CC BY
17
УДК 539.3
Исследование динамических характеристик функционально-
градиентных балок с дефектами на упругом основании типа Винклера и Пастернака при термическом нагружении
S. Abdelbari1, A. Attia1, F. Bourada2'3, A.A. Bousahla2, A. Tounsi2,4,5, M.H. Ghazwani6
1 Университет Айн-Темушент, Айн-Темушент, 46000, Алжир 2 Университет Сиди-Бель-Аббес, Сиди-Бель-Аббес, 22000, Алжир 3 Университет Тиссемсилт, Бен Хамуда, 38004, Алжир 4 Университет Ёнсе, Сеул, 03722, Корея 5 Университет нефти и полезных ископаемых имени короля Фахда, Дахран, 31261, Саудовская Аравия 6 Джазанский университет, Джазан, 45124, Саудовская Аравия
В настоящей работе проведен анализ свободных колебаний балки с дефектами, лежащей на двухпараметри-ческом упругом основании. Рассматривается функционально-градиентная (ФГ) балка из температурно-зависимо-го металлокерамического материала (Al/Al2O3) с градиентом по толщине при различных термических нагрузках (равномерных и неравномерных). Микропустоты, сформированные в процессе производства балки, представлены как структурная пористость, которая изучается в рамках двух моделей симметричного распределения пористости. Моделирование исследуемой одномерной (1D) структуры выполнено с использованием простых интегральных формул высшего порядка с тремя переменными. В предложенной модели нулевой сдвиг на свободной поверхности 1D структуры задается с помощью синусоидальной функции, что позволяет избежать введения поправочных коэффициентов. На основе принципа Гамильтона и подхода Навье получены уравнения движения и аналитическое решение для предложенной модели. Полученные результаты анализа свободных колебаний представлены в графической и табличной форме. Выполнен подробный параметрический анализ, определяющий влияние параметров балки, таких как размер, коэффициенты неоднородности и пористости, а также реакции опоры на основные частоты пористых ФГ балок.
Ключевые слова: балка с дефектами, температурно-зависимый материал, анализ свободных колебаний, тепловые нагрузки, интегральные формулы высшего порядка
DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_3_89
Investigation of dynamic characteristics of imperfect FG beams on the Winkler-Pasternak foundation under thermal loading
S. Abdelbari1, A. Attia1, F. Bourada2,3, A.A. Bousahla4, A. Tounsi2,5,6,7, and M.H. Ghazwani8
1 Department of Civil Engineering, Faculty of Science and Technology, University of Ain Temouchent, Ain Temouchent, 46000, Algeria 2 Material and Hydrology Laboratory, Faculty of Technology, Civil Engineering Department, University of Sidi Bel Abbes,
Sidi Bel Abbes, 22000, Algeria 3 Department of Sciences and Technology, Tissemsilt University, Ben Hamouda, 38004, Algeria 4 Laboratory of Multiscale Modeling and Simulation, University of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, 22000, Algeria 5 Yonsei Frontier Lab., Yonsei University, Seoul, 03722, Korea 6 Department of Civil and Environmental Engineering, King Fahd University of Petroleum & Minerals, Dhahran, Eastern Province, 31261, Saudi Arabia 7 Interdisciplinary Research Center for Construction and Building Materials, King Fahd University of Petroleum & Minerals,
Dhahran, Eastern Province, 31261, Saudi Arabia 8 Department of Mechanical Engineering, Faculty of Engineering, Jazan University, Jazan, 45124, Saudia Arabia
The interest of the present paper is the analysis of free vibration of imperfect functionally graded (FG) beams resting on foundations (with two elastic parameters). The FG beam is made of temperature-dependent metal (Al)/ceramic (Al2O3) material, which is graded in the thickness direction and subjected to various thermal loads (uniform and nonuniform). The appearance of microvoids is considered as porosity in the body structure. Two models of the symmetric porosity distribution are examined. The studied one-dimensional (1D) structure is modeled by employing simple three-variable higher-order integral formulations. Zero traction on the free surface of the 1D structure is gained by using the sinusoidal warping function in the current model, which avoids correction factors. Analytical modeling of structures is carried out using the Hamilton principle and Navier approach to derive the equations of motion and the analytical solution of the current model. Several examples of the free vibration analysis are presented in graphical and tabular forms. A detailed parametric analysis is performed to illustrate the impact of several beam parameters, such as dimensions, inhomogeneity and porosity indices, as well as of the foundation reaction on the fundamental frequency of imperfect FG beams.
Keywords: imperfect beam, temperature-dependent material, free vibration analysis, thermal loads, higher-order integral formulations
© Abdelbari S., Attia A., Bourada F., Bousahla A.A., Tounsi A., Ghazwani M.H., 2023
1. Введение
Конструктивные элементы, изготовленные из функционально-градиентных (ФГ) материалов, находят применение во многих промышленных областях, особенно в тех, которые связаны с термомеханическими нагрузками: в аэрокосмической, атомной, химической отраслях, в машино- и судостроении, строительстве, оптике, электронике и биомеханике [1-24]. Для этих современных материалов характерно постепенное изменение соотношения компонентов, а следовательно, и их свойств в выбранном направлении [25-29]. Кроме того, ФГ материалы позволяют решить проблему концентрации напряжений, существующую в армированных волокном и слоистых композитах из-за скачкообразного изменения свойств материала. Это обусловило широкий интерес к изучению статических и динамических характеристик этого класса материалов [30-34]. Анализу стабильности ФГ структур при термическом нагружении посвящены многочисленные исследования. Najafizadeh и Eslami [35] изучали термическую устойчивость круглых пластин при равномерном повышении температуры по толщине и линейном повышении температуры вдоль радиуса. Javaheri и Eslami [36] получили приближенное решение, используя классическую модель пластины при различных тепловых нагрузках. Термическая устойчивость круглых ФГ пластин исследована в работе [37]. Zhao и др. [38] выполнили анализ механической и термической устойчивости тонкой ФГ металлоке-рамической пластины с использованием уравнений теории пластин первого порядка с учетом деформации поперечного сдвига. Основываясь на формулировке Эйлера-Бернулли, Kiani и Eslami [39] исследовали линейную термическую устойчивость ФГ балки с граничными условиями типа «защемление - шарнирно неподвижная опора», «шарнирно неподвижная опора - шарнирно подвижная опора» и «шарнирно неподвижное закрепление». Ma и Lee [40, 41] провели аналитическое исследование линейных и нелинейных свободных колебаний свободно опертой ФГ балки при термической нагрузке (в плоскости) в рамках теории Тимошенко и классической теории балок. Кроме того, нелинейный изгиб гибкой ФГ балки с шарнирно закрепленными концами при тепловом воздействии описан Левяковым [42]. В работе [43] выполнен анализ нелинейных термомеханических свободных колебаний, а также потери устойчивости классических ФГ балок с одним защемленным и одним шарнирно неподвижным
концами, а также с шарнирно закрепленными концами на упругом основании (нелинейная модель). Работа [44] посвящена изучению свободных вибраций и термической устойчивости ФГ балки Тимошенко. БЬгаЫш1 и Вагай [45] исследовали линейную потерю устойчивости ФГ наноба-лок при тепловом воздействии в рамках нелокальной теории балки с учетом деформации сдвига третьего порядка. Аналитическая формулировка предложена БеЬгоиуеЬ^ешпаш [46] для изучения нелинейного отклика изогнутых ФГ балок. УаЬеа и Majeed [47] предложили более простое решение на основе теории деформации сдвига высшего порядка для изучения влияния тепловой нагрузки на динамическое поведение слоистых композитных пластин с разнонаправленной и перекрестной укладкой слоев.
Учет реакции опоры позволил приблизиться к пониманию взаимодействия структуры и упругой среды. Уау1аС и др. [48] выполнили сравнительное исследование контактной задачи для двух слоев, лежащих на основании Винклера, различными методами (конечно-элементным, аналитическим методом, а также с помощью многослойного персептрона). В работе [49] решали контактную задачу для двух упругих слоев, лежащих на основании Винклера, для непрерывного и дискретного случая с использованием конечно-элементного и аналитического методов. Уау1ас и др. [50] выполнили аналитическое и конечно-элементное исследование контактных задач для ФГ слоя, опирающегося на жесткое основание. В работе [51] использованы метод конечных элементов и многослойный персептрон для решения контактной задачи для ФГ слоя на жестком основании. Уау1ас и др. [52] предложили аналитическое и численное решение контактной задачи о действии жесткого штампа на ФГ материал на жестком основании.
Влияние реакции опоры на динамический отклик балок/пластин показано в работах [53-65]. Кроме того, пористые структуры с функциональными свойствами имеют определенное сходство с ФГ материалами. Некоторые параметры пористости, такие как распределение и объемная доля, могут быть причиной плавного или резкого изменения механических характеристик. Наличие микропустот (пористости) в теле приводит к снижению его удельного веса при сохранении жесткости структуры [63]. Следовательно, при анализе и проектировании ФГ структур необходимо учитывать влияние пористости. Поведение пористых
структур обсуждалось различными авторами. Потеря устойчивости тонких прямоугольных ФГ пластин при различных нагрузках была исследована Mohammadi и др. [66] в рамках классической теории и теории сдвиговой деформации первого порядка. Jabbari и др. [67, 68] исследовали влияние распределения пористости на устойчивость тонкой ФГ пластины круглой формы. Анализ устойчивости пористых балок из металлической пены был проведен Chen и др. [69] с использованием уравнений для балки на сдвиг. Ebrahimi и Jafa-ri [70] проанализировали влияние теплового воздействия и пористости на линейные свободные колебания балки Эйлера-Бернулли. В работе [71] выполнен анализ вынужденных колебаний ФГ балки с аксиальной пористостью с использованием модели Тимошенко, а также методов Лагран-жа и Ритца. Влияние микропустот и малого масштаба на колебательное поведение свободно опертых микро- и нанобалок исследовано Ghan-dourah и др. [72] на основе аналитических формулировок (теории балки Эйлера-Бернулли, принципа Гамильтона, нелокальной теории Эрингена и метода Навье). В рамках теории Тимошенко и метода дифференциальных квадратур Huang и Tahouneh [73] решали задачу о свободных колебаниях пористых пьезоэлектрических ФГ наноба-лок, расположенных на двухпараметрических упругих основаниях, под нагрузкой при различных граничных условиях. Al-Osta [74] исследовал распространение волн в слоистой ФГ пластине с дефектами (пористостью) при гидротермическом воздействии в рамках аналитической теории Гамильтона и теории деформации сдвига первого порядка. В последнее время количество работ,
посвященных изучению пористых ФГ структур, значительно увеличилось [75-93].
Из обзора литературы можно сделать вывод о влиянии пористости (микропустот) на поведение балки из современных ФГ материалов. В связи с этим настоящая работа посвящена изучению термомеханического поведения толстой ФГ балки с дефектами. Рассматриваются два типа симметричного распределения пористости (однородного и неоднородного). Балка лежит на двухпарамет-рическом упругом основании Винклера-Пастер-нака и испытывает повышение температуры в различных режимах. Применяется простая аналитическая формулировка, которая обеспечивает условие нулевого напряжения поперечного сдвига на верхней и нижней поверхностях балки без введения поправочных коэффициентов. Предложена усовершенствованная теория, которая используется для оценки влияния других параметров на динамический отклик (линейный анализ) пористых ФГ балок. Показана достоверность предложенной модели, а также подробно обсуждаются параметрические исследования, описывающие влияние различных факторов на основные частоты.
2. Теоретические положения
2.1. Геометрия функционально-градиентной балки
Объектом исследования в настоящей работе является металлокерамическая ФГ балка длиной а, шириной Ь и толщиной И в системе координат х х у х 2 соответственно. Предполагается, что ме-таллокерамическая ФГ балка лежит на упругом основании типа Винклера или Пастернака. Схематическое представление двух типов упругих оснований дано на рис. 1.
Z i
Рис. 1. Геометрия пористой ФГ балки на упругом основании
2.2. Кинематика и деформации
На основе традиционной теории более высокого порядка для поля смещений можно записать следующие уравнения:
и( х, у, г, г)
= и0(х, у, г) - г у{) + /(г)ф(х, у, г), (1)
их
м>( х, у, г, г) = ^о( х, у, г), где и0, ф — смещения в средней плоскости балки; /(г) — функция формы, описывающая изменение деформаций и напряжений поперечного сдвига по толщине. Учитывая ф = |0(x)dx, кинематика может быть выражена в простой форме: и (х, у, г, г) = ио( х, у, г)
- г^(хМ + ^х, у, (2)
их
м>( х, у, г, г) = ^о( х, у, г), где функция формы / (г) определяется выражением
И . (кг / (г) =— 81п| — к V И
(3)
Нормальная деформация и деформация поперечного сдвига балки задаются выражениями
в х =^0 + < + / (г )е2,
и/(г) (4)
где
Ухг = §(г)У, §(="
О = х,у,г) _1 = -
в х = - , в х =
их
5х ' (5) в2 = к, Л'0( х, у, г), у0г = к, |0( х, у, г )dx. Вычислим интеграл из вышеприведенного уравнения методом Навье и запишем
^ = Л'
50
дх'
где выражение для коэффициента Л' зависит от типа используемого решения. При использовании решения Навье параметры Л' и к, находят как
Л' = -^, к, =^2,
где X выражается формулой (27).
(7)
2.3. Определяющие уравнения
Рассмотрим балку, изготовленную из 8И8304/ 813К4. В литературе для описания изменения характеристик ФГ материалов используется ряд моделей [94, 95]. Согласно [96], характеристики рассматриваемой ФГ балки зависят от температуры и изменяются по толщине:
Г( г,Т) = (Г0(Т) -Гт (Т ))Уе +Г т(Т),
1 ^р (8)
г) = 1И+2
где Гт, Гс — механические характеристики (Е, V, р и а) металла и керамики в составе ФГ материала соответственно; Ус(г) — функция объемной доли А1203; р — коэффициент неоднородности, который принимает значения от нуля и выше. Характеристика ФГ материала Р задается формулой [97]
Р(Т) = Р0 (Р-1Т-1 +1 + Р(Т + Р2Т2 + Р3Т3), (9)
где Т0 = 300 К — комнатная температура; Т = Т0 + ДТ(г) — температура окружающей среды, где ДТ(г) — повышение температуры в направлении г. Коэффициенты Р_ь Р0, Рь Р2, Р3 температурно-зависимой нержавеющей стали 8И8304 и нитрида кремния 813К4 приведены в табл. 1 [96].
г
Таблица 1. Коэффициенты температурно-зависимых материалов 8иБ304 и В13К4 [96]
Материал Р-1 Р0 Р1 Р2 Р3 Р при 300 К
БШ304 Е 0 201.04 • 109 3.079 • 10-3 -6.534 • 10-7 0 207.7877 • 109
V 0 0.3262 -2.002 • 10-4 3.797 • 10-7 0 0.3178
Р 0 8166 0 0 0 8166
а 0 12.33 • 10-6 8.086 • 10-6 0 0 1.5321 • 10-5
к 0 12.04 0 0 0 12.04
Е 0 348.43 • 109 -3.070 • 10-4 2.16 • 10-7 -8.946 • 10-11 322.2715
V 0 0.2400 0 0 0 0.2400
Р 0 2370 0 0 0 2370
а 0 5.8723 • 10-6 9.095 • 10-6 0 0 7.4746 • 10-6
к 0 9.19 0 0 0 9.19
Рис. 2. Модели распределения пористости по оси г пористой ФГ балки
2.3.1. Пористые функционально-градиентные пластины
В процессе производства в ФГ материалах могут сформироваться дефекты в виде микропустот. Микропустоты возникают из-за разницы температур затвердевания 8Ш304 и [98]. В данной работе рассматривается однородное и неоднородное распределение пористости (рис. 2).
2.3.2. Функционально-градиентная пластина с равномерной пористостью
При равномерном распределении пористости правило аддитивности уточняется [99, 100]. В этом случае материальные характеристики ФГ балок находят по формуле
Г( z, T ) = (ГС(Т ) -Г m(T ))V
+ rm(T)-(Гс(Т ) + rm(T)) í.
(10)
2.3.3. Функционально-градиентная пластина с неравномерной пористостью
В процессе изготовления ФГ материалов пористость может повышаться в области г = 0 [101]. В неравномерно пористой ФГ балке пористость линейно уменьшается по толщине от максимума в точке г = 0 до нуля в точке г = ±И/2. В этом случае характеристики пористой ФГ балки вычисляются как [102]:
Г( 2, Т ) = (ГС(Т ) -Г т(Т ))УС +Г т(Т ) С ' 2,2Л
2(Гс(Т) + Гт(Т))
1
2| z|
т
(11)
где Z > 0 — коэффициент пористости.
Запишем определяющие а-е соотношения для ФГ материала:
E ( z, Т ) 0 0 G( z,T ) E ( z, T )
(12)
G( z, T) =
2(1 + v)
где ах, тх2 и 8х, ух2 — нормальные и касательные компоненты напряжения и деформации соответственно.
2.4. Уравнения движения
С использованием принципа Гамильтона выведем уравнение движения:
0 = J (5ü + 5V -5K )dt,
(13)
где ди, дК, дУ — изменение деформации, кинетической энергии и работы, совершаемой упругим основанием.
Выражение для изменения энергии деформации балки имеет вид
5и = | (а х 5в х +т х2 5у ^ )<У
У
= |(^х5в°х + Мъх5вх + Ы'15в2 + бхг5У0х2)<, (14)
А
где А — верхняя поверхность; Ых, М1, М"х, Qxz — результирующие напряжения, определяемые формулами
И 2
(N, МЬ,мх ) = | (1,2, /(2))ах<¡2,
2 (15)
И/ 2 4 7
^ = | £ ( Ф х2 ¡2.
-И/ 2
Изменение потенциальной энергии упругого основания и внешней нагрузки можно вычислить по формуле
5У = |(КТ -/е)5^ёА, (16)
А
где / — сила реакции опоры:
/е = ^х, у) - к? Г^НТ^], (17а) у сх
NТ — напряжение, вызванное тепловой нагрузкой:
h 2
N = J E(z, T)a(z, T)ATdz,
(17b)
-h 2
где коэффициент а(г,Т) у 0.
Для изменения кинетической энергии рассматриваемой модели запишем
= 1
5К = | (н5н + м?5м? )р( г )д¥
11 (и05и0 + ™ 05й о) + 5и0 + и0
ОХ ОХ
(
О5ё
О0г. . —5и0 + и0 Ох Ох
\
+14
Ох Ох
. О0 О5й Ой О50 ^
Ох Ох Ох Ох
+ I«
.Оё _О5(0 ^
Ох Ох
дх, (18)
где сила инерции I^ рассчитывается следующим образом:
(11, 12, 13, 14, 15 , 16)
И/ 2
= | р(г)(1, г, /(г), г2, г/(г), /(г)2)^. (19)
-И/ 2
Используя уравнения (5), (12), (15), результирующее напряжение может быть выражено как
Ои0
Ох
О 2йс
К " Л„ Б11 0 А1
мХ Б„ Е11 0 Ец
мх Е11 0 Ои
0 0 0 Л55
Ох2
о
, Оё0
к1
Ох
(20)
где
(Л11, Б11, А1, Е11, Е11,
И/ 2
= | Е(г,Т)(1, г, /(г), г2, г/(г), /2(г))дг, (21)
-И/ 2
И/ 2
Л'5 = | С(г,Т)g2(г)дг.
-И/ 2
Подставляя уравнения (14), (16), (18) в (13) и интегрируя по частям, получим выражения для
5и0, 5й0, 59:
5 дNx . Ой Оё
5и0: —- = 11п -12 — + 13к1 Л —, Ох Ох
5й0:
Ох О 2МЬХ Ох2
+ N
О2 й
= 11>Р +12и -14
Ох2 О2 #
- /е
Г, 2ё
—- +15 к1 Л—-.
Ох2 51 Ох2
(22)
50: -к1 Л'
О 2мх
Ох 2
' О2Й
+ к Л
Ох
= -ЦЛ1з I-+1зМ'Ох? -1«к2 Л'2
Ох Ох Ох
2.5. Температурное поле
Рассмотрены три случая одномерного распределения температуры по толщине балки при Т = Т(г).
2.5.1. Равномерное повышение температуры
Для равномерного температурного поля запишем формулу
Т (г) = Т0 + ДТ (г), Т0 =300 К. (23)
2.5.2. Линейное повышение температуры
Во втором случае температурное поле Т(г) изменяется линейно от нижнего Ть к верхнему слою Т и может определяться в виде
Т (г)=г;+дт ( и+2
где ДТ = Т - Ть — температурный градиент.
(24)
2.5.3. Синусоидальное повышение температуры
При синусоидальном повышении температуры температурная функция имеет вид
Т(г) = (Т -Ть)
, .иг %
1 - 008 \--+ —
2И 4
+ Ть.
(25)
3. Аналитическое решение
В рамках метода Навье обобщенные смещения, удовлетворяющие граничным условиям сводного опирания, имеют вид
(26)
где ю — собственная частота; и, Ж, 9 — искомые параметры;
т%
и0 и008(Ах)
Ж 8т (Ах) /юг •е
ё т=1 ё 8Ш (Ах)
А = -
Ь
(27)
Подставляя уравнение (26) в (22), получим выражение для смещения и ускорения:
(
8ц 812 813 т11 т12 т13
821 8 22 8 23 Ю 2 т21 т22 т23
831 832 833 _ _ т31 т32 т33
\
'и 0'
х< Ж . = < 0
ё 0
Таблица 2. Основная частота свободно опертой беспористой ФГ балки
Ь/И Теория Р
0.0 0.2 0.5 1.0 2.0
Б^ек [104] 5.1524 4.8065 4.4083 3.9902 3.6343
5 ЕЬгаЫшц и Жап [70] 5.1524 4.8060 4.4106 3.9965 3.6447
Настоящая работа 5.1224 4.7818 4.3884 3.9711 3.6074
Б^ек [104] 5.4603 5.0826 4.6513 4.2050 3.8367
20 ЕЬгаЫш! и Жап [70] 5.4603 5.0813 4.6511 4.2055 3.8367
Настоящая работа 5.4602 5.0814 4.6510 4.2049 3.8360
Таблица 3. Сравнение параметра основной частоты й изотропной однородной балки на основании Винклера-Пастернака
Ь/И = 120 Ь/И = 15 Ь/И = 5
к щ Кр [105] [58] Настоящая работа [105] [58] Настоящая работа [105] [58] Настоящая работа
0.0 3.1414 3.1414 3.1414 3.1302 3.1322 3.1300 3.0479 3.0637 3.0455
0 1.0 3.7358 3.7358 3.7358 3.7265 3.7277 3.7274 3.6580 3.6664 3.6601
2.5 4.2968 4.2968 4.2969 4.2880 4.2888 4.2897 4.2183 4.2231 4.2295
0.0 3.7482 3.7482 3.7482 3.7389 3.7401 3.7398 3.6705 3.6788 3.6798
102 1.0 4.1435 4.1435 4.1435 4.1347 4.1355 4.1361 4.0663 4.0720 4.0839
2.5 4.5822 4.5822 4.5822 4.5734 4.5741 4.5754 4.4991 4.5027 4.5279
0.0 10.0240 10.0240 10.0241 9.9958 9.9958 10.0150 7.3408 7.3408 7.3765
104 1.0 10.0481 10.0481 10.0482 10.0197 10.0197 10.0390 7.3409 7.3409 7.3765
2.5 10.0839 10.0839 10.0840 10.0551 10.0552 10.0748 7.3411 7.3411 7.3765
где
— АцА, , 8*12 — _БцЯ , ^ — Оцк^ Л 'X
821 — —Бц^3, 5*22 — ЕцХ4 + крХ2 — ЫТX2 + кщ + £рX2,
823 — Е*1к1 А'Х4,531 — Дк Л 'X2, 532 — Е*1к1 А ' X4,533 — С11к1 Л ' X4 + А55к* А' X2, (29)
т11 — —11, т12 — — 1^, т13 — !3к1 Л'X, т21 — — 1^, т22 — 11 +^4X2, т23 — —15к1Л'X2, т31 — 13к1 Л' X, т32 — —15к1 Л' X2, т33 — 16к12Л '2X2.
4. Обсуждение результатов
Рассмотрена пористая ФГ балка из стали (БШ304) и нитрида кремния (Б13К4), температура которой изменяется по толщине на Тш - Т0 = 5 К согласно [103].
Безразмерные параметры, используемые для получения табличных и графических результатов, определяются формулами
_ Ь
й—й
й —
= 4
'рс ЛЬ4й2
Е1
2
к Ь
Кр —
- к Т4 -
„ V-
К щ —-, к р
щ Е1 Р Е1
Эффективность модели, предложенной для предсказания динамического отклика ФГ балки, можно оценить с помощью табл. 2 и 3. В табл. 2 полученные значения безразмерных собственных частот сравниваются со значениями, рассчитанными Бт8ек [104] с помощью уравнения Ла-гранжа, а также ЕЬгаЫш1 и 1аГап [70] с использованием метода дифференциального преобразования.
Функционально-градиентная балка состоит из двух материалов А1203 и А1, которые имеют следующие характеристики для керамики (А1203):
vc = 0.3, рс = 3960 кг/м3, Ес = 380 ГПа, для металла (А1):
Vm = 0.3, рш = 2702 кг/м3, Еш = 70 ГПа.
В табл. 3 представлено сравнительное исследование значений безразмерных частот, рассчи-
Таблица 4. Параметры частоты пористой и беспористой ФГ балок в зависимости от изменения температуры ДТ при однородном распределении пористости (Ь/И = 20)
AT, K ч Изменение температуры Коэфс ициент однородности
Si3N4 0.5 1.0 2.0 SUS304
30 0.0 Равномерное 6.1611 4.1560 3.5991 3.2059 2.4866
Линейное 6.1704 4.1672 3.6038 3.2099 2.4890
Синусоидальное 6.1729 4.1542 3.6054 3.2114 2.4915
0.1 Равномерное 6.7569 4.2651 3.6299 3.1973 2.4284
Линейное 6.7668 4.2559 3.6342 3.2009 2.4341
Синусоидальное 6.7695 4.2577 3.6357 3.2023 2.4327
0.2 Равномерное 7.7004 4.3878 3.6576 3.1768 2.3513
Линейное 7.7114 4.3929 3.6614 3.1799 2.3557
Синусоидальное 7.7141 4.3804 3.6628 3.1811 2.3550
60 0.0 Равномерное 5.7238 3.7458 3.1874 2.8007 2.0626
Линейное 5.7534 3.7509 3.2069 2.8189 2.080
Синусоидальное 5.7606 3.7567 3.2121 2.8238 2.0849
0.1 Равномерное 6.3566 3.8957 3.2663 2.8409 2.0568
Линейное 6.3834 3.9001 3.2840 2.8572 2.0716
Синусоидальное 6.3939 3.9054 3.2887 2.8616 2.0763
0.2 Равномерное 7.3299 4.0634 3.3405 2.8677 2.0301
Линейное 7.3655 4.0669 3.3565 2.8819 2.0433
Синусоидальное 7.3693 4.0719 3.3607 2.8858 2.0469
120 0.0 Равномерное 4.6880 2.6816 2.084 1.6664 0.4846
Линейное 4.7915 2.7572 2.1844 1.7704 0.7001
Синусоидальное 4.8165 2.7813 2.2093 1.7964 0.7486
0.1 Равномерное 5.4332 2.9843 2.3337 1.8944 0.8679
Линейное 5.5032 3.0489 2.4176 1.9785 0.9889
Синусоидальное 5.5544 3.0696 2.4383 1.9994 1.0195
0.2 Равномерное 6.4957 3.2873 2.5561 2.0804 1.0869
Линейное 6.6209 3.3432 2.6274 2.1496 1.1726
Синусоидальное 6.6148 2.6446 2.1667 2.1667 1.1947
танных по предложенной модели, с результатами, полученными на основе других теорий [58, 105], для нескольких соотношений толщины к длине и для разных параметров оснований КW и КР. Из таблицы видно, что частота увеличивается с увеличением отношения толщины к длине и с увеличением параметров упругого основания.
Значения безразмерных собственных частот, представленные в табл. 2 и 3, хорошо согласуются с ранее опубликованными результатами, что подтверждает достоверность и точность предложенного подхода.
Для удобства использования численные результаты, полученные на основе предложенного
аналитического решения, сведены в табл. 4 и 5. Таблица 4 показывает изменение параметров частоты пористой и беспористой ФГ (Ш) структуры в зависимости от изменения температуры, коэффициентов неоднородности и пористости (однородная модель) для трех режимов повышения температуры при равномерном распределении пористости. Температура балки повышается от 30 до 120 К. Результаты, приведенные в табл. 4, показывают, что существует обратная зависимость между частотой ФГ балки и коэффициентом неоднородности. Так, 813К4 балка характеризуется самой высокой безразмерной частотой. Значения частоты ФГ 813К4/8И8304 балки уменьшаются с
Таблица 5. Параметры частоты пористой и беспористой ФГ балок в зависимости от изменения температуры ДТ при неоднородном распределении пористости (Ь/И = 20)
ДТ, К \ Изменение температуры Коэффициент неоднородности
^N4 0.5 1.0 2.0 8Ш304
30 0.0 Равномерное 6.1611 4.1560 3.5991 3.2059 2.4866
Линейное 6.1704 4.1672 3.6038 3.2099 2.4890
Синусоидальное 6.1729 4.1542 3.6054 3.2114 2.4915
0.1 Равномерное 6.4285 4.1924 3.6194 3.1977 2.4573
Линейное 6.4311 4.1973 3.6136 3.2012 2.4578
Синусоидальное 6.4403 4.1991 3.6151 3.2025 2.4616
0.2 Равномерное 6.7483 4.2363 3.5081 3.1819 2.4198
Линейное 6.7602 4.2411 3.6178 3.1851 2.4213
Синусоидальное 6.7599 4.2427 3.6191 3.1862 2.4235
60 0.0 Равномерное 5.7238 3.7458 3.1874 2.8007 2.0626
Линейное 5.7534 3.7509 3.2069 2.8189 2.080
Синусоидальное 5.7606 3.7567 3.2121 2.8238 2.0849
0.1 Равномерное 6.0521 3.8380 3.2572 2.8438 2.0899
Линейное 6.0800 3.8482 3.2672 2.8597 2.1048
Синусоидальное 6.0867 3.8534 3.2719 2.8640 2.1089
0.2 Равномерное 6.4314 3.9408 3.3013 2.8762 2.1052
Линейное 6.4578 3.9416 3.3188 2.8899 2.1178
Синусоидальное 6.4641 3.9461 3.3229 2.8937 2.1213
120 0.0 Равномерное 4.6880 2.6816 2.084 1.6664 0.4846
Линейное 4.7915 2.7572 2.1844 1.7704 0.7001
Синусоидальное 4.8165 2.7813 2.2093 1.7964 0.7486
0.1 Равномерное 5.1850 3.0333 2.4038 1.9066 0.9394
Линейное 5.2748 3.0134 2.4108 1.9880 1.0508
Синусоидальное 5.2964 3.0333 2.4309 2.0085 1.0793
0.2 Равномерное 5.7192 3.1776 2.5279 2.1005 1.2076
Линейное 5.7972 3.2456 2.6042 2.1658 1.2835
Синусоидальное 5.8161 3.2621 2.6205 2.1821 1.3035
увеличением коэффициента неоднородности, и Би8304 балка имеет самую низкую частоту. Кроме того, частота уменьшается с повышением температуры для различных режимов теплового на-гружения. Это означает, что с повышением температуры модуль Юнга снижается, что более выражено при более высоких температурах. Следовательно, необходимо учитывать влияние изменения температуры на динамический отклик.
Изменение параметров частоты пористых и беспористых ФГ балок в зависимости от изменения температуры, коэффициентов пористости и неоднородности для трех режимов повышения
Рис. 3. Зависимость безразмерной частоты ФГ балки (р = 1) от отношения сторон Ь/И при синусоидальном повышении температуры (цветной в онлайн-версии)
О 5 10 15 20 25 ЫЬ
Рис. 4. Зависимость безразмерной основной частоты пористой ФГ балки от отношения сторон ЫИ при синусоидальном повышении температуры и ДГ = 100 К (цветной в онлайн-версии)
0 100 200 300 400 500 600 ДГ, К
Рис. 5. Температура потери устойчивости и безразмерная частота ФГ балки с равномерной пористостью в различных режимах повышения температуры при р = 1, = 0.2, ЫИ = 20 (цветной в онлайн-версии)
температуры при неравномерном распределении пористости представлено в табл. 5.
Согласно табл. 4 и 5, безразмерные частоты пористой ФГ балки, подверженной равномерному и неравномерному (линейному или синусоидальному) повышению температуры, меньше частоты балки с синусоидальным режимом повышения температуры. Из приведенных в таблицах результатов видно, что различие частот каждого типа становится более существенным с увеличением температуры. Для всех типов тепловых нагрузок и распределений пористости частоты находятся в прямой зависимости от коэффициента неоднородности при условии р < 1 (содержание металла меньше, чем керамики).
Увеличение внутренних пустот в пористых ФГ балках приводит к повышению их жесткости, что более выражено при меньших значениях коэффициента неоднородности. При одинаковой температуре и коэффициенте р, балка с равномерным распределением пористости дает более высокие значения собственных частот, чем балка с неравномерным распределением пористости при условии р = 0.0-0.5. Наблюдаются дополнительные вариации безразмерных частот для балок с равномерным и неравномерным распределением пористости в зависимости от коэффициента р. При этом коэффициент неоднородности оказывает большее влияние на безразмерные частоты ФГ балки с равномерном распределением пористости по сравнению с балкой с неравномерным распределением пористости. В заключение следует отметить, что на динамический отклик большое влияние оказывает изменение коэффициента неоднородности при равномерном распределении пористости.
Исследовано влияние не только неоднородности, но и гибкости на безразмерную основную частоту свободно опертой ФГ балки. На рис. 3 показано влияние коэффициента гибкости на частоту при постоянном коэффициенте неоднородности р. Из анализа кривых следует, что увеличение отношения ЫИ и температуры приводит к уменьшению значений безразмерной частоты.
Из рис. 4 видно, что металлическая балка имеет меньшие значения частоты, а самые высокие значения наблюдаются для чисто керамической балки. При уменьшении коэффициента неоднородности балка становится более жесткой, что приводит к увеличению безразмерной частоты.
На рис. 5 представлено влияние режима повышения температуры на безразмерную частоту балки с однородной пористостью. Самые высокие безразмерные частоты по достижению температуры потери устойчивости наблюдаются под дей-
0 100 200 300 400 500 600 ДГ, К
Рис. 6. Влияние коэффициента микропористости на температуру потери устойчивости ФГ балки с равномерной пористостью при равномерном повышении температуры для р = 1, ЫИ = 20 (цветной в онлайн-версии)
ев
О 100 200 300 400 500 600 ДГ, К
Рис. 7. Влияние отношения сторон Ык на температуру потери устойчивости ФГ балки с равномерной пористостью при равномерном повышении температуры для р = 1, = 0.2 (цветной в онлайн-версии)
ствием синусоидальной тепловой нагрузки по сравнению с другими режимами (равномерным и линейным). Температура потери устойчивости оказывается одинаковой для всех трех режимов теплового нагружения.
Влияние коэффициента пористости на безразмерную частоту и температуру потери устойчивости показано на рис. 6 при р = 1 и Ык = 20. До достижения температуры потери устойчивости значения безразмерной частоты растут при увеличении коэффициента пористости. При превышении температуры потери устойчивости поведение становится обратным. Можно сделать вывод о том, что повышение температуры приводит к потере устойчивости пористой ФГ балки.
На рис. 7 показано изменение безразмерной частоты в зависимости от температуры для различных коэффициентов гибкости Ык при равномерном режиме повышения температуры. Порис-
Рис. 8. Влияние параметра Винклера на частоту ФГ балки с равномерной пористостью при равномерном повышении температуры для р = 1, Ык = 20, ДГ= 100 К, Кр = 0 (цветной в онлайн-версии)
0 20 40 60 80 100 КР
Рис. 9. Влияние параметра Пастернака на безразмерную основную частоту ФГ балки с равномерной пористостью при равномерном повышении температуры для р = 1, Ык = 20, ДГ = 100 К, К№ = 0 (цветной в онлайн-версии)
тость равномерно распределена по толщине балки с коэффициентом £ = 0.2 при р = 1. Можно сделать вывод, что увеличение значений коэффициента гибкости Ык приводит к снижению температуры потери устойчивости.
На рис. 8 и 9 приведены зависимости безразмерной частоты свободно опертой пористой ФГ балки от коэффициентов Винклера и Пастернака. Предполагается равномерное по толщине распределение пористости и повышение температуры. На рис. 8 рассматривается параметр Винклера без учета параметра Пастернака при р = 1, Ык = 20, ДГ = 100 К, Кр = 0. Кривые на рис. 9 построены только для основания Пастернака при р = 1, Ык = 20, ДГ = 100 К, KW = 0. Полученные кривые показывают, что при любой пористости безразмерная частота находится в прямом корреляционном
0 200 400 600 800 1000 ДГ, К
Рис. 10. Зависимость температуры потери устойчивости ФГ балки с равномерной пористостью от комбинации параметров Винклера и Пастернака при равномерном повышении температуры для p = 1, L/h = 20 (цветной в онлайн-версии)
соотношении с параметрами основания Винклера и Пастернака. Это соотношение можно объяснить тем, что основания Винклера или Пастернака приводят к увеличению жесткости балки, а это увеличивает собственную частоту. Из кривых можно сделать вывод о том, что более пористые ФГ балки имеют более высокие значения частот.
Согласно рис. 10 наибольшие частоты получены при учете обоих параметров основания. Параметр слоя сдвига (Пастернака) оказывает большее влияние на свободные колебания, чем параметр пружины (Винклера).
5. Выводы
В данной работе рассматривается динамическое поведение пористых ФГ балок на основании типа Винклера-Пастернака при тепловых нагрузках. Структурные характеристики материала изменяются в вертикальном направлении и зависят от температуры. Согласно модифицированному правилу аддитивности влияние микропустот (пористости) может быть описано с помощью двух функций распределения. Исследовано распределение температуры вдоль направления г. Предложенная теория деформации сдвига высшего порядка позволила исследовать влияние различных параметров на динамический отклик пористых ФГ балок. На основе принципа Гамильтона и подхода Навье получены уравнения движения и аналитическое решение для предложенной модели. Согласно полученным результатам, пористость является важным параметром, который следует учитывать при исследовании динамического поведения ФГ балки при термическом нагружении. По результатам исследования можно сделать выводы:
- частота обратно пропорциональна температуре при различных режимах теплового нагруже-ния;
- наличие пористости в ФГ балке приводит к повышению ее жесткости, что более заметно при более низких коэффициентах неоднородности;
- повышение температуры может привести к потере устойчивости пористой ФГ балки;
- температура потери устойчивости обратно пропорциональна коэффициенту гибкости балки;
- параметр Пастернака оказывает большее влияние на свободные колебания, чем параметр пружины Винклера.
Полученные результаты могут быть использованы для сравнения с будущими модельными
данными для балки. Предполагается дальнейшее
развитие разработанной теории для применения к
различным структурам и материалам.
Литература
1. Akgoz B., Civalek О. Buckling analysis of functionally graded microbeams based on the strain gradient theory // Acta Mech. - 2013. - V. 224. - No. 9. - P. 2185-2201. -https://doi.org/10.1007/s00707-013-0883-5
2. Eltaher M.A., Khairy A., Sadoun A.M., Omar F.A. Static and buckling analysis of functionally graded Timoshenko nanobeams // Appl. Math. Comput. - 2014. - V. 229. -P. 283-295. - https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.12.072
3. Arefi M. Elastic solution of a curved beam made of functionally graded materials with different cross sections // Steel Compos. Struct. - 2015. - V. 18. - No. 3. - P. 659672. - https://doi.org/10.12989/scs.2015.18.3.659
4. Arefi M. Nonlinear electromechanical analysis of a functionally graded square plate integrated with smart layers resting on Winkler-Pasternak foundation // Smart Struct. Syst. - 2015. - V. 16. - No. 1. - P. 195-211. - https:// doi.org/10.12989/sss.2015.16.1.195
5. Akba§ §.D. Wave propagation of a functionally graded beam in thermal environments // Steel Compos. Struct. -
2015. - V. 19. - No. 6. - P. 1421-1447. - https://doi.org/ 10.12989/scs.2015.19.6.1421
6. Celebi K., Yarimpabuc D., Keles I. A unified method for stresses in FGM sphere with exponentially-varying properties // Struct. Eng. Mech. - 2016. - V. 57. - No. 5. -P. 823-835. - https://doi.org/10.12989/sem.2016.57.5.823
7. Akavci S.S. Mechanical behavior of functionally graded sandwich plates on elastic foundation // Composites. B. Eng. - 2016. - V. 96. - P. 136-152. - https://doi.org/10. 1016/j.compositesb.2016.04.035
8. Ebrahimi F., Shafiei N. Application of Eringen's nonlocal elasticity theory for vibration analysis of rotating functionally graded nanobeams // Smart Struct. Syst. -
2016. - V. 17. - No. 5. - P. 837-857. - https://doi.org/ 10.12989/sss.2016.17.5.837
9. Turan M., Adiyaman G., Kahya V., Birinci A. Axisym-metric analysis of a functionally graded layer resting on elastic substrate // Struct. Eng. Mech. - 2016. - V. 58. -No. 3. - P. 423-442. - https://doi.org/10.12989/sem. 2016.58.3.423
10. Karami B., Shahsavari D., Janghorban M. Wave propagation analysis in functionally graded (FG) nanoplates under in-plane magnetic field based on nonlocal strain gradient theory and four variable refined plate theory // Mech. Adv. Mater. Struct. - 2018. - V. 25. - No. 12. -P. 1047-1057. - https://doi.org/10.1080/15376494.2017. 1323143
11. Karami B., Shahsavari D., Janghorban M., Li L. Influence of homogenization schemes on vibration of functionally graded curved microbeams // Compos. Struct. -2019. - V. 216. - P. 67-79. - https://doi.org/10.1016/j. compstruct.2019.02.089
12. Safa A., Hadji L., BouradaM., Zouatnia N. Thermal vibration analysis of FGM beams using an efficient shear deformation beam theory // Earthq. Struct. - 2019. -
V. 17. - No. 3. - P. 329-336. - https://doi.org/10.12989/ eas.2019.17.3.329
13. Selmi A. Exact solution for nonlinear vibration of clamp-ed-clamped functionally graded buckled beam // Smart Struct. Syst. - 2020. - V. 26. - No. 3. - P. 361-371. -https://doi.org/10.12989/sss.2020.26.3.361
14. Chami K., Messafer T., Hadji L. Analytical modeling of bending and free vibration of thick advanced composite beams resting on Winkler-Pasternak elastic foundation // Earthq. Struct. - 2020. - V. 19. - No. 2. - P. 91-101. -https://doi.org/10.12989/eas.2020.19.2.091
15. Merzoug M., Bourada M., Sekkal M., Ali Chaibdra A., Belmokhtar C., Benyoucef S., Benachour A. 2D and quasi 3D computational models for thermoelastic bending of FG beams on variable elastic foundation: Effect of the micromechanical models // Geomech. Eng. - 2020. -V. 22. - No. 4. - P. 361-374. - https://doi.org/10.12989/ gae.2020.22.4.361
16. Hadji L. Vibration analysis of FGM beam: Effect of the micromechanical models // Coupl. Syst. Mech. - 2020. -V. 9. - No. 3. - P. 265-280. - https://doi.org/10.12989/ csm.2020.9.3.265
17. Chikh A. Free vibration analysis of simply supported P-FGM nanoplate using a nonlocal four variables shear deformation plate theory // Strojnickycasopis. J. Mech. Eng. - 2019. - V. 69. - No. 4. - P. 9-24. - https://doi. org/10.2478/scjme-2019-0039
18. Chikh A. Investigations in static response and free vibration of a functionally graded beam resting on elastic foundations // Fratt. Integr. Strutt. - 2020. - V. 14. -No. 51. - P. 115-126. - https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS. 51.09
19. Ton-That H.L. Finite element analysis of functionally graded skew plates in thermal environment based on the new third-order shear deformation theory // J. Appl. Computat. Mech. - 2020. - V. 6. - No. 4. - P. 10441057. - https://doi.org/10.22055/JACM.2019.31508.1881
20. Yaylaci M., Yayli M., Yaylaci E.U., Olmez H., Birinci A. Analyzing the contact problem of a functionally graded layer resting on an elastic half plane with theory of elasticity, finite element method and multilayer perceptron // Struct. Eng. Mech. - 2021. - V. 78. - No. 5. - P. 585597. - https://doi.org/10.12989/sem.2021.78.5.585
21. Yaylaci M., Sabano B.S., Ozdemir M.E., Birinci A. Solving the contact problem of functionally graded layers resting on a HP and pressed with a uniformly distributed load by analytical and numerical methods // Struct. Eng. Mech. - 2022. - V. 82. - No. 3. - P. 401-416. - https:// doi.org/10.12989/SEM.2022.82.3.401
22. Oner E., §abano B.§., Yaylaci E.U., Adiyaman G., Yaylaci M., Birinci A. On the plane receding contact between two functionally graded layers using computational, finite element and artificial neural network methods // J. Appl. Math. Mech. - 2022. - V. 102. - No. 2. - https:// doi.org/10.1002/zamm. 202100287
23. Yaylaci M., Adiyaman G., Oner E., Birinci A. Investigation of continuous and discontinuous contact cases in the contact mechanics of graded materials using analytical method and FEM // Comp. Concr. - 2021. - V. 27. -
No. 3. - P. 199-210. - https://doi.org/10.12989/CAC. 2021.27.3.199
24. Adiyaman G., Birinci A., Oner E., Yaylaci M. A receding contact problem between a functionally graded layer and two homogeneous quarter planes // Acta Mech. - 2016. -V. 227. - No. 6. - P. 1753-1766. - https://doi.org/10. 1007/s00707-016-1580-y
25. Reddy J. Analysis of functionally graded plates // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2000. - V. 47. - No. 1-3. - P. 663684. - https://doi.org/10.1002/(SICI) 1097-0207(200001 10/30)
26. Alshorbagy A.E., Eltaher M.A., Mahmoud F. Free vibration characteristics of a functionally graded beam by finite element method // Appl. Math. Model. - 2011. -V. 35. - No. 1. - P. 412-425. - http://dx.doi.org/10.1016/ j.apm.2010.07.006
27. Natarajan S., Manickam G. Bending and vibration of functionally graded material sandwich plates using an accurate theory // Finite Elem. Anal. Design. - 2012. -V. 57. - P. 32-42. - http://dx.doi.org/10.1016/j.finel. 2012.03.006
28. Ghatage P.S., Kar V.R., Sudhagar P.E. On the numerical modelling and analysis of multi-directional functionally graded composite structures: A review // Composite Struct. - 2020. - V. 236. - P. 111837. - http://dx.doi.org/ 10.1016/j.compstruct.2019.111837
29. Melaibari A., Abo-bakr R.M., Mohammed S.A., Eltaher M.A. Static stability of higher order functionally graded beam under variable axial load // Alex. Eng. J. -2020. - V. 59. - No. 3. - P. 1661-1675. - http://dx.doi. org/10.1016/j.aej.2020.04.012
30. Shaker A., Abdelrahman W., Tawfik M., Sadek E. Stochastic finite element analysis of the free vibration of functionally graded material plates // Comput. Mech. -2008. - V. 41. - No. 5. - P. 707-714. - https://doi.org/ 10.1007/s00466-007-0226-2
31. Ebrahimi F., Zia M. Large amplitude nonlinear vibration analysis of functionally graded Timoshenko beams with porosities // Acta Astronaut. - 2015. - V. 116. - P. 117125. - https://doi.org/10.1016Zj.actaastro.2015.06.014
32. Avcar M., Mohammed W.K.M. Free vibration of functionally graded beams resting on Winkler-Pasternak foundation // Arabian J. Geosci. - 2018. - V. 11. - No. 232. -https://doi.org/10.1007/s12517-018-3579-2
33. Madenci E. A refined functional and mixed formulation to static analyses of FGM beams // Struct. Eng. Mech. -2019. - V. 69. - No. 4. - P. 427-437. - https://doi.org/ 10.12989/sem.2019.69.4.427
34. Zhang N., Khan T., Guo H., Shi S., Zhong W., Zhang W. Functionally graded materials: An overview of stability, buckling, and free vibration analysis // Adv. Mater. Sci. Eng. - 2019. - https://doi.org/10.1155/2019/1354150
35. Najafizadeh M.M., Eslami M.R. First-order-theory-based thermo elastic stability of functionally graded material circular plates // AIAA J. - 2002. - V. 40. - No. 7. -P. 1444-1450. - https://doi.org/10.2514/2.1807
36. Javaheri R., Eslami M.R. Thermal buckling of functionally graded plates // AIAA J. - 2002. - V. 40. - No. 1. -P. 162-169. - https://doi.org/10.2514/2.1626
37. Najafizadeh M.M., Heydari H.R. Thermal buckling of functionally graded circular plates based on higher order shear deformation plate theory // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2004. - V. 23. - No. 6. - P. 1085-1100. - https:// doi.org/10.1016/j .euromechsol.2004.08.004
38. Zhao X., Lee Y.Y., Liew K.M. Mechanical and thermal buckling analysis of functionally graded plates // Compos. Struct. - 2009. - V. 90. - No. 2. - P. 161171. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2009.03.005
39. Kiani Y., EslamiM.R. Thermal buckling analysis of functionally graded material beams // Int. J. Mech. Mater. Des. - 2010. - V. 6. - No. 3. - P. 229-238. - https:// doi.org/10.1007/s10999-010-9132-4
40. Ma L.S., Lee D.W. A further discussion of nonlinear mechanical behavior for FGM beams under in-plane thermal loading // Compos. Struct. - 2011. - V. 93. - No. 2. -P. 831-842. - https://doi.org/10.1016/). compstruct.2010. 07.011
41. Ma L.S., Lee D.W. Exact solutions for nonlinear static responses of a shear deformable FGM beam under an inplane thermal loading // Eur. J. Mech. A. Solids. -2012. - V. 31. - No. 1. - P. 13-20. - https://doi.org/10. 1016/j.euromechsol.2011.06.016
42. Levyakov S.V. Elastic solution for thermal bending of a functionally graded beam // Acta Mech. - 2013. -V. 224. - No. 8. - P. 1731-1740. - https://doi.org/10. 1007/s00707-013-0834-1
43. Fallah A., Aghdam M.M. Thermo-mechanical buckling and nonlinear free vibration analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation // Composites. B. Eng. - 2012. - V. 43. - No. 3. - P. 1523-1530. -https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2011.08.041
44. Ebrahimi F., Salari E., Hosseini S.A.H. Thermomechani-cal vibration behavior of FG nanobeam subjected to linear and non-linear temperature distributions // J. Therm. Stress. - 2015. - V. 38. - No. 12. - P. 1360-1386. -https://doi.org/10.1080/01495739.2015.1073980
45. Ebrahimi F., Barati M.R. Thermal buckling analysis of size-dependent FG nanobeams based on the third-order shear deformation beam theory // Acta Mech. Sol. Sin. -2016. - V. 29. - No. 5. - P. 547-554. - https://doi.org/ 10.1016/s0894-9166(16)30272-5
46. Dehrouyeh-Semnani A.M. On the thermally induced nonlinear response of functionally graded beams // Int. J. Eng. Sci. - 2018. - V. 125. - P. 53-74. - https://doi.org/ 10.1016/J.IJENGSCI.2017.12.001
47. Yahea H.T., Majeed W.I. Free vibration of laminated composite plates in thermal environment using a simple four variable plate theory // Compos. Mater. Eng. -2021. - V. 3. - No. 3. - P. 179-199. - https://doi.org/10. 12989/cme.2021.3.3.179
48. Yaylaci M., Eyuboglu A., Adiyaman G., Yaylaci E.U., Oner E., Birinci A. Assessment of different solution methods for receding contact problems in functionally graded layered mediums // Mech. Mater. - 2021. -V. 154. - P. 103730. - https://doi.org/10.1016/j.mech mat.2020.103730
49. Birinci A., Adiyaman G., Yaylaci M., Oner E. Analysis of continuous and discontinuous cases of a contact problem using analytical method and FEM // Lat. Am. J. Solids
Struct. - 2015. - V. 12. - No. 9. - P. 1771-1789. -https://doi.org/10.1590/1679-78251574
50. Yaylaci M., Adiyaman G., Oner E., Birinci A. Examination of analytical and finite element solutions regarding contact of a functionally graded layer // Struct. Eng. Mech. - 2020. - V. 76. - No. 3. - P. 325-336. - https:// doi.org/10.12989/SEM.2020.76.3.325
51. Yaylaci M., Abanoz M., Yaylaci E.U., OlmezH., Sek-ban D.M., Birinci A. Evaluation of the contact problem of functionally graded layer resting on rigid foundation pressed via rigid punch by analytical and numerical (FEM and MLP) methods // Arch. Appl. Mech. - 2022. -V. 92. - P. 1953-1971. - https://doi.org/10.1007/s00419-022-02159-5
52. Yaylaci M., Abanoz M., Yaylaci E.U., Olmez H., Sek-ban D.M., Birinci A. The contact problem of the functionally graded layer resting on rigid foundation pressed via rigid punch // Steel Compos. Struct. - 2022. -V. 43. - No. 5. - P. 661-672. - https://doi.org/10.12989/ scs.2022.43.5.661
53. EisenbergerM. Vibration frequencies for beams on variable one- and two-parameter elastic foundations // J. Sound Vibr. - 1994. - V. 176. - No. 5. - P. 577-584. -https://doi.org/10.1006/jsvi.1994.139
54. Zhou D. A general solution to vibrations of beams on variable Winkler elastic foundation // Comp. Struct. -1993. - V. 47. - No. 1. - P. 83-90. - https://doi.org/10. 1016/0045-7949(93)90281-H
55. Matsunaga H. Vibration and buckling of deep beam-columns on two-parameter elastic foundations // J. Sound Vibr. - 1999. - V. 228. - No. 2. - P. 359-376. - https:// doi.org/10.1006/jsvi.1999.2415
56. Chen C.N. DQEM vibration analyses of nonprismatic beams resting on elastic foundations // Int. J. Struct. Stability Dyn. - 2002. - V. 2. - No. 1. - P. 99-115. - https:// doi.org/10.1142/S0219455402000403
57. Malekzadeh P., Karami G. A mixed differential quadrature and finite element free vibration and buckling analysis of thick beams on two-parameter elastic foundations // Appl. Math. Model. - 2008. - V. 32. - No. 7. - P. 13811394. - https://doi.org/10.1016/j.apm.2007.04.019
58. Ying J., Lü C.F., Chen W.Q. Two-dimensional elasticity solutions for functionally graded beams resting on elastic foundations // Compos. Struct. - 2008. - V. 84. -No. 3. - P. 209-219. - https://doi.org/10.1016Zj.comp struct.2007.07.004
59. Esfahani S.E., Kiani Y., Eslami M.R. Non-linear thermal stability analysis of temperature dependent FGM beams supported on non-linear hardening elastic foundations // Int. J. Mech. Sci. - 2013. - V. 69. - P. 10-20. - https:// doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2013.01.007
60. Akgoz B., Civalek O. Thermo-mechanical buckling behavior of functionally graded microbeams embedded in elastic medium // Int. J. Eng. Sci. - 2014. - V. 85. -P. 90-104. - https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2014.08. 011
61. Akba§ §.D. Free vibration and bending of functionally graded beams resting on elastic foundation // Res. Eng. Struct. Mater. - 2015. - V. 1. - No. 1. - P. 25-37. -http://dx.doi.org/10.17515/resm2015.03st0107
62. Sun Y., Li S.R., Batra R.C. Thermal buckling and post-buckling of FGM Timoshenko beams on nonlinear elastic foundation // J. Therm. Stress. - 2016. - V. 39. -No. 1. - P. 11-26. - https://doi.org/10.1080/01495739. 2015.1120627
63. Robinson M.T.A., Adali S. Buckling of nonuniform and axially functionally graded nonlocal Timoshenko nano-beams on Winkler-Pasternak foundation // Compos. Struct. - 2018. - V. 206. - P. 95-103. - https://doi.org/ 10.1016/j.compstruct.2018.07.046
64. Rachedi M.A., Benyoucef S., Bouhadra A., Bachir Bouia-djra R., Sekkal M., Benachour A. Impact of the homoge-nization models on the thermoelastic response of FG plates on variable elastic foundation // Geomech. Eng. -2020. - V. 22. - No. 1. - P. 65-80. - https://doi.org/10. 12989/gae.2020.22.1.065
65. Timesli A. Buckling behavior of SWCNTs and MWCNTs resting on elastic foundations using an optimization technique // Phys. Mesomech. - 2022. - V. 25. - No. 2. -P. 129-141. - https://doi.org/10.1134/S102995992202 0047
66. Mohammadi M., Saidi A.R., Jomehzadeh E. A novel analytical approach for the buckling analysis of moderately thick functionally graded rectangular plates with two simply-supported opposite edges // Mech. Eng. Sci. -2010. - V. 224. - P. 1831-1841. - https://doi.org/10. 1243/09544062jmes1804
67. Jabbari M., Mojahedin A., Khorshidvand A.R., Esla-mi M.R. Buckling analysis of a functionally graded thin circular plate made of saturated porous materials // J. Eng. Mech. - 2013. - V. 140. - No. 2. - P. 287-295. -https://doi.org/10.1061/(asce)em.1943-7889.0000663
68. Jabbari M., Hashemitaheri M., Mojahedin A., Esla-mi M.R. Thermal buckling analysis of functionally graded thin circular plate made of saturated porous materials // J. Therm. Stress. - 2014. - V. 37. - No. 2. - P. 202220. - https://doi.org/10.1080/01495739.2013.839768
69. Chen D., Yang J., Kitipornchai S. Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam // Compos. Struct. - 2015. - V. 133. -P. 54-61. - https://doi.org/10.1016/j. compstruct.2015.07. 052
70. Ebrahimi F., Jafari A. Thermo-mechanical vibration analysis of temperature-dependent porous FG beams based on Timoshenko beam theory // Struct. Eng. Mech. -2016. - V. 59. - No. 2. - P. 343-371. - https://doi.org/ 10.12989/sem.2016.59.2.343
71. Akba§ §.D. Dynamic analysis of axially functionally graded porous beams under a moving load // Steel Compos. Struct. - 2021. - V. 39. - No. 6. - P. 811821. - https://doi.org/10.12989/SCS.2021.39.6.811
72. Ghandourah E.E., Ahmed H.M., Eltaher M.A., Attia M.A., Abdraboh A.M. Free vibration of porous FG nonlocal modified couple nanobeams via a modified porosity model // Adv. Nano Res. - 2021. - V.11. -No. 4. - P. 405-422. - https://doi.org/10.12989/ANR. 2021.11.4.405
73. Huang W., Tahouneh V. Frequency study of porous FGPM beam on two-parameter elastic foundations via Timoshenko theory // Steel Compos. Struct. - 2021. -
V. 40. - No. 1. - P. 139-156. - https://doi.org/10.12989/ SCS.2021.40.1.139
74. Al-OstaM.A. Wave propagation investigation of a porous sandwich FG plate under hygrothermal environments via a new first-order shear deformation theory // Steel Compos. Struct. - 2022. - V. 43. - No. 1. - P. 117127. - https://doi.org/10.12989/SCS.2022.43.! .117
75. Ramteke P.M., Panda S.K., Sharma N. Effect of grading pattern and porosity on the eigen characteristics of porous functionally graded structure // Steel Compos. Struct. - 2019. - V. 33. - No. 6. - P. 865-875. - https:// doi.org/10.12989/scs.2019.33.6.865
76. Avcar M. Free vibration of imperfect sigmoid and power law functionally graded beams // Steel Compos. Struct. -2019. - V. 30. - No. 6. - P. 603-615. - https://doi.org/ 10.12989/scs.2019.30.6.603
77. Ahmed R.A., Fenjan R.M., Faleh N.M. Analyzing post-buckling behavior of continuously graded FG nanobeams with geometrical imperfections // Geomech. Eng. -
2019. - V. 17. - No. 2. - P. 175-180. - https://doi.org/ 10.12989/gae.2019.17.2.175
78. Hadji L., Zouatnia N., Bernard F. An analytical solution for bending and free vibration responses of functionally graded beams with porosities: Effect of the micromecha-nical models // Struct. Eng. Mech. - 2019. - V. 69. -No. 2. - P. 231-241. - https://doi.org/10.12989/sem. 2019.69.2.231
79. Abdulrazzaq M.A. Kadhim Z.D., Faleh N.M., Mousta-fa N.M. A numerical method for dynamic characteristics of nonlocal porous metal-ceramic plates under periodic dynamic loads // Struct. Monitor. Maint. - 2020. -V. 7. - No. 1. - P. 27-42. - https://doi.org/10.12989/ smm.2020.7.1.027
80. Hadji L. Influence of the distribution shape of porosity on the bending of FGM beam using a new higher order shear deformation model // Smart Struct. Syst. - 2020. -V. 26. - No. 2. - P. 253-262. - https://doi.org/10.12989/ sss.2020.26.2.253
81. Fenjan R.M., Faleh N.M., Ridha A.A. Strain gradient based static stability analysis of composite crystalline shell structures having porosities // Steel Compos. Struct. -
2020. - V. 36. - No. 6. - P. 631-642. - https://doi.org/ 10.12989/SCS.2020.36.6.631
82. Fenjan R.M., Moustafa N.M., Faleh N.M. Scale dependent thermal vibration analysis of FG beams having porosities based on DQM // Adv. Nano Res. - 2020. -V. 8. - No. 4. - P. 283-292. - https://doi.org/10.12989/ anr.2020.8.4.283
83. Gafour Y., Hamidi A., Benahmed A., Zidour M., Bensat-talah T. Porosity-dependent free vibration analysis of FG nanobeam using non-local shear deformation and energy principle // Adv. Nano Res. - 2020. - V. 8. - No. 1. -P. 37-47. - https://doi.org/10.12989/anr.2020.8.1.037
84. Vinyas M. On frequency response of porous functionally graded magneto-electro-elastic circular and annular plates with different electro-magnetic conditions using HSDT // Compos. Struct. - 2020. - V. 240. - P. 112044. -https://doi.org/10.1016/). compstruct.2020.112044
85. RahmaniM., Mohammadi Y., KakavandF., RaeisifardH. Vibration analysis of different types of porous FG coni-
cal sandwich shells in various thermal surroundings // J. Appl. Comput. Mech. - 2020. - V. 6. - No. 3. - P. 416432. - https://doi.org/10.22055/jacm.2019.29442.1598
86. She G.-L., Liu H.-B., Karami B. On resonance behavior of porous FG curved nanobeams // Steel Compos. Struct. - 2020. - V. 36. - No. 2. - P. 179-186. - https:// doi.org/10.12989/scs.2020.36.2.179
87. Hadji L., Avcar M. Free vibration analysis of FG porous sandwich plates under various boundary conditions // J. Appl. Comput. Mech. - 2021. - V. 7. - No. 2. - P. 505519. - https://doi.org/10.22055/JACM.2020.35328.2628
88. Mohsen Rahmani Y.M. Vibration of two types of porous FG sandwich conical shell with different boundary conditions // Struct. Eng. Mech. - 2021. - V. 79. - No. 4. -P. 401-413. - https://doi.org/10.12989/SEM.2021.79.4. 401
89. Xu X., Zhang C., Musharavati F., Sebaey T.A., Khan A. Wave propagation analysis of porous functionally graded curved beams in the thermal environment // Struct. Eng. Mech. - 2021. - V. 79. - No. 6. - P. 665-675. -https://doi.org/10.12989/SEM.2021.79.6.665
90. Li X., Wang T., Liu F., Zhu Z. Computer simulation of the nonlinear static behavior of axially functionally graded microtube with porosity // Adv. Nano Res. -2021. - V. 11. - No. 4. - P. 437-451. - https://doi.org/ 10.12989/ANR.2021.11.4.437
91. Priyanka R., Twinkle C.M., Pitchaimani J. Stability and dynamic behavior of porous FGM beam: Influence of graded porosity, graphene platelets, and axially varying loads // Eng. Comp. - 2021. - https://doi.org/10.1007/ s00366-021-01478-5
92. Keleshteri M.M., Jelovica J. Nonlinear vibration analysis of bidirectional porous beams // Eng. Comp. - 2021. -https://doi.org/10.1007/s00366-021-01553-x
93. Chen S., Zhang Q., Liu H. Dynamic response of double-FG porous beam system subjected to moving load // Eng. Comp. - 2021. - https://doi.org/10.1007/s00366-021-01376-w
94. Chi S.-H., Chung Y.-L. Mechanical behavior of functionally graded material plates under transverse load— Part I: Analysis // Int. J. Solids Struct. - 2006. - V. 43. -No. 13. - P. 3657-3674. - https://doi.org/10.1016/ j.ijsolstr.2005.04.011
95. Chi S.-H., Chung Y.-L. Mechanical behavior of functionally graded material plates under transverse load— Part II: Numerical results // Int. J. Solids Struct. - 2006. -V. 43. - No. 13. - P. 3675-3691. - https://doi.org/10. 1016/j.ijsolstr.2005.04.010
96. Kim Y.-W. Temperature dependent vibration analysis of functionally graded rectangular plates // J. Sound Vibr. -
2005. - V. 284. - No. 3-5. - P. 531-549. - https://doi. org/10.1016/j.jsv.2004.06.043
97. Li Q., Iu V.P. Three-dimensional free vibration of functionally graded material plates on different boundary conditions // Mech. Adv. Mater. Struct. - 2011. - V. 18. -P. 597-601. - https://doi.org/10.1063/L3452255
98. Zhu J., Lai Z., Yin Z., Jeon J., Lee S. Fabrication of ZrO2-NiCr functionally graded material by powder metallurgy // Mater. Chem. Phys. - 2001. - V. 68. - No. 1-3. -P. 130-135. - https://doi.org/10.1016/S0254-0584(00)00 355-2
99. Boutahar L., Benamar R. A homogenization procedure for geometrically non-linear free vibration analysis of functionally graded annular plates with porosities, resting on elastic foundations // Ain Shams Eng. J. - 2016. -V. 7. - No. 1. - P. 313-333. - https://doi.org/10.1016/). asej.2015.11.016
100. Ibnorachid Z., Boutahar L., EL Bikri K., Benamar R. Buckling temperature and natural frequencies of thick porous functionally graded beams resting on elastic foundation in a thermal environment // Adv. Acoust. Vibr. - 2019. - https://doi.org/10.1155/2019/7986569
101. Wattanasakulpong N., Prusty B.G., Kelly D.W., Hoffman M. Free vibration analysis of layered functionally graded beams with experimental validation // Mater. Design. - 2012. - V. 36. - P. 182-190. - https://doi.org/10. 1016/j.matdes.2011.10.049
102. Wattanasakulpong N., Ungbhakorn V. Linear and nonlinear vibration analysis of elastically restrained ends FGM beams with porosities // Aerospace Sci. Technol. -2014. - V. 32. - No. 1. - P. 111-120. - https://doi.org/ 10.1016/j.ast.2013.12.002
103. Yang J., Shen H.S. Nonlinear bending analysis of shear deformable functionally graded plates subjected to ther-mo-mechanical loads under various boundary conditions // Composites. B. Eng. - 2003. - V. 34. - No. 2. -P. 103-115. - https://doi.org/10.1016/S1359-8368(02)00 083-5
104. §im§ek M. Fundamental frequency analysis of functionally graded beams by using different higher-order beam theories // Nucl. Eng. Design. - 2010. - V. 240. -No. 4. - P. 697-705. - https://doi.org/10.1016/j.nuceng des.2009.12.013
105. Chen W.Q., Lü C.F., Bian Z.G. A mixed method for bending and free vibration of beams resting on a Pasternak elastic foundation // Appl. Math. Model. -2004. - V. 28. - No. 10. - P. 877-890. - https://doi.org/ 10.1016/j.apm.2004.04.001
Поступила в редакцию 21.07.2022 г., после доработки 20.08.2022 г., принята к публикации 22.08.2022 г.
Сведения об авторах
Salima Abdelbari, Dr., University of Ain Temouchent, Algeria, SalAbdelbari22@yahoo.fr Amina Attia, Dr., University of Ain Temouchent, Algeria, AminaAt@gmail.com Fouad Bourada, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria, bouradafouad@yahoo.fr Abdelmoumen Anis Bousahla, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria, bousahla.anis@gmail.com
Abdelouahed Tounsi, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria; Yonsei University, Korea; King Fahd University of Petroleum & Minerals, Saudi Arabia, tou_abdel@yahoo.com
Mofareh Hassan Ghazwani, Prof., Jazan University, Saudia Arabia, GhazwaniMHSA@yahoo.fr
