Применение двойных и тройных интегралов к задачам механики Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

УДК 517.37

ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ К ЗАДАЧАМ

МЕХАНИКИ

Хикматова Рано Артыковна Ташкентский государственный транспортный университет , И.о.доцента, rano. hikmatova@bk. m,

Тел+998(98)-123-07-57

Аннотация. В данной статье рассмотрены вопросы применения двойных и тройных интегралов в задачах механики. А также особое внимание уделено к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительно осей координат и к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей.

Annotation. This article discusses the application of double and triple integrals in problems of mechanics. Moreover, special attention is paid to the calculation of the static moments of the considered plate relative to the coordinate axes and to the calculation of the moments of inertia of the body relative to the coordinate axes.

Annotatsiya. Ushbu maqolada ikki va uch o'lchovli integrallarni mexanika masalalarida qo'llash muhokama qilinadi. Shuningdek, koordinata o'qlariga nisbatan ko'rib chiqilayotgan plastinkaning statik momentlarini hisoblashga va koordinata o'qlariga nisbatan jismning inersiya momentlarini hisoblashga alohida e'tibor beriladi.

Ключевые слова. Поверхностная плотность, интегральная сумма, полярный момент инерции точки, плотность тела

Key words: Surface density, integral sum, polar moment of inertia of a point, body density Калит сузлар: Sirt zichligi, integral yig'indi, nuqtaning qutb inersiya momenti, jism zichligi

Введение. Двумерный интеграл также можно рассматривать как обобщение определенного интеграла на функцию двух переменных.

Для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде двукратного.

Двукратный интеграл применяется для вычисления массы плоской пластинки переменной плотности, статические моменты и центр тяжести пластинки и моменты инерции пластинки. В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса.

а) Масса плоской пластинки переменной плотности

Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой, что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь.

Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называется предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка стягивается к данной точке.

Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть только от положения данной точки, т. е. являться функцией ее координат:

5 = 5( x, у).

Если бы плотность была постоянной ( 5 = const), то масса всей пластинки равнялась бы, где S - площадь пластинки. Найдем теперь массу неоднородной пластинки, считая, что ее плотность является заданной функцией 5 (x, у). Для этого разобьем область,

занимаемую пластинкой, на частичные области с ,с2 с площадями

Ас, Ас2,•••, Ас (рис. 1).

Рис. 1.

Выбирая в каждой частичной области произвольную точку P (x, y ) , будем считать, что плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотности S(xt, y ) в выбранной точке. Составим приближенное выражение для массы пластинки в виде интегральной суммы

n

Mn = ^S(xi, У )Ас. (*)

i= 1

Для точного выражения массы следует найти предел суммы (*) при условии n ^ ю и каждая частичная область стягивается к точке [1]. Тогда

M = {{¿( x , y)dc.

D

б) Статические моменты и центр тяжести пластинки

Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках P (x, y) массы соответствующих частичных областей и найдем статические моменты полученной системы материальных точек:

n n

M{xn) =Z у5( xi ) ACi, Myn) =X x,S( xi, y )ACi.

i=1 i=1

Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные суммы интегралами, получим

Mx = Л У5 (x, y)dc, My = jj xS (x, y)dc

Находим координаты центра тяжести:

M jj xS( x, y)dc w jjyS(x , y)dc ^ M jjs(x,y)dc ' Л M jjs(x,y)dc '

D D

Если пластинка однородна, т.е. S(x,y) = const, то формулы упрощаются:

jj xdo Ц ydo

i- D D

где S - площадь пластинки [1, 2].

в) Моменты инерции пластинки

Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.

Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что S( x, y) = 1:

Ix =jj y2 Iy =jj x2 da.

D D

Отметим еще, что интеграл jj xydo называется центробежным моментом инерции;

D

он обозначается I .

xy

В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат будет равен

Io = jj (x2 + y 2)do = Ix + Iy.

D

Вычисление тройного интеграла по области Q производится, посредством трех последовательных интегрировании.

Тройной интеграл может быть представлен в виде

z2( x, y )

I = jj dxdy j f (x, y, z)dz.

D zi( x, y )

Приводя двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим

b У 2(X) Z2(x,y )

I = jdx j dy j f (x,y,z)dz, (**)

a yj( x) zx( x, y )

где y1 (x) и y2 (x) - ординаты точек «входа» в область D и «выхода» из нее прямой x = const (в плоскости Оху), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который проектируется область D.

Вычисление тройного интеграла по области Q производится, посредством трех последовательных интегрировании [2].

Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz; обозначим их соответственно M^, Mxz, My2. Повторяя рассуждения получим следующие формулы для координат

£,, 11, Q центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией S(x, y, z), занимающего область Q :

M jjj xSdv m JJJ ySdv M jjjzSdv

z__yz___Q__Mxz___Q__-__xy___Q_

* = M = JJJsdv ' M ~ JJJsdv ' ^ = M ~ JJJsdv •

Q Q Q

Если тело однородно, т. е. S= const, то формулы упрощаются:

jjjxdv jjj ydv jjj zdv

t- Q Q <- Q

где V- объём тела.

Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара Q :

x2 + y2 + z2 < R2, z > 0.

Две координаты центра тяжести и г) равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Oz (тело вращения с осью Oz).

Интеграл JJJ zdv удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

U

л

2 2л R

JJJ zdv =JJJ r cosBr2 sinB йтйф dB = J sinBcosB dB J dф J r3dr =

0 0

1 R 1 4

= — 2л—= л R4.

2 4 4

2 з

Так как объём полушара равен — яR , то

1 яR 3

я R

3

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны х2 + y2, х2 + z2, х2 + y2, то полагая для простоты 5 = 1, получим следующие формулы :

1Х = JJJ (y2 + z 2)dv, ly = JJJ (x2 + z 2)dv, Iz = JJJ (x2 + y 2)dv.

Q Q Q

Аналогично плоскому случаю интегралы

1xy= JJJ xydv, 1yz = JJJ Уzdv, 1zx = JJJ zxdv

Q Q Q

называются центробежными моментами инерции.

Для полярного момента инерции формула имеет вид

I о = JJJ (*2 + У2 + z 2)dv.

u

0

u

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель 5 (х, у, 2) - плотность тела в точке P.

Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса Я. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь

} } Я _ _ 4ж5Я5 3 /0 = 5] $твс1в\ (ф] г2г2(к =-= -МЯ2,

о оо 5 5

где М— масса шара.

Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что /х + /у + /2 = 2/0, получим

2 2

/х = /у = /г = ^ МЯ2.

Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело О вращается около оси Оz с постоянной угловой скоростью О . Найдем кинетическую энергию 12 тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется величиной, где т

- масса точки, а V - величина ее скорости. Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела - как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применить интеграл для вычисления кинетической энергии [3].

Возьмем какую-нибудь окрестность (V точки Р(х, у, х) тела О. Величина линейной скорости V точки Р при вращении около оси Ох равна о ^х2 + у2, и значит, кинетическая энергия части (V тела О выразится так:

15 (Р)йуо 2(х2 + у2),

Где 5 (Р) = 5 (х, у, 2) - плотность тела в точке Р. Для кинетической энергии всего тела О п

олучаем

т. е.

= Ж 1 о2(* 2 + У 2)5(Р)^ = 1о2 {{{ (X2 + у 2)5(Р)йу,

О 2

1 2

1 =-О 2/ .

2 2 2

Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.

Заключение. Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси.

Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов.

ЛИТЕРАТУРА

О

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2001.

2. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.

3. Балден К.В., Башлыков В.Н. Высшая математика. Учебник. Флинта: МПСИ,

2010.