Математическое моделирование механизмов макроэкономического регулирования на основе кейнсианского подхода Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Клиентская лояльность

Рис. Социально-психологические механизмы формирования клиентской лояльности посредством

каналов коммуникации

Библиографический список

1. Андреева Г.М. Социальная психология: учеб. для высш. учеб. завед. / Г.М. Андреева. - М.: Аспект-пресс, 2008. - 363 с.

3. Воронин В.Н. [и др]. Подходы к определению социально-психологических механизмов / Вестник ГУУ. - 2012. - № 2.

4. Ковалев Г.А. Три парадигмы в психологии - три стратегии психологического воздействия // Вопросы психологии. - 1987. - № 3. - 41-45 с.

5. Майерс Д. Социальная психология / Д. Майерс. - СПб.: Питер, 2009. - 794 с.

6. Тард Г. Законы подражания / Г. Тард. - СПб., 1892.

7. Шоул Д. Лояльный клиент: учебник / Д. Шоул. - М.: Альпина Бизнес Букс (Юнайтед-пресс), 2008.

8. Seth Godin, Permission Marketing: Turning Strangers into Friend, and Friends into Customers, 2012.

В.В. Лебедев К.В. Лебедев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ КЕЙНСИАНСКОГО ПОДХОДА

Ключевые слова: гипотезы, модель, избыточный спрос на товары, избыток денег в обращении, траектория, равновесие, устойчивость.

Введение

Математические модели, опирающиеся на кейнсианский подход, относятся к основным инструментальным средствам макроэкономического анализа. До недавнего време-

© Лебедев В.В., Лебедев К.В., 2013

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 1306-00389).

ни использовались преимущественно статические модели этого класса; в них состояние равновесия денежного рынка и рынка товаров и услуг определяется точкой пересечения кривых IS и LM [1-8]. Такой подход может служить для приближенной оценки последствий тех или иных управленческих решений на макроуровне; поэтому IS - LM-модель широко применяется в учебной литературе по макроэкономике [1; 5; 6]. Однако такой (квазистатический) подход исключает рассмотрение собственно процесса перехода макроэкономической системы в новое равновесное состояние. Кроме того, использование статической IS - LM-модели для определения нового равновесного состояния динамической макроэкономической системы может оказаться ошибочным, потому что, во-первых, равновесных решений может быть несколько, а, во-вторых, равновесное решение динамической модели, даже если оно единственное, может быть неустойчивым, вследствие чего траектория динамической системы может лишь блуждать около точки равновесия. Поэтому развитие кейнсиан-ского направления в последние годы связано с использованием методов нелинейной динамики, которые позволяют установить новые свойства макроэкономической системы, формализованное описание которой базируется по-прежнему на основных гипотезах Кейнса [2-4; 8].

1. Статическая IS-LM-модель

Прежде чем приступить к обсуждению динамических моделей кейнсианского типа напомним основные положения IS - LM-модели - основном варианте полной модели Кейнса [ 1; 5-7]. Эта статическая модель отражает взаимодействие финансового рынка и рынка товаров и услуг; она лежит в основе динамической обобщенной макроэкономической модели кейнсианского типа [2; 3; 8]. Центральными элементами IS-LM-модели являются две кривые: IS (investment-saving curve - кривая «инвестиции-сбережения») и LM (liquidity-money curve -кривая ликвидности).

При построении IS — LM -модели и последующем построении ее динамической модификации здесь используются следующие обозначения: Y - национальный доход (конечный продукт, произведенные товары и услуги, предложение товаров и услуг); r - ставка процента; p — уровень цен; CD (Y) — потребительский спрос на товары и услуги; I (r) — спрос на инвестиции в производство; YD (Y; r) — совокупный спрос на товары и услуги; Q (Y; r) — операционный спрос на деньги; Z(r) — спекулятивный спрос на деньги; MD(Y, r) — совокупный спрос на деньги; c — предельная склонность к потреблению; M - количество денег, находящихся в обращении (предложение денег).

Кривая IS определяет на плоскости (Y; r) множество точек равновесия на товарном рынке. Для построения этой кривой удобно ввести функцию избыточного спроса на товары и услуги V (Y; r), которая определяется как разность между совокупным спросом YD (Y; r) и объемом производства Y :

V (Y; r) = Yd (Y; r) — Y . (1)

Совокупный спрос на товары и услуги YD складывается из потребительского спроса CD (Y) и спроса на инвестиционные товары и услуги I (r):

Yd = CD (Y) +1 (r). (2)

Здесь предполагается, что предельная склонность к потреблению удовлетворяет ус-с1С° (У)

ловию 0 < ——— < 1, а спрос на инвестиции является убывающей функцией от ставки процента. Последнее означает, что при высоких значениях ставки процента работодатели предпочитают получать прибыль от хранения денег в банке, чем от использования кредитов и вложения полученных денег в развитие производства. Из уравнений (1) - (2) следует уравнение

У (У; г) = Св (У) +1 (г) - У, (3)

которая удовлетворяет следующим условиям:

дУУг) < о, дУУг) < о. (4)

ЭУ Эг

Условие равновесия на рынке товаров и услуг означает, что

У (У; г) = 0. (5)

Линию уровня У (У; г) = 0 функции избыточного спроса на товары и услуги, построенную на плоскости (У; г), называют 18 -кривой. Так как в силу неравенств (4) обе координаты градиента функции У = У (У; г) отрицательны, то уравнение (3) задает убывающую функцию.

В линейном случае, когда

С° (У) = а + сУ, I(г) = g — 1г,

где а — автономное потребление, с — предельная склонность к потреблению, с е (0,1), уравнение (3) принимает вид

У (У; г) = а + g — (1 — с)У — 1г, (6)

а уравнение 18-кривой записывается так:

(1 — с)У + ¡г = а + g . (7)

Перейдем теперь к построению ЬЫ- кривой, которая определяет на плоскости (У, г) множество точек равновесия на денежном рынке при условии постоянства уровня цен р и количества денег Ы , находящихся в обращении. Здесь предполагается, что совокупный спрос на деньги со стороны населения складывается из операционного спроса Q и спекулятивного спроса X:

Ы° = Q(У) + X (г).

Операционный спрос определяется уравнением количественной теории денег

Q (У) = крУ,

где к — некоторый положительный параметр, р — уровень цен.

При обосновании свойств функции спекулятивного спроса на деньги предполагается, что при высоких значениях процентных ставок население предпочитает давать деньги в ссуду

(например, через банки), чем хранить их в ликвидной форме. Это означает, что ^(г) < 0. По-

йг

этому функция совокупного спроса на деньги определяется уравнением

М° (У; г) = крУ + г (г). (8)

Определим функцию W (У; г) избыточного количества денег, находящихся в обращении, как разность между количеством денег, находящихся в обращении (предложением денег М ), и совокупным спросом на деньги М° (У; г). В силу уравнения (8) имеем:

W (У; г) = М — крУ — г (г). (9)

Эта функция удовлетворяет следующим условиям:

дW дW

— > 0, — < 0. (10) Эг ЭУ

Отметим, что функция —W (У; г) есть функция избыточного спроса на деньги. Условие равновесия на рынке денег означает, что

W(У; г) = 0. (11)

Линию уровня W (У; г) = 0 функции избыточного количества денег, находящихся в обращении, построенную на плоскости (У; г), называют ЬМ -кривой. Так как в силу неравенств (10) координаты градиента функции W = W (У; г) имеют разные знаки, то уравнение (11) задает неявно возрастающую функцию У от г.

В случае линейной функции спекулятивного спроса на деньги

X (г) = т — пг,

где т и п — положительные параметры, функция W(У; г) принимает вид:

W(У; г) = М — т — крУ + пг, (12)

откуда в силу уравнения (11) для ЬМ -кривой получаем уравнение:

крУ — пг = М — т. (13)

Итак, 18 -кривая определяет на плоскости (У, г) множество точек равновесия на товарном рынке, а ЬМ -кривая - множество точек равновесия на денежном рынке. В статиче-

ской 18-ЬМ-модели предполагается, что макроэкономическая система находится в равновесии. Это значит, что равновесные значения национального дохода У и ставки процента г должны удовлетворять системе двух уравнений (5) и (11) с двумя неизвестными У и г, которая в линейном случае, в силу (7) и (13), принимает следующий вид:

1(1 — с)У + и = а + 2,

\ 8 (14)

[крУ — пг = М8 — т.

Графически равновесию двух рынков (товарного и денежного) соответствует точка пересечения кривых 18 и ЬМ на плоскости (У; г). Выпишем решение системы (14):

У = (а + 2 )п + 1(М — т) ^ = кр(а + 2) — (1 — с)( М — т) е кр1 + (1 — с)п ' е кр1 + (1 — с)п

Построенная статическая 18 — ЬМ -модель позволяет оценить влияние различных факторов, рассматриваемых в модели. Пусть, например, в некоторый момент времени равновесие 18 — ЬМ -модели нарушилось из-за увеличения количества денег, находящихся в обращении. Предположим, что до этого увеличения состояние равновесия характеризовалось точкой Ы1 - точкой пересечения 18 -кривой (7) и ЬМ -кривой (13) при М = М1 . Пусть М2 -

новое значение количества денег, находящихся в обращении (М2 > М1). Как следует из

формул (15), при увеличении количества денег в обращении значение конечного продукта должно увеличиться, а ставка процента - уменьшиться.

2. Простейшие динамические модификации 18-ЬМ-модели

2.1. Линейная непрерывная динамическая модель

Гипотеза об одновременном равновесии товарного и денежного рынков, которая обычно предполагается выполненной, в реальности может не выполняться. Поэтому в случае нарушения равновесия хотя бы на одном рынке возникает необходимость построения управленческой стратегии, приводящей макроэкономическую систему в новое состояние равновесия. Вопрос о возможности перехода макроэкономической системы из одного равновесного состояния в другое приводит к необходимости разработки динамических моделей. В качестве примера рассмотрим непрерывную динамическую модель взаимовлияния товарного и денежного рынков [2; 3; 8].

Предположим, что предприниматели увеличивают (сокращают) производство товаров и услуг, если спрос на товары и услуги выше (ниже) их предложения. Это значит, что в случае положительного (отрицательного) избыточного спроса на товары и услуги происходит рост (сокращение) их производства:

^ = аУ (У; г), (16)

йг

где У (У; г) — функция избыточного спроса на товары и услуги, заданная уравнением (3), а — коэффициент реакции (положительное число).

Предположим также, что государство (через центральный банк) использует ставку процента как рычаг управления следующим образом: ставка процента уменьшается (увеличивается), если предложение денег выше (ниже) спроса на них. Это значит, что в случае положительного (отрицательного) избыточного количества денег, находящихся в обращении, происходит уменьшение (увеличение) ставки процента:

^ = (У; г), (17)

йг

где ^ (У; г) — функция избыточного количества денег, находящихся в обращении, заданная уравнением (9); /в — параметр реакции (положительное число).

Рассмотрим случай линейных функций У (У; г) и W (У; г), которые определяются уравнениями (6) и (12) соответственно. После преобразования уравнений (6) и (12) с использованием формул (15) для вычисления равновесных значений конечного продукта Уе и ставки процента ге, получим:

У (У; г) = —(1 — с)(У — Уе) — ¡(г — ге), W (У; г) = п(г — ге) — кр(У — Уе).

Поэтому динамика переменных У иг в силу уравнений (16) и (17) определяется системой двух линейных дифференциальных уравнений

йУ

— = -а( (1 — с)(У — Уе) + ¡(г — ге) ) ,

йг (18) йг

__ = —р( п(г — ге ) — кр(У — Уе ) ) .

йг

Введем новые переменные х = У — Уе и у = г — ге, которые представляют собой отклонения значений конечного продукта У и ставки процента г от их равновесных значений соответственно. Из системы (18) следует:

йх

— = —а(1 — с) х — аiy,

йг (19)

— = вкрх — впу. йг

Выпишем характеристическое уравнение системы (19):

X2 +(а(1 — с) + рп )Х + ар( п(1 — с) + kpi ) = 0. (20)

Обозначим а = qв (здесь д > 0, в> 0). Тогда определитель Э характеристического уравнения (20) можно записать так:

Э = в2 (п + д(1 — с))2 — 4р2д (п(1 — с) + kpi) = р2 Г(п — д(1 — с))2 — 4qkpi

В зависимости от значения параметра д значение определителя (20) может быть больше, меньше или равно нулю. Это значит, что в зависимости от значения параметра д возможны три случая:

1) если Э > 0, то корни характеристического уравнения действительные, различные отрицательные числа;

2) если Э = 0 , то корни характеристического уравнения действительные, одинаковые отрицательные числа;

3) если Э < 0 , то корни характеристического уравнения комплексные числа, действительная часть которых отрицательная.

Поэтому во всех трех случаях траектории системы уравнений (18) независимо от начальных условий устремляются при г к точке покоя: У (г) ^ Уе, г (г) ^ ге. Другими словами, здесь при любых значениях параметров реакции а и рв в конечном итоге оба рынка приходят в состояние равновесия.

2.2. Линейная дискретная динамическая модификация ТБ-ЬМ-модели

Дискретным аналогом непрерывной модели (18) является модель, заданная разностными уравнениями

У+1 = Уг —а( (1 — с)(Уг — Уе ) + ¡(гг — ге ) ), гг+1 = г{ —в( п(гг — ге ) — кр(У{ — Уе ) ).

Равновесное решение этой модели при относительно малых значениях параметров реакции а и рв является устойчивым. В этом случае точка (Уг, г), характеризующая состояние динамической системы (21) в момент времени г , устремляется к равновесной точке (Уе; ге), являющейся пересечением кривых 18 и ЬЫ .

Существенно, что при определенных значениях параметров реакции модель (21) допускает возникновение сложных апериодических колебаний, а также колебаний с возрастающей амплитудой.

Еще более сложное поведение обнаруживают траектории следующих двух нелинейных динамических моделей, являющихся модификациями модели (21):

Уг+1 = Уг (1 — а((1 — с)(Уг — Уе ) + ¡(г, — ге ))), гг+1 = г, (1 — в(п(гг — ге) — кр(У, — Уе)) );

и

Уг+1 = Уг ехр (—а((1 — с)(Уг — Уе ) + ¡(г, — ге )) ) гг+1 = гг ехР ( —в(п(гг — ге) — кр(Уг — Уе))).

В моделях (22) и (23), в отличие от модели (21), уже не приращения переменных У и г , а темпы их прироста пропорциональны соответственно функциям избыточного спроса на товары и услуги У (У; г) и избыточного количества денег, находящихся в обращении W (У; г) . При этом равновесное решение (15) каждой из трех дискретных модификаций (21), (22) и (23) непрерывной модели (18) в зависимости от значений параметров реакции а и в может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В первом случае оба рынка (денег и товаров и

(22) (23)

услуг) в конечном итоге приходят в состояние равновесия, а во втором могут возникать апериодические колебания около состояния равновесия, а также колебания с возрастающей амплитудой.

3. Ставка процента как функция управления

Как мы видели, непрерывные и дискретные динамические модели одного и того же макроэкономического процесса могут вести себя по-разному. Какие из них более адекватно отражают реальность? В работе [4] на примере анализа динамических модификаций упрощенной модели Кейнса, был обоснован вывод о том, что в экономике дискретные модели являются первичными, вследствие чего результаты исследования непрерывной модели следует рассматривать как некоторую приближенную оценку свойств соответствующей дискретной модели. К этому же выводу приводит и анализ динамических моделей взаимодействия рынка товаров и услуг и рынка денег, опирающихся на статическую кейнсинскую IS — LM -модель.

Динамические модели, опирающиеся на упрощенную модель Кейнса, и динамические моделей (18), (21), (22) и (23), опирающиеся на IS — LM -модель, имеют принципиальное различие, которое заключается в следующем. Уравнения, определяющие изменение фазовых переменных во всех этих моделях, включают параметры реакции. При этом параметр реакции на рынке товаров и услуг отражает реакцию товаропроизводителей, которые мотивированы увеличивать (сокращать) производство, если спрос на этом рыке больше (меньше) предложения. Поэтому параметр реакции на рынке товаров и услуг можно считать «рыночным»; его значение определяется стихией рынка, этот параметр отражает поведение экономических агентов. Что касается параметра реакции на рынке денег, который определяет изменение ставки процента в динамических модификациях (18), (21), (22) и (23) IS — LM -модели, то его следует рассматривать как управление. Этот параметр (точнее - функция времени) отражает процесс регулирования (управления), осуществляемый центральными государственными органами.

Как эффективно изменять процентную ставку? Предположим, что макроэкономическая динамика определяется уравнениями (21). Чтобы ответить на поставленный вопрос может быть поставлена и решена задача оптимального управления такого типа: найти такую функцию P(i), чтобы динамическая система (21) пришла в состояние равновесия из заданного начального состояния за возможно кратчайший срок.

То, что условие P(i) = const не является оптимальным, следует из анализа модели (21). Предположим, что в начальном состоянии спрос на рынке товаров и услуг выше предложения, а спрос на деньги превышает денежную массу: V(Yt; rt) > 0, W(Yt; rt) < 0. В этом

случае увеличение объема производства приводит к сокращению избыточного спроса на товары и услуги. Однако, если не увеличивать ставку процента, то увеличение производства товаров и услуг еще более увеличит спрос на деньги в связи с ростом операционного спроса. Чтобы хотя бы частично нейтрализовать увеличение избыточного спроса на деньги при неизменной денежной массе, необходимо увеличивать ставку процента, что приведет к сокращению спекулятивного спроса. Поэтому в случае V(Yt; rt) > 0 и W(Yt; rt) < 0 в уравнениях (21) параметры а и в следует считать положительными, как это обычно и делается [8]. К аналогичному выводу приходим и в случае V (Yt; rt) < 0 , W (Yt; rt) > 0, где согласно уравнениям (21) происходит сокращение объема производства товаров и услуг, и для частичной нейтрализации увеличения избыточной денежной массы, вызванного сокращением операцион-

ного спроса на деньги, необходимо сокращать ставку процента, что приведет к росту спекулятивного спроса.

Предположим теперь, что спрос на рынке товаров и услуг выше предложения, а спрос на деньги меньше денежной массы: У (Уг; гг) > 0, W(Уг; гг) > 0. В этом случае увеличение объема производства приводит к сокращению избыточного спроса на товары и услуги. Одновременно увеличивается и операционный спрос на деньги, что приводит к сокращению избытка денег, находящихся в обращении. Сокращение ставки процента, определяемое вторым уравнением (21), приводит, с одной стороны, к росту спекулятивного спроса, что вызывает сокращение избытка денег в обращении. Однако, одновременно происходит рост спроса на инвестиции и, как следствие, после происшедшего было сокращения избыточного спроса на товары и услуги последний снова подрастает. Поэтому в рассматриваемом случае ставку процента лучше не изменять: здесь в = 0. К аналогичному выводу приходим и в случае У (Уг; гг) < 0 , W (Уг; гг) < 0, где происходит сокращение объема производства товаров и услуг, и избыток их предложения уменьшается. Одновременно уменьшается и спрос на деньги, что приводит к сокращению избыточного спроса на рынке денег: W растет. Рост ставки процента, определяемый вторым уравнением (21), приводит к снижению спекулятивного спроса, что вызывает сокращение спроса на деньги. Однако, одновременно снижается спрос на инвестиции и, как следствие, происшедший прирост избыточного спроса на рынке товаров и услуг сокращается. Поэтому в рассматриваемом случае ставку процента можно не изменять: здесь в = 0 .

Из анализа дискретной модели (21) следует, что использование даже простой функции управления, выраженной уравнением

имеет преимущество по сравнению с жестким управлением в = в0. Например, при некотором в = в0 траектория модели (21) может бесконечно долго блуждать около состояния равновесия, а при управлении, определяемом функцией (24), за достаточно короткий срок система (21) может попасть в равновесное состояние.

Эволюция макроэкономической системы кейнсианского типа может быть описана детерминированными моделями двух типов: дискретными и непрерывными. Траектории этих моделей могут вести себя по-разному при одних и тех же значениях параметров реакции, если, например, равновесное решение непрерывной модели устойчиво, а дискретной -нет. Исходя из тезиса о первичности в экономике дискретных моделей, можно предположить, что результаты исследования соответствующей непрерывной модели макроэкономики следует рассматривать как некоторую приближенную оценку свойств дискретной модели-оригинала. Более того, если равновесное решение непрерывной модели является устойчивым, то, по-видимому, можно построить сценарии изменения управляющих функций соответствующих дискретных моделей, которые гарантированно приводят рынок товаров и услуг и рынок денег в состояние равновесия.

в0, если У (Уг; г() ^ (Уг; г) < 0, 0, если У (Уг; г{) ^ (Уг; ) > 0,

(24)

Выводы

Библиографический список

I. Аллен Р. Математическая экономия / Р. Аллен. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. -668 с.

9. Лебедев В.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики / В.В. Лебедев, К.В. Лебедев. - М., НВТ-ДИЗАЙН, 2002. - 256 с.

10. Лебедев В.В. Математическое моделирование нестационарных экономических процессов / Лебедев В.В., Лебедев К.В.. - М.: ООО «е-Тест», 2011.

II. Лебедев В.В. Об использовании методов нелинейной динамики для анализа эволюции макроэкономических систем» // Вестник Университета (Государственный университет управления). - № 16. - 2013. - М.: ГУУ, 2013.

12. Моделирование экономических процессов // Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 351 с.

13. Тарасевич Л. С. Макроэкономика: учебник / Л. С. Тарасевич, П.И. Гребенников, А.И. Леус-ский. - 6-е изд., испр. и доп. - М.: Высшее образование, 2006. - 654 с.

14. Харрис Л. Денежная теория / Л. Харрис. — М.: Прогресс, 1990. - 728 с.

15. Shone, R. Economic Dynamics. Phase Diagrams and Their Economic Application. Second Edition. -Cambridge University Press, New York, 2002. - 708 p.

А.Ю. Нестеров

НЕФОРМАЛЬНАЯ ЗАНЯТОСТЬ КАК СТРАТЕГИЯ ДОСТИЖЕНИЯ ФИНАНСОВОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДОМОХОЗЯЙСТВА

Ключевые слова: домохозяйство, институциональная среда, неформальная занятость, макроэкономическая нестабильность, финансовая устойчивость, экономическая рецессия.

Одним из наиболее существенных признаков рыночной экономики является макроэкономическая нестабильность, проявляющаяся в колебаниях экономической активности, инфляции, дефиците государственного бюджета, дефиците внешнеторгового баланса, недогрузках производственных мощностей, появлении безработицы. В течение экономической рецессии циклическая безработица порождается общим низким спросом на рабочую силу в результате спада производства и соответствующего ухудшения конъюнктуры на рынке труда В условиях макроэкономической нестабильности остро встает вопрос изучения финансового положения такой социально-экономической единицы, как домохозяйство. Экономическая теория рассматривает домохозяйства как «особый тип хозяйства, оказывающий серьезное влияние на экономические отношения в стране» субъект экономической деятельности, участвующий в важнейших экономических процессах» [7]. Финансы домохозяйства являются важнейшим элементом экономической системы и индикатором состояния общества, сочетают в себе функции обеспечения и воспроизводства материальных и социальных условий жизни членов домохозяйства. Бюджетные ограничения, текущие денежные доходы и денежные сбережения, которыми располагает домохозяйство, являются важнейшими факторами, определяющим выбор стратегии сохранения ими финансовой устойчивости в трудный экономический период.

Неопределенность и нестабильность институциональной среды, в которой действуют российские домашние хозяйства, нивелируются существованием неформальных институтов, сохраняющих защитные функции домохозяйства от разрушительного воздействия ин-

© Нестеров А.Ю., 2013