CC BY
13
УДК 517.14
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-8-721-727
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ АЛФРЕЯ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В. А. Смагин, И. А. Карабельников, И. С. Петрова
Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, 197198, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: va_smagin@mail.ru
Предложено приближенно получать численные значения функций, изображения которых представлены сложными преобразованиями Лапласа, с помощью формулы Т. Алфрея. Данная формула была получена при изучении механических свойств высокополимеров, она основана на способе фильтрации дельта-функцией подынтегрального выражения преобразования Лапласа. В качестве примера приведено решение интегрального уравнения с временной избыточностью для определения вероятности выполнения задания системой. Попытки повысить точность обратного преобразования с применением математического аппарата Хаара или Уиддера не увенчались успехом.
Ключевые слова: преобразование Лапласа, обратное преобразование, формула Алфрея, интегральное уравнение с временной избыточностью, вероятность выполнения задания, метод моментов, информационная работа
Введение. Интегральные преобразования Лапласа применяются во многих областях математики, особенно для решения дифференциальных и интегральных уравнений, а также в
<х>
г _st
теории случайных процессов. Функцию F(p) =1 e f (t)dt называют преобразованием Лап-
0
ласа функции f (t). Здесь p рассматривается как комплексная переменная. Функция f (t) называется обратным преобразованием Лапласа для F(p) . Во многих книгах приводятся таблицы как для прямого, так и обратного преобразования Лапласа. Однако для многих достаточно сложных выражений прямого преобразования Лапласа в таблицах не содержится готовых выражений обратного преобразования. Это значительно затрудняет работу исследователей, особенно в теории случайных процессов. В ряде случаев на помощь приходят приближенные аналитические выражения для получения обратных преобразований, предложенные Алфреем, Хааром и Уиддером. В настоящей статье освещены некоторые возможности работы в теории случайных процессов с формулой, предложенной Т. Алфреем [1].
Обратное преобразование Лапласа формулой Алфрея. В работе [1] формула приближенного обращения преобразования Лапласа, предложенная Алфреем, для изучения механических свойств высокополимеров имеет вид:
f (t) = sF (s)
1
s=-t
(1)
Здесь f ^) — оригинал, изображение, F (5) — преобразование Лапласа оригинала, t — вещественная переменная времени, 5 — комплексная переменная Лапласа. Формула (1) получена автором на основе свойства фильтрации дельта-функцией Дирака подынтегрального выражения в преобразовании Лапласа.
В книге [2] приведен интеграл Лапласа, связывающий функцию релаксации с функцией ее спектра
y(t) = | N(s)e_tsds, (2)
где у(г) — функция релаксации, N (?) — функция спектра. Основной задачей в [2] является вычисление спектра. При этом приближенные формулы для вычисления спектра можно получить непосредственно из определяющего интеграла (2), если заменить экспоненциальную функцию в подынтегральном выражении каким-либо приближением. Так, например, Алфрей [2] применил такое приближение:
е-" =<
1, ? ,1, г
0, ? >-. г
(3)
Из уравнения (2) получают
1Л
Щ) = | N((4)
0
Дифференцирование интеграла по верхнему пределу дает
а после обращения переменной
^) - N [1 ] ± N (?) = (5)
Эта формула совпадает с первым приближением по формуле Уиддера:
N (?) =Кп1<^ Г п Г+1 у (Г £ У, (6)
и^ю п! Г ? у Г ? у
оно позволяет более простым способом вычислить обращение интеграла Лапласа, по сравнению с численным его обращением [2]. В формуле (6) п)(п / — и-я производная функции у(г), в которой после дифференцирования переменная г заменена на п / ? . Известно, что вычисление производной для эмпирически определенной функции — операция весьма нежелательная из-за низкой точности результата. Практически можно вычислить не более чем вторую производную. Поэтому формула Уиддера обычно ограничена вторым приближением. Для справки приведем формулу первого приближения и второго обращения:
и формулу второго приближения
N1(5) = --1 (7)
N2(5) = ± . (8)
Этим можно ограничиться, так как нам в дальнейшем не нужны вычисления только вероятностей для различных распределений.
Кроме приближения (3) в работе [3] было предложено следующее приближение для экспоненциальной функции:
= , (9)
г2
где 5 — дельта-функция Дирака.
Из определяющего интеграла (2) получают формулу
0 5 0 5 ^2 ^2 1/ Г Г
которую можно считать нулевым приближением к (1).
Рассмотрим простейший пример. Пусть вероятность безотказной работы системы при
экспоненциальном законе Р(;) = е -Х ;, где X — интенсивность отказа системы. В преобразо-* 1
вании Лапласа Р (5) =-. Применив формулу Алфрея, получим
5 + Х
Р(;) = 5Р* (5) 1
5 = 1 1+ Х; ;
Применив формулу (10), получим
Р* (5) = 1
Р(;)=■
;| 1+ Х 1 + х;
т.е. результат тот же, что и по формуле Алфрея.
Приведенное выражение дает большее значение Р(;), и тем больше, чем больше время ;. Для неэкспоненциальных выпуклых распределений приближение по форме более правильное. Но остается без ответа вопрос о том, как найти более точное определение оригинала по изображению Лапласа. Попытки авторов использовать для повышения точности обращения преобразования Лапласа на основе методов Меллина, Хаара и Уиддера [4] не дали желаемых результатов.
Применение формулы Алфрея в вероятностном анализе и теории случайных процессов. При решении практических задач иногда приходится обращаться с интегральными уравнениями, представленными в преобразовании Лапласа. При неэкспоненциальных распределениях в замкнутом виде решать их затруднительно. Рассмотрим одно частное интегральное уравнение с временной избыточностью. Пусть некоторая система должна непрерывно в течение установленного времени т безошибочно решить задачу. Если отказ наступает раньше истечения т, то задача начинает решаться сначала. Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока хватит избыточного времени ; для однократного успешного решения задачи длительностью т .
Формально можно записать интегральное уравнение для определения вероятности успешного решения задачи:
т
Р(т,;) = Р(т, 0) +1 а(£Ж£)Р(т,; - О¿£, (11)
где Р(т, 0) — вероятность успешного решения задачи с первого раза, а(£) — плотность распределения вероятности времени решения задачи в момент отказа £, определяемая как а(;) = -Р'(;), — вероятность обнаружения встроенной системой контроля момента отказа £ , а Р(т,; - £) — вероятность успешного решения задачи длительностью т при величине оставшегося избыточного времени для ее решения ; - £ .
Соотношение (11) носит название интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода с разностным ядром, оно отличается от стандартного уравнения наличием параметра q(t) и усеченной величиной верхнего предела у интеграла т вместо переменного значения времени ; . Решить это уравнение можно либо численным методом, либо с применением преобразования Лапласа.
Применяя преобразование Лапласа по переменной г, решение уравнения (11) можно представить в следующем виде:
Р(т,0)
Р (т^) = ■
Г т V
' 1 -I«ажФ-* о,
(12)
V 0
Пример 1. Используя выражение (12) и формулу Алфрея при численных значениях параметров т = 20 ч, о = 6 ч, а(г) = dnorm(t, т, а), т = 10 ч, q1 = 1, q2 = 0,8, произведем расчет вероятностей Р( т, г). Результаты расчета приведены на рис. 1 при двух указанных значениях
контроля (1 — Л(т, 100)=0,955, 2 — Р2(т, 100)=0,955, q2).
Р -Г
0,956
0,955 -
0,954
0,953 ^
20
40 60 80 г, ч Рис. 1
Пример 2. Избыточная информационная система описывается интегральным уравнением вида (12), но в ней дополнительно учитывается случайное время задержки после возникновения отказа. Поэтому уравнение (12) несколько изменяется и принимает вид:
Р( т, 0)
Р М = ■
Г т у
; 1 - х *(5) | a(í>)q(í>)e-^
(13)
например, где х (=
(3 +1)2
-, | = 2ч 1, 3 = 5 оп.
-1
а значения других параметров прини-
маются следующими: т = 20 ч, о = 6 ч, а(г) = dnorm(г, т, о), т = 10 ч, I = 20 оп. 1, q1 = 1, q2 = 0,8, Р(т, 0) =| —а 1 — 1 ё Е, (здесь 3, I — удельные пропускные способности потери и накопления
т
информации в системе).
Применяя формулу Алфрея (1) для перехода от преобразования Лапласа (13) к оригиналу, получим следующее выражение для вероятности выполнения системой определенного количества операционной работы:
I г VIу ё5
Р(т, г) =
2, 2 т 1 г 1 У -1
1--I<&)±ае ё
(14)
(з + 1) 0
На рис. 1 представлены зависимости вероятности выполнения операционной работы системой при указанных в примере значениях параметров от избыточного времени. По этому рисунку определить величину выполненной операционной работы невозможно. Для этого
сначала необходимо найти по графику начальные значения величины выполненной работы для определенного времени, а затем подобрать по ним функцию распределения величины работы. Из рис. 2 следует, что с увеличением операционных потерь из-за простоя системы при ее восстановлении вероятность выполнения работы системой уменьшается (1 — ql = 1, 2 —
q2 = 0,8).
р
0,9995 -
0,99945
0,9994
20
60
80 ;, ч
40 Рис. 2
Определение количества выполненной информационной работы за время функционирования системы. В статье [5] приведена методика решения этой задачи. Суть методики состоит в последовательном выполнении следующих этапов:
1) выделить необходимое выражение вероятности выполнения работы системы с учетом накопления полезной информации и потерь информации за время преобразований Лапласа;
2) последовательно дифференцируя выражение по переменной Лапласа, найти требуемое число начальных значений величины выполненной работы;
3) используя метод моментов, построить функцию аппроксимации распределения выполненной работы;
4) применять найденную функцию распределения при практическом расчете показателей качества.
Для иллюстрации методики представим простой пример расчета. Во избежание громоздких вычислений будем учитывать не потери информации, а только количество полезной информационной работы, выполненной системой. Поэтому в качестве исходного будем использовать следующее выражение:
(5 + Х) е-5т
Р (т, 5) = ■
(15)
5[5 + Хе-(Х+5) т ]'
полученное в результате решения интегрального уравнения (11) на основе применения преобразования Лапласа. Примем для расчета следующие значения параметров:
Х = 0,01 ч-1, т = 10 ч, мгновенное возобновление работы системы после ее отказа в течение т,
I = 10 оп.-
Сначала применим формулу Алфрея к выражению (15):
ч 0,819 + 0,008; Р(т,;) = —
(20+0,2;)
(16)
1 + 0,01;е
-1
затем учтем значение I = 10 оп. :
Я(т,;) = Нш
5—
(51+ Х) е
-Хт
1[ 51 + Хе-(Х+51) т ]'
;
1
;
и для него после раскрытия предела получаем
^ ч 8,187 + 0,0081 G (т, t) =
10 + 0,01te-(200+0'2t) ■ Далее, используя выражения для нахождения начальных моментов
A (s) =
(s + Х) e
-Хт
s + Xe-(X+s) т
,B (s) =
(sI + X)e
-Хт
sI + Xe -(X+sI) т
(18)
(19)
находим:
v^0 = 1, va! = 2,140 оп., va2 = 37,212 оп.
уЬ0 = 1, уЬ1 = 21,403 оп., уЬ2 = 3721,672 оп.2
Допуская возможность аппроксимации искомых распределений вероятностей нормальными распределениями с использованием величин найденных моментов, приведем графики плотностей вероятностей (рис. 3, 1 — ga(x), 2 — gb(x)) и распределения вероятностей (рис. 4,
1 — Ga(x), 2 — Gb(x)).
g
0,08 0,06 0,04 0,02
0
G
20 40 60 Рис. 3
80 x
50
100 Рис. 4
150
Кривые 2 соответствуют величине накопленной информационной работе системы с I = 10 оп.-1, кривые 1 — отсутствию накопления информации.
Пользуясь приведенной методикой, можно определить количество информационной работы системы для случаев, соответствующих выражениям (12) и (13), т.е. для непуассонов-ских распределений, а также с учетом информационных потерь при восстановлениях или простоях системы после ее отказов. Однако процесс определения объема информационной работы, проделанной системой, в этом случае будет более трудоемким.
В качестве примеров приводятся обратные преобразования Лапласа решения интегрального уравнения с временной избыточностью и потерей накопленного результата, если процесс решения заканчивается раньше предусмотренного временем задания для системы.
Предлагается модель обратного преобразования с учетом количества накопленной и потерянной информации за время работы системы.
0
x
список литературы
1. Смагин В. А. Немарковские задачи теории надежности. Л.: МО СССР, 1982. 293 с.
2. Гольберг И. И. Механическое поведение полимерных материалов. (Математическое описание). М.: Химия, 1970. 192 с.
3. Gross В. Mathematical Structure of the Theories of Viscoelasticity. Paris: Hermann, 1953.
4. Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. 496 с.
5. Смагин В. А., Шерстобитов С. А. Оценивание длительности и количества информационной работы в цикле управляющей системы // Информация и космос. 2016. № 1. С. 75—79.
Сведения об авторах
Владимир Александрович Смагин — д-р техн. наук, профессор; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра
метрологического обеспечения; E-mail: va_smagin@mail.ru Игорь Анатольевич Карабельников — канд. техн. наук; ВКА им. А. Ф. Можайского, военный институт
(научно-исследовательский), начальник отдела; E-mail: igork1981@yandex.ru
Ирина Серафимовна Петрова — ВКА им. А. Ф. Можайского, военный институт (научно-иссле-
довательский), научный сотрудник; E-mail: mariak1985@yandex.ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
метрологического обеспечения 2l.03.17 г.
Ссылка для цитирования: Смагин В. А., Карабельников И. А., Петрова И. С. Применение формулы Алфрея в теории случайных процессов // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60, № 8. С. 721—727.
APPLICATION OF ALFREY'S FORMULA IN THE THEORY OF RANDOM PROCESSES
V. A. Smagin, I. A. Karabelnikov, I. S. Petrova
A. F. Mozhaisky Military Space Academy, 197198, St. Petersburg, Russia E-mail: va_smagin@mail.ru
An approximate method using Alfrey's formula is proposed for derivation of digital values of function with image represented by a complex Laplace transform. The formula was obtained in the study of mechanical properties of high polymers; it is based on filtering the integrand of Laplace transform with the delta-function. A solution of an integral equations with temporal redundancy for the probability of task execution by a system is presented as an example. Attempts to improve the accuracy of the inverse transformation using the mathematical apparatus of Haar's or Widder's methods are reported to be unsuccessful.
Keywords: Laplace transform, inverse transformation, Alfrey's formula, integral equations with temporal redundancy, probability of task execution, method of moments, information task
Data on author
Vladimir A. Smagin — Dr. Sci., Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy,
Department of Metrological Support; E-mail: va_smagin@mail.ru Igor A. Karabelnikov — PhD; A. F. Mozhaisky Military Space Academy, Military Institute;
Head of Department; E-mail: igork1981@yandex.ru Irina S. Petrova — A. F. Mozhaisky Military Space Academy, Military Institute; Re-
searcher; E-mail: mariakl985@yandex.ru
For citation: Smagin V. А., Karabelnikov I. А., Petrova I. S. Application of Alfrey's formula in the theory of random processes. Journal of Instrument Engineering. 2017. Vol. 60, N 8. P. 721—727 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-8-721-727
