) (цветной в онлайн-версии)

Рис. 2. Распределение керамического и металлического компонентов по толщине ФГ-А (а) и ФГ-В оболочек (б) (цветной в онлайн-версии)

и для тригонометрической ФГ-В оболочки

Р (*) =

Рс +1(Рт - Рс)

1 + СОБ

N 2е

V к у у

Юг N = 2,4,6,...,

Рс + |(Рт - Рс) Юг N = 1,3,5,

1 - СОБ

N

2п2

\\

уУ

(2)

2.2. Поле перемещений

Ввиду ограничений классической теории пластин, которая не учитывает влияние деформации поперечного сдвига, а также теории сдвиговой деформации первого порядка, в которой необходимо введение поправочных коэффициентов сдвига, в настоящей работе используется теория сдвиговой деформации пластин более высокого порядка. Предложена новая теория сдвиговой деформации, основанная на функции гиперболического синуса, для получения основных уравнений для анализа свободных колебаний ФГ оболочек. Поле перемещений определяется следующим образом [67]:

и(х, у, 2, t) = у(х, у, *, t) =

с \ 1

V КХ у с \

1+-2-

V Ъ у

ип - 2-

дх д^0

ду

0 + / ( * х, + / ( * )У у,

(3)

М?(х, у, 2, t) =

где и0, у0 и WQ — перемещения точек срединной плоскости композитной оболочки; ух и уу —углы поворота поперечной нормали в плоскости срединной поверхности (2 = 0). Функцию формы /(2)

выразим с помощью функции гиперболического синуса:

/ (2) = к БшИ

V к у

З23 2к2

(4)

где

8 ( 2 ) = /'( 2 ).

Ненулевые деформации можно определить по перемещению в виде

(5)

где

8 хх С80 1 хх С 81 1 хх С 8 2 1 хх

8 уу = 8 0 уу > + 2' 81 уу > + / ( 2 У 8 2 ьуу

У ху У 0 1 ху _ У1 1 ху _ У 2 1 ху ^

= 0,

дх дУе

ду

ду0 +. дх ду

/ (2 )|у у2 0

62

У х

+

^0

81

хх

81

ди0 уу У1 ху

д 2 дх 2 д 2

~дуГ

„ д 2 Wn

дхду

'уу

/2

'ху

дФ1 дх

дф2 ду

дФ2 + дФ1

(6)

дх ду

Соотношения для напряжений, связанных с деформациями, запишем в виде

а хх 611 012 0 0 0 в хх

с уу 012 622 0 0 0 в уу

1 уг > = 0 0 644 0 0 < У уг

^ хг 0 0 0 655 0 у хг

т ху 0 0 0 0 6бб _ у ху

(7)

где

Е гЕ

611 = " 2 = 622, 612 = " 2 1 - V2 1 - V2

644 = 655 = ббб = ^12 = ■

(8)

2(1 + V)

Интегрируя уравнение (7) по толщине, получим результирующие для напряжений, моментов и дополнительных моментов:

[{в0} {в1}

{Щ

{М } . =

.{Р},

[Л] [Б] [С] [Б] [Я] [К] [С] [К] [Я]

{в2}

\Ях

-уг

Л44 Л45 Л45 -/55

у0

/ уг

I у0

I I хг

(9)

(10)

где

{Щ} = = { Щхх Щуу Щху }Т

{М} = {Мхх Муу Мху}

{Р} = ~ {Рхх Р уу Рху }Т,

{в0}^ = {вхх в0 уу у0 }Т ху

{в1} = {вхх в1у у1 }Т ху

{в 2} = {вхх в 2 уу у ху } .

(11)

Коэффициенты Лу, Бц, Вц, Сц, ¥ц и Яу определим как

{Лу, Бу, Ви, Су, К, Я у }

И/ 2

у у у 'у 'у у

.2 /-/ ч /-/ ч /-2,

= | бу{1, г, г2, /(г), г/(г), /2(г)}4г,

-И/ 2

', у = 1, 2, б, 12

4г, ',у = 4,5.

(12)

^ 2

Л = I 6

-И/ 2

4/ (г)"

4г

Изменение энергии деформации композитной оболочки запишем в виде

ди = 11 [сххЬвхх + ууЬвуу + хуЬУху

2 У

+ хг 5У хг + уг 5У уг ]4У. (14)

Изменение кинетической энергии композитной оболочки в любой момент времени выразим в виде

1 ь

ЬТ = — II р(г/5г/ + VЬV + У )4Л4х, (15)

2 0 Л

ЬТ = 1 {/ 0 (И05«0 + V oЬV 0 + У 05У 0)

-'1

дх

0Ьй0 + ^5г0 + ■ V ^^

дУ 0

дЬгУ 0

~ и и ~ и ~

ду дх су

( дУ0 дЬУ0 дУ0 дЬУ0 Л

+ ' 2 +

V дх дх ду ду у

+ 'з(ФхЬй0 + й0Ьф х +Ф yЬV0 + 0ЬсР у )

(

Ф х

дЬгУ0 дУ0 0 . . дЬУ0 дУ0 —0 + —0 Ьф х +ф у-0+—у

дх дх ду ду

"Ьф у

+ '5 (фхЬфх + фуЬфу )}4x4У4z,

(1б)

где

{'0, '1, '2, 'з, '4, '5} = р(г){1, г, г2, Ф(г), гФ(г), Ф2(г)}4г. (17)

Подставив (15) и (1б) в (13), получим уравнения равновесия ФГ оболочки:

Л д\ Л11 дх2

+ Лбб ^ + (Л12 + Лбб) ^

ду дхду

Л11 + Л12

х У У

дУ0

д3У0

дх

11 дх3

- (Б12 + 2 Ббб)

д 33

-Б " "0 'ъ 4 " п0

дхду

д 2 д 2 п* д Ух I п* , /п! п! ч

■ Б11 -^ГГ" + Ббб~Г + (Б12 + Ббб )

дх2

ду2

д 2У у

дхду

(

'0 + 2А. + А

0 Я Я

х у у

д й0

2

> я3

'1

Ях

д3У0

V х у

дхд^2

' 3 + А 2У х

V Кх У

а 2

(18)

2.3. Вариационная постановка

На основе принципа Гамильтона получим уравнения движения ФГ оболочки:

ь1ь(и - Т )4/ = 0.

(13)

д 2й0

д 2 Vo

(Л12 + Лбб) ^ + Л22~~20 + Лб

дхду ду2

д2Vo дх2

- (Б12 + 2Ббб)

д3ж

д 3У0

_о_ - Б 0

дх 2ду ду3

Л12 + Л22

Ях Яу

V х у у

д0

дх

(Б2 + Ббб)

д V х дхду Л

Б

д V у

22 ду2

Б6

д 2у у дх 2

-2-1- + -4т

Яу Я2 у (

д 2 У0

(

а2

11 + ±

V Яу у

Л л3

д

дyдt2

13 + ±

V3 Яу у

^2

д > у

дt2

(19)

Б

д3и0

11

(Б12 + 2 Ббб)

д3и0 дхду2

11

12

Ях Я

у у

ди0 дх

(Б12 + 2 Ббб)

д3У0

дх2ду 2 Б11 + 2Б12

Б

д3У0

22

Ях

Я

ду д2 wl

Л12 + Л22 ях я

у у

ду0 ду

у у

дх

0 - п 2 п11

д Щ дх 4

- (2£>12 + 4Пбб)

д 4 w,

0__п

2^.2 П22

(

2 Б12 2 Б

ЛЯ 2

22

Ях

я

д w0

дх ду

4

д Щ ду 4

у

ду2

Л11 + 2 Л12

чЯх2 ЯхЯу

22

Я

wn

у у

П+ (^ + 2Пбб) дх

Бц Б

дх3 Л

дхду

12

Ях Я

дУ х

у у

дх

(Ц2 + 2Пбб)

д3у у дх2ду

п

д3у у

22 ду3

11

22

Ях Я

дУ у

= I0

-12

дЧ дt2

( д4Wo

3

1г

Ях

д и,

у у

ду

0

4

д w0

дx2дt2 ду2дt2

дxдt2 Л

+14

11 + ^ 1 Яу у

Л Я2

д 2У0

х +д3^ у

дyдt2

Л

Vдxдt2 дyдt2 у

,(20)

Б

д 2и0

11 ^Х2"

Б6

д 2и0

"ду2"

(Б/2 + Ббб)

д 2 У0

дхду

- п

дЧ

11 дх3

- (+ 2 Пбб)

д3w0 дхду2

и«

Б11 + Б12 Ях Я

дw0 + ^ д Ух + ^ д Ух

у у

дх

дх2

ду 2

- Л^у х + (+ Кб)

д 2У х дхду

(

13 + ^

V Ях у

(Б2 + Ббб)

д и,

дт'

0 -1 д w0 +1 «У*

2 4 Д...^2 5 дt2

дxдt2

д Ч

11 ду2

- (П?2 + 2 - П

(21)

д 2и0 дхду

Б

Бб

д 2 У0

дх2

дх ду

22

дЧ

ду3

(б Б« ^ 12 + 22

Ях Я

дwo + (+ ^ ) дV -+ (К12 + Рбб)-

К

д 2у

у у

у

11 ду2

Л п2 д 2 у

дх

-Кб«

д 2у дх'

дхду у - Л44У у

Я

уу

0 - т +7

2 - 14 «у^ + 15 дt2

у

2

(22)

3. Аналитическое решение

Целью данного исследования является использование аналитических решений для анализа поведения ФГ оболочек с учетом различных граничных условий. Выражения для обобщенных перемещений, полученные методом Галеркина, имеют следующий вид [б8-70]:

да да дХ (х)

{и0, Ух} = X X {итп, Хтп}«Хх^ Уп(у)егю,

т=1 п=1 дх

У у } = X X {Утп, тп

}Х (х)

т=1 п=1

да да

«У (у) (

ду

,(23)

Wo =ХХ ^тпХт ( х)Гп (у )е

т=1 п=1

Здесь Втп, Утп, Хтп и 2тп — произвольные параметры. Функции Хт(х) и Уп(у), которые удовлетворяют вышеуказанным граничным условиям, приведены в табл. 1, где а = т//а, р = «//Ь. Переменные т и п обозначают номера мод. Подставив (23) в (19)-(22), получим:

([ К ] -ю2[М ])

^тп 0'

У тп 0

ж тп . = < 0

Х тп 0

у _ тп 0

(24)

где [К] и [М] — матрицы жесткости и масс соответственно. Выражения для К и Мц в уравнении (24) приведены в Приложении А.

Таблица 1. Допустимые функции Xm(x) и Yn(y)

Граничные условия Xm(x) Yn(y)

ВБББ (все края свободно оперты) sin (ax) sin (Py)

СССС (все края защемлены) sin2 (ax) sin2 (Py)

СБСБ (два противоположных края защемлены, два — свободно оперты) sin (ax)[cos (ax) - 1] sin (Py)[cos (Py) - 1]

ССББ (два смежных края защемлены, два — свободно оперты) sin2 (ax) sin (Py)

СБББ (один край защемлен, три — свободно оперты) sin (ax)[cos (ax) - 1] sin (Py)

СССБ (три края защемлены, один — свободно оперт) sin2 (ax) sin (Py)[cos (Py) - 1]

4. Результаты и обсуждение

4.1. Анализ достоверности

Рассматриваемый материал состоит из смеси алюминия (А1) в качестве металлического компонента и оксида алюминия (А120з) в качестве керамического компонента. В расчетах использовались следующие значения свойств материала: модуль Юнга и плотность алюминия Ет = 70 ГПа и рс = 2707 кг/м3 соответственно. Для оксида алюминия Ес = 380 ГПа и рс = 3800 кг/м3 [71]. Коэффициент Пуассона V является постоянным и равен 0.3. Главные радиусы кривизны обозначаются как Ях и Яу. Численные результаты представлены в виде безразмерных частот:

(ЁС

\ЕС

(25)

Для оценки точности предложенной модели проведено сравнение первых собственных частот

свободно опертых прямоугольных пластин Al/ Al2O3 и оболочек двойной кривизны (табл. 2). Полученные результаты хорошо согласуются с данными работ [33, 35, 36, 55], что подтверждает точность и надежность предлагаемой модели и возможность ее применения для параметрических исследований.

4.2. Параметрическое исследование

В табл. 3 и на рис. 3 показано влияние соотношения сторон b/a и отношения длины к толщине a/h на свободные колебания сферических оболочек. Видно, что данные геометрические параметры оказывают значительное влияние на частоту сферической оболочки как для ФГ-A, так и для ФГ-B типа. Увеличение соотношения сторон b/a приводит к уменьшению безразмерной частоты обоих типов оболочек. Аналогично увеличение отношения длины к толщине a/h приводит к

Таблица 2. Сравнение собственных частот свободно опертых прямоугольных функционально-градиентных пластин А1/А1203 и оболочек двойной кривизны (а = Ь = 10Н, т = п = 1)

a/Rx b/Ry P [33] [35] [36] [55] Наст. статья

0.5 0.5 0 0.0751 0.0762 0.0779 0.0761 0.0753

0.5 0.0657 0.0664 0.0676 0.0662 0.0653

1 0.0601 0.0607 0.0617 0.0605 0.0595

4 0.0503 0.0509 0.0519 0.0506 0.0496

10 0.0464 0.0471 0.0482 0.0467 0.0459

0.5 0.0 0 0.0622 0.0629 0.0648 0.0628 0.0622

0.5 0.0535 0.0540 0.0553 0.0538 0.0533

1 0.0485 0.0490 0.0501 0.0488 0.0482

4 0.0413 0.0419 0.0430 0.0416 0.0410

10 0.0390 0.0395 0.0408 0.0392 0.0387

0.5 -0.5 0 0.0563 0.0580 0.0597 0.0577 0.0563

0.5 0.0479 0.0493 0.0506 0.0490 0.0478

1 0.0432 0.0445 0.0456 0.0442 0.0431

4 0.0372 0.0385 0.0396 0.0381 0.0371

10 0.0355 0.0368 0.0380 0.0364 0.0354

Таблица 3. Влияние геометрических параметров на безразмерные частоты сферической ФГ оболочки со свободно опертыми краями при N = 1

Ь/а Теория а/к

ФГ-А ФГ-В

5 10 20 30 5 10 20 30

0.5 Б8БТ 0.32272 0.09208 0.02534 0.0123б 0.44437 0.13585 0.03731 0.01751

БББТ 0.32233 0.0920б 0.02534 0.0123б 0.397бб 0.12981 0.03б82 0.01741

ТББТ 0.32211 0.09204 0.02533 0.0123б 0.40045 0.13022 0.03б8б 0.01742

Наст. теория 0.32211 0.09204 0.02533 0.0123б 0.40050 0.13023 0.03б8б 0.01742

1 Б8БТ 0.1439б 0.04055 0.01253 0.00б94 0.2078б 0.05909 0.01б80 0.0085б

БББТ 0.14391 0.04054 0.01253 0.00б94 0.19504 0.05792 0.01б72 0.00854

ТББТ 0.1438б 0.04054 0.01253 0.00б94 0.19589 0.05800 0.01б73 0.00855

Наст. теория 0.1438б 0.04054 0.01253 0.00б94 0.19590 0.05800 0.01б73 0.00855

2 Б8БТ 0.09208 0.02534 0.00771 0.00423 0.13585 0.03731 0.01043 0.0052б

БББТ 0.0920б 0.02534 0.00771 0.00423 0.12981 0.03б82 0.01040 0.0052б

ТББТ 0.09204 0.02533 0.00771 0.00423 0.13022 0.03б8б 0.01040 0.0052б

Наст. теория 0.09204 0.02533 0.00771 0.00423 0.13023 0.03б8б 0.01040 0.0052б

3 Б8БТ 0.08143 0.02178 0.00б19 0.00321 0.12131 0.03273 0.00880 0.00425

БББТ 0.08141 0.02178 0.00б19 0.00321 0.11б32 0.03233 0.00877 0.00425

ТББТ 0.08139 0.02178 0.00б19 0.00321 0.11ббб 0.0323б 0.00878 0.00425

Наст. теория 0.08139 0.02178 0.00б19 0.00321 0.11бб7 0.0323б 0.00878 0.00425

Б8БТ — теория сдвиговой деформации первого порядка, БББТ — теория сдвиговой деформации второго порядка, ТББТ — теория сдвиговой деформации третьего порядка.

Рис. 3. Влияние геометрических параметров на безразмерные частоты сферической ФГ оболочки со свободно опертыми краями: оболочка типа ФГ-А (а), ФГ-В (б) (цветной в онлайн-версии)

Таблица 4. Влияние материального параметра N и различных граничных условий на безразмерные частоты ФГ оболочек (а/И = 10)

N Граничные условия

ФГ-А ФГ-В

SSSS CCCC CCSS CSCS SSSS CCCC CCSS CSCS

Пластина 1 0.0371 0.0683 0.0548 0.0660 0.0557 0.0972 0.0792 0.0957

2 0.0454 0.0821 0.0662 0.0799 0.0504 0.0909 0.0733 0.0884

3 0.0469 0.0846 0.0682 0.0823 0.0491 0.0886 0.0714 0.0862

Сферическая оболочка 1 0.0405 0.0720 0.0581 0.0688 0.0580 0.0999 0.0814 0.0977

2 0.0483 0.0852 0.0689 0.0822 0.0529 0.0937 0.0757 0.0905

3 0.0496 0.0876 0.0708 0.0845 0.0517 0.0915 0.0739 0.0883

Гиперболопараболическая оболочка 1 0.0369 0.0705 0.0566 0.0674 0.0555 0.0988 0.0804 0.0966

2 0.0453 0.0840 0.0677 0.0810 0.0502 0.0925 0.0747 0.0894

3 0.0467 0.0864 0.0697 0.0834 0.0489 0.0903 0.0729 0.0872

Цилиндрическая оболочка 1 0.0380 0.0698 0.0566 0.0671 0.0562 0.0983 0.0804 0.0964

2 0.0461 0.0834 0.0677 0.0807 0.0510 0.0920 0.0746 0.0892

3 0.0475 0.0858 0.0697 0.0831 0.0497 0.0898 0.0728 0.0870

уменьшению толщины ФГ-А и ФГ-В оболочек и быстрому уменьшению их частоты (рис. 3). При этом при одинаковых геометрических параметрах и граничных условиях частота ФГ-А оболочек меньше по сравнению с ФГ-В оболочками. Это различие обусловлено разным распределением керамического компонента: в ФГ-А оболочках керамика сосредоточена вблизи средней плоскости, а в ФГ-В оболочках — ближе к поверхностям.

В табл. 4 приведены частоты различных типов ФГ пластин и оболочек при различных параметрах материала и граничных условиях. На рис. 4 табличные данные наглядно показаны для случая a/h = 5. Из таблицы видно, что с увеличением параметра материала N увеличивается жесткость структуры и, следовательно, частота ФГ-А оболочек. С другой стороны, для ФГ-В оболочек частота уменьшается с ростом параметра N независимо

N N

Рис. 4. Влияние параметра материала N и различных граничных условий на безразмерные частоты сферических ФГ оболочек: ФГ-А (а), ФГ-В (б). a/h = 5 (цветной в онлайн-версии)

Рис. 5. Влияние радиуса кривизны RJa на безразмерные частоты ФГ-В оболочек со свободно опертыми краями, a/h = 5, b = a, N = 1 (7), 2 (2), 3 (3); Rx/b = -5 (а), 5 (б), inf (б) (цветной в онлайн-версии)

от граничных условий. Данные результаты дают ценную информацию о влиянии изменения параметров материала на жесткость пластин и оболочек. В целом наибольшая частота наблюдается для защемленных со всех краев (СССС) пластин и оболочек, что указывает на их более жесткое поведение, в то время как пластины и оболочки со свободно опертыми краями (8888) демонстрируют самую низкую частоту, что предполагает более гибкое поведение. Кроме того, из различных рассмотренных форм оболочек сферические оболочки имеют самую высокую частоту и, следовательно, высокую жесткость; самая низкая частота наблюдается для гиперболопараболичес-ких оболочек, указывая на их более гибкое поведение. ФГ-В пластины и оболочки имеют более высокие частоты по сравнению с ФГ-А. На рис. 4 показано, что по мере увеличения параметра материала частота ФГ-А пластин и оболочек стремится к верхнему предельному значению, тогда как частота ФГ-В пластин и оболочек стремится к нижнему предельному значению. При схожих геометрических параметрах и граничных условиях верхняя предельная частота ФГ-А пластин и оболочек приближается к нижней предельной частоте ФГ-В пластин и оболочек.

На рис. 5 показано влияние радиуса кривизны Ях/а на свободные колебания свободно опертых ФГ-В оболочек при относительной толщине а/к = 5 и соотношении сторон Ь/а = 1. Для гипер-

болопараболических оболочек при увеличении радиуса кривизны с 2 до 4 (2 < Rx/a < 4) частота снижается. Однако при значениях радиуса кривизны выше 4 ( Rx/a > 4) его дальнейшее увеличение приводит к увеличению частоты. В случае сферических и цилиндрических оболочек увеличение радиуса кривизны приводит к быстрому снижению частоты, достигающей нижнего предельного значения. При этом наибольшая частота ФГ-В оболочек наблюдается при N = 1, которая снижается с увеличением параметра материала N.

На рис. 6 показаны безразмерные частоты ФГ-A и ФГ-B оболочек для свободно опертых сферических оболочек при значениях a/h = 5 и

Рис. б. Влияние номеров мод т и п на безразмерные частоты сферических ФГ оболочек со свободно опертыми краями, а/к = 5, Ь = а (цветной в онлайн-версии)

Ь[а = 1. Представленные данные ясно свидетельствуют о том, что частота ФГ-В оболочек выше по сравнению с ФГ-А. Кроме того, по мере увеличения значений форм колебаний т и п частота ФГ-А и ФГ-В оболочек также увеличивается.

5. Заключение

В работе предложено аналитическое решение для анализа механического поведения косинусо-идальных функционально-градиентных оболочек двойной кривизны. Метод описывает два новых типа распределения компонентов материала, что позволяет моделировать различные свойства материала внутри оболочек. Основное уравнение движения получено в рамках гиперболической теории сдвиговой деформации. С помощью метода Галеркина найдены аналитические решения задач свободных колебаний оболочек. Проведены перекрестная проверка полученных численных результатов и их верификация путем сравнения с данными предыдущих исследований. Кроме того, в ходе обширного параметрического исследования изучено влияние геометрических параметров, показателя неоднородности материала и граничных условий на колебательные характеристики косинусоидальных ФГ оболочек. В результате исследования получены следующие выводы.

Предложенная модель демонстрирует точность, надежность и эффективность при анализе рассмотренных систем. Ввиду меньшей жесткости косинусоидальных ФГ-А оболочек значения их безразмерных частот ниже по сравнению с ФГ-В оболочками. В отличие от ФГ-В оболочек увеличение параметра неоднородности материала N приводит к повышению жесткости и, следовательно, увеличению безразмерных частот ФГ-А оболочек. Частота ФГ-А и ФГ-В оболочек сильно зависит от радиуса кривизны, увеличение которого приводит к уменьшению частоты.

Результаты проведенного исследования могут быть использованы для проектирования и оптимизации функционально-градиентных оболочеч-ных конструкций. Полученное аналитическое решение позволяет достоверно и эффективно прогнозировать колебательное поведение косинусо-идальных ФГ оболочек при разработке новых конструкций. Данная работа вносит вклад в существующий объем знаний о поведении ФГ оболочек и создает предпосылки для дальнейших исследований в этой области.

Приложение A

Элементы матрицы жесткости: ab р? V PiY

*Ц = An ИЧХг*п ^n dxdy

+

A66 Я

оо дх

ab дХт -Y dXm дх ду2 дх

■Yn dxdy,

00

ab ^V Pl2V PiY

*!2 = (Al2 + A66) jj-^^^ dxdy,

K13 -

00 дх ду2 дх

Л ab

Д11 +f42 Ях R

jjdX^Yn dXmYn dxdy

у

00

дх

дх

ab Я3 Y PiY - B11 jj^Yn ^Yn dxdy

00 дх

дх

ab^V Pi2V PiY

- (B12 + 2 B66) jj^ -Y ~XLYn dxdy, 00 дх ду дх

ab -3 Y -Y K14 - Bn jj^MYn ^Yn dxdy

00

дх

дх

+ B66 jj-^ ^ ^ dxdy,

00 дх дy2 дх

ab ^Y Pi2V PiY

K15 - (#2 + BU)jjдХтiyf -YTYndxdy,

00 дх ду дх

K21 - (A12 + A66)JJ ^Ym ^ dxdy,

дх2 -у дy

00

ab д 3Y -Y K22 - A22 jjYm —fYm -y dxdy

00 -у3 -у

+ A66Ш-YmYm ддтdxdУ,

дх2 -у -у

K23 -

000

( A A Л ab

12 22

Rr R.

v х y

-Y -Y jj Ym ^Ym ~-yLYn х

-у ду

00

ab -3Y

-Yn

- B22 jj Ym —n Ym-y dxdy

00 -y3 -y

ab -2 Y дY дY - (B12 + 2B66) jj--^ -nYm -n dxdy,

00 -х2 -y -y

ab -2 Y дY дY

K24 - (B/2 + B6)jjqдYm-y^Ym -уdxdy,

00 дх2 ду ду

ab -3Y -Y K25 - B22 jj Ym -yYfYm dxdy

00 -y3 -t + B66 jj-^^m '-уdxdy,

00 -х2 ду ду

K3l --

( An , Al2 Л H -2X,

Rx R

У У

íí'

oo

-x

2 YnXmYn dxdy

ab -4X + Bllíí-nrYnXmYn dxdy

oo

-x

ab -2X -2Y

+ (Bl2 + 2B66)ÍÍ-—2T-^XmYn dxdy,

oo -x2 -У2

f л л Лab

K32 --

41

22

Rx R

у У

- 2Y

ííXm ^TfXmYn dxdy oo -У

ab

- 4Yn

+ B22 íí Xm -f- X mYn dxdy

-y

oo

ab -2 X -2Y + (B12 + 2B66)Ц—m-^XmYn dxdy, oo -x -У

f

K33 - 2

B11 B

22

Rx R

Л Г x

oo

-x

2 YnXmYn dxdy

(

+ 2

(

-12 , 22

Rx R

У У

y У Л ab

ííX m - 2 ^ ^ m n

oo -y

- Y

XmYn dxdy

A11 + 2 A12 + A22 R2 RxRy R2

V x x y y

^ ab

ííXmYnXmYn dxdy oo

ab -4 X

- D11 í^^YnXmYn dxdy

oo —x

ab - 4 y

- D22ííXm —f XmYn dxdy

oo qy

ab -2 X -2Y - 2(D12 + 2D66)íí-d-2m-TfXmYn dxdy,

oo -x2 -y2

f r%S r%S Л Í

K34 --

BlSl + BÏ2 "Л-X

Rx Ry

V x y У

íí

oo

-x

2 YnXmYn dxdy

ab -4X + Dl í^^YnXmYn dxdy oo —x

ab -2 X -2Y (DlS2 + 2ОДíí—f^m —Г~2~XmYn dxdy

K35 --

oo

B12 + B22

Rx Ry

-x2 -y2

Л ab

ííXm^XmYn dxdy

-2y„

ab

oo

- Y

-y2

+ DS22ííXm^XmYn dxdy oo -У

ab -2 X -2Y (DlS2 + 2D¿)Я-^—^fXmYn dxdy, oo -x -У

ab -3 X -X

K41 - BlSlíí-—3 Yn ~XmYn dxdy oo -x

—x

+ RS К —Xm -2Yn —Xm Y JxJy +B66 ^^dxdy,

oo

ab ^V Я2У PiY

K42 - (BlS2 + B¿)íí^—Y —^n dxdy,

-x —y2 —x

K43 -

rS rs

Bll + £12 Rx R

oo

Л ab

íí—XmYn —XmYn dxdy

y

oo

—x

—x

ab pi3 Y PiY - Duíí^Yn Ц*-Yn dxdy oo -x

—x

ab AY Pi2V PiY

- (DS2 + 2D6S6)íí—¡-m —yYtЦтYn dxdy,

—x —y2 -x

oo

ab -3 X -X K44 - FlSlíí-—¡-mYn %Yn dxdy

oo —x

—x

+IíX-—Y—Ь ■«y

oo

ab

- A44í'b^Yn —XmYn dxdy,

oo

—x

—x

ab -X -2Y -X

K45 - (Fl2 + F6S6)íí—Xm —yYt-XmYn dxdy, —x —y2 —x

oo

ab -2 X -Y -Y K51 - ( BlS2 + B6S6) íí--YnXm -Yn dxdy,

oo

-x2 -y —y

ab -3Y -Y

K52 - B22 íí Xm —yYfXm —¡У dxdy

oo -У3 —y

+ B ab -2Xm -Yn X -Yn

+ B66 JJ —T^--Г- Xm-Г- ^^

—x2 —y —y

K53 -

oo

С BS BS Лab д12 , 22

Rx R

У У

íí Xm —y^Xm —Yf- dx dy

oo —У —y

ab -3Y -Y

- D22ííXm —ynXm -Yndxdy -y3 —y

oo

ab p,2 Y ЯУ ЯУ

- (DS2 + 2D6S6)íí-дУm~Yy~Xm dxdy,

-x2 —y -y

oo

ab -2 X -y -y

K54 - (Fl2 + F6S6)íí—Xm-YnXm -yndxdy,

oo

-x2 -y -y

ab -3Y -Y K55 - F22ííXm-fXm -У dxdy oo -У3 -y

+ FS6 jj-Ym -fYm fn dxdy

дх2 -у -у

00

ab

-Y -Y - As5 jj Ym -y^Ym -у dxdy,

00 -y -y Элементы матрицы масс:

Ми -

I0 + 2^

I1 I3 Лab-Y„

Rx R2v х у у

jj-

00

дх

дх

Yn dxdy,

М13--

I1

Rx

ab jj

00

-Ym „ -Y„

дх

дх

Y dxdy,

M14 -

( j Л ab pj-y ЯУ

, 14 jjiY^Yn -YmYn dxdy,

I3 +-v R

f

M22 -

дх

дх

h 121 ab -Yn

10+2^—

V0 Ry Ry2 у

i/i -Y

jjYm 1yLYm -y dxdy, -y -y

00

f

M23 --

Л

I,

Ry у

ab

-yn

—Y„

jjYm ~-y~Ym -у dxdy,

-у -у

f

М25--

М31 -

I3

3 Ry у т V

00

Л ab

—У„

—У„

jj Ym 1yLYm 1yL dxdy, 00 -y -y

I1 +—

v R у

b я 2

jj

- 2 Ym

f

M32 -

I1+^

1 Ry у

2 YnYmYn dxdy,

дх

Л ab я2т

00 дх

— 2Y

I1 jjYm ^ YmYn dxdy,

00 -y2

ab

M33 - 10 jjYmYnYmYn dxdy

- 12

00

( ab — 2 Ym

V

jj

00

ab + jj Y m

дх — 2Yn

2 YnYmYn dxdy

Ymyn dxdУ,

00 -у

ab —2 Y

M34 --14 Jj—^YnYmYn dxdy,

00 дх

ab — 2y

M35 --14 jjYm —f YmYn dxdy, 00 -y

M41 1 '3 +1

14 Л ab -Ym„ -Ym

jj

00

дх

дх

Y„ dxdy,

ab —Y —Y M43 --14j^y,—^ drdy, 00 СУХ СУХ

ab — Y — Y

M44 -15 jj^Y1dxdy,

00

дх

—х

M52 -

I Л ab

Ry

jj Ym qy^Ym ^ dxdy, 00 —у —у

у у

ab —Y —Y

M53 --14 jjYm-fYm dxdy,

00 —y —у

ab —y —y

M55 --15 jjYm^fYm dxdy,

00 —y —у M12 - M15 - M21 - M24 - M42 - M45

-M51 -M54 - 0.

Литература

1. KoizumiM. FGM activities in Japan // Compos. B. Eng. -1997. - V. 28. - P. 1-4. - https://doi.org/10.1016/S1359-8368(96)00016-9

2. Reddy J.N. Analysis of functionally graded plates // Int. J. Numer. Methods Eng. - 2000. - V. 47. - P. 663-684. -https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(20000110/30) 47:1/3<663::AID-NME787>3.0.C0;2-8

3. Zenkour A.M. Quasi-3D refined theory for functionally graded porous plates: Displacements and stresses // Phys. Mesomech. - 2020. - V. 23. - No. 1. - P. 39-53. -https://doi.org/10.1134/S1029959920010051

4. Thai H.-T., Kim S.-E. A review of theories for the modeling and analysis of functionally graded plates and shells // Compos. Struct. - 2015. - V. 128. - P. 70-86. -https://doi.org/10.1016/). compstruct.2015.03.010

5. Swaminathan K., Naveenkumar D.T., Zenkour A.M., Carrera E. Stress, vibration and buckling analyses of FGM plates—A state-of-the-art review // Compos. Struct. - 2015. - V. 120. - P. 10-31. - https://doi.org/10. 1016/j.compstruct.2014.09.070

6. Vo T.P., Thai H.-T., Nguyen T.-K., Inam F. Static and vibration analysis of functionally graded beams using refined shear deformation theory // Meccanica. - 2014. -V. 49. - P. 155-168. - https://doi.org/10.1007/s11012-013-9780-1

7. Zahedmejad P. Free vibration analysis of functionally graded beams resting on elastic foundation in thermal environment // Int. J. Struct. Stab. Dyn. - 2015. - V. 16. -P. 1550029. - https://doi.org/10.1142/S0219455415500297

8. Bessaim A., Houari M.S.A., Bezzina S., Merdji A., Daikh A.A., Belarbi M.O., Tounsi A. Nonlocal strain gradient theory for bending analysis of 2D functionally graded nanobeams // Struct. Eng. Mech. - 2023. - V. 86. -P. 731-738. - https://doi.org/10.12989/sem.2023.86.6731

9. §im$ek M. Bi-directional functionally graded materials (BDFGMs) for free and forced vibration of Timoshenko beams with various boundary conditions // Compos. Struct. - 2015. - V. 133. - P. 968-978. - https://doi.org/ 10.1016/j.compstruct.2015.08.021

10. Karamanli A. Bending behaviour of two directional functionally graded sandwich beams by using a quasi-3D shear deformation theory // Compos. Struct. - 2017. -V. 174. - P. 70-86. - https://doi.org/10.1016/j.comp struct.2017.04.046

11. Lü C.F., Chen W.Q., Xu R.Q., Lim C.W. Semi-analytical elasticity solutions for bi-directional functionally graded beams // Int. J. Solids Struct. - 2008. - V. 45. - P. 258275. - https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2007.07.018

12. Tang Y., LvX., Yang T. Bi-directional functionally graded beams: Asymmetric modes and nonlinear free vibration // Compos. B. Eng. - 2019. - V. 156. - P. 319-331. -https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2018.08.140

13. Natarajan S., Manickam G. Bending and vibration of functionally graded material sandwich plates using an accurate theory // Finite Elem. Anal. Des. - 2012. - V. 57. -P. 32-42. - https://doi.org/10.1016/). finel.2012.03.006

14. Amar L.H.H., Bourada F., Bousahla A.A., Tounsi A., Benrahou K.H. Albalawi H., Tounsi A. Buckling analysis of FG plates via 2D and quasi-3D refined shear deformation theories // Struct. Eng. Mech. - 2023. -V. 85. - P. 765-780. - https://doi.org/10.12989/sem. 2023.85.6.765

15. Addou F.Y., Bourada F., Meradjah M., Bousahla A.A., Tounsi A., Ghazwani M.H., Alnujai A. Impact of porosity distribution on static behavior of functionally graded plates using a simple quasi-3D HSDT // Comput. Concr. - 2023. - V. 32. - P. 87-97. - https://doi.org/10. 12989/cac.2023.32.1.087

16. Tounsi A., Tahir S.I., Al-Osta M.A., Trinh D.-V., Boura-da F., Bousahla A.A., Tounsi A. An integral quasi-3D computational model for the hygro-thermal wave propagation of imperfect FGM sandwich plates // Comput. Concr. - 2023. - V. 32. - P. 61-74. - https://doi. org/10.12989/cac.2023.32.1.061

17. Bounouara F., Aldosari S.M., Chikh A., Kaci A., Bousahla A.A., Bourada F., Tounsi A., Benrahou K.H., Albalawi H., Tounsi A. The effect of visco-Pasternak foundation on the free vibration behavior of exponentially graded sandwich plates with various boundary conditions // Steel Compos. Struct. - 2023. - V. 46. - P. 367-383. -https://doi.org/10.12989/scs.2023.46.3.367

18. Bounouara F., Sadoun M., Selim Saleh M.M., Chikh A., Bousahla A.A., Kaci A., Bourada F., Tounsi A., Tounsi A. Effect of visco-Pasternak foundation on thermo-mecha-nical bending response of anisotropic thick laminated composite plates // Steel Compos. Struct. - 2023. -V. 47. - P. 693-707. - https://doi.org/10.12989/scs.2023. 47.6.693

19. Mudhaffar I.M., Chikh A., Tounsi A., Al-Osta M.A., Al-Zahrani M.M., Al-Dulaijan S.U. Impact of viscoelastic foundation on bending behavior of FG plate subjected to hygro-thermo-mechanical loads // Struct. Eng. Mech. -2023. - V. 86. - P. 167-180. - https://doi.org/10.12989/ sem.2023.86.2.167

20. Bennedjadi M., Aldosari S.M., Chikh A., Kaci A., Bousahla A.A., Bourada F., Tounsi A., Benrahou K.H., To-unsi A. Visco-elastic foundation effect on buckling response of exponentially graded sandwich plates under various boundary conditions // Geomech. Eng. - 2023. -V. 32. - P. 159-177. - https://doi.org/10.12989/gae.2023. 32.2.159

21. Tounsi A., Mostefa A.H., Attia A., Bousahla A.A., Bourada F., Tounsi A., Al-Osta M.A. Free vibration investigation of functionally graded plates with temperature-

dependent properties resting on a viscoelastic foundation // Struct. Eng. Mech. - 2023. - V. 86. - P. 1-16. -https://doi.org/10.12989/sem.2023.86.L001

22. Shariati M., Shishehsaz M., Mosalmani R. Stress-driven approach to vibrational analysis of FGM annular nano-plate based on first-order shear deformation plate theory // J. Appl. Comput. Mech. - 2023. - V. 9. - P. 637-655. -https://doi.org/10.22055/jacm.2022.41125.3704

23. Nguyen V.L., Tran M.T., Limkatanyu S., Mohammad-Sedighi H., Rungamornrat J. Reddy's third-order shear deformation shell theory for free vibration analysis of rotating stiffened advanced nanocomposite toroidal shell segments in thermal environments // Acta Mech. -2022. - V. 233. - P. 4659-4684. - https://doi.org/10. 1007/s00707-022-03347-8

24. Bessaim A., Houari M.S.A., Tounsi A., Mahmoud S.R., Bedia E.A.A. A new higher-order shear and normal deformation theory for the static and free vibration analysis of sandwich plates with functionally graded isotropic face sheets // J. Sandw. Struct. Mater. - 2013. - V. 15. -P. 671-703. - https://doi.org/10.1177/1099636213498888

25. Benguediab S., Kebir T., Kettaf F.Z., Daikh A.A., Tounsi A., Benguediab M., Eltaher M.A. Thermomechanical behavior of macro and nano FGM sandwich plates // Adv. Aircr. Spacecr. Sci. - 2023. - V. 10. - P. 83-106. - https:// doi.org/10.12989/aas.2023.10.1.083

26. Younsi A., Bourada F., Bousahla A.A., Kaci A., Tounsi A., Benrahou K.H., Ghazwani M.H. Simple quasi-3D and 2D integral shear deformation theories for buckling investigation of advanced composite plates // Phys. Meso-mech. - 2023. - V. 26. - No. 3. - P. 346-366. - https:// doi.org/10.1134/S1029959923030086

27. Nguyen T.-K., Vo T.P., Thai H.-T. Vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich plates with improved transverse shear stiffness based on the firstorder shear deformation theory // Proc. Inst. Mech. Eng. Part C: J. Mech. Eng. Sci. - 2013. - V. 228. - P. 21102131. - https://doi.org/10.1177/0954406213516088

28. Ipek C. Vibration analysis of shear deformable cylindrical shells made of heterogeneous anisotropic material with clamped edges // J. Appl. Comput. Mech. - 2023. -V. 9. - P. 861-869. - https://doi.org/10.22055/jacm.2023. 42602.3954

29. Li K., Wu D., Chen X., Cheng J., Liu Z., Gao W., Liu M. Isogeometric analysis of functionally graded porous plates reinforced by graphene platelets // Compos. Struct. - 2018. - V. 204. - P. 114-130. - https://doi.org/ 10.1016/j.compstruct.2018.07.059

30. Hirane H., Belarbi M.O., Houari M.S.A., Tounsi A. On the layerwise finite element formulation for static and free vibration analysis of functionally graded sandwich plates // Eng. Comput. - 2021. - https://doi.org/10.1007/ s00366-020-01250-1

31. Pradhan S.C., Loy C.T., Lam K.Y., Reddy J.N. Vibration characteristics of functionally graded cylindrical shells under various boundary conditions // Appl. Acoust. -2000. - V. 61. - P. 111-129. - https://doi.org/10.1016/ S0003-682X(99)00063-8

32. Amabili M. Non-linear vibrations of doubly curved shallow shells // Int. J. Non. Linear. Mech. - 2005. -

V. 40. - P. 683-710. - https: //doi.org/10.1016/j. ij nonlin mec.2004.08.007

33. Matsunaga H. Free vibration and stability of functionally graded shallow shells according to a 2D higher-order deformation theory // Compos. Struct. - 2008. - V. 84. -P. 132-146. - https://doi.org/10.1016/).compstruct.2007. 07.006

34. Santos H., Mota Soares C.M., Mota Soares C.A., Reddy J.N. A semi-analytical finite element model for the analysis of cylindrical shells made of functionally graded materials // Compos. Struct. - 2009. - V. 91. - P. 427432. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2009.04.008

35. Chorfi S.M., Houmat A. Non-linear free vibration of a functionally graded doubly-curved shallow shell of elliptical plan-form // Compos. Struct. - 2010. - V. 92. -P. 2573-2581. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct. 2010.02.001

36. Alijani F., Amabili M., Karagiozis K., Bakhtiari-NejadF. Nonlinear vibrations of functionally graded doubly curved shallow shells // J. Sound Vib. - 2011. - V. 330. -P. 1432-1454. - https://doi.org/10.1016/jjsv.2010.10.003

37. Alijani F., Amabili M., Bakhtiari-Nejad F. Thermal effects on nonlinear vibrations of functionally graded doubly curved shells using higher order shear deformation theory // Compos. Struct. - 2011. - V. 93. -P. 2541-2553. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct. 2011.04.016

38. Fadaee M., Atashipour S.R., Hosseini-Hashemi S. Free vibration analysis of Levy-type functionally graded spherical shell panel using a new exact closed-form solution // Int. J. Mech. Sci. - 2013. - V. 77. - P. 227238. - https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2013.10.008

39. Viola E., Rossetti L., Fantuzzi N., Tornabene F. Static analysis of functionally graded conical shells and panels using the generalized unconstrained third order theory coupled with the stress recovery // Compos. Struct. -2014. - V. 112. - P. 44-65. - https://doi.org/10.1016/ j.compstruct.2014.01.039

40. Wattanasakulpong N., Chaikittiratana A. An analytical investigation on free vibration of FGM doubly curved shallow shells with stiffeners under thermal environment // Aerosp. Sci. Technol. - 2015. - V. 40. - P. 181-190. -https://doi.org/10.1016/j.ast.2014.11.006

41. Tornabene F., Fantuzzi N., Bacciocchi M., Viola E. Effect of agglomeration on the natural frequencies of functionally graded carbon nanotube-reinforced laminated composite doubly-curved shells // Compos. B. Eng. -2016. - V. 89. - P. 187-218. - https://doi.org/10.1016/j. compositesb.2015.11.016

42. Sahmani S., Aghdam M.M. A nonlocal strain gradient hyperbolic shear deformable shell model for radial postbuckling analysis of functionally graded multilayer GPLRC nanoshells // Compos. Struct. - 2017. - V. 178. -P. 97-109. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2017. 06.062

43. Punera D., Kant T. Elastostatics of laminated and functionally graded sandwich cylindrical shells with two refined higher order models // Compos. Struct. - 2017. -V. 182. - P. 505-523. - https://doi.org/10.1016/j.comp struct.2017.09.051

44. Punera D., Kant T. Free vibration of functionally graded open cylindrical shells based on several refined higher order displacement models // Thin-Walled Struct. -

2017. - V. 119. - P. 707-726. - https://doi.org/10.1016/ j.tws.2017.07.016

45. Razavi H., Babadi A.F., Tadi Beni Y. Free vibration analysis of functionally graded piezoelectric cylindrical nanoshell based on consistent couple stress theory // Compos. Struct. - 2017. - V. 160. - P. 1299-1309. -https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2016.10.056

46. Jouneghani F.Z., Dimitri R., Bacciocchi M., Torna-bene F. Free vibration analysis of functionally graded porous doubly-curved shells based on the first-order shear deformation theory // Appl. Sci. - 2017. - V. 7. -https://doi.org/10.3390/app7121252

47. Chen H., Wang A., Hao Y., Zhang W. Free vibration of FGM sandwich doubly-curved shallow shell based on a new shear deformation theory with stretching effects // Compos. Struct. - 2017. - V. 179. - P. 50-60. - https:// doi.org/10.1016/j.compstruct.2017.07.032

48. Aliyari Parand A., Alibeigloo A. Static and vibration analysis of sandwich cylindrical shell with functionally graded core and viscoelastic interface using DQM // Compos. B. Eng. - 2017. - V. 126. - P. 1-16. - https:// doi.org/10.1016/j.compositesb.2017.05.071

49. Wang Q., Shao D., Qin B. A simple first-order shear deformation shell theory for vibration analysis of composite laminated open cylindrical shells with general boundary conditions // Compos. Struct. - 2018. -V. 184. - P. 211-232. - https://doi.org/10.1016/].comp struct.2017.09.070

50. Jouneghani F.Z., Mohammadi Dashtaki P., Dimitri R., Bacciocchi M., Tornabene F. First-order shear deformation theory for orthotropic doubly-curved shells based on a modified couple stress elasticity // Aerosp. Sci. Technol. - 2018. - V. 73. - P. 129-147. - https://doi.org/ 10.1016/j.ast.2017.11.045

51. Arefi M. Nonlocal free vibration analysis of a doubly curved piezoelectric nano shell // Steel Compos. Struct. -

2018. - V. 27. - P. 479-493. - https://doi.org/10.12989/ scs.2018.27.4.479

52. Arefi M., Rabczuk T. A nonlocal higher order shear deformation theory for electro-elastic analysis of a piezoelectric doubly curved nano shell // Compos. B. Eng. -

2019. - V. 168. - P. 496-510. - https://doi.org/10.1016/ j.compositesb.2019.03.065

53. Karami B., Janghorban M., Tounsi A. Variational approach for wave dispersion in anisotropic doubly-curved nanoshells based on a new nonlocal strain gradient higher order shell theory // Thin-Walled Struct. - 2018. -V. 129. - P. 251-264. - https://doi.org/10.1016Zj.tws. 2018.02.025

54. Wang A., Chen H., Hao Y., Zhang W. Vibration and bending behavior of functionally graded nanocomposite doubly-curved shallow shells reinforced by graphene nanoplatelets // Results Phys. - 2018. - V. 9. - P. 550559. - https://doi.org/10.1016/j.rinp.2018.02.062

55. Trinh M.-C., Kim S.-E. A three variable refined shear deformation theory for porous functionally graded doubly curved shell analysis // Aerosp. Sci. Technol. - 2019. -

V. 94. - P. 105356. - https://doi.org/10.1016Zj.ast.2019. 105356

56. Li H., Pang F., Gong Q., Teng Y. Free vibration analysis of axisymmetric functionally graded doubly-curved shells with un-uniform thickness distribution based on Ritz method // Compos. Struct. - 2019. - V. 225. - P. 111145. -https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2019.111145

57. Li H., Pang F., Ren Y., Miao X., Ye K. Free vibration characteristics of functionally graded porous spherical shell with general boundary conditions by using firstorder shear deformation theory // Thin-Walled Struct. -2019. - V. 144. - P. 106331. - https://doi.org/10.1016/ j.tws.2019.106331

58. Liu B., Guo M., Liu C., Xing Y. Free vibration of functionally graded sandwich shallow shells in thermal environments by a differential quadrature hierarchical finite element method // Compos. Struct. - 2019. - V. 225. -P. 111173. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2019. 111173

59. Zhu C., Fang X., Yang S. Nonlinear free vibration of functionally graded viscoelastic piezoelectric doubly curved nanoshells with surface effects // Eur. Phys. J. Plus. - 2019. - V. 134. - P. 486. - https://doi.org/10. 1140/epjp/i2019-12852-2

60. Karami B., Shahsavari D., Janghorban M. On the dynamics of porous doubly-curved nanoshells // Int. J. Eng. Sci. - 2019. - V. 143. - P. 39-55. - https://doi.org/10. 1016/j.ijengsci.2019.06.014

61. Karami B., Shahsavari D., Janghorban M., Dimitri R., Tornabene F. Wave propagation of porous nanoshells // Nanomaterials. - 2019. - V. 9. - https://doi.org/10.3390/ nano9010022

62. Van Vinh P., Tounsi A. Free vibration analysis of functionally graded doubly curved nanoshells using nonlocal first-order shear deformation theory with variable nonlocal parameters // Thin-Walled Struct. - 2022. -V. 174. - P. 109084. - https://doi.org/10.1016/j.tws.2022. 109084

63. Van Vinh P., Tounsi A., Belarbi M.O. On the nonlocal free vibration analysis of functionally graded porous doubly curved shallow nanoshells with variable nonlocal parameters // Eng. Comput. - 2022. - https://doi.org/10. 1007/s00366-022-01687-6

64. Allahkarami F., Tohidi H., Dimitri R., Tornabene F. Dynamic stability of bi-directional functionally graded porous cylindrical shells embedded in an elastic foundation // Appl. Sci. - 2020. - V. 10. - https://doi.org/ 10.3390/app10041345

65. Pang F., Li H., Chen H., Shan Y. Free vibration analysis of combined composite laminated cylindrical and spherical shells with arbitrary boundary conditions // Mech. Adv. Mater. Struct. - 2021. - V. 28. - P. 182-199. -https://doi.org/10.1080/15376494.2018.1553258

66. Melaibari A., Daikh A.A., Basha M., Abdalla A.W., Othman R., Almitani K.H., Hamed M.A., AbdelrahmanA., Eltaher M.A. Free vibration of FG-CNTRCs nano-plates/shells with temperature-dependent properties // Mathematics. - 2022. - V. 10. - https://doi.org/10. 3390/math10040583

67. Daikh A.A., Belarbi M.O., Khechai A., Li L., Khatir S., Abdelrahman A.A., Eltaher M.A. Bending of bi-directional inhomogeneous nanoplates using microstructure-dependent higher-order shear deformation theory // Eng. Struct. - 2023. - V. 291. - https://doi.org/10.1016/j.eng struct.2023.116230

68. Daikh A.A., Belarbi M.O., Ahmed D., Houari M.S.A., Avcar M., Tounsi A., Eltaher M.A. Static analysis of functionally graded plate structures resting on variable elastic foundation under various boundary conditions // Acta Mech. - 2023. - V. 234. - P. 775-806. - https://doi. org/10.1007/s00707-022-03405-1

69. Daikh A.A., Belarbi M.O., Khechai A., Li L., Ahmed H.M., Eltaher M.A. Buckling of bi-coated functionally graded porous nanoplates via a nonlocal strain gradient quasi-3D theory // Acta Mech. - 2023. - https:// doi.org/10.1007/s00707-023-03548-9

70. Ghandourah E.E., Daikh A.A., Khatir S., Alhawsa-wi A.M., Banoqitah E.M., Eltaher M.A. A dynamic analysis of porous coated functionally graded nanoshells rested on viscoelastic medium // Mathematics. - 2023. -V. 11. - https://doi.org/10.3390/math11102407

71. Abdelhaffez G.S., Daikh A.A., Saleem H.A., Eltaher M.A. Buckling of coated functionally graded spherical nanoshells rested on orthotropic elastic medium // Mathematics. - 2023. - V. 11. - https://doi.org/10.3390/ math11020409

Поступила в редакцию 11.07.2023 г., после доработки 10.08.2023 г., принята к публикации 11.08.2023 г.

Сведения об авторах

Ahmed Amine Daikh, Dr., University Center of Naama, Algeria, [email protected], [email protected]

Mohamed-Ouejdi Belarbi, Dr., University of Biskra, Algeria, [email protected]

Pham Van Vinh, Prof., Le Quy Don Technical University, Vietnam, [email protected]

Miloud Ladmek, Dr., Mustapha Stambouli University, Algeria, [email protected]

Abdelkader Belkacem, Dr., Mustapha Stambouli University, Algeria, [email protected]

Mohamed Sid Ahmed Houari, Prof., Mustapha Stambouli University, Algeria, [email protected]

Hani M. Ahmed, Dr., King Abdulaziz University, Saudi Arabia, [email protected]

Mohamed A. Eltaher, Prof., Zagazig University, Egypt; King Abdulaziz University, Saudi Arabia, [email protected]