CC BY
25
УДК 330.42 В.В. Лебедев К.В. Лебедев
ПРИМЕНЕНЕИЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ АНАЛИЗА ВЗАИМОВЛИЯНИЯ РЫНКА ТОВАРОВ И РЫНКА ДЕНЕГ1
Аннотация. Построена трехмерная динамическая модель краткосрочного прогнозирования, фазовыми переменными которой являются конечный продукт, ставка процента и уровень цен. Модель базируется частично на гипотезах статической кейнсианской модели ^-ЬМ. Обсуждаются непрерывный и дискретный варианты модели. Показано, что, в зависимости от значений параметров, модель допускает разнообразные динамические режимы: движение к равновесной точке, цикличность, сложное апериодическое поведение и детерминированный хаос. Ключевые слова: математическая модель, гипотезы, траектория, равновесие, устойчивость.
Vakry Lebedev APPLICATION OF METHODS OF NONLINEAR DYNAMICS
Konstantin Lebedev FOR THE ANALYSIS INTERFERENCES
Модели краткосрочного прогнозирования служат теоретической основой аналитического инструментария, используемого при подготовке управленческих решений на макроэкономическом уровне [1]. Принципиальной особенностью этих моделей является то, что в них изменение основных производственных фондов в экономике считается несущественным и поэтому при моделировании производственных процессов рассматривается только один фактор - труд. Это означает, что в моделях краткосрочного прогнозирования объем производства товаров и услуг зависит только от трудозатрат. Существует достаточно большой класс макроэкономических моделей краткосрочного прогнозирования; среди них одно из центральных мест до сих пор принадлежит статической модели 1Б-ЬМ. Базовый вариант этой модели кейнсианского типа позволяет установить значения макроэкономических параметров, обеспечивающих одновременное равновесие на товарном и денежном рынках. Несмотря на то, что модель К-ЬМ существенно упрощает реальные процессы, различные версии этой модели применяются для анализа фискальной и денежно-кредитной политики на основе применения метода сравнительной статики. При этом используются не только канонические модели, в которых отражается взаимовлияние рынка товаров и услуг и рынка денег, но и модификации, в которых рассматривается также и равновесие на рынке труда [1; 2; 3; 4].
В случае изменения тех или иных параметров модели предполагается, что за короткий срок макроэкономическая система приходит в новое состояние равновесия. Обычно в модели К-ЬМ цена предполагается фиксированной, однако практика свидетельствует о том, что это не всегда так: в некоторых случаях в течение коротких промежутков времени цена может меняться существенно. В среднесрочном, а тем более в долгосрочном периоде, когда изменением уровня цен пренебречь нельзя, использование метода сравнительной статики становится неэффективным и здесь необходимо использовать более адекватные динамические модели [4; 5].
© Лебедев В.В., Лебедев К.В., 2015
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-06-00389).
Ниже обсуждаются основные положения и свойства разработанной авторами динамической модели краткосрочного прогнозирования, которая отражает взаимозависимость рынка товаров и услуг и рынка денег. При построении динамической модели частично использованы гипотезы стационарной кейнсианской модели IS-LM; поэтому предварительно обсуждается вопрос геометрической интерпретации равновесного решения последней. В статье развивается подход, использованный в работе [2].
1. Условие равновесия на рынке денег и рынке товаров и услуг. В рассматриваемых ниже моделях макроэкономики используются следующие переменные: Y - национальный доход (конечный продукт, произведенные товары и услуги, предложение товаров и услуг, реальный доход - англ. real income); G— государственные закупки; г— ставка процента (англ. the nominal rate of interest); p — уровень цен (англ. price); С - спрос на потребительские товары (англ. real consumption); / - спрос на инвестиции в производство (реальные инвестиции - англ. real investment); Q— операционный спрос на деньги; Z — спекулятивный спрос на деньги; V — избыточный спрос на товары и услуги (англ. excess demand in the goods market); W — избыточный спрос на деньги (англ. excess demand in the money market); T — налоги, уплачиваемые государству. Для упрощения изложения ограничимся обсуждением частного случая, когда все взаимосвязи между переменными считаются линейными.
1.1. Рассмотрим сначала рынок товаров и услуг. Спрос на потребительские товары и услуги задается уравнением С = а + c(Y — /), а спрос на инвестиционные товары - уравнением I = b — hr. В рассматриваемом линейном случае будем считать, что Т — tY, где t — налоговая ставка. Поэтому С — а + с(1 — t)Y, и избыточный спрос на товары и услуги, определяемый уравнением
V — (С + / + G) — Y, задается функцией двух переменных:
V(Y,r) = a + b + G-clY-hr. (1)
Здесь Cj = 1 — с( 1 — t); а, Ъ, с, /?, t — положительные параметры (с— предельная склонность к потреблению, marginal propensity to consume, 0 < с < 1).
Если рынок товаров находится в равновесии, то избыточный спрос на товары равен нулю. Поэтому условие V(Y, г) — 0, из которого следует уравнение
+ hr = a + b + G, (2)
определяет на плоскости «национальный доход - ставка процента», т.е. на плоскости {Y, г}, где
Y > О, г > 0, множество точек равновесия на товарном рынке. Эту линию называют линией IS.
1.2. Рассмотрим теперь денежный рынок, где спрос на деньги складывается из операционного Q — kpY и спекулятивного спроса Z — Z(г). Поэтому избыточный спрос на деньги W — (Q + Z) —М в линейном случае, когда Z = тп — иг, является функцией двух переменных:
W(Y, r) = m—M + kpY — иг. (3)
Здесь М, /??, k, р, и — положительные числа (М - количество денег, находящихся в обращении, предложение денег, англ. the supply of real money).
Если рынок денег находится в равновесии, то избыточный спрос на деньги равен нулю. Поэтому условие W(Y, г) — 0, из которого следует уравнение
kpY-иг -М-т, (4)
определяет на плоскости «национальный доход - ставка процента» множество точек равновесия на рынке денег. Эту линию называют линией LM .
Из системы уравнений (2) и (4) легко найти координаты точки пересечения линий IS и LM на плоскости {Y, r} :
У _(а + Ь + 0)и + (М-т)И ^ _(а + Ь + С)кр-(М-т)сх е с^и + крк ' е с^и + крк
В найденной точке (Уе; ге) плоскости {У, г} оба рынка находятся в равновесии. Рассмотренная кейнсианская модель используется для оценки эффективности фискальной и (или) денежной политики на основе квазистационарного подхода к анализу эволюции экономики в краткосрочном периоде. Пусть, например, резко увеличилось предложение денег. Это приведет, как следует из уравнений (5), к росту равновесного дохода Уе и падению равновесной ставки процента ге . Если же
произошло увеличение ставки налогов, то увеличится значение параметра с и это вызовет, согласно уравнениям (5), снижение и равновесного дохода Уе , и равновесной ставки процента ге .
Однако почему рассматриваемая макроэкономическая система приходит в состояние равновесия? «Ответ» на этот вопрос, приводимый в учебниках по макроэкономике, простой: равновесие устанавливается благодаря действию рыночных механизмов. Однако это не ответ, а некоторая гипотеза, что-то вроде «невидимой руки Адама Смита». Ответ на поставленный вопрос мы получим, построив и исследовав неравновесную модель динамики конечного продукта У, ставки процента г и уровня цен р . Прежде чем перейти к построению такой модели, обсудим следующий вопрос: какой объект задают условия равновесия двух рынков в трехмерном пространстве {У, г, р} .
1.3. Условие равновесия на рынке товаров и услуг У(У, г) = 0, где функция У (У, г) определяется уравнением (1), задает в трехмерном пространстве {У, г, р} плоскость
-с1У-Иг + а + Ь + С = 0 (6)
с нормальным вектором N - (~с1; —/г; 0) . Плоскость (6) параллельна координатной оси Ор, а пересечение этой плоскости с плоскостью р = 0 задает на плоскости { У\ г} линию Ш (см. рис. 1).
Далее, функция избыточного спроса на деньги теперь зависит от трех переменных:
Ж(У,г, р) = т-М + крУ-иг. (7)
Поэтому условие равновесия на рынке денег Ж {У, г, р) — 0 приводит к уравнению
иг = т-М + крУ, (8)
которое задает в фазовом пространстве {У, г, р} гиперболический параболоид (см. рис. 1).
Пересечение плоскости (6) и гиперболического параболоида (8) задает в трехмерном пространстве ¡У, г, р\, где У > 0, г > 0. р> 0, линию равновесия на двух рынках - рынке товаров и услуг и рынке денег. Проекция этой линии на плоскость {У,р}— нечто иное как график функции совокупного спроса (AD). Напомним, что в экономической теории эта функция определяется как зависимость между количеством продукции, на которую предъявляется спрос во всей экономике, и общим уровнем цен [3]. Формально уравнение функции совокупного спроса У = Н(р) можно получить, исключив из уравнений (6) и (8) переменную г. В результате несложных преобразований получим монотонно убывающую функцию У = Н{ р ):
_ (а + Ь + 0)и + (М-т)Ь. с^и + крИ
Как видим, здесь графиком функции совокупного спроса У — Н {р) является гипербола.
о
А
8
2
16
4
Рис. 1. Линия АС - линия равновесия на двух рынках
2. Динамическая модель взаимовлияния конечного продукта, ставки процента и уровня цен. 2.1. Рассмотрим теперь неравновесные варианты модели динамики конечного продукта, ставки процента и уровня цен, в основе которых лежит блок-схема, изображенная на рисунке 2. Здесь фазовыми переменными являются конечный продукт У , ставка процента г и уровень цен р . Как видим, к переменным и параметрам статической модели (1) - (4), в которой уровень цен р рассматривался как параметр, добавлены приращение конечного продукта dУ, приращение ставки процента & и приращение уровня цен dp. В используемой блок-схеме (см. рис. 2) отражены три ключевые гипотезы. Предполагается, что: 1) предприниматели увеличивают (сокращают) производство товаров и услуг, если спрос на товары и услуги выше (ниже) их предложения; 2) банковский сектор уменьшает (увеличивает) ставку процента, если предложение денег выше (ниже) спроса на них; 3) уровень цен растет (падает), если предложение денег выше (ниже) спроса на них. Поэтому здесь можно выделить три основных контура:
Из принятых гипотез следует, что приращение конечного продукта У имеет тот же знак, что и значение функции У(У, г); приращение ставки процента г имеет тот же знак, что и значение функции Ж (У, г, р) ; приращение уровня цен имеет знак, противоположный знаку значения функции
Ж (У, г, р) .
Рис. 2. Модель взаимовлияния уровня цен, конечного продукта и ставки процента
2.2. Перейдем теперь к уравнениям модели. Простейшая непрерывная формализация концептуальной схемы динамической модели взаимовлияния конечного продукта, ставки процента и уровня цен (см. рис. 2) приводит к системе дифференциальных уравнений
ёУ
— = а¥(У, г\ Ж
(Лт
— = /№(?, г, р), (9) т
^ = -уЩУ, г, р),
где а, ¡3 и у - коэффициенты реакции (положительные числа), а функции У(У, г) и IV(У, г, р) определяются уравнениями (1) и (7) соответственно.
Отметим, что система уравнений (9) не единственный вариант непрерывной формализации блок-схемы динамической модели, приведенной на рисунке 2. Можно, например, использовать такую систему
1 аг Т„У Л
--= аУ(У, г\
У Л
1 с1г
--= рпгф, г, р),
г си
р си
(10)
2.3. Предположим, что до некоторых пор экономика находилась в состоянии равновесия. Пусть в некоторый момент резко изменились значения некоторых параметров макроэкономической системы, например, увеличилось количество денег, находящихся в обращении (предложение денег М ), и увеличились расходы правительства О . Для описания динамики конечного продукта, ставки процента и уровня цен будем использовать систему дифференциальных уравнений (10). При этом расчет траекторий этой системы будем осуществлять методом Рунге-Кутта 2-го порядка.
Если цены фиксированы, то можно использовать аппарат модели IS-LM. В этом случае линия сместится вверх (вследствие роста параметра О), а линия ЬМ сместится вправо (из-за роста параметра М ). В результате точка равновесия на двух рынках сместится из А в В (см. рис. 3). На рис.3 приведена проекция траектории системы (10) на плоскость {У, г} при значении у — 0. Как видим, ставка процента сначала немного падает, а потом возрастает до нового равновесного уровня. Такая динамика носит название апериодическое затухание (апериодическое движение). Одновременно происходит рост конечного продукта, а потом - некоторое его снижение до нового равновесного уровня. Отметим, что траектория системы (10) в пространстве {У, г, р} приведена на рис.4 (линия
АВ).
Обсудим теперь случай подвижных цен (у Ф 0). В таблице 1 приведены расчетные значения фазовых переменных для некоторого набора положительных параметров ОС, [] и у. Данные таблицы 1 таковы: уровень цен сначала растет, достигает максимума, а потом снижается до равновесного уровня; конечный продукт монотонно увеличивается и стремится к равновесному значению; ставка процента сначала немного снижается, достигает минимума, а потом увеличивается, устремляясь к равновесному значению. Как видим, имеет место немонотонное изменение переменных.
Рис. 3. Проекция траектории системы (10) на плоскость {Y, г} ( У — 0)
Рис. 4. Три возможных траектории перехода макроэкономической системы в новое равновесного состояние
Таблица 1
Динамика фазовых переменных
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p 1,50 1,78 1,82 1,78 1,73 1,70 1,68 1,67 1,66 1,65 1,65
Y 13,60 14,42 15,21 15,81 16,22 16,48 16,64 16,74 16,80 16,83 16,85
r 0,19 0,16 0,15 0,16 0,16 0,16 0,16 0,17 0,17 0,17 0,17
Рассмотрим рисунок 4 более подробно. Здесь построены три траектории (AB, AC и AD) и две линии равновесия двух рынков (линии а и Ь). Сплошная линия а соответствует начальным значениям параметров. Начальная для всех траекторий точка А — одна из бесконечного множества точек равновесия, принадлежащих линии а . Пунктирная линия b — множество точек равновесия, соответствующих новым значениям параметров. Все параметры траекторий AB, AC и AD, соответствующих системе уравнений (10), одинаковы, за исключением значений параметров ОС, ¡5 и у. Траектория АС соответствует расчетным значениям таблицы 1 (здесь а[}у Ф О); траектория АВ соответствует случаю Р = const (здесь у — 0. проекция этой траектории на плоскость {F, г} , как уже говорилось, приведена на рисунке 3); траектория AD соответствует случаю г = const (здесь
Р = 0).
2.4. Рассмотрим теперь дискретный вариант трехмерной модели, в основе которой тоже лежит блок-схема, приведенная на рисунке 2. На рисунках 5 и 6 приведены траектории для двух вариантов модели, в которой динамика переменных определяется следующими уравнениями::
'7f+1=7fexР и\ 0:.г:) ,
, = псхр /лго..г.). (11)
Pt+l — Pt еХР /Н О;-';) ■
Здесь в обоих вариантах выполнено условие а/5у Ф 0. В первом варианте (см. рис. 5) фазовых переменные совершают колебания с убывающей амплитудой и со временем макроэконосическая сис-
тема приходит в новое состояние равновесия. Во втором варианте (см. рис. 6) устанавливаются сложные колебания. В обоих случаях начальными точками траектории служит точка А .
0.4 г ¡"---0.4
Рис. 6. Циклическая динамика фазовых
Рис. 5. Переход в новое равновесное
r г переменных
состояние (затухающие колебания)
Построена неравновесная динамическая макроэкономическая модель, отражающая взаимовлияние товарного и денежного рынков. Эта модель частично опирается на гипотезы статической кейнсианской модели IS-LM. Построенная динамическая модель, имеет бесчисленное множество равновесных решений. Подробно рассмотрен простейший вариант модели, в котором условие равновесия на товарном рынке задает в фазовом пространстве плоскость, а условие равновесия на денежном рынке - гиперболический параболоид. Показано, что существует область параметров, которым соответствуют неустойчивые равновесные состояния. Поэтому циклическая динамика возникает здесь не как результат широко распространенной гипотезы о взаимодействии мультипликатора и акселератора, а как следствие неустойчивости равновесного состояния построенной в работе динамической модели. Поэтому модель допускает, в зависимости от значений параметров, разнообразные динамические режимы: движение к равновесной точке, в том числе апериодическое затухание, цикличность и детерминированный хаос.
Библиографический список
1. Блауг, М. Экономическая мысль в ретроспективе / М. Блауг. - М. : Дело ЛТД, 1994. - 720 с.
2. Лебедев, В. В. Математическое моделирование нестационарных экономических процессов / В. В. Лебедев, К. В. Лебедев. -М. : еТест, 2011. - 336 с. - ISBN 978-5-91354-014-0.
3. Тарасевич, Л. С. Макроэкономика : учебник. / Л. С. Тарасевич, П. И. Гребенников, А. И. Леусский. - 6-е изд., испр. и доп. - М. : Высшее образование, 2006. - 654 с. - ISBN 5-9692-0041-1.
4. Hicks, J. R. Mr. Keynes and the «Classics»; A Suggested Interpretation / J. R. Hicks // Econometrica. - 1937. -P. 147-159.
5. Shone, R. Economic Dynamics. Phase Diagrams and Their Economic Application. Second Edition / R. Shone. -2hd edition. - New York : Cambridge University Press, 2002. - 708 p.
