CC BY
45
2014
УДК 519.677
Доклады БГУИР
№ 3 (81)
ПРИМЕНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКИХ СТЕПЕНЕЙ
В.М. ИЛЬИН
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 20 января 2014
Дано краткое изложение сущности нового метода решения алгебраических уравнений с максимальным числом разных вещественных корней, равным степени п уравнения -четвертой и выше.
Ключевые слова: решение алгебраических уравнений высоких степеней, использование арифметических прогрессий, снижение трудоемкости, высокая доступность.
В высшей алгебре существует теорема Руффини-Абеля, которая гласит, что для алгебраического уравнения, выше степени 4, нельзя указать общей формулы решения, подобной формуле Кардано, т.е. в радикалах [1]. Вопрос об условиях, при которых данное уравнение разрешимо в радикалах, был исследован Э. Галуа в XIX веке [1]. Но, как справедливо отмечено в [2], «уже в случае уравнений степени 4 формулы корней практически не применимы». И по отношению к уравнениям не только пятой, но и четвертой степени, используются численные методы решения [3].
В современных условиях для этого применяются ЭВМ, и специалисты высказывают мнение, что на численные решения затрачивается большая доля машинного времени. Так что поиск путей эффективного аналитического решения алгебраических уравнений не потерял актуальности. Данная статья посвящена разработке нового пути в этом деле, отличающегося большей эффективностью: более широким диапазоном использования, значительно меньшей трудоемкостью и высокой точностью. При решении алгебраических уравнений любой степени (больше первой) первоначально составляется квадратное уравнение с учетом того, что первый коэффициент приведенного решаемого алгебраического уравнения - это сумма С со знаком минус, а последний коэффициент этого уравнения есть произведение П его корней. Исходя только из этих двух коэффициентов определяются все корни решаемого уравнения. Наиболее простое объединение всех корней в этих двух коэффициентах уравнения является предпосылкой этого. От применения радикалов, исчерпавшего себя уравнениями четвертой степени, новый путь позволяет перейти к более гибкой системе арифметических прогрессий, к более совершенной процедуре вычисления корней.
Включение арифметических прогрессий в расчет алгебраических уравнений
Как уже отмечалось, первоначально составляем и решаем квадратное уравнение:
Введение
У2 - СУ + П = 0.
Откуда
где P= ^Сj _ П = л/Д, Д - дискриминант, У1 - меньший, а У2 - больший корни выражения (1).
С С
Проверка: У1+У2 = + ^"+р = С,
У1ХУ2 =(HH = (f)'-Р^Ц-(f)2 +П = П. (2)
На основании соотношений (2) составляем базовую арифметическую прогрессию:
У1 р С р У2 (3)
Здесь р - разность прогрессии. В дополнение к базовой прогрессии (3) составляются вспомогательные прогрессии. В общем виде это может быть представлено как:
У1 = С 1-р р С i р У2= С 1+р
С 1-р-С 3 = С 2-р р С 2 р С 1+р-С 3=С 2+р
f о С3 о С3
В общем виде представлены: сверху базовая арифметическая прогрессия со средним С
членом С1= С2 + Сз = ^" = const; сумма ее крайних членов: C1 -p + Ci + p = C = const. Из
базовой прогрессии вычитается вспомогательная прогрессия, в ее центре С2 - это часть Ci, зависящая от числа пар корней решаемого алгебраического уравнения, что будет показано на конкретных примерах. Крайние члены этой прогрессии С1-р-С3 = С2-р и С1+р-С3 = С2+р описывают с двух направлений - вертикального и горизонтального - искомые корни заданного алгебраического уравнения: xi и Х2, Х3 и Х4 и т.д. В конечном счете в этом участвуют все члены представленной совокупности прогрессий, их всего восемь: три горизонтальные и пять вертикальных, разности которых вычитаются из членов верхней базовой прогрессии. Дополнительная информация о сущности использования прогрессий содержится в примерах.
Примеры решения уравнений 4 степени
Пример 1. Дано алгебраическое уравнение: х4-10х3+ 35х2- 50х + 24 = 0; С = 10; П = 24. Требуется определить корни уравнения. Решаем уравнение:
у2 - 10у + 24 = 0. (4)
Получим у 1,2 = 5 +V25-24 = 5±1; yi = 4; у2 = 6 - корни (4). Составляем базовую арифметическую прогрессию.
4 1 5 1 6. (5)
Поскольку заданное уравнение содержит четыре корня составляем вспомогательные прогрессии со средним значением 5:2 = 2,5:
1 1,5 2,5 1,5 4,
преобразуем базовую прогрессию (5) с разностью 1,5:
3,5 1,5 5 1,5 6,5.
Дописываем к ней предыдущую прогрессию и вычитаем ее из базовой:
3,5 1,5 5 1,5 6,5
1 1,5 2,5 1,5 4 2,5 0 2,5 0 2,5.
Здесь все три горизонтали - прогрессии (третья имеет равную 0 разность), все столбцы - прогрессии с отрицательными разностями во второй строке. Эта совокупность прогрессий полностью законченная, содержит два корня (1 и 4) уравнения 4-ой степени.
Чтобы определять два других его корня, составляем прогрессию со средним значением 2,5 и разностью 0,5, а над ней скорректированную базовую прогрессию с такой же разностью:
4,5 0,5 5 0,5 5,5
2 0,5 2,5 0,5 3
2,5 0 2,5 0 2,5.
Таким образом, к первым двум корням исходного уравнения добавилось еще два его корня: 2 и 3. Следовательно, имеем четыре корня: х\ = 1, х2 = 4, хз = 2, х4 = 3.
Проверка: С = 10; П = 24, кроме того можно проверить решение подстановкой корней в исходное алгебраическое уравнение. Полученные решения можно проверять также через квадратные уравнения с корнями 1 и 4, 2 и 3:
х2-5х+4 = 0; XI,4 = 2,5 ±^6,25-4=2,5 ±^2,5 =2,5 +1,5 = 1 и 4; х2-5х+6 = 0; х2,з = 2,5 ±^6,25-6=2,5 ±^0,25 = 2,5 +0,5 = 2 и 3.
Пример 2. Дано алгебраическое уравнение: х4-10х3+32х2-37,5х+11,8125 = 0. Требуется определить корни этого уравнения. Решаем уравнение
у2-10у + 11,8125 = 0.
Получим у 1,2= 5 ±у/25 -11,18125 = 5 13,1875 = 5 ±3,6315.
Корни приведенного выше уравнения: 1,3685 - меньший, 8,6315 - больший.
Составляем базовую прогрессию:
1,3685 3,6315 5 3,6315 8,6315.
Упрощаем базовую прогрессию, не изменяя ее контрольного члена 5 и суммы крайних членов, отняв от правого крайнего члена 1,6315 и добавив это к крайнему левому члену. Дописываем к ней и вычитаем
3 2 5 2 7
0,5 2 2,5 2 4,5
2,5 0 25 0 2,5.
Получаем завершенный комплект продольных и вертикальных прогрессий; в нем 0,5 и 4,5 - это два корня исходного уравнения.
Для получения величин второй пары корней базовую и вторую прогрессии преобразуем
к новой разности прогрессий, равной 1:
4 1 5 1 6
1,5 1 2,5 1 3,5
2,5 0 25 0 2,5.
Завершенность прогрессий говорит о том, что в них содержатся два корня (1,5 и 3,5) исходного алгебраического уравнения. Таким образом, корни решаемого уравнения имеют величины: х\ = 0,5; Х2 = 4,5; хз = 1,5; Х4 = 3,5. Порядок их определения такой же, как и в первом примере. Он полностью согласуется с намеченным в общем виде порядком использования обобщенных прогрессий.
Проверка такая же как и в первом примере, в частности: С = 0,5 + 4,5 + 1,5 + 3,5 = 10; П = 0,5x4,5x1,5x3,5 = 11,8125.
Пример 3. Дано алгебраическое уравнение: х4-9,3х3+30,3х2-39,8х+16,8 = 0. Требуется определить его корни. Решаем уравнение
у2-9,3у+16,8 = 0, получаем:
У 1,2=
4,65 4,652 -16,8 = 4,65 21,6225 -16,8 = 4,65 4,8225 =4,65 ±2,196.
Корни - 2,454 и 6,846. Этому соответствует арифметическая прогрессия базовая: 2,454 2,196 4,65 2,196 6,846
или, как было отмечено выше, она может быть преобразована без изменения средней величины (4,65) и суммы корней 2,454+6,846=9,3 в следующую базовую прогрессию с добавлением частной прогрессии:
3,3 1,35 4,65 1,35 6
0,8 1,35 2,15 1,35 3,5
2,5 0 2,5 0 2,5
Корни 0,8 и 3,5, их сумма 4,3, а среднее 2,15. Поэтому на два других корня остается 4,65-2,15 = 2,5 общего среднего суммы всех корней. Следовательно, для их определения имеем прогрессии:
4,15 0,5 4,65 0,5 5,15
2 0,5 2,5 0,5 3
2,15 0 2,15 0 2,15.
Здесь корни - это 2 и 3, всего же в заданном алгебраическом уравнении четвертой степени четыре корня: Х1 = 0,8; Х2 = 3,5; Х3 = 2; Х4 = 3. Их сумма - 9,3, произведение - 16,8.
Для получения пары корней составлен баланс восьми прогрессий: трех горизонтальных, одна из них базовая и две частные, и пять коротких одношаговых вертикальных прогрессий с отрицательными разностями: -2, -0,5; -2,5; -0,5; -3 (все они отнимаются от соответствующих членов базовой прогрессии) - баланс всех восьми прогрессий подтверждает величины корней. Кроме того, они могут быть легко проверены подстановкой в решаемое уравнение, а также решением квадратных уравнений из пар корней (как в примере 2):
4,3
Х12 = — ±. 2
4,31 -2,8 = 2,15 ±у11,8225 = 2,15±1,35 = 3,5и 0,8,
Х34 = 5-6 = 2,5 ±>/6,25-6 = 2,5 ±^/025 = 2,5±0,5 = 3 и 2.
Пример 4. Дано алгебраическое уравнение: х6-15х5+87,25х4-247,5х3+352,75х2-232,5х+54 = 0.
Требуется определить корни заданного уравнения. Решаем укороченное уравнение:
у2 - 15у + 54 = 0,
уп = 7,5 +^56,25-54 =7,5 +^^25 =7,5 +1,5; корни - 6 и 9. Составляем базовую прогрессию:
6 1,5 7,5 1,5 9.
Среднее от 15 равно 7,5, т.е. на каждую пару из 6 корней приходится 7,5:3 = 2,5, или 1,3 общей средней величины, входящей в частную арифметическую прогрессию. Таким образом, от первой базовой прогрессии надо отнять частную прогрессию
6 1,5 7,5 1,5 9
1 1,5 2,5 1,5 4
5 0 5 0 5.
В этой завершенной сбалансированности всех продольных и поперечных прогрессий (их всех 8) крайние величины второй прогрессии (1 и 4) являются корнями уравнения.
Если же от измененной базовой прогрессии с большей разностью (на 0,5) отнять частную прогрессию,
5,5 2 7,5 2 9,5
0,5 2 2,5 2 4,5
5 0 5 0 5,
то в этой сбалансированной прогрессии получим корни 0,5 и 4,5.
Далее, если от изменений базовой прогрессии с разностью 0,5 отнять частную прогрессию с такой же разностью, т.е.
7 0,5 7,5 0,5 8
2 0,5 2,5 0,5 3
5 0 5 0 5.
Получим третью пару корней: 2 и 3. Следовательно, процедура определения корней алгебраического уравнения степени 6 та же, что и для степени 4.
Корни - это разности между верхними величинами столбцов 1и 5 и их нижними величинами, с учетом того, что вторая прогрессия вычитается из первой (верхней), знаки ее членов положительные.
Следовательно заданному алгебраическому уравнению шестой степени соответствуют корни: х1 = 1; х2 = 4; х3 = 0,5; х4 = 4,5; х5 = 2; х6 = 3.
Проверку правильности решения уравнения можно осуществить одним из способов:
- через определение суммы и произведения корней;
- через подстановку их в исходное уравнение;
- через решение квадратных уравнений, соответствующих парам корней. В частности:
х12 = 2,5 ±у/2,52 -4 = 2,5 6,25 -4 = 2,5±72,25 = 2,5 ± 1,5 = 4 и 1; х34 = 2,5 ±72,52 - 2,25 = 2,5 6,25 -2,25 = 2,5 ±>/4 = 2,5 ±2 = 4,5 и 0,5; х56 = 2,5 ±у12,52 -6 = 2,5 6,25 -6 = 2,5 ±7025 = 2,5 ± 0,5 = 3 и 2.
Здесь четко видно, что пары корней формируются и определяются как пары, в которые входят меньшие и большие величины, что предопределяется меньшим началом базовой арифметической прогрессии по сравнению с ее концом и постоянным средним членом, равным С/2 = С1. Это соотношение сохраняется при всех преобразованиях базовой прогрессии. Следует также отметить, что возможность преобразования базовой прогрессии:
1) упрощает ее, освобождая в расчете от образующихся дробей;
2) позволяет в необходимых пределах регулировать величину разности прогрессий р и
тем самым добиваться баланса всей совокупности продольных и поперечных прогрессий и получать четкий, точный результат по определению корней.
Следует также подчеркнуть, что кроме решения начальных квадратных уравнений, все остальные расчетные действия являются линейными, т.е. практически немыслимыми в методе, использующем радикалы даже невысоких, 3 и 4, степеней. Отсюда значительное снижение затрат времени и труда на решение многих задач. Ключ открывший новый путь решения алгебраических уравнений - восемь небольших арифметических прогрессий в гармоничном регулируемом сочетании. При этом регулирование арифметических прогрессий, приводящее к выявлению корней алгебраических уравнений, выполняется изменением одинаковых разностей базовой и частных прогрессий вокруг разности, которая возникает в решении первоначального квадратного уравнения (см. примеры: 1-4).
Заключение
По-новому определены корни алгебраических уравнений четвертой и шестой степеней. Основа метода-применение арифметических прогрессий, позволяющие выявлять корни алгебраических уравнений с высокой точностью и с небольшими затратами труда и времени. Намечены пути расширения возможностей этого метода.
ARITHMETIC PROGRESSION APPLICATION FOR SOLVING OF HIGH DEGREES ALGEBRAIC EQUATIONS
V.M. ILYIN Abstract
A new method for solving of algebraic equations with the maximum number of different real roots equal degree n (fourth and above) is given.
Список литературы
1. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. Л., 1962.
2. Малая математическая энциклопедия. Будапешт, 1976.
3. Андре Анго. Математика для электро-и радиоинженеров. М., 1964.
