Применение аппарата стохастических автоматов для принятия решений по долевому распределению налогов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 0049: 336.12

Богомягкова И. В.

Применение аппарата стохастических автоматов

для принятия решений по долевому распределению налогов

В решении проблем обеспечения экономического роста центральное место занимают вопросы межбюджетных отношений, координирующие финансовые взаимосвязи и обеспечивающие существование бюджетной системы в условиях целостности и единства федеративного государства. В этих отношениях важную роль играют механизмы межбюджетного регулирования на уровне региона, нацеленные на эффективное выравнивание уровня бюджетной обеспеченности муниципальных образований, сохраняя при этом заинтересованность органов местного самоуправления в развитии своего налогового потенциала. В связи с этим особого внимания заслуживает решение стратегической задачи, стоящей перед органами государственной власти субъектов РФ - задачи выбора нормативов отчислений в местные бюджеты от федеральных и региональных налогов и сборов, подлежащих зачислению в бюджет субъекта РФ. Эффективное решение этой задачи возможно на базе применения экономико-математических методов, моделей, инструментов.

Моделирование долевого распределения налогов в двухуровневой системе местных бюджетов

Для выбора пропорций распределения налогов и сборов между региональным и муниципальным уровнями бюджетной системы РФ предлагается использование математического аппарата теории стохастических автоматов. Этот аппарат в качестве структурной единицы анализа рассматривает математический объект, в роли которого выступает абстрактное устройство -стохастический автомат, функционирующий в случайной среде. Из современных публикаций [1] известен подход, основанный на использовании подобных адаптивных абстрактных устройств для управления процессами бюджетного регулирования на уровне региона. Но предложенные модели имеют ряд недостатков. Во-

первых, в качестве состояний автомата, предложенного в [1], выступают интегрированные величины, отражающие различные комбинации значений пропорций распределения различных налогов, участвующих в процессе бюджетного регулирования. Такая модель является малоэффективной, так как при бюджетном регулировании нужен дифференцированный подход к выбору налоговых поступлений каждого вида, служащих рычагами воздействия органов местного самоуправления на величину налоговой базы.

Во-вторых, предложенная в [1] структура стохастического автомата такова, что в случае штрафа этот автомат может переходить только в соседние состояния, что ограничивает возможность исследований по выбору пропорций распределения налогов при бюджетном регулировании. В итоге полученные в [1] выражения для финальных вероятностей пребывания автомата в каждом из состояний не отражают всех возможностей перебора величин отчислений от налогов в порядке бюджетного регулирования.

Предлагаем для каждого вида налога, введенного в перечень налогов, участвующих в долевом распределении между уровнями бюджетной системы, рассматривать отдельную вероятностную среду стохастического автомата, состояния которого отражают величину отчислений от уплаты 1-го налога в бюджет нижестоящего уровня бюджетной системы, I = 1, к, где к - количество видов налогов. Таким образом, нами разработана отличная от предложенной в [1] структура стохастического автомата. Рассмотрим эту структуру. Стохастический автомат (обозначим его переменной А) представляет собой абстрактное адаптивное управляющее устройство, находящееся в каждый момент времени г в одном из возможных состояний ф([) = {фДО, ф2(?), . ., фк(г)} и способное переходить из состояния ф; (г), I = 1, к , в состояние ф/0 ] = 1, к. Состояния автомата А определяются сле-

дующим образом. Отрезок [0; 1] разбивается на конечное число отрезков, равное (к -1). Координаты концов этих отрезков ф1(г), ф2(г),..., фк(г) принимаются в качестве состояний автомата А, где

1 2 ф1 = 0, Ф2 =-г, ф3 =-г, •••, Фк = 1.

к к

Состояния ф;, ' = 1, к, автомата А свяжем со

следующим содержанием, т. е. выполним следующую интерпретацию. Будем полагать, что

численное значение состояния фь ' = 1, к, отражает величину отчислений в бюджет нижестоящего уровня бюджетной системы РФ от уплаты налога вида ', подлежащего зачислению в бюджет вышестоящего уровня. Выбирая состояния ф; , ' = 1, к,

автомат А вызывает изменение динамики остатков денежных средств в бюджете нижестоящего уровня бюджетной системы РФ, доводя его в момент времени г до некоторого уровня 2(1). Величина 2(0 принимается в качестве выходов автомата А в момент времени г е Т. Автомат рассматривается функционирующим во внешней случайной среде, которая реагирует на выходы 2(0 автомата следующим образом. Множество реакций внешней среды разбито на два класса: благоприятные и неблагоприятные реакции. Выход 2(0 автомата А вызывает благоприятную реакцию у внешней случайной среды, т. е. поощрение автомата, если в бюджете в момент времени г образовался текущий профицит, т. е. если уровень запаса положителен: 2(0 > 0. Поощрение автомата А идентифицируется поступлением на его вход в момент времени (г + 1) входного сигнала у(? +1) = 1, означающего «выигрыш». Неблагоприятная реакция внешней случайной среды возникает при образовании в бюджете в момент времени г текущего дефицита, т. е. 2(0 < 0. В этом случае автомат штрафуется и на его вход поступает сигнал У0 (I +1) = 0, означающий «штраф» или «проигрыш». Таким образом, в качестве входного сигнала автомата А рассматривается вектор У (г +1) = (У0,У1). В каждый момент времени г автомат А может находиться в одном из возможных состояний ф;, ' = 1, к , в котором он выдает выходной сигнал 2.(1), рассматриваемый как некоторое воздействие на внешнюю среду. Внешняя среда реагирует на эти воздействия, посылая на вход автомата А сигнал У (г +1) = (У0, У1). Следовательно, если в момент

времени г е Т автомат А находился в некотором состоянии фа, а = 1, к, и произвел действие 2(0 > 0, то в последующий момент ( + 1) на его вход поступит сигнал У1(г +1) = 1, т. е. «выигрыш». Если же выход 2(1) < 0, то в момент ( + 1) на вход автомата А поступит сигнал У0 (г +1) = 0, т. е. «проигрыш» или «штраф». Обозначим вероятность выигрыша автомата А в состоянии фа, а = 1, к , через ра. Тогда вероятность проигрыша ца а = 1, к, автомата А в состоянии фа составит

9а = 1 - Ра. Вектор р = (р^ Р2, ..., Рк ) рассматривается как вероятностные характеристики внешней случайной среды, в которую погружен автомат А.

В данной статье предложена структура автомата А, в соответствии с которой ему предписывается следующее поведение. Если автомат А в момент времени г находился в состоянии ф;(0 и в этот момент выиграл (т. е. в момент ( + 1) на его вход поступил сигнал у (г +1) = 1), то в момент времени (г + 1) он остается в этом же состоянии. Если же автомат А в момент времени г находился в состоянии ф;(0 и в этот момент проиграл (т. е. в момент (г + 1) на его вход поступил сигнал У0(г +1) = 0), то в момент времени ( + 1) он перейдет в любое другое состояние фу (г +1) Ф ф; (г).

Вероятность щ перехода автомата из состояния ф; в состояние ф], у = 1, к -1, одинакова для

любого ф] Ф ф; и равна = - . Матрицы перехода автомата А из состояния ф; в состояние фj при выигрыше Яу(1) и при проигрыше ау(0) имеют вид:

(1 0 ... 0^ 0 1 ... 0

0 0 ... 1

* (0) =

1

1 ^

0

к -1 к -1

1 0 .„-1-

к -1

0

к -1 1 1

^ к -1 к -1

Вероятности ру перехода автомата А из состояния ф; в состояние фу при любом входном

а-

'у

^Ж^/чнО-Т^хниче^кие^^домости^ПбГПу^'^О^О.ЭКО^ОМИЧеСКИе^^УКИ

сигнале V = (У0, У1) определяются, исходя из выражения р. = а. (1) Р, + а. (0)9{. В соответствии с этим выражением матрица перехода автомата А из состояния ф;, I = 1, к, в состояние ф., ] = 1, к , запишется следующим образом:

(

\\Рц\\ =

1

1

1

л

к -^ к -- к -1"1 1 1

к -1

Р2

к - 1

к - 1 Чк к - 1 Чк к - 1

к - 1

Рк

Финальные вероятности пребывания автомата А в состоянии фа обозначим Раф, а = 1, к . То-

гда, если Рф =

{ рф\ 1

р

\Гк

, РфТ = (Р1ф, Р2ф,..., Рф), где

г>ФТ г>ф

Р - транспонированная Р матрица, имеем следующую систему уравнений для определения финальных вероятностей Раф, а = 1, к :

РФ = РФ А + Р2Ф-^ ц2 + ... + Рк

1

к -1

к -1

1

к-1

Р2Ф = Р^ 91 + Р2Ф Р2 + ... + РФ

к - 1

9к,

9т,

Р" = РФ тЧ + Р2Ф ГТ + ... + Р" Рк.

к -1 к -1

Используя эту систему уравнений, а также к

условие нормировки X РаФ = 1, получены выра-

а = 1

жения для финальных вероятностей Раф, а = 1, к, пребывания автомата А в состоянии фа :

Рф = 1 . рФ =

м к ! ' 2

1

к 1 2 к 1 91X — 92 X-

¡=1 91 Т~191

Ф

к

1

к 1

9к

7=191

Исследование поведенческих аспектов функционирования автомата предложенной структуры

Исследуем вопросы качества функционирования автомата предложенной структуры. Оценка качества функционирования автомата А, погруженного в случайную среду, осуществляется по двум характеристикам - целесообразности поведения и асимптотической оптимальности. Целесообразность поведения автомата рассматривается с позиций увеличения частоты его выигрышей и оценивается по величине математического ожидания выигрыша М(А). Будем считать, что автомат ведет себя целесообразно, если его величина его математического ожидания выигрыша М(А) превышает величину оценки математического ожидания выигрыша М0 такого автомата, который выбирает свои действия равновероятно [2]. Критерием целесообразности поведения автомата является выполнение условия

X Л

М (А) > М 0, где М0 = ——, М (А) = Рф р1 . к

Теорема 1

Автомат А обладает свойством целесообразного поведения.

Доказательство

В соответствии с полученными выражениями для финальных вероятностей РФ, I = 1, к, математическое ожидание выигрыша автомата А

имеет вид: М (А) = X—Р—. В связи с тем, что

' =1 9, X1

7=19,

к 1 - 9

Р■ + 9 = 1, запишем М (А) = X—т^-. Пере' =1 9, X1

7=1 9,

пишем это выражение в виде:

М (А) = X

Полученные выражения описывают вероятности Раф выбора автоматом состояний фа,

а = 1, к, через бесконечно большой промежуток времени г ^ «>.

к 1 к 1

9, X1 X1

7=1 91 7=191

к 1 к 1

= X к 1 X1 1.

' =1 9,X1 ' =1 X1 7=1 91 7=191

В соответствии с критерием о целесообраз- сать: Q < Q. Но Q = 0, поэтому величина Q > 0,

ство

ности поведения должно выполняться неравен-

к

к 1 к 1 ¿-I

Е—^г- Ен^г > . Докажем вы-

'=1Е- '=1 Е- к

' = 1 ' = 1

полнение этого неравенства.

к1

Запишем неравенство в виде: Е—к--

'=19 Е1

=i q i

Е л

k i fr;

~Е~-----> 0. Введем обозначение:

ir1 Е1 k

m q

k 1 k 1

Q = Е k i Е1 T" '

i =1 9i E1 i =1 E1 f=i 9i f=i 9i

Е л

k

Е-

t! q

k i k ki E1 " E 1 - Е1 + k

i=1 q i=1 i=1

ь

>

Е л

т. е. M (А) >■

k

, что и требовалось доказать.

Преобразуем

последнее выражение с учетом того, что р' + 9{ = 1, '' = 1, к :

к 1 * 1 к 9'

^ Е к 1 ^^ к 1 1 + ^^ I .

'=19' Е1 '=1Е1 '=1 к

' = 1 ' = 1 9'

Нам необходимо доказать, что величина

Q > 0. В выражении Q заменим Е9 на величи-

: = 1 к

к

ну —- и рассмотрим следующее выражение:

Е1

Т~1 9'

q=е 1 _ Е __1 + к .

^ / ' kl л—^ kl kl

i =1 9i E1 ir1 E1 E1

Г=19i f~19i f=19i

Рассмотрим другую характеристику качества функционирования автомата А - асимптотическую оптимальность. Обозначим через A(i) автомат, функционирующий в случайной среде, емкость памяти которого равна i. Под емкостью памяти автомата понимается количество его состояний [2]. Тогда в соответствии с [2] будем считать, что последовательность автоматов А(1), А(2), ..., A(k) является асимптотически оптимальной, если выполняется равенство lim M (А) = лтах, где pmax - максимальное значение вероятности выигрыша, который получает автомат А в каком-либо из состояний ф, , i = 1, k .

Теорема 2

Автомат А обладает свойством асимптотической оптимальности.

Доказательство

В соответствии с критерием асимптотической оптимальности, как lim M (А) = pmax, можно

утверждать, что автомат, принадлежащий асимптотически оптимальной последовательности, при достаточно большой величине емкости памяти k должен производить почти то действие, при котором оценка вероятности выигрыша максимальна [2]. Запишем полученное ранее выражение для математического ожидания выигрыша М(А) автомата А:

k 1 k 1

М (А) = Е^г _ E^k-V i =1 9i Е1 i =1Е1

~ 9i

Т~1 9i

Очевидно, что Q = 0. В связи с тем, что k 9i k

(среднее арифметическое всегда

=1 k Е -

к 9i

больше среднего гармонического), можно запи-

Для доказательства того, что lim М (А) =

= pmax, достаточно доказать, что при k ^ «> величина математического ожидания выигрыша

k 1

М(А) стремится к единице Е—k--

i=19, Е1

Г=19i

k 1

_ Е~--* 1. Выполнение этого условия за-

i =1 Е1

Г=19i

= 1

^ЖаучнО-Технические^едомости^ПбГПу^'^О^О.ЭКОНОМиЧеСКие^аУКи

писывается

равенством

lim M (A) =

= lim1

k 1 k 1

Y k i Y""k T"

' =1 9, Y1 1 =1 Y

i = 1 9i , = 1 9,

= 1.

вы-

Выполним следующие преобразования: k 1 k 1 limM(A) = limY——л— lim. Ввиду

k"" k""i =1 9, Y- i =1 T—

того что 9, e [0, 1], можно утверждать: — > 1.

9i

k 1

Тогда при k " i величина T--» i, а величи-

Т~19,

k 1

на предела li mY~-= 0. Следовательно,

k ",=1 y 1

к 9,

числение предела математического ожидания M(A) сводится к определению предела величины k 1 k 1 Y—k-: lim M (A) = lim Y—k-. Рассмот-

, =1 9, Y1 ^ ^, =1 9, Y1

f=i 9, f~19,

рим самый неблагоприятный случай, когда

9, = 9max , , = i, k , т. е. Р, = PmüT В Этом случае k 1

= 1. Имеем, что

li m M (A) = li m Y"

k 1

ы! 9

даже при максимальном проигрыше 91 , I = 1, к , автомат А ведет себя асимптотически оптимально. Что и требовалось доказать. Асимптотическая оптимальность автомата означает, что автомат А способен хорошо приспосабливаться к окружающей его среде и при достаточно большой емкости памяти ведет себя не хуже, чем человек, которому заранее известны вероятности выигрышей в каждом состоянии ф, , I = 1, к . Состояния автомата ф,(0 . = 1, к, рассматриваются в качестве возможных решений относительно величины нормативов отчислений финансовых

ресурсов в бюджеты муниципальных образований от уплаты налогов и сборов, подлежащих зачислению в бюджет регионального уровня бюджетной системы РФ. Финальные вероятности Раф, а = 1, к, дают количественную оценку целесообразности принятия этих решений.

В результате проведенных исследований получены следующие результаты:

1. Предложена адаптивная автоматная модель принятия решений относительно пропорций распределения федеральных и региональных налогов и сборов в структуре <регион> ^ <муниципальное образование>, отличающаяся способностью хорошо приспосабливаться к изменениям доходов и расходов бюджета.

2. Разработана структура стохастического автомата, функционирующего в случайных средах, положенная в основу модели бюджетного регулирования и отличающаяся возможностью перехода автомата не только в соседние, но и в любые другие состояния. Преимущество такой структуры состоит в возможности использования дифференцированного подхода к исследованиям по выбору пропорций распределения налоговых доходов каждого вида.

3. Выведены формальные выражения финальных вероятностей выбора автоматом конкретного состояния, отражающего величину нормативов отчислений финансовых ресурсов от уплаты налогов в порядке бюджетного регулирования. Полученные выражения позволяют дать количественную оценку возможным решениям, принимаемым при долевом распределении налоговых доходов между уровнями бюджетной системы.

4. Исследован поведенческий аспект предложенной автоматной модели, заключающийся в доказательстве теорем о целесообразности поведения и асимптотической оптимальности последовательности автоматов предложенной конструкции. Преимущество такого исследования состоит в обеспечении качества функционирования экономико-математической модели на ранних этапах ее разработки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Системы поддержки принятия решений при управлении процессами бюджетного регулирования: Модели, методы, технологии: [Монография] / Е. Д. Стрельцова; Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочер-

касск: ЮРГТУ; ООО НПО «Темп», 2005. 180 с.

2. Цетлин М. Л. Исследования по теории автоматов и моделирования биологических систем. М.: Наука, 1969. 316 с.