CC BY
131
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 67, вып. 2 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1951 г,
К ВОПРОСУ О ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
А. С. БЕТЕХТИН Введение
При исследовании некоторых вопросов теоретического и инженерного порядка часто возникает необходимость в решении уравнений третьей степени.
Точное и сравнительно быстрое решение уравнения третьей степени возможно лишь тогда, когда оно путем соответствующих преобразований может быть представлено либо в виде (л; + а)3 = 0, либо в виде (х^а)9 = т, либо, наконец, в виде (х — а1)(х — Ь{)(к — г1)=0. В остальных же случаях приходится довольствоваться приближенными решениями с той или иной степенью точности.
Прежде чем перейти к рассматриваемому вопросу, полезно, хотя бы вкратце, остановиться на общеизвестных методах определения с заданной* степенью точности корней второй и третьей степени, а также корней алгебраических уравнений, так как эти методы в известной степени (главным образом, как контрольные методы) могут быть использованы и в предлагаемом нами методе решения уравнений третьей степени.
Способ извлечения квадратных и кубических корней, открытый индусскими математиками, до конца XVI века был почти неизвестен в Европе Только в конце XVI века через арабов, вероятно, из Испании он проник в Европу. В 1600 году этот метод был развит математиком Виетом, приспособившим его к вычислению корней алгебраических уравнений. Но в том виде, в каком он был предложен Виетом, этот метод на практике оказался настолько трудоемким, что вычисление при помощи его корней алгебраических уравнений один из математиков XVII века назвал „работой, недостойной христианина". Несмотря на это, он все же продержался около 80 лет, примерно до 1680 года.
В 1674 году Грегори и Дари почти одновременно и независимо друг от друга разработали метод определения квадратных корней, названный „принципом итерации". Этот принцип был в дальнейшем разработан Ньютоном и для определения корней алгебраических уравнений.
В применении к извлечению квадратных корней принцип итерации сводится к следующему:
„Пусть имеется число N и требуется найти его квадратный корень. Возьмем некоторое число х0 и составим при его помощи число хи удовлетворяю-
Э. Уиттекер и Р. Робинсон „Математическая обработка результатов наблюдений"
ОНТИ, 1935 г., стр. 77—78.
По х1 составляем также число хг,
1 / I п
удовлетворяющее уравнению х2 =—1^1-1--• По хг составляем уравне-
2 \ хх)
ние х% — — --) и т. д. Тогда последовательность чисел л*0, хи
2 \ х2/ х3...... стремится к пределу ^М"1).
Пример. Найти У\0
Решение Полагая 10 и хп=\, имеем
2
1' /__'.
х* -
= ^ (з^ + = (3,7 -Ь 2,7) = 3,2,
= -i- (3,2+ - (3,2 + 3,125) = 3,163,
— (3,163 +— (3,163+ 3,161555) = 3,1622775. 2 \ 3,163 / 2 V ^ ' ■
Последнее число и будет j/10 с точностью до 6-го десятичного знака. Нетрудно убедиться, что и при другом значении лг0 будет получен аналогичный результат. Так, при л0 — 2, atj = 3,5, лг2 = 3,18, xs = 3,16 и xt = 3,16228.
Метод Ньютона-Рефсона, предложенный Ньютоном (1685 г.) и Рефсо-ном (1690 г.) для вычисления корней алгебраических уравнений, сводится к следующему.
Если х0, хи хг, х3...—приближенные значения, последовательно стремящиеся к истинному значению корня f(x) = 0, то между х0, xv хг и т. д. должна существовать следующая зависимость:
у - v /(*о) . v- ~ v /(•*!)
А] —Л0— ——; — , Л2 — Л1 —— -—
7(*о)
и вообще
* • —*
Пример. Найти положительный корень уравнения л3 — 2х — 5=0. Решение. Первое приближенное значение корня этого уравнения будет, очевидно, = Оно меньше истинного, так как 23 <2.2 -1-5
Xl + — = 2,1, /'(2) ^ Ю
= 2j 1 — J^L = 2,1 ~ °'°61 = 2,1 - 0,0054 = 2,0946 ' /'(2,1) 11,23
с точностью до третьего десятичного знака.
Заимствовано из книги Э. Уиттекера и Р. Робинсона „Математическая обработка
результатов наблюдений", ОНГГИ, 1935 г., стр. 78—79, где приведено доказательство этого
положения.
Точность, с которой найдено значение х9 может быть определена при помощи метода, называемого „правилом ложного положения"» Сущность его сводится к следующему.
Если а, аи а2 и Ь, Ьи Ь2 — приближенные значения корня уравнения /(х)= 0,причем значения а, аи а2 меньше, а значения Ь> Ьи Ь2 больше истинных значений х, и если последующие значения а, аи а2 и Ь, Ь^ Ьг выражаются через предыдущие так:
(Ь — а)/(а) л л (^-аЛДъ)
а{ = а--^^— , а* — а1
fib) f{bx)
то степень точности вычисления х будет определяться числом одинаковых десятичных знаков у а и ft, at и bu ci2 и ft2.
Например, первое приближенное (преуменьшенное) значение корня уравнения Xs — 23,4 х — 8 — 0 будет a~V 23,4 = 4,793, второе — (преувеличенное) ft = у^ 23,4+= 5,006, ft—a = 5,006 - 4,793 = 0/213,
f (а) = - 9,05, f (ft) = + 0,02, ax = 4,793 —■ 0,2131"9»05* = 5,0055, /'(ft) =
9,07
= 44,58, fti = 5,006--__ 5 QQgg^ цисло одинаковых десятичных зна-
44,58
ков у ах и &t —три, т. е. для данной стадии расчета корень уравнения найден с точностью до тысячных долей. Истинное значение х = 5, ошиб^ ка 0,1%.
Переходя к поставленной нами задаче, следует отметить, что, кроме классического метода Кардана, не всегда дающего правильные решения,1) существует довольно много методов приближенного решения уравнений третьей степени: метод Ньютона, Гресрфе, Энке, „метод ложного поло* жения" и т. д. Имеется даже работа,2) пользуясь которой можно по коэффициентам при неизвестном (считая, что свободный член является коэ-фициентом при х°) найти все три корня уравнения*
Не входя в сравнительную оценку этих методов, укажем лишь, что определение при их помощи значения неизвестного с достаточной степенью точности является довольно громоздким и трудоемким процессом. Что же касается вышеупомянутой работы инж. В. С. Осипова, то она может быть использована для получения значений х, лежащих в определенных, сравнительно узких границах.
Предлагаемые ниже способы приближенного решения уравнений третьей степени, являясь простыми и несложными, позволяют сравнительно легко и быстро определить значение неизвестного с желаемой степенью точности. Они могут быть применены для решения любого вида уравнения третьей степени, если только это уравнение имеет хотя бы один вещественный корень—безразлично, положительный или отрицательный.
4) Военный инженер III ранга В. С. Осипов. Таблицы для решения кубических уравнений. Военно-инженерная академия РККА иденн В. В. Куйбышева, Москва, 1937 г. стр. 3. .
2) Он же.
§ 1. Приближенное решение неполного уравнения третьей степени вида
л3 — Ьх — с — О
Неполные уравнения третьей степени можно разделить на 8 групп отличающихся друг от друга либо знаками при лил2 при одинаковом знаке у свободного члена, либо знаками у свободного члена при одинаковых знаках у х и х2.
1. л3 — Ьх — с = 0 5. л3 — ах- — с — О
2. х3 —&х + с = 0 6. л3 — ах2 + с — О
3. +Ьх — с = 0 ' 7. х* + ах2 —с— О
4. + г = 0 8. х* + ах* + с = 0
Нет необходимости исследовать все 8 групп: уравнение, условно отнесенное нами к четвертой группе, простой заменой с на—с превратится в уравнение третьей группы, а уравнения последних четырех групп могут быть приведены к уравнениям одной из трех первых групп путем замены л
■ а
через у Ч--•
3
Переходим к решению уравнения, условно отнесенного к первой группе, т. е. уравнения х3—Ьх — с = 0. Пусть имеется уравнение
— Ь\Х -— с — О, < 1)
з_
для которого х = 2;г, где г —Ус. Если это условие соблюдено, то уравнение (1) может быть представлено в виде: (2г)3 — Ь} 2 г — г3 — 0, или
2 жЬг — 7гъ, {21-
откуда
^ = -^- = 3,5** (3)
2г
з __
Итак, условие х = 2 У с может быть соблюдено в том случае, когда
3__
коэфициент при неизвестном в первой степени = 3,5 Ус2. Очевидно, что на практике подобные зависимости между х, Ьх и с могут встретиться лишь в исключительном случае.
Чтобы использовать эти простые зависимости для решения уравнения
Л3 — Ьх — с —0 (1а)
можно поступить двумя способами.
Способ I. Оставляя неизменным значение с в уравнении (1а), найти, каким должен быть коэфициент Ь в этом уравнении, чтобы можно было
з_
принять х = хх = 2г — 2Ус. Как уже было найдено выше, в этом слу-
з _
чае значение Ь должно быть 3,5г2 или 3,5 Ус2. Обычно, как правило, Ь г2. Если в уравнении (1а) 3,5г2> Ь, то это будет означать, что значение х=*2г будет больше истинного, так как для компенсации величины хя — с необходимо отнять от нее не Ьх как это требуется уравнением (1а), а 3,5величину больщую, нежели Ьх. Если же 3,5значение х = 2г будет, очевидно, меньше истинного, т. е. будет найдено с недостатком.
Если й—разность между истинным значением х и х1 — равна 2 г, то, подставив в уравнение (1а) вместо х,х+й и решив его- относительно получим величину разницы между х1 и х. При этом величиной ¿3, как слишком малой по сравнению с другими величинами раскрытого уравнения С*1 + </)3 — Ь(хг + с1)—- с = 09 можно пренебречь, так что определение <1 сведется к простому решению уравнения второй степени. Еще лучше решить совместно уравнения х3— Ьх — с = О и х^ — Ьхх— с = 0 .(где Ь{ — з _
= 3,5 Ус2 ),так как в этом случае исчезают л^3 и с.
Если то совместное решение обоих уравнений дает:
х{?> — За:,8 й-^-Ъхх Ф — Ф — ЬххА-Ьй — с —О х{А — Ьхх — с = О
чли
3 хг Ф — (3 X!2 — Ь) й + (Ь1 — Ь)хг~0
01 куда легко определяется й} так как величины х^ Ь и Ьх можно считать швестными.
Если хг<£х, то уравнение (4) примет вид
т. е. будет отличаться от предыдущего только знаком при й.
3 _
Способ II. Оставляя неизменным 6, из выражения & = 3}5 У слг опре-
з_
деляем си т. е. величину свободного члена, при котором х2 = 2г2 = 2 У сх. Если то А*2 = 2г8 будет меньше истинного, так как для соблюдения
условия х3 — Ьх — ¿7=0 от х3 — Ьх требуется отнять величину с19 меньшую, нежели обусловленную уравнением (1а). В противном случае, т. е, при
С9 Х'2 х* X.
В дальнейшем определение разницы между х и х2 производится так же, как и в предыдущем случае.
Пример. Найти вещественный корень уравнения л3 — 23,4л; — 8т=0
Решение. В данном случае 6 = 23,4 и с = 8,
3 ■■ 3 _
Находим: Ь{ = 3,5 г»! = 3,5 |/8* = 14; г4 = У'8 = 2; хх = 2^ — 4.
Гак как Ьх то х:<Сх, Определяем й из выражения (5):
■или
от
3.4 7 3
Л1 -(- 2,05 й — 3,133 = 0,
= 0.
й=-\,025 + V 1 »025а -Ь 3,133 =■ - 1,025 4-2,045 = 1,02. Итак, х - XI = 1,02, откуда х = 4,00 -}-1,02 = 5,02.
Для уточнения найденного значения х можно применить правиле Ньютона—Рефсона. Согласно этому правилу,
У -7—- X
/'И
В рассматриваемом примере л: = 5,02; /*(х), как показывают вычисления, 1,038; /(л:) = 52,2, и уточненное значение х= добудет:
xv = 5,02 — = 5 02 - 0,0199 = 5,0001.
52,2
Решим данное уравнение х3 — 23,4 х — 8 = 0, оставив неизменным Ь
и определив сх. Для рассматриваемого примера сх= — 17/28
з_
и г2~У \7,28 = 2,585, откуда х2 = 2 г2= 2.2,585 =5,17. Так как сх > с, то х2 > х.
Определяем di из уравнения (х2 — rfi)3 — 23,4 (лг2 — rfj) — 8 = 0, которое, после соответствующих преобразований, примет вид:
Зх2 } Зх2
или
откуда
d,2-3,66 d{ 1-0,597 = 0, dx — 1,83 - (/1,832— 0,597 = 1,83 — 1,66 = 0,17.
Итак, х = х2 — ¿, = 5,17-0,17 = 5,00.
Очевидно, значение х = 5 ближе к истинному, чем х —5,02. Действительно, в первом случае, т. е. при х = 5,02, разница между грубо приближенным значением х = хх = 4 и истинным его значением (5) составляет 20% от истинной величины х, Поэтому пренебрежение величиной дало ошибку на 0,02 или 0,4%. Во втором же случае, т. е. при х —х% = 5,17, — х = 0,17 или 3,4% от величины х, и пренебрежение величиной 0,17* не сказалось на конечном результате. Итак, х = 5,00.
Два других корня заданного уравнения определяются из условия, что
их сумма, взятая с обратным знаком, равна х, а их произведение—,
х
Короче, говоря, они определятся из квадратного уравнения х2 5х +1,6 = 0, Решение его дает:
х' = — 2,5 + /6,25—1,6 = - 2,5 + = - 0,34,
х* = - 2,5 - \/ 4,65 = — 2,5 - 2,16 = - 4,66.
§ 2. Приближенное решение уравнения вида
х*-Ьх-\-с = 0.
Найдем значения коэфициента при х или свободного члена, при кото-
3 __3 _
рых будет соблюдено условие хх = 2 ги = 2 |/У или х2 = 2г2 = УИ£
3
Приняв в общем случае х = 2г = 2 Ус, будем иметь: 8г'л — Ь.2г = о,
¿>1 = & = 4,5«* = 4,5|/л (6)
Из последнего уравнения получаем, заменив с искомым с2:
3_
6 = 4,5
откуда
= (7)
I Ц)-
В остальном методика решения рассматриваемого уравнения остается такой же, как и в случае уравнения х3— Ьх-с — 0. Пример. Найти корни уравнения хг — 42*+ 36 = 0. Решение (первый вариант). Находим значение коэфицйента Ьи при
а __
котором хг~2 у/с
Ь1 = 4,5/(36)2 =49,06.
з
Так как Ьх > Ь, то = 2 У с будет больше истинного. Находим 2Х =
з _
= }/36 = 3,302 и х1 = 2г1 = 6,604.
Определяем разность между хх и х из выражения (4):
42 49 06—42
(I)2—(6,604--)й = 0
3.6,604 ' ^ 3
или
¿г-4,484 ^2,353 = 0, откуда
= 2,242— 5,024—2,353 =2,242-1,634 = 0,608. Итак, Л! =6,604 — 0,608 = 5,996.
Второй вариант. Находим значение сгл при котором л*2 = 2|/"с^:
>= у71^28,52 и л2 — 2 |/ 28,52 = 2-3,055 = 6,11.
Так как для соблюдения условия х3—42 х + 36 = 0 при лг2 = 6, 11 —х к х3 —42 х надо прибавить не 36, а только 28,52, величину меньшую с, то, очевидно, х2 тоже больше х.
Находим разность между и предполагаемым истинным значением х, для чего пользуемся уравнением
(8)
полученным путем совместного решения уравнений
(х2—¿а)3—Ь{х2—+ с = 0 и х*2—Ьхг сг = 0.
В рассматриваемом - случае х2 = 6,-11, 6 = 42, с =36 и с2 =28,52, и уравнение (8) примет вид:
с
42 \ , . 36—28,52
С/%-1 и, 11 — -
" \ 3,
I п 11 ** \ ^ г —¿ОуОг Л
6,11-------------— =0,
\ 3.6,11 ) 3.6,11
или
(Ръ—3,8194, + 0,4081 =0, откуда
V1
¿.« 1,9095— 1/ 3,6475-0,4081 =1,9095-1,7999=0,1096.
Отсюда х = 6,И —0,1096 = 6,0004.
Итак, х лежит в пределах 5,996 6,0004.
Так как в первом варианте относительная ошибка, равная 0,608, почти в 6 раз больше, чем во втором, то наиболее близким к истинному значению будет 6,0004. Действительное значение х будет 6,0, в чем нетрудно убедиться, подставив это значение в уравнение л:3—42-«-}- 36 ==г 0. Но даже значение х, полученное при первом варианте, отличается от истинного всего на 0,004 или на 0,066%. Это точность, вполне достаточная для технических расчетов.
Можно было бы, конечно, не прибегать ко второму варианту, а уточнить полученное при первом варианте значение л:, применив метод Ньютона-Рефсона. Тогда получили бы: /(*) = — 0,265, /'(*) — 65,855 и
л-у = 5,996 -I--0,265 = 5,996 4- 0,00402.
У ^ 65,855 ^
Итак, х = 6,00002. Очевидно, для расчетов было бы принято значение х = 6,0.
Другие корни уравнения определятся из уравнения х*-\-6х—6 = 0, которое получится, если хг—42х-}-36 = 0 разделить на х—6. Эти корни бу-дут: х' = — 3 + У1Ь и х" = — 3 — К15.
§ 3. Приближенное решение уравнения вида
х* + Ьх — с = 0.
5
В данном случае было бы нецелесообразно принимать х1=2]/~^ п0. скольку с компенсирует х3-\-Ьх\ поэтому значение хх получилось бы очень преувеличенным, и точность решения была бы невелика, так как раз-
тзость хх—х получилась бы со значительной ошибкой. В этих условиях
з__.
правильнее принять коэфициент при У с не 2, а. меньше 1, например, ОД т. е. принять
3 _
хх— 0,9 V с. (9)
Тогда уравнение х] Ьх—с — 0 примет вид:
(10)
0,729г! +0,96^—^ = 0. тдег=1/ с
Из предыдущего уравнения следует, что для соблюдения условия
3 _
^=0,9Ус необходимо, чтобы
^-0,729^
ь=ь—==0'3г2- (11)
Итак, Ъх = 0,3^2 или более точно Ьх = 0,3011 £2. Если Ъх > Ь, то хх<Сх, так как в этом случае к х3—с надо прибавить большую величину, чтобы соблюсти условие х1л-\-Ьх1—с = 0.
Если оставить неизменным значение коэфидиента Ь, то величина сво
3__.
бодного члена съ при котором будет соблюдено условие х^ — О^Уе^ определится из выражения (11) при 6 =
Ъ = 0,ЗтУ"с22 , откуда "
'<» = 1 /1-^У (12)
з _
Если с2<с, т0 х2 = 0,9 Ус2 так как в этом случае от требуется отнять величину меньшую с для того, чтобы соблюсти условие х3 + Ъх — с = 0.
В дальнейшем ход решения остается таким же, как и в предыдущих случаях: 1) либо определяется Ьх при истинном значении с, вычисляется
3 _
Л] = 0,9 Ус и разность между х и Х\ или хх и х из выражения
—-^ + ^ = 0, (13)
где знак + перед йх берется в случае хх<^х и минус— при хх > ж; 2) либо
з_
определяются с2 и х2 = 0,9 ]/с2 и тоже находится разность ¿¿2 из выражения
+ (14)
причем знак4-У коэфициента при йг берется при а знак минус —
и противоположном случае.
Пример. Решить уравнение х*-\-5х—84 = 0.
Р е ш е н и е (первый вариант). Определяем Ьх и хх:
з_
Ьг — 0,301122, или _ о,3011 У%А2 = 5,7753.
з_
^ = /84 = 4,38 и л-! = 0,9.4,38 = 3,942. Так как Ьл > то хх < л;: Находим б?! из выражения (13), учтя, что хх<ах:
или
+ (3,942 +-^ V» + 5~5'У753 = 0;
- ",942; • 3
V 3.3
а^ + 4,360^—0,2584 = 0, откуда II» 1 »__>__
йх — - 2,180 + /4,7520 + 0,2584 = — 2,180 + 2,238 = 0,058. Значение х будет: 3,942 + 0,058 = 4,000.
Второй вариант решения. Определяем с2, при котором
= Ус2, и л'2 = 0,9г2
/ы
с2 = 1/ -V' = 67,668
,3011
з _
22 = Уб7,668 = 4,075, х2 — 0,9.4,075 = 3,6675.
Так как то х2<х*
Находим поправку d2 из выражения (14), учтя, что x2<x:
^ 3.3,6675 ; 3.3,6675 '
ИЛИ d2* + 4Д 219rf2— 1,4844 = 0,
откуда 2_
d2 = — 2,06095 + /4,2476 + 1,4844 = — 2,06095 + 2,3942, или 0,3325.
Приближенное значение л в этом случае будет:
л = 3,6675 + 0,33325 = 4,00975.
Так как при пёрвом варианте поправка (0,058) в шесть раз меньше, чем при втором (0,33325), то, очевидно, значение х = 4,0000 ближе к истинному, чем х = 4,00075. Действительно, истинйое значение х = 4.
Два других корня уравнения определятся из уравнения л2 + 4х + 21=0. Они будут: х — — 2 + ]/— 17 и х,г= —2—^^X1.
§ 4. Приближенное решение уравнения вида
х* + Ьх-{-с = 0.
Уравнения данного вида не имеют положительных корней, так как коэфициенты при неизвестном и свободный член входят в уравнение с одинаковым знаком—с плюсом.
Для решения подобного уравнения обычно меняют знак на обратный либо у нечетных степеней л:, либо у свободного члена, и полученное уравнение решают обычным порядком, учитывая, что полученный при его решении результат должен быть взят со знаком минус.
При пользовании предлагаемым нами методом решение уравнения данного вида сводится к решению уже рассмотренного ранее уравнения вида
х* + Ьх—с = 0.
Пример. Решить уравнение *3 + 20* + 1200 = 0.
Решение. Представив уравнение в виде хъ + 20х—1200=0, определим
з
коэфициент Ьи при котором хх — 0,9 1^1200.
з_
Согласно (11) &, = 0,3011 )/12002> или Ъ% = 0,3011.112,92 = 34,0; о>
з_
сюда = 0,9/1200 = 10,627.0,9 = 9,5643. Так как Ьх > Ь, то хх <я.
Разница dx между х и хх определится из выражения (13):
или \ 3*1 / 3
dl, + ( 9,5643 + —U + = 0;
\ 28,6929 / \ 3 /
4 10,26 Ш,—4,6666 = 0, откуда rfj = — 5,1306 + ^26,3177 + 4,6666 или dx = — 5,1306 + 5,5662 = 0,4356; отсюда л = 9,5643 + 0,4356 = 9,9999.
Истинное значение х =10. Ошибка равна 0,0001 или 0,001%. Таким образом один из корней уравнения будет 10.
13 Изв. ТПИ, т. 67, в. 2. 193
Не приводя подробных вычислений с2,х2 и й2, укажем лишь, что для данного примера с2 будет 541,24, х2 — 7,3345, ¿¿2=+2,7286 и,*я= 7,34454-+ 2,7286 = 10,0631. Ошибка равна 0,063! или 0,63%, т. е* в 630 раа больше, нежели в первом случае, хотя й2 больше только в 6 раз. Отсюда можно сделать практически важный вывод, что при одинаковой (или примерно одинаковой) разности между Ь^Ь и сг, с (в процентном отношении) определение х через Ьг дает значительно более точные результаты, чем через ¿V
§ 5. Приближенное решение уравнения вида
* ¿с3' — ах*—с = 0.
Как уже указывалось выше, уравнения данного вида, равно как и аналогдчные уравнения, содержащие х во-шторой- степени, могут быть преобразованы в уравнения первых трех групп путем замены л?'через
, а тт , ... л..,- ■ -.у. Г, , Г : ■ , ' ■ '
у + —. Но можно решать их методами, рассмотренными выше, и не прибегая к замене.
3
Если предположить, что я=2;г = 2 Ус, то коэфициент при хг должен иметь вполне определенное значение, определяемое из уравнения (2г)»—а (2г)2—23 = 0, откуда следует, что .
а — ^ г. (15)
В дальнейшем методика решения аналогична рассмотренной ранее.
г • 1 ' 7 3 г-
В частности, определяется а{ = 0 ' устанавливается, получен ли
з ■ •
^1 = 2 УТс избытком или недостатком (при а{ > а х9 при аг<Са — наоборот), и находится разность между х1 и х из уравнения
ахг ± Хх (3-1.+ в о (16)
(3^!—а) 3x1—#
Знак + у коэфициента при йх берется при хг<^х9 знак минус—при л:|>х Можно также определить
Г
(17)
затем хг = 2\Гс^ ъ9 наконец, поправку й2 из уравнения;
ФА±х% -(3хЛ~2а) (18)
3 х2—а' Зх2— а
Знак + у коэфициента при й2 в случае х2<^х и знак минус—при
х£>х в том слу^е,-е?ди с2> с. Пример. Найти положительный корень уравнения л;3— 11 л:2-— 1 44 = 0. Решение. Не приводя подробных вычислений, укажем лишь значения х, полученные при решении .этого уравненяя по первому « второму вариантам. .
3 _
1) = Ущ = 5,2415 = 2г = 10,483;
^ = -^-.5,2415 = 9,173;
а!< а, значит хг<х; йх (из уравнения 16)= 1,524^ х = 10,483 +1,524 = 12,007. 4 44
2) = —— =-= 6,2855; х2 = 2г3 = 12,571;
7а 7
с* = 242,8;
значит х2>х;
¿2 = 0,573 (из уравнения 18) и л: = 12,571—0,573 = 11,998.
Итак, х лежит в пределах 12,007-^-11,998. Нетрудно убедиться, что щетинное значение х будет 12. Наибольшая ошибка равна 0,007 или 0,06%.
Решим это же уравнение, заменив в нем х через В общем случае
3
уравнение х:1 — ах2 — ¿ = 0 после преобразования примет вид:
Применительно к данному примеру будем иметь:
V3 —"40,333 у — 242,6 = 0
з - з_
Решение его дает: гх = /242,6 = 6,2367; Ъх = 3,5/242,б2 —136,14;
^=-.2^1 = 12,4734. Поправка йх (учитывая, что ух>у, так как ЬХ>Ь)= __4,990; у =12,4734 — 4,990 = 7,463; х = 7,463+-3,666= 11,129.
Ошибка равна 12,000—11,129 = 0,871 или 7,26%, т. е. во много раз €юльн&, <*ей в случае непосредственного решения уравнения х3—11 х2— — 144=0 без приведения его к виду х3—6х—с = 0.
Возрастание ошибки в случае перехода к преобразованному уравнению будет иметь место тогда, когда с значительно больше а, так как при этих условиях расхождение между козф^циентамч Ь и Ьх в преобразо-ааннОм уравнении поручается настолько Значительным, что пренебречь величиной ахъ уже нельзя.
В дальнейшем (§ 9) будет рассмотрен метод, прзволяющий существенно снизить величину ошибки и в случае преобразованного ур!авнения.
§ 6. Приближенное решение уравнения виде
х3~ах2 + с = 0.
Для уравнений этого ви^а величина коэфициев|та а,, при котором бу-
3
¿*ёт. соблюдено условие х, = 2уТГ найдется так
аг = —г = 2,25 л/~с. (19)
Величина же свободного члена с2> при котором, при коэфициенте а, бу
дет соблюдено условие х^—2Усъ определится соотношением:
гя=(-1а)\ (20)
Вообще! же это уравнение решается аналогично предыдущему, причем поправки йх и й2 определяются из тех же уравнений, что и в предыдущем случае. Только в уравнении для й% знак перед свободным членок должен быть изменен на обратный.
Пример. Найти положительный корень уравнения л3— 13л2 + 242 = О.
з_
Решени е(первыйвариант).^ = К242 =6,2317; хх = 2^= 12,4634;ах-=
= 14,021; а*>а —значит ¿^ = 1,510; л; = 12,463 —1,510 =
4
= 10,953.
Второй вариант: = 5,7777;л2==2;г2^И,555;
съ Т ) — 192,9; с2 <с — значит х$ > х;
-•т
й2 = 0,558; х = 11,555—0,558 = 10,997.
Истинное значение л = 11,0. Таким образом, ошибка в определении х лежит в пределах 0,047-н0,003 или в процентах 0,043—0,03%. Ошибка может быть еще уменьшена, если уточнить любое из найденных значений л,, пользуясь правилом Ньютона-Рефсона.
Определим х, приведя заданное уравнение к виду х'6 — Ьх-^с — 0.
п . а . 13
Пусть х = у <г — =у + —— .
Заданное уравнение после преобразования примет вид:
а2 / а \3
—у—2(— | + с = 0, или применительно к рассматриваемому ] 69
примеру, у*--—.у + 79,26 = 0.
3
Решаем его: гх = ]/ 79,26 = 4,2956; уг = 2= 8,5912; Ь, — 4,5 г,* = 83,032. 169
Ьх >---значит
3
Поправка йх = 2,0397 найдется из уравнения
— ( 8,5912 — 56'3333 )^ + 83'°32-56'331 = 0 . \ 3.8,5912 } 3
Тогда у — 8,5912 — 2,0397 = 6,5515
и х = 5515 + 4,3333= 10,8848.
Истинное значение х, как уже указывалось выше, равно 11. Ошибка равна 11,0000—10,8848 = 0,1152 или около 1,05%. Таким образом и в атои^слу-чае решение уравнения, приведенного к виду хъ-~Ьх-\-с=. 0, [дает меньшую точность, нежели непосредственное решение уравнения
.V3 —йл3 + С = 0.
§ 7. Приближенное решение уравнения вида
- х8 + ах2 —с = 0.
Обозначив х через у — —, получим преобразованное уравнение в виде МЛН y* — bv±Ci = 0,
А Я2 о(а
где £ = - ¿4 = 2 —
3 \ 3
Затем преобразованное уравнение решаем по одному из способов, рас« мотренных выше. Но возможен и другой путь решения. Так как в данном уравнении х3 и ах2 имеют одинаковые знаки, та
X<V~T> Примем jc = x1 = 0,8|/"^"1). Очевидно, в эти*1условиях коэфи» диент при х2 будет уже не равен а. Значение ко^фициента аи удовлетво*
ряющее рассматриваемому уравнению при хх = 0,8|/Т~^ определится из урав» зения:
0,83z3 + а{ Д82г2 — г» = 0 (21)
(22)
0,640
з_
где г = у с .
Если ai<a, то Xi больше истинного, в противном случае—наоборот. Величина поправки^ определ^ся при совместном решении уравнений: (хг + dxf + {*i + dx)2 а — с~0
Xi3 4-aiX, — с = 0, или 11
<а -f 3 xj qp 2 (axj + 3xt2) + xx* (a — a,) = 0 (23)
Знак плюс у коэфициента при dx берется при ах^>а и минус—при ах<а. Пример. Найти положительный корень уравнения х3 -{- 10х2 —375 = 0.
Решение. Примем Xj3 = 0,8/375 = 0,8.7,2112 = 5,76896 или округленно = 5,769.
= М* = = 5,498.
640 80 80
"Гак как aj<a„ то хх получен с превышением. Величину поправки rf, находим из уравнения (23), представленного в виде:
(х~~fl + 3xi)dl +xt(a-at) = 0
После подстановки значений a, Xi и at получим:
— (2.10 + 3.5,769) + 5,769 (10 - 5,498) == 0
4,733 </,г — 37,307 dl -f 25,972 = 0 ,ч. ■, rf,2 — 7,882 di -f 5,4874 = 0,
В дальнейшем будет рассмотрен общий случай, позволяющий выразись х, как
S
-т \ГГ, где
откуда _ .
а, 3,941 —у 15,'5248 —5,4874=
= 3,941 —3,168 = 0,773. Тогда л: = хг — йх = 5,769 —. 0,773 = 4,996.
Истинное значение х — 5. Ошибка равна 0,004 или 0,1%, т. е. точйосг&~ для технических расчетов вполне"достаточная. Следует отметить, что для
уравнений этого типа замена х через у—— приводит к большой с-ши&-
3
ке при определении уу а, значит, и х.
§ 8. Приближенное решение уравнения вида
л3 + ах2 + с = 0
Уравнения этого вида не имеют положительных корней. Изменив на обратный знак у йечетной степени, получим уравнение л3 — ах2 — с = 0, уже расСйбФренное ракее. Цайдённый при решении этого уравнения пала" ^к^тельный корень надо взять с обратным знаком. Прймер. Найти корень уравнения х3 +'2,5 х2 4е 4,5 = 0.
Решение. Представляем данное уравнение в виде: х3 — 2,5л2 — 4,5.=№..
з _
Примем хх = 2 1^4 5 = 2.1,651 =3,302. Согласно предыдущему (§5), ат =
= — — 7.1,651 _ 2,889. Так как ах > а, то хг больше истинного эначе
4 4
ния х.
Поправку йх находим из выражения (16):
_ <3*' -2о) ^ +1".1= 0>
3x1 — & 3-^1 — в
й* 3 302 (3-3'302 ~ 2-2'5) ^ | <2'889 — 2,5) 3,3022 = 0 1 ' 33,302-2,5 3.3,302 - 2,5
или <*,* - 2,1874 + 0,5727 = 0,
откуда й\ = 1,0937 - К1,1962 - 0,5727,
или = 1,0937 — 0,7896 = 0,3041.
Тогда л; ^3,302 —0,304 = 2,998. Истинное значение х = 3. Ошибка равна 0,002 или С?,067°/0-
х - '■ . . . ,. ...
§ 9. Определение значения х без решения уравнении относительно величины поправки
В предыдущих параграфах, при решении различных по типу уравизе
... з_.
ний 3 степени, значение "х принималось ¡равным лйбо %'у г^ляба*
з _
(0,8 ч-0,9) у :с п Ь дальнейшем уточнялось йри помощи поправки. При. этом далеко не исключена вероятность, что между принятым и истинным значением х может оказаться настолько значительное расхождение, что даже поправка не исправит положения, тем более что при значениях ¿/>1 точность самой поправки становится сомнительной! так как в эпш случае пренебрежение величиной (Р дает значительную ошибку при ои-
ределении й. Поэтому рациональнее прийймать х равным не 2\г'с
огя подобное допущение в пот^ебуе'т-ре^ення
уравнения третьей степени относительной. ^Действительно,7 йуст^; например, имеется уравнение х3— ¿>х —г = 0« Подставное него вместо х
т Vс и разделим все члены на с. Получим; т%с Ьту с__^ — о
с с с
или
тг — Ьхт —1=0, (24)
Ъ
где Ьх = -3----.
- ^
Решение уравнения (24) проще, чем исходного, из которого оно получено..
" • • 1 В самом деле, представив уравнение (24) в виде /я2 = &Н--,
т
или /1 V*
т = 1Ьг+±у (25)
и рассматривая правую часть выражения (25), как бином, получим, ограничившись двумя членами бинома:
1 | _ 2_ _ 1
т — ЬЧъ-А---Ь 3 = 1/7?. --Г7=>
1 ^ 2 т ¥ 1 2тУьх
или _ .
т* — тУ Ъх — --т^г = 0 (26)
. 2уьх
Таким образом, приближенное решение кубического уравнения (24) сведется к решению квадратного уравнения (26)
т
Л\__(27)
2 У 4 +2 ГЬХ
или
т —
, - жъ.. ........ ...
Нетрудно убедиться, что знак перед корнем в числителе выражения (27в-^доя|кен«.6ы» как Щ ^ цошт быть отрицательным числом.
Пример. Решим данным методом уравнение
—23,4 х —8=== 0, уже решенное в§ 1.
Преобразованное уравнение примет вид:
тА - -23;4 т — 1 = 0, или тА — 5,85 т —1 = 0. -
У¥ . '
В этом уравнении ¿>1 = 5,85,
т
5,85+^85^2^5^5 = 5,85 + ^34,2225 + 2,2,4187 2У~5М 2 2,42
_ 5,85+V'39,0599 _ 5,85 + 6,250 _ Щ10 -
или 771 —— —г1^—;—;—:—■• ■ ■ -1 ' —— ди,
4,84 4,84 4,84
Так как лг = т|/Т>. то 8 данном случае х = 2,5У$ = 5,0, что и является истинным корнем рассматриваемого уравнения, В § 1 для х было полу- * чено значение 5,02, т. е. с ошибкой 0,4%.
Следует отметить, однако, что степень точности определения величины т из выражений (27) и (27а) в значительной мере зависит от абсолютной величины как это можно видеть из табл. 1.
Таблица 1
Истинные значения т и вычисленные из выражения (27), как функции Ь1
Значения т
Значения
вычисленные из Д т Дот в Н
истинные выражения (27)
0,309 1.1 1,2660 0,1660 15,10 ,
0,607 1,2 1.2804 0,0804 6,70
0,921 1.3 1,347 0,047 3,62
1,246 М 1,4296 0,0296 2,12
1,583 1.5 1,5186 0,0186 1,24
1,935 1.6 1,6136 0,0136 0,85
2 »302 1,7 1,7099 0,0099 0,58
2,684 ».8 1,8072 0,0072 0,40
3,084 1,9 1,90.^7 0,0057 0,30
3,500 2.0 2,0042 0,0042 0,21
3,934 2,1 2,1036 0,0036 0,17
4,385 2.2 2,2029 0,0029 0,13
5,343 2,4 2,4012 0,0012 0,05
С возрастанием Ьх растет и значение т и одновременно уменьшается расхождение между истинным и вычисленными значениями т. Действительно, из выражения т ~ + __' " 2)/~ следУет> 4X0 с в03Рас*
танием Ьх влияние его на величину подкоренного количества будет умень" шаться, и т будет приближаться к Это, впрочем, ясно и из урав-
нения т* — Ьхт —1=0: при достаточно большой величине Так, при &| = 100, разница между истинным и приближенными значениями т будет всего —-— (или 0,00345), т. е. всего 0,0345%. Другими ело-, , « 290
вами — при ¿>1>2,5 выражение (27) дает вполне достаточные для практики результаты.
Для уравнения вида х* — Ьх-\-с — 0 значение т получится из выражения, аналогичного выражению (27), а именно:
ь
где Ь, = -з-
VС
В табл. 2 приведены значения т истинные и вычисленные по формуле
100 Д/га
(28), а также величина ошибки абсолютная и в процентах, т. е. т (истинные).
• Таблица 2 Истинные значения т и вычисленные по формуле (28), как функции
Значения т
.Значения Ь. истинные вычисленные из Д т Дт в Н
выражения (28)
2,1192 1,1 1,1646 0,0646 +5,87
2,733 1,2 1,2537 0,0537 4,46
2,4592 1.3 1,3282 0,0282 2,19
2,6743 1.4 1,4192 0,0192 1,37
2,9133 1,5 1,5135 0,0135 0,90
3,1850 1.6 1,6110 0,0110 0,69
3,4782 1,7 1,7083 0,0083 0,50
3,7944 1,8 1,8055 0,0055 0,31
4,1363 1,9 1,9047 0,0047 0,24
4,5000 2,0 2,0036 0,0036 0,18
5,2945 2,2031 0,0031 014
6,1766 2,4 2,4025 0,0025 0,10
6,6500 2,5 2,5013 ■ 0,0013 0,№2
Ь
Определив Ьх из выражения Ьх = ^
можно, пользуясь табл. 1 и
2 (в зависимости от типа уравнения), найти ближайшее значение т9 соответствующее найденному значению Ьх. Более же точно значение т можно найти следующим образом: решив уравнение (27) или (28), из табл. 1 или 2 находят границы, между которыми лежит т. Если, например, для уравнения тъ — Ьхт-\-\ = 0 получилось /«=1,55, то из табл. 2 видно, что возможная ошибка лежит в лределах 0,9-н-0,6994. В данном случае
она будет порядка 0,78%. Разделив найденное значение т на 1 + ,
100
получим значение, отличающееся от истинного на сотые доли процента, что более чем достаточно при решении технических вопросов. Например, при определении состава электровоза, допустимого нагревания электровозных двигателей, подобная точность даже излишня, так как погрешность в 1% является здесь вполне допустимой. . Для решения уравнения вида тъ-^-Ьхт—1=0 нельзя воспользоваться
уравнениями (27) или (28), так как выражение т2 = /Г—-
\ т
1 - \1/3
в конечном* счете все равно приводит к уравнению
или
т
третьей степени. Поэтому т приходится определять приближенно, поль зуясь табл. 3.
Таблица 3
Значение т, как функции Ьх
т \ -Ь1 т 'Ьх
0,05 19,9975 0,55 1,5157
0,075 13,3244 0,60 1,3066
0,10 9,9900 0,65 1,1160
0,15 6,6441 0,70 0,93«6
0,20 4,9600 0,75 0,7708
0,25 3,9375 0,80 0,6100
0,30 3,2433 0,85 0,4565
0,35 2,7346 0,90 0,3011
0,40 2,3400 0,95 0,1501
0,45. ' 2,01*07 1,00 0,0000
0,50 1,7500
Если, »¿пример, Ьи найденное из уравнения Ьх — -, равно 3, то т
можно, принять равным
__ (3,0000 — 2,7346)0,05 = 0Д)26 = ^
.3,2433-2,7346
§ 10. Решение полных уравнений третьей степени
Решение полного уравнения третьей степени может быть сведено к трем этапам: 1) превращение полного уравнения в неполное путем заме
ны х через у+—; 2) превращение полученного неполного уравнения 3
в уравнение вида т? — Ьхт — 1=0, /п3 — Ьхт +1=0 или т? + Ьхт— 1=0;
3) решение полученного уравнения относительно т и определение
з__а
у — тусх и х=у±~~ .
о
Пример. Найти положительный корень уравнения
х3 — 6 лг2+ 10 х — 8 = 0.
-Если обозначить л: через у-\-% то данное уравнение можно предста вить в виде .у3 — 2у — 4 = 0, т. е. в виде уравнения, условно отнесенного
н I тпу. (Обозначив у —ту 4 и подставив это значение в полученное уравнение, будем иметь:
■ г ■ . • .
т] — 0,7937 т — 1=0, где 0,7937 = Ъх.
Г'В^ дальнейшем полученное уравнение можно решать либо по формуле (¿7),г-?лвбо,.! пользуясь табл. 1, найти т, соответствующее найденному зна-чению ^ Ввиду малого значения Ьи возможная величина ошибки при пользовании уравнением (27) окажется очень значительной, лежащей в пределах *6|7 -ь-3,62%. Поэтому лучше найти \м изтабл. 1 путем интерполирования! хотя , и в этом случае неизбежна ошибка, но значительно меньшая* чем при определении т из уравнения (27). Для рассматриваемого примера
ОТ== 1,2 4- ^7^070^ = 1,2+0,059- 1)26. 0,921 — 0,607
з '
Тогда у = 1,26уг_4~ = 2,0001. Примем у = 2. Тогда х=у + 2 = 4. Проверка полученного значения х по формуле Ныотона-Рефсоца дает для /(х) значение 0, что означает, что поправка равна нулю и значение получено с абсолютной точностью. Аналогично решаются полные уравнения третьей степени, приводимые к виду у* — 6у + с=0 или уг-\-Ьу — с = 0. В первом случае т определяется либо из уравнения (28), либо из табл. 2; во втором случае —из табл. 3, с последующей проверкой по формуле Ньютона-Рефсона.
Краткие выводы
. л1'-: ••• : : / ' ■
1- Неполные уравнение третьей стеаени могут быть условно разделе-ны на 8 групп, котбрые в конечном счете могут быть сведены к 3 основным группам.
2. Решение уравнений 2 первых групп сводится к определению^ приближенного значения неизвестного, условно принимаемого равным удвоенному кубичному корню из. свободного члена, и отысканию поправки^ определяемой из уравнений.
3. При решении уравнений 3-ей группы условное значение неизвестного принимается равным 0,7-^-0,9 кубичных корней из свободного члена.
Величййа коэффициента переду^выбйрается такой, при которой разница между коэфициёнтами Ь и Ъх будет минимальной. '
4. Неполные кубическре, уравадн&я, , содержащие х2, могут быть решены либо методом, аналогичным методу, предложенному для решения первых трех групп уравнений, либо приведены к одной из этих групп
, я
путем замены х через у —
о
В первом случде сложнее определение величины поправки но выше точность.
5. Вместо условного значения х = 2у с целесообразнее принимать
х=т у с • Величина т для первых двух групп уравнений определяется из выражений___
т=УА-+,/кгг" или т=^+, /"¿1 _ х:
2 V 4 Гьх 2 у 4 2 уь\\
причем, если Ь> 3,5, ошибка не превысит >0,5%-* В противном случае, найденное значение т необходимо уточнить либо с помощью фррмулы Ньюто-на-Рефсона,л и бос помощью табл. 1 и 2.
Для уравнений третьей груяпы величина т определяется из табл., 3 путем интерполирования, соответствеяно коэфициенту ,
Уравнения, содержащие х\ предварительно приводятся к уравнениям первых трех групп, длр которых определение величины- т указано выше
6. Предлагаемые два; способа приближениях решений < неполных и . полных уравнений третьей, степени, отличаются простотой, даю? томность " вполне достаточную для технических расчетов и не требуют громоздких
вычислений.
