ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ К ОПИСАНИЮ НЕСТАБИЛЬНОСТЕЙ В СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 538.9

Д. В. Кондратьев1,2, Н. Г. Мигранов3, Д. Н. Мигранова4

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ К ОПИСАНИЮ НЕСТАБИЛЬНОСТЕЙ В СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

'Академия наук Республики Башкортостан, ул. Кирова, д. 15, 450008 Уфа, Россия. E-mail: denis.kondratyev@bk.ru 2Башкирский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации,

ул. Ленина, д. 26, 450000 Уфа, Россия.

3Башкирский государственный медицинский университет, ул. Ленина, д. 3, 450008 Уфа, Россия.

4Восточная экономико-юридическая гуманитарная академия, ул. Мубарякова, д. 3, 450092, Уфа, Россия

Предложен новый теоретический подход к описанию равновесного и бистабильного состояний се-гнетоэлектрического жидкого кристалла. Образец сегнетоэлектрического жидкого кристалла рассматривается в геометрии «книжной полки» под воздействием магнитного поля. Теории континуума и возмущений используются для установления связи между масштабными коэффициентами в разложении для азимутального угла. Равновесные состояния сегнетоэлектрика SmC* определяются в рамках теории катастроф.

Ключевые слова: сегнетоэлектрический жидкий кристалл, смектические слои, неустойчивость, критические поля.

DOI: 10.18083/LCAppl.2020.3.34

D. V. Kondratyev1,2, N. G. Migranov3, D. N. Migranova4

APPLICATION OF CATASTROPHE THEORY TO INSTABILITIES DESCRIPTION OF FERROELECTRIC LIQUID CRYSTALS IN MAGNETIC FIELD

'Academy of Sciences of Republic Bashkortostan, 15 Kirova St., Ufa, 450008, Russia. E-mail: denis.kondratyev@bk.ru 2Bashkir Cooperative Institute (branch) of the Russian Cooperative University, 26 Lenina St., Ufa, 450000, Russia. 3Bashkir State Medical University, 3 Lenina St., Ufa, 450008, Russia.

4Eastern Economics and Law Humanities Academy, 3 Mubarjakova Str., Ufa, 450092, Russia

A new theoretical approach for description of the equilibrium and bistable states of ferroelectric liquid crystal is proposed. A ferroelectric liquid crystal sample is considered in the "bookshelf" geometry under the influence of a magnetic field. Continuum and perturbation theories are used in order to establish the correlation between scale coefficients in the azimuthal angle expansion. The equilibrium states of ferroelectric SmC* are determined within the framework of the catastrophe theory.

Key words: ferroelectric liquid crystal, smectic layers, instability, critical fields.

© Кондратьев Д. В., Мигранов Н. Г., Мигранова Д. Н., 2020

Введение

Сегнетоэлектрические жидкие кристаллы (С*ЖК) широко используются в оптических системах благодаря быстрому отклику на влияние внешних магнитного и электрического полей. Внутренняя постоянная поляризация делает упорядочение молекул совершенно отличным от обычных жидких кристаллов, и в связи с этим многочисленные технические приложения вызывают большой интерес к исследованиям структур С*ЖК, который опирается на возможность создания широкого спектра быстродействующих низковольтных микродисплеев и проекционных дисплеев, в том числе трехмерных, затворов стереоочков, пространственных модуляторов света, элементов и устройств обработки информации, адаптивной оптики, в которых повышенное быстродействие С*ЖК обеспечивает новые функциональные свойства [1, 2, 3].

Однако прогрессу в разработке систем отображения информации препятствует отсутствие достаточных знаний об устойчивости распределения поля директора в СЖК. Решение этой проблемы напрямую связано с исследованием свободной энергии в рассматриваемом образце. Одним из основных преимуществ применения методов теории бифуркаций к нелинейным задачам устойчивости является то, что в целом можно уменьшить размерность исходной системы до низкоразмерной системы, главным образом в окрестности критических точек. Этот подход успешно реализован в исследовании С*ЖК для случая внешнего электрического поля в работе [4].

Как известно, теории бифуркаций и катастроф являются двумя наиболее известными инструментами для исследования динамических систем. В силу своего топологического характера теория катастроф имеет ряд преимуществ, позволяющих получить качественные результаты. Модели катастроф успешно применяются в различных областях исследований [5].

В наших исследованиях мы использовали асимптотические методы - разложение азимутального угла в ряд, чтобы получить соотношения для определяющих параметров. Из-за сложности уравнения баланса крутящего момента трудно найти значения определяющих параметров и рассчитать минимумы свободной энергии. Прикладная теория катастроф для изучения потенциала свободной энергии СЖК дала подробное математическое

описание того, как геометрия функционала энергии изменяется в зависимости от параметров управления. Локальная геометрия вокруг критических точек функционала свободной энергии представлена определенной функцией катастрофы, которая определяется плотностями упругой, поверхностной и магнитной энергии сегнетоэлектрика.

Теория

Свободная энергия О представляет собой интеграл плотности свободной энергии внутри ячейки сегнетоэлектрического жидкого кристалла, которая может быть записана как

а

О(ф) = \ (( (ф)+^ (Ф) + ^ (ф))ёу, (1)

0

где ¥е (ф) - упругая свободная энергия, Ет (ф) -составляющая внешнего магнитного поля в упругую энергию, ^ (ф) - поверхностная свободная энергия, а - нормализованная толщина пленки сегнетоэлектрика, а ф - азимутальный угол макромолекулы в слое пленки, у е [0,1] в тонкой пленке. Вариационный принцип дО/дф = 0 позволяет найти устойчивое решение задачи молекулярной ориентации в образце сегнетоэлектрика. Однако, чтобы изучить поведение потенциальной функции, необходимо получить потенциальную функцию в виде

О( ,с), (2)

где аI - некоторые параметры, которые соответствуют азимутальному углу, ас - все управляющие процессом ориентации в пленке сегнетоэлектрика параметры, которые не зависят от ф . Разложим азимутальный угол ф в ряд: п

ф = 2а^у1 = ао + а\У + а2у2 +... + апуп . (3) 1 = о

Предполагается, что базовые функции для такого разложения являются полиномами, а а1 являются весовыми параметрами для каждой полиномиальной базовой функции: ао - постоянный член, а1 - линейный член, а2 - квадратичный

член. Преимущество этого метода состоит в том, что можно рассчитать интеграл в аналитической форме. Интеграл полиномиальных членов прост, и основные функции подходят для описания

молекулярного распределения с ламинарным закреплением. Перепишем плотность свободной энергии как функцию от а{, используя соотношение (3) и разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора по малому азимутальному углу ф :

• i i 1 ±3 1/5

sin©«©—© +--ф ,

6 120

cos© « 1 - - ©2 +—ф4--— ф6,

2 24 720

получим:

•/Г 1 212 1 3 2 1 2 2 1 4 | 4 sin©«l --aoa2 --a1 a2 + 12a0a2 + 4a0a1 a2 + a0a1 IУ +

1 3 123 1 3 I 3 Г 1 21 21 4123 I 2

+ |- a2 a0 a1 + 12 a0 a1 - a0 a1a2 - 6 a1 | У +| a2 - - a2 a0 - - a0 a1 + 24 a2 a0 + 12 a1 a0 |У +

6

1

1

+ | a1--a1a0 +--a1a0 I y + a0--a0 +

2

cos©

24

24

1

2'

2

24

6

120

0

1221 2 1412 142

— a0 a2 +— a0 a> a2 +--a>--a2--a0 a2--

4 0 2 2 0 1 2 24 1 2 2 48 02 12

13 2 a0 a1 a2

14 13312 1 3 I 3

+ |--a0 a1a2 - — a0 a1 +-a0 a1a2 +-a0 a1 - a1a2 IУ +

24 J_

120 1

36 0 1 2

1 „2 4 . 1

6

1 „2 2

+ l- — a2a0 -a1 a0 + 6a2a0 + 4a1 a0 - a0a2 "a1 IУ +

1 a 2 IУ 2 2'

6

51 3 I i 1 2 1 4 16

+ 1 - 120 a1a0 + 6 a1a0 - a0 a1 IУ +1 - 2 a0 + T7 a0 - 720 a0.

2

24

720

12

1 2 4 I 4

48 a0 a1 |у +

Следует отметить, что для тонкопленочного сегне-тоэлектрика существуют только три основных весовых коэффициента, ад, а\ и а2, и что линейный член а\ может рассматриваться как наиболее взвешенный член из-за профиля переключения в

ячейке сегнетоэлектрика. Использование этих разложений для определения общей плотности свободной энергии О требует сложных операций. После символьных преобразований и последовательных упрощений получим:

Fe (©) = -1 Avaf у4 +1A va4у2 +1 Aa? + F0,

2

2

Fm (©) = -Xa^0H0 sin2 в^a6y6 - 6a4y4 + 1a2 У2 |, Fs (©) = T^ g2 sin Ps +115 g1 sin 2Ps ^|a15У5 - ^24 g2 cos Ps + 3 g1 cos 2Ps ^|a14У4 + + Г-¡6 g2 sin Ps + 3 g1 sin 2Ps ||a13У3 + ^"2 g2 cos Ps + g1 cos2Ps ||a12У2 -- (g2 sin Ps + g1 sin 2Ps)a1 У - g2 cos Ps - g1 cos2 Ps.

1

Параметры этих уравнений выражаются [6]: A = Knsin2e, B = (k22 cos2в + K33 sin2<9)sin 2в,

v = (B - A)A, Кц, K22 и K33 - это коэффициенты упругости соответствующие продольным, вращательным и изгибным деформациям; qf,

qв - волновые числа, характеризующие закручивание и изгиб поля директора образца сегнето-электрического ЖК, и = {к22qT + KззqBУ2, в - полярный угол молекулы сегнетоэлектрика [6],

/Но = 4^-10 7Гн/м - магнитная постоянная, %а -анизотропия магнитной восприимчивости образца сегнетоэлектрика, а Н - магнитное поле, <р3 -угол преднаклона, а gl и g2 - коэффициенты неполярного и полярного взаимодействия между

молекулами рассматриваемого образца и ограничивающими поверхностями. Поскольку мы используем линейный член для описания угла ф , то

для изменения бистабильности необходима более высокая энергия. Интегрирование дает следующие результаты для энергии О :

Gm (a1, с) = —— Avafd5 -—f-^ g 2 sin (ps + — g1 sin2«s lafd6 + | — Avd3 + m\ W 30 i 6 l 120 s 15 s) 1 l 6

1 f 1______ ____L5^

+ 15 l 2 ZaMúH0sin в-^ g2 cos Ps - g1Cos2Ps \d

a4 +

+ 112 f 1 g2 sin Ps + 2g1 Sin2Ps \\a13d 4 +f 1 Ad - "¡6 (a №0H I2 sin2 в- g 2 Cos Ps - 2g1 Cos2Ps)) 3\jaf

- J (g2 sin Ps + g1 sin 2Ps )a1d2 + (0 - g2 Cos Ps - g1 Cos2 Ps ^.

(4)

Слагаемые, соответствующие нечетным степеням a1 в (4), происходят из поверхностной плотности энергии. Для дальнейшего упрощения мы разделяем неполярные и полярные коэффициенты взаимодействия и запишем потенциальную функцию без поверхностной энергии

Gm (a1 ,с) = limg1,g2 ^0 Gm (abс) = Qoal + R0al + S0al + T0 ,

где

1 < 131 252

Q0 = A vd5, R0 = - A vd3 + — ZaM0H¿d5 sin2 в, 30 6 30

1

1

,0 2 6 Заметим, что

S0 = 4" Ad ~ XatoHld3 sin2 в, T0 = F0d .

1 Aw 3 6

>

—Avy5 30

y e

[0,1].

Для типичных материальных параметров сегнетоэлектрика коэффициент <20 для члена а6 намного меньше, чем для остальных членов. Теперь вернемся к слагаемым поверхностной энергии в (4). Есть три основных слагаемых, которые мы объединяем вместе как функцию О5 (, с):

1 f 1

Gs (ai, с) = --1 120 g 2 Sin Ps + 77 g1Sin2Ps |a1d +

15

+ -

1 f 1

12 l 2

g2 sin Ps + 2g1 sin 2Ps a3d 4 - 2 (g2 sin Ps + g1 sin 2Ps )a

(5)

Величина члена, соответствующего первой степени а1 в (5), намного выше, чем у двух других членов, особенно потому, что для большинства сегне-тоэлектриков полярный коэффициент взаимодействия g 2 больше, чем коэффициент неполярного

взаимодействия gl. Поэтому целесообразно рассматривать слагаемые а1 как доминирующие для расчета поверхностной энергии ^ . Тогда окончательная нормализованная форма может быть записана:

G*m (ab с) = Gm (ab с) R = [m (ab с) + Gs (ab с)]] = a4 + ua2 +Ш1 + m ,

где

u =

о =

11 2 2 2 2 A - - XaM0 H 0" 2 sin2 в 2 6__

1 2 1 2 4 2

-Avd 2 + — ZaP0 H 4 sin2 в 6 30

?2 sin ^ + g1 sin

in2^s )

1 1 2 3 2

-Avd + — XaV0H°d3 sin2в 6 30

(6)

0

6 A vd 2 + ^ H 02d 4 sm2 в 6 30

Это стандартная форма катастрофы типа сборки, приведенной на рис. 1 [5].

Рис. 1. Зависимость весового коэффициента a1

от параметров u и о Fig. 1. The dependence of the weight coefficient a1 on parameters u and о

Результаты и обсуждение

Типичные порядки величины для параметров сегнетоэлектрического жидкого кристалла можно

найти в [6, 7] (например, Kif «10-11Н, H «106 В/м).

Можно отметить, что порядки рассматриваемых в статье энергетических составляющих следующие:

^в - Кц -10-11, ^ - 10, ^ - .

На рисунке 2 приведено сравнение нормированных энергетических членов в О*т (аь с) для разных углов преднаклона <р5. Очевидно, члены поверхностного натяжения (1, g2) играют уникальную роль в потенциальной функции. Математическая форма может быть записана в пространстве параметров А - и - и . Теория катастроф [5] говорит нам, что нестабильность существует, если

А(а1, с) = -8и3 - 27и2 > 0.

Можно применять этот критерий для изучения допусков изготовления для конкретного устройства на основе сегнетоэлектриков. В рамках предложенной работы мы рассматриваем в качестве управляющего параметра приложенное магнитное поле Н . Расчеты показали, что в однокон-стантном приближении при у = 0 для следующих значений материальных параметров образца сегне-

тоэлектрика в =

2п_ 15

K = 10-11Н,

Za = 1,55 • 10

-6

возможна неустойчивость в распределении поля директора (А(, с) > 0).

На рисунке 3 приведен график зависимости А(, с) от Н0. Результаты расчетов показывают, что для

)и (1.58-10-12; 6.18 • 106)

(- 6.18 •

6.

-12

Н0 е I- 6.18-10и;-1.58-10

дискриминант отрицательный, а следовательно, для данного диапазона значений исследуемая система устойчива.

Рис. 2. Вариации нормированных энергетических членов в G*m (j, с) для различных (gj, £2) : a - gj, = g2 = 5; b - gj, = g2 = 1; с - gj, = g2 = 0.5; d- gj, = g2 = 0.1

Fig. 2. Variations of normalized energy terms of G*m (, с) for various (gj, g2 ) :

а - gj, = g2 = 5; b - gj, = g2 =!; с - gj, = g2 = 0.5; d- gj, = g2 = 0Л

Рис. 3. Зависимость дискриминанта A(a1, c) от H0 Fig. 3. The dependence of the discriminant A(a1, c) on H 0

Заключение

Используя теорию катастроф, устойчивость распределения поля директора в образце сегнетоэлектрика можно исследовать в более общем виде. Доказано, что категория катастрофического поведения относится к типу сборки при линейном рассмотрении. Критерий неустойчивости также может быть определен характером потенциальной функции через профили параметров А — u — v . Таким образом, благодаря теории катастроф удалось, используя линейное приближение, оценить область изменения приложенного внешнего магнитного поля, позволяющую оставаться системе в устойчивом состоянии и тем самым указывать для экспериментальных приложений пределы изменения магнитного поля для регулирования процессов воздействия внешних полей на поведение сегнето-электрического жидкого кристалла. Важным обстоятельством является при этом роль управляющих параметров u и v (6), плавное изменение которых может привести к скачкообразному изменению функционирования рассматриваемой системы. А разрывы в плавных, непрерывных процессах при воздействии магнитным полем на анизотропную жидкость - сегнетоэлектрический жидкий кристалл и внезапные качественные изменения поведения этой системы, когда она является при-

бором для отображения информации и других целей должны быть исключены. Теория катастроф на достаточно высоком качественном уровне позволяет определять области изменения управляющих параметров и тем самым обеспечивать работоспособность прибора, содержащего сегнетоэлектриче-ский жидкий кристалл.

Список литературы / References

1. Андреев А. Л., Компанец И. Н. Применения сегне-тоэлектрических жидких кристаллов - реальные и возможные (обзор) // Жидк. крист. и их практич. использ. 2015. Т. 15, № 3. С. 28-40. [Andreev A.L., Kompanets I.N. Applications of ferroelectric liquid crystals - real and possible (review). Liq. Cryst. and their Appl., 2015, 15 (3), 28-40. (in Russ.).

DOI: 10.18083/LCAppl.2015.3.28].

2. Чигринов В. Г., Шривастава А. К., Пожидаев Е. П. Сегнетоэлектрические жидкие кристаллы: физика и области применения // Жидк. крист. и их прак-тич. использ. 2016. Т. 16, № 1. С. 9-21. [Chigrinov V.G., Srivastava A.K., Pozhidaev E.P. Ferroelectric liquid crystals: physics and applications. Liq. Cryst. and their Appl., 2016, 16 (1), 9-21. (in Russ.).

DOI: 10.18083/LCAppl.2016.1.9].

3. Беляев В. В. Перспективные применения и технологии жидкокристаллических устройств отображения информации и фотоники // Жидк. крист. и их практич. использ. 2015. Т. 15, № 3. С. 7-27. [Belyaev V.V. Promising applications and technologies of liquid crystal displays and photonics devices. Liq. Cryst. and their Appl., 2015. 15 (3), 7-27. (in Russ.). DOI: 10.18083/LCAppl.2015.3.7].

4. Migranov Nail, Kudreyko Aleksey, Kondratyev Denis. Cusp Catastrophe Model for Description of Bistability in Ferroelectric Liquid Crystals. Physics Research International, 2014, 2014, Article ID 294723. 5 p. DOI: 10.1155/2014/294723.

5. Poston T. , Stewart I. Catastrophe Theory and Its Applications. Dover, New York, NY, USA, 2006, 512 p.

6. Khoo I.-C., Wu S.T. Optics and Nonlinear Optics of Liquid Crystals. Series in Nonlinear Optics. World Scientific, Singapore, 1993, 440 p.

7. Chigrinov V.G. Liquid Crystal Devices: Physics and Applications. Artech House, Norwood, 1999, 366 p.

Поступила 17.05.2020 г. Received 17.05.2020 Принята 27.08.2020 г. Accepted 27.08.2020