Применение эвристической карты познания в образовательной и исследовательской деятельности учащихся в школе Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Штт.......у.......тшм

Эвристическая карта познания в образовательной и исследовательской деятельности учащихся в школе

Валерий Николаевич Клепиков,

кандидат педагогических наук, ведущий научный сотрудник ФГБНУ «Институт изучения детства, семьи и воспитания» РАО, учитель математики и этики МБОУ СШ № 6 г. Обнинска, кандидат педагогических наук, Klepikovvn@mail.ru

• математическая картина мира • ценностно-смысловой подход • креативно-опорные сигналы • эвристическая карта познания • концептуальные блоки-модули • самоорганизация • индивидуальная траектория развития • интеграция, метапредметность

• пластическое мышление • проблемность • искусство вопрошания • точки роста

Эвристическая карта познания - это целостная личностно ориентированная траектория продвижения индивидуального образования в какой-либо области, формируемая посредством креативных вопросов, противоречий и проблем, гипотез, точек роста и т.п. Тем самым эвристическая карта познания есть важнейший регулятор творческой и исследовательской самоорганизации юного человека в построении индивидуальной научной картины мира.

Одной из важнейших целей современного образования является построение учащимися современной научной картины мира. Важно учитывать, что в своих важнейших компонентах научная картина мира должна принадлежать именно XXI веку, а не прошлым векам, как это нередко получается в консервативных образовательных парадигмах, нацеленных только на поддержание традиций. В частности, на одну из них указывает в своей книге «Методология учебной деятельности» А.М. Новиков: «...концептуальная разобщённость школьных предметов приводит к тому, что, с одной стороны, у ученика в голове не складывается целостной картины мира, а остаются лишь отрывочные сведения, с другой стороны, эти не связанные с личностными интересами учащихся, с их дальнейшими судьбами, их дальнейшими потребностями практи-

ческой деятельности, быстро ими теряются и забываются»1.

Существенной частью научной картины мира является математическая картина мира, которая, как нам представляется, должна целенаправленно формироваться в образовательном процессе современной школы. В этой связи в последние годы в сфере математического образования всё явственнее и насущнее возникает необходимость разведения таких понятий, как «программа индивидуального обучения» и «индивидуальная карта познания». В первую очередь это связано с гуманитарной направленностью современного образования, в котором на первое место ставится человек, его внутренний мир, а значит, обучение, воспитание и развитие не могут рассматриваться вне интересов человека, вне его культуры и мировоззрения. Конечно, кардинального различия между данными образовательными моделями быть не может, но в карте познания, несомненно, превалирует личность ребёнка, его личностные установки, мировоззренческая направленность, т.е. ценностно-смысловой подход.

Более того, на наш взгляд, в последнее время более востребованной становится даже не учебная карта познания (темы, понятия, правила, формулы, теоремы, аксиомы, ин-

1 Новиков А.М. Методология учебной деятельности. -М., 2005.

формация и т.п.), а эвристическая карта познания (вопросы, противоречия, проблемы, гипотезы, прогнозы, креативная информация т.п.), с помощью которой современный ученик выявляет и направляет свой творческий потенциал, свои творческие возможности в единое русло. Именно эвристическая карта познания является промежуточным образовательным продуктом, который позволяет плавно переводить учебно-познавательную работу учащихся в научно-исследовательскую деятельность.

В этой связи важно добавить, что современные образовательные теории ориентируют учащихся на «внешние продукты» обучения (знания, методы решения задач, вычислительные приёмы и т.д.). Так, учащиеся решают огромное количество задач и примеров, но совершенно не понимают, для чего это делается, и какое значение они имеют для их личностного развития. Об этом беспокоился и основоположник развивающего обучения В.В. Давыдов2. Эвристические карты познания должны быть ориентированы на «внутренние продукты», включать в себя личностные ценности и смыслы. Например, ставить индивидуальные вопросы, формулировать собственное видение проблемы, давать личностную интерпретацию, способствовать сочинению близких внутреннему миру учащегося эссе, мини-текстов и т.п.

«Внутренние продукты» образования, конечно же, могут содержать и личностно обусловленные ошибки. В этой связи актуальным выглядит предупреждение великого писателя Г.К. Честертона: «Привычные ошибки почти всегда верны. Почти всегда они нащупывают истину, неведомую тем, кто поправляет ошибающегося»3. На наш взгляд, ошибки могут быть более конструктивными элементами мышления человека, чем результаты мышления «автоматом», когда он даже и не замечает «как это случилось». Поэтому «сопротивление» образовательного материала для учащегося есть необходимое условие его развития.

Опытный, проницательный педагог не настаивает на верном варианте понимания

2 Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М., 1996. - С. 244.

3 Честертон Г.К. Вечный человек. - М., 1991. - С. 312.

или решения, а пытается с помощью наводящих вопросов вникнуть во внутренний мир ребёнка, мудро рузрулить ситуацию, «разрыхлить» проблемное поле его сознания, раскрыть ему его «точки опоры», «векторы развития» и тем самым выстроить индивидуальную логику постижения задачи. Поэтому важно идти не только в логике наукообразного материала, которую в своих крайних проявлениях осуществляет педагог в русле явного или скрытого личностного насилия, но в логике эволюции внутренних смыслов детей, которые нередко запутанны и не всегда приводят прямолинейным путём к искомому результату.

Эвристическая карта познания - это целостная наглядно-графическая траектория продвижения индивидуального образования учащегося в какой-либо области, в которой фиксируются креативные вопросы, обнаруживаемые проблемы и противоречия, формулируются гипотезы, проектируются «точки роста» и т.п. Отсюда эвристическая карта познания - это не нечто статичное, создаваемое для всех учащихся, а относительно завершённое, живое, индивидуальное творение.

В эвристической карте познания широко используются лаконичные вопросы, знаки, символы, схемы, формулы, образы, рисунки, анимация, таблицы и т.п. Другими словами, целый спектр различных моделей, сворачивающих, спрессовывающих и кодирующих информацию. В ходе создания карты учащийся учится таким важным исследовательским компетенциям, как планирование, моделирование, кодирование, проектирование, рефлексирование, прогнозирование.

Требования к эвристической карте познания следующие: она должна быть достаточно проблемной, иметь точки роста, разумные пределы или полноту (не уходящую в дурную бесконечность), достаточную концентрацию материала (чтобы быть понятной), индивидуально ориентированной, адекватной (грамотно отражать математические знания). Таким образом, эвристическая карта познания - это органичный кирпичик в строящейся математической картине мира учащегося.

Для проблематизации материала очень важно на уроках и заседаниях научного общест-

Штт.......у.......тшм

ва учащихся (НОУ) проводить дискуссии, эвристические беседы, «мозговые штурмы». При этом на заседании научного общества учащихся могут присутствовать ребята из разных классов, что позволяет выявлять различные точки зрения, «трения», возрастные предпочтения и смыслы, а значит, целый спектр взаимодополняющих мнений.

Начинается построение карты с главного, сквозного вопроса, например: как измерить высокие или недоступные объекты мира? Сколько измерений имеет наш мир, и возможна где-либо другая размерность? Почему окружность (круг, сфера, шар) является самой гармоничной фигурой в мире? Почему пифагорейцы пришли в ужас, когда встретились с иррациональными числами? В чём состоит суть проблемы несоизмеримости? Почему для египтян была важна именно модель пирамиды? Как смоделировать (построить) наиболее гармоничные объекты, или в чём состоит красота древнегреческого Парфенона? Существуют ли математические константы? Как древние греки находили длину окружности, площадь круга и сферы, объём шара? Как математики определяли цифры после запятой числа П? Как влияют параметры квадратного трёхчлена (а, Ь, с) на расположение и форму графика квадратичной функции? и т.п.

Основу карты составляет архитектура вопросов. Построение карты познания обычно начинается с погружения учащегося в проблемное диалоговое поле, где он нащупывает проблемные вопросы, которые он ставит перед собой. Тем самым он культивирует в себе очень нужное и полезное искусство вопрошания. С помощью вопросов он как бы в онемевшую информацию вдыхает жизнь, придаёт ей нужную креативную форму (проблема, парадокс, противоречие, неожиданный ракурс и т.п.), заставляет говорить её различными голосами. И в этом учитель должен ему в ходе интерактивного взаимодействия помочь.

Отправной точкой может стать примерный вопросник (его можно держать в голове, но лучше всё-таки создать электронный текст, который можно легко распространять и пополнять), в котором очерчивается круг возможных вопросов по определённой проблематике. Для учащегося важно найти и поставить именно СВОЙ вопрос! (Конечно, для

этого нужно погрузиться в выбранную проблематику.) Именно с этого, своего, вопроса для него собственно «всё и начнётся».

А для этого требуется, скорее, не логическое, а пластическое мышление. Наши исследования показывают, что ещё до логического мышления в ходе доказательств дети используют именно пластическое мышление, которое для них естественно, органично и интуитивно понятно. Недаром в педагогике часто используются такие понятия, как «развитие», «точка роста», «прорастание», «генетически родственные понятия», «погружение», «сжатие», «растяжение», «превращение» и т.д. Самые элементарные признаки пластического мышления: последовательность, непрерывность, обозримость, «осязаемость» границ, стремление к преодолению границ и т.д.

Напомним, глубочайший знаток древнегреческой культуры А.Ф. Лосев в ходе многолетних исследований сделал важный вывод о том, что главной чертой древнегреческого сознания является такое свойство, как пластичность. Пластика пронизывают древнегреческую философию, искусство, науку, и в частности, математику. По мнению учёного: «Греческое слово «пластика» указывает на вылепленность, вылитость, вещественную сделанность и отделку»4.

Возьмём для примера различные виды так называемой непрерывной пропорции: среднее арифметическое: а - в = в - с, среднее геометрическое: а/в = в/с, среднее гармоническое: 1/а - 1/в = 1/в - 1/с, золотое сечение: 1/в = в/(1 - в). Как мы видим, везде присутствует связующая переменная - в. Поэтому далеко не случайно в работах великого Платона зафиксировано: «Однако два предмета (числа) сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое. И задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция...»5. Тем самым символом пластического мышления может выступать непрерывная пропорция.

4 Лосев А.Ф. История античной эстетики. Ранняя классика. М., 1994. С. 263.

5 Волошинов А.В. Пифагор. М., 1993. С. 138.

Таким образом, суть пластического мышления древних греков состоит в его постепенности и непрерывности (в плавных переходах от одного к другому), «телесности», «осязательности», «обозримости», наглядности и планомерности6. По словам А.Ф. Лосева, можно спорить о правилах и принципах, по которым происходит соединение отдельных мыслей в разных культурах, но факт остаётся фактом - вся древнегреческая культура пластична. И тогда, когда мы говорим по инерции, что это логическое рассуждение, на самом деле - это есть именно пластическое постижение какого-либо феномена.

В этой связи важно отметить, что эвристическая карта познания строится не только на основе логического, но и на базе пластического мышления. Структура эвристической карты (матрица) состоит примерно из 15-20 ячеек на одной странице А4, которые по мере поступления и вызревания информации учащимся заполняются. После того, как карта заполнена, в дальнейшем её можно дополнять, изменять и переструктурировать, в соответствии с проектируемым целым (например, математической картиной мира). Строить карту или двигаться по карте, т.е. осуществлять навигацию, также можно в более востребованных и перспективных на данный момент направлениях. В этом также обнаруживаются свойства пластичности эвристической карты познания, которыми она постепенно обогащается.

Для перехода эвристических карт познания в математическую картину мира очень важны перекрёстные узелки, где встречаются различные темы. Например, с темой о пропорции встречаются такие важные темы-линии, как «отношение», «часть, доля и целое», «рациональные и иррациональные числа», «квадратное уравнение», «масштаб», «математические константы», «геометрические построения» (с помощью циркуля и линейки) и т.п. Благодаря пересечению различных тем образуется «концептуальная сетка», которая в дальнейшем и формирует каркас математической картины мира. При этом «несущими конструкциями» для учащегося могут стать именно те составляющие, которые ему в ходе исследования особенно стали близ-

! Волошинов А.В. Пифагор. М., 1993. С. 138.

ки. Например, юному художнику могут быть привлекательны модели, построенные с помощью «формулы красоты» и т.п. Здесь также возникает пластический образ: математическая картина мира уподобляется сотканному ковру.

Эвристическая карта познания строится не только в соответствии с программой, но, главное, в соответствии с познавательными интересами ребят в зоне их ближайшего развития. Поэтому движущей силой образовательной траектории являются вопросы и проблемы, которые по мере развития встают перед учащимися. Задача учителя - в том, чтобы скорректировать субъективные интересы учащихся и объективные программные требования.

Наведением на построение эвристической карты познания становятся детские реплики и вопросы. Вот некоторые из вопросов.

• А можно ли подержать в руке треугольник (двумерную фигуру)?

• Зачем в одной из аксиом геометрии говорится о существовании треугольника, равного данному, разве это не очевидно?

• Если точки нульмерны, то разве могут из них состоять геометрические фигуры?

• Чем отличаются понятия «доля» и «часть»?

• А всегда ли «целое» и «всё» («весь», «вся» и т.д.) совпадают?

• Мы возводим 1 метр в квадрат, а можно ли с точки зрения математики 1 рубль возвести в квадрат? Что получится?

• Зачем нам строить перпендикуляр с помощью циркуля, когда мы легко можем его построить с помощью угольника?

• Почему абсцисса вершины параболы принадлежит одновременно и промежутку возрастания, и промежутку убывания функции?

• Как это понять: человечество с развитием вычислительной техники будет вечно приближаться к точному значению какого-либо иррационального числа, но никогда его не достигнет?

• Можно ли считать число П в чём-то непредсказуемым, а цифры после запятой - расположенными случайным образом?

• Почему многие иррациональные числа можно отложить относительно единицы,

ШЖШ.......У.......МММ

а число п, трансцендентное число, нельзя (проблема квадратуры круга)?

• Можно ли как-то перейти от иррациональных чисел к рациональным, и наоборот (проблема несоизмеримости)?

• А если к бесконечности прибавить число или ещё бесконечность, что будет?

• А каких чисел по количеству больше: натуральных или целых?

• Что «бесконечнее» — прямая или луч?

• Имеет ли в математике смысл скорость, равная 300 001 км/с, т.е. скорость, большая скорости света?

А вот некоторые ответы и реплики учащихся.

• Между любыми двумя числами залегает целая пропасть чисел.

• Доля всегда помнит о целом и части, в отличие от целого и части.

• Трёхмерные фигуры дают тень.

• Прямоугольник нельзя подержать в руке, так как он существует только на плоскости.

• Любая точка прямой является её центром.

• Бесконечную прямую охватить нельзя, поэтому наименовать и определить её невозможно.

• Окружность - это фигура, у которой ни одна точка не выпячивается, потому что она ровная.

• Число есть единство конечного и бесконечного.

• Так как точка является безразмерной и бесформенной геометрической фигурой, то из неё могут возникнуть все другие математические фигуры.

• Через две точки можно провести сколько угодно прямых, так как они безразмерные.

• Прямая состоит из большего количества точек, чем отрезок, так как она длиннее.

• Модуль помогает избавиться от всего отрицательного.

• Ой, я забыла высунуть минус!

Предшественником эвристических карт познания для нас стали креативно-опорные сигналы7. Креативно-опорный сигнал - это особым образом сконструированная образовательная информация (взаи-

7 Клепиков В.Н. Роль креативно-опорных сигналов на уроках математики в школе // Школьные технологии. -2014. № 2. С. 64 - 71.

мосвязанная модель ассоциативных ключевых слов, фигур, знаков, символов, образов), побуждающая учащегося к обновлённой или новой мысли, идее, гипотезе. Креативно-опорные сигналы создают как педагоги, так и учащиеся (нередко это происходит совместно). Именно креативно-опорные сигналы моделируют уникальную канву подачи и усвоения материала.

Наш опыт показал, что в осмыслении и конструировании креативно-опорных сигналов, а также эвристических карт познания, помогают наработки по развитию образного и пространственного мышления И.С. Якиманской, опорным сигналам и конспектам В.Ф. Шаталова, укрупнённым дидактическим единицам П.М. Эрдниева, эвристическому обучению А.В. Хуторского, развивающему обучению В.В. Давыдова. Наша заслуга состоит в том, что мы органично синтезировали данные наработки на базе ценностно-смыслового подхода к математическому содержанию и информационно-коммуникационных технологий.

Важно добавить, что зачатки креативно-опорных сигналов прорастают из долголетней практики учителя, в ходе долголетнего взаимодействия с детьми («узелки», «точки роста», «эвристические детали» и т.д.). Знания, опыт и творческий потенциал педагога концентрируются именно в таких «узелках», позволяющих в нужный момент актуализировать необходимую информацию. В креативно-опорных сигналах содержательная концентрация достигает наивысшей степени обобщения и глубины. Они накапливаются с годами, поэтому это своеобразная копилка мудрости педагога. И здесь незаменим мировоззренческий и профессиональный опыт учителя.

Можно сказать, что эвристическая карта познания есть развёрнутый и дополненный креативно-опорный сигнал. Это призыв не только к заинтересованному обучению, но и к пытливому исследованию! Эвристическая карта познания не есть нечто постоянное, неизменное - она меняется, трансформируется, дополняется, насыщается, уточняется и т.п. Путь её построения - от наивных сведений до компетентной ин-

Эвристическая карта познания учащегося 8-го класса Тема: «Пропорция как мера всех вещей»

Главный вопрос-проблема: Как пропорция помогает гармонизировать объекты мира? «В геометрии существуют два сокровища: первое - это теорема Пифагора, второе - золотое сечение. Первое можно сравнить с мерой золота, второе - с драгоценным камнем» (Кеплер)

Целое - доля - часть В чём специфика каждого из понятий? Почему в учебниках часть и долю отождествляют? Почему Платон называет лучшей связью пропорцию? Пропорция Из чего состоит пропорция? а/в = с/ё; 2/4 = 3/6 ^^^^ Равенство двух отношений А можно ли взять три, четыре и более отношений? (Рассмотреть: прямо и обратно пропорциональные зависимости.)

Равновесие: «золотое правило механики»; F/F2 = W1 «Дайте мне точку опоры...» Синонимы: гармония, баланс, равновесие, соответствие, аналогия, мера, ритм, симметрия и т.д. Аналогия: окружность относится к кругу как сфера к шару; Луна к Земле как Земля к Солнцу.

Признаки: равенство, отношение, органичное сочетание целого, доли и части 4/8 = У2 . Признаки и свойства пропорции («пластика») Как Фалес измерил высоту пирамиды Хеопса (он измерил свой рост и тени)? Основное свойство пропорции: а/в = с/ё; свойство: можно переставлять крайние и средние члены

Арифметическое среднее: а - в = в - с. Геометрическое среднее: а/в = в/с. Виды пропорций Сколько видов пропорции существует? Где они применяются? Гармоническое среднее: 1/а - 1/в = 1/в - 1/с Золотое сечение: 1/в = в/(1 - в)

Рациональные числа (m/n; 1,3333333... = 1/3); иррациональные числа (нет повторяющегося периода: ф ~ 0,61803398.) Главные числа, встречающиеся в пропорции: 1 (целое), ф, Ф. «Золотые числа» б =1 =1 = -°- - 1,62 ф о 1 - о Ф - 0,62; ф ■ Ф = 1 константы

Используется в естественно-научной сфере: математика физика химия география биология астрономия Золотая пропорция 1/х = х/(1 - х) Модель Парфенона ПРОПОРЦИИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ ПАМ'ЕНОНА Используется в гуманитарной сфере: архитектура скульптура живопись музыка литература этика («золотое правило»)

Результат Наиболее гармоничные доли объекта: 1, ф1, ф2, ф3, ф4 ... или 1; 0,62; 0,38; 0,24; 0,14. 0.Т2 0,зе

Всемирная гармония Отблески пропорции проявляются в мире каждое мгновение и повсюду, празднуя жизнь, воспевая природу и красоту её проявлений. Она светится в чертах лица матери, склонившейся над ребёнком, шелестит совершенными по форме листьями на деревьях, удивляет затейливым узором чешуек на шишке или расположением лепестков на цветке. Её можно разглядеть в размерах зданий и школьной тетрадки, на живописных полотнах мастеров и в строении тельца юркой ящерки, в бабушкином вязании или в сплетенях паутины. Она есть в отпечатках собственного пальца и в божьей коровке, присевшей на этот палец, в бесконечных кругах, побежавших от брошенного в воду камешка, или в спиральных завихрениях дальней галактики, мелькнувшей на экране телевизора. Она завораживает в формах арфы и саксофона, фортепиано и скрипки, утешает и радует звуками музыки. И, в конце концов, она вдохновляет человека изучать гармонию, творить по её законам и создавать совершеннейшие творения.

Штт.......у.......тшм

Возможные темы для исследования

1. Пропорция как мера всех вещей.

3. Пропорция в науке, искусстве и жизни.

2. Золотое сечение и гармония мира.

Эвристическая карта познания учащегося 8-го класса Тема: «Теорема Пифагора: гармония рационального и иррационального»

Главный вопрос-проблема: Почему теорема Пифагора так знаменита? «В геометрии существуют два сокровища: первое - это теорема Пифагора, второе - золотое сечение. Первое можно сравнить с мерой золота, второе - с драгоценным камнем» (Кеплер)

Рациональные числа

Верно ли, что все рациональные числа можно представить в виде отношения m/n:

1,3333333... = 1/3;

2 = 6/3; 0 = 0/5 и т.д.

Можно ли иррациональное свести к

рациональному?

«Всё есть число» (Пифагор)

Теорема Пифагора:

Почему гипотенуза всегда больше катета?

Иррациональные числа

Как могли пифагорейцы столкнуться с

иррациональными числами? Почему пифагорейцы пришли в ужас от иррациональных чисел?

Какая единица измерения у иррациональных чисел?

Просчитанная бесконечность

Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, в которой можно выделить повторяющийся период? (4 = 4,00000000...;

= 0,5...; 1/3 = 1,3333333. и т.п.)

Как связать рациональное и иррациональное

Как Пифагор в своей теореме (формуле) «избежал» встречи с иррациональными числами?

Например, (Уз )2 = 3 Все числа стоят под квадратом. Можно ли в реальных измерениях получить иррациональные числа?

Непросчитанная бесконечность

Можно ли обнаружить закономерность в цифрах после запятой? Нет повторяющегося периода:

42 ~ 1,4142135. Можно ли в бесконечно меняющихся сочетаниях цифр обнаружить номер своего телефона?

Построение рационального числа

единица измерения

Любое ли число можно отложить относительно 1?

Доказано, что трансцендентные числа невозможно отложить относительно 1. Почему?

Проблема несоизмеримости

Верно ли, что рациональные и иррациональные числа не имеют общую единицу измерения? Почему древние греки отказались от числовой алгебры и обратились к геометрической алгебре?

Построение

иррационального числа

Так как невозможно отложить

число П относительно 1, то невозможно решить задачу на квадратуру круга.

Доказательство теоремы Пифагора

Существуют десятки доказательств теоремы из различных культур, среди которых можно найти своё, близкое доказательство. «Смотри!»

Обратная теорема (признак) Пифагора

С помощью этой теоремы мы узнаём, является ли треугольник прямоугольным. А что будет, если равенство нарушится? С каким треугольником мы будем иметь дело?

«Пифагоровы штаны»

2 , *2 а + а

> п

222 а + а < п

2 , '2 ~2 а + а = п

«Пифагоровы штаны во все стороны равны». Это равнобедренный треугольник.

Парадоксальная гармония

Каждый пытливый и любознательный человек рано или поздно приходит к выводу, что тайну вечной красоты сохраняет гармония рационального и иррационального, соизмеримого и несоизмеримого, предсказуемого и непредсказуемого, упорядоченного и хаотического. Одними из первых с этой тайной столкнулись пифагорейцы. На первых порах лик этой тайны привёл их в ужас, так как в нём явно просматривалось нечто иррациональное и непредсказуемое. Пифагор выстроил на сторонах прямоугольного треугольника квадраты и убедительно доказал, что проблема несоизмеримости разрешается даже в обычном прямоугольном треугольнике: рациональное и иррациональное сосуществуют, образуя закономерную и в то же время парадоксальную гармонию.

. 1

Возможные темы для исследования

1. Проблема иррационального в Древней Греции.

2. Рациональное и иррациональное - антагонизм или вынужденное дополнение.

3. Согласование рационального и иррационального в древнегреческой математике.

4. Лучшее из десяти доказательств теоремы Пифагора.

Эвристическая карта познания учащегося 8-го класса Тема: «Всё есть число»

Главный вопрос-проблема: Какую роль играют числа в современном мире? «Всё есть число» (Пифагор)

Числовая пластика Числа пифагорейцами мыслились зримо и осязаемо, в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске - абаке (треугольные, квадратные числа и т.д.). Кстати, по этой причине они не знали «невидимого» нуля. Времена пифагорейцев Почему пифагорейцы не знали дробных чисел? Единица для них была «числовым атомом» и считалась неделимой, неразложимой. Единица как символ целого!? Числовая мистика Почему пифагорейцы обожествляли числа? Пифагорейцы верили в магию чисел. До сих пор человечество неравнодушно к таким числам, как 1, 3, 7, 13 и т.д. Некоторые люди верят в «своё» число.

Вера пифагорейцев Что стало поводом для кризиса математики? Пифагорейцы свято верили, что в основе Мироздания лежат натуральные числа, простые числовые соотношения и совершенные геометрические формы. Дробь а/в они понимали как отношение целых чисел. Однако открытие иррациональных чисел отчасти пошатнуло их веру. В истории математики в этой связи говорится о «настоящем логическом скандале, о глубоком кризисе греческой математики». Числовая гармония Пифагорейцы одними из первых заговорили о числе как о числовой гармонии, как о диалектическом синтезе предела и беспредельного. Беспредельное длится и простирается в бесконечность; предел же останавливает это распространение, кладёт ему границу, очерчивает определённые контуры. Думаю, что беспредельное - это прямая, а числа - это пределы. Ч-*-•-► Число можно делить до бесконечности! Как пифагорейцы столкнулись с иррациональным числом? Пифагорейцы свято верили, что Мироздание рационально. И вот они встретились с - «неразумным» числом Данное число они назвали «алогон», т.е. непроизносимое. ¡д

0"-1 1Я

Трансцендентные числа В 1873 году Ш. Эрит доказал трансцендентность числа е. В 1882 году Линдеман доказал трансцендентность числа и неразрешимость задачи квадратуры круга. Фундаментальные числовые константы П, е, ф, Ф и др. Какие бы параметры мы ни меняли - эти числа остаются постоянными! «Золотые числа» б = I = 1 = - 1,62 ф о 1 — о Ф - 0,62; ф ■ Ф = 1 математические константы

Единство рациональных и иррациональных чисел Отчасти «примирить» рациональные и иррациональные числа стало возможным, когда ввели понятие «действительные (вещественные) числа».

Почему вначале было Число? Наш мир есть разрастающийся мир величин - бесконечно больших и бесконечно малых: компьютерные гигабайты и терабайты, миллиарды машин, телевизоров, денежных знаков и т.п. Цифровая власть завладевает человеком, диктует ему определённую линию поведения и образ жизни. Человек, как безликая, среднестатистическая величина, становится абсолютно бессильным перед этими, уже ставшими планетарными, энергиями и силами. Яркий пример - тотальная «заражённость» многих людей гаджетами и цифровыми технологиями. При этом неважно, кем человек является -школьником, рабочим или министром. И многие люди с их индивидуальными, самобытными мирами исчезают в этом океане бесконечно малых и бесконечно больших величин, не видя позитивной альтернативы. Однако виноваты не числа, а отношение к ним самого человека. Существуют слова, но есть и Слово (Замысел). Существуют знания, но есть и Смысл (Понимание). Существуют числа, но есть и Число (Закономерность). С возрастанием роли техники человеку нужно всё больше и больше прилагать усилий, чтобы вырваться из притяжения магических величин в мир подлинной жизни и обрести именно свою судьбу. Но для этого их нужно поставить себе на службу, а не быть их рабом. Если сформулировать кратко, то нужно вновь и вновь задумываться над тем, почему вначале было Слово, Смысл, Число?

Возможные темы для исследования 1. Как древние греки открывали иррациональные числа? 2. Фундаментальные числовые константы в современной науке. 3. Магия чисел или обычный обман? 4. Роль числа в современном мире.

ШЖШ.......У.......МММ

формации. Другими словами, она постоянно впитывает в себя всё новые и новые вопросы и знания, т.е. сохраняет некоторую интеллектуальную интригу, а значит, втягивает или притягивает к себе духовную сферу ребёнка. И в результате, эвристическая карта познания является одним из важных показателей достигнутого уровня образования учащегося.

Конечно, для раскрытия предметного учебного содержания важны такие научные характеристики, как дефиниции, признаки, свойства, виды, закономерности, параметры, постоянные и т.п. Но для нас важнее даже не то, что можно найти в учебнике или словаре, а то, что побуждает учащегося к самостоятельному исследованию (ценности, смыслы, ассоциации, образы, метафоры, интересные исторические факты, высказывания и т.п.), что можно обнаружить в научно-популярной литературе, энциклопедиях или в Интернете и реальной жизни. Поэтому данную эвристическую карту познания лучше всего создавать в компьютерном варианте, широко используя возможности цифровых технологий (анимация, знаки, символы, рисунки, шрифт и т.п.).

Чтобы эвристическая карта обрела оптимальную полноту, без существенных пробелов, требуется компетентность педагога, который обладает профессиональной эрудицией и нужным кругозором. И самое главное, он может научить дозировать информацию (знания об опорных сигналах, конспектах) и помочь придать ей эвристический вид. В этой связи важны два понятия - «целостность» и «полнота». Конечно, очень сложно достичь абсолютной полноты знания, но можно и нужно на данном определённом этапе развития человека сформировать некоторую оптимальную целостность, соответствующую его возрасту, знаниям и интеллектуальным возможностям.

Если появляется несколько, а ещё лучше - набор или комплект эвристических карт, то, безусловно, они требуют и гармонизации между собой, чтобы одна плавно переходила или как бы прорастала в другую. В учебном году вполне достаточно создания 3-5 эвристических карт познания. Так, постепенно воссоздаётся органичная для

данного человека математическая картина мира. Надо сказать, что работа с комплектом эвристических карт доставляет человеку не только интеллектуальную, но и эстетическую и даже этическую радость. Ведь человек опосредованно лепит и свой внутренний мир, своё мировидение, своё мировоззрение. А во внутреннем мире, как известно, не существует перегородок: и интеллектуальное, и эстетическое, и этическое существуют там как единое целое, т.е. сосуществуют.

На наш взгляд, эвристическая карта познания есть промежуточное звено между некоторой системой знаний и исследовательской работой, ведь именно в ней происходит проблематизация материала, и выявляются неисследованные лакуны. Оптимальная площадь заполнения эвристической карты познания - это лист А4 (размер шрифта и рисунков можно варьировать). Накапливать эвристические карты познания можно в обычном портфолио, где, как известно, накапливаются плоды личностного творчества учащегося. Немаловажным достоинством этого варианта сосредоточения информации является панорамная обозримость. Собственно, после создания эвристической карты познания логично приниматься за исследовательскую работу.

Ниже мы приводим три эвристические карты познания, созданные совместно с одним из учащихся, которые стали основой для его исследовательских работ. Безусловно, эти карты познания пересекаются, т.е. имеют общую информацию и проблематику, которые подаются в разных контекстах, и поэтому в разнообразных смысловых аспектах воспринимаются несколько по-иному.

В заключение мы отметим, что креативно-опорные сигналы, эвристические карты познания, иссле-довательские работы учащихся мы интегрируем в крупных концептуальных блоках-модулях, которые уже непосредственно проектируют современную математическую картину мира. Вот некоторые из интригующих названий блоков-модулей: «Всё есть число», «Целое - доля - часть в математике и жизни», «Симметрия в науке, искусстве и жизни», «Пропорция и гармония мира», «Софисты и софистика», «Что есть

истина», «Великая тайна пифагорейцев», «Наш многомерный мир», «Угловатая форма, устремлённая ввысь», «Тайны и загадки совершеннейшей формы», «Скалярно-векторное понимание процессов мира», «Парадоксы бесконечности», «Царство правильных многоугольников и многогранников», «Этот вероятностный мир», «Евклидова и неевклидова геометрии», «Фундаментальные математические константы», «Графическое моделирование объектов и процессов мира», «Особенности интегрально-дифференциального понимания мира», «Параметрическая связь и взаимообусловленность объектов мира» и т.д. Обратим внимание, что для нас принципиально важно, что в названиях мы всегда стремимся выйти за рамки «узкой» математики в мир реальной жизни, где происходит вынужденная или органичная интеграция предметов школьного цикла. □