ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ИСКАЖЕНИЯ СЛОЕВ СМЕКТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА В МАГНИТНОМ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЯХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.9

Д. В. Кондратьев1,2, Н. Г. Мигранов3

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ИСКАЖЕНИЯ СЛОЕВ СМЕКТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА

В МАГНИТНОМ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЯХ

'Академия наук Республики Башкортостан, ул. Кирова, д. 15, 450008 Уфа, Россия. E-mail: denis.kondratyev@bk.ru 2Башкирский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации,

ул. Ленина, д. 26, 450000 Уфа, Россия.

3Башкирский государственный медицинский университет, ул. Ленина, д. 3, 450008 Уфа, Россия.

Исследуется возможность появления периодических искажений в слоях смектика во внешних скрещивающихся магнитном и электрическом полях. Рассматривается теоретическая модель поведения смектического жидкого кристалла (ЖК), ограниченного двумя полубесконечными пластинами со слабой энергией сцепления на границах. В рассматриваемой модели магнитное поле направлено вдоль слоев образца, электрическое поле направлено под углом к оси x в плоскости xOz. Получено соотношение для критических значений магнитного и электрического полей, для которых возможно появление периодических искажений смектических слоев.

Ключевые слова: смектический жидкий кристалл, периодические структуры, углы Эйлера, критические поля.

DOI: 10.18083/LCAppl.2019.1.79

D. V. Kondratyev1,2, N. G. Migranov3

PERIODIC DISTORTIONS OF SMECTIC LIQUID CRISTAL LAYERS IN MAGNETIC AND ELECTRIC FIELDS

'Academy of Sciences of Republic Bashkortostan, 15 Kirova St., Ufa, 450008, Russia. E-mail: denis.kondratyev@bk.ru 2Bashkir Cooperative Institute (branch) of the Russian Cooperative University, 26 Lenina St., Ufa, 450000, Russia. 3Bashkir State Medical University, 3 Lenina St., Ufa, 450008, Russia.

The possibility of appearance ofperiodic distortions in smectic layers in external intersecting magnetic and electric fields was investigated. A theoretical model of behavior of a smectic liquid crystal (LC) limited by two semi-infinite plates with a weak anchoring energy at boundaries was considered. In this model, the magnetic field directed along sample layers, the electric field directed at angle to x-axis in xOz-plane. A relation for critical values of the magnetic and electric fields, for which the appearance of periodic distortions of smectic layers is possible was obtained.

Key words: smectic liquid crystal, periodic structures, Euler angles, critical fields.

© Кондратьев Д. В., Мигранов Н. Г., 2019

Введение

Актуальность исследований в данном направлении продиктована тем, что системы отображения информации, создаваемые на основе сег-нетоэлектрических жидких кристаллов (С*ЖК), могут существенно превосходить по своим характеристикам современные дисплеи, созданные на основе нематических ЖК (НЖК) и известных смектических ЖК. Результаты исследований экспериментальных образцов ячеек на основе сегне-тоэлектрических жидких кристаллов показали, что новые ЖК-материалы позволяют получить более качественную визуализацию 2D и 3D изображений благодаря увеличению в 5 и более раз частоты смены кадров, снижению в 4-5 раз времени оптического отклика и увеличению в 2-3 раза яркости изображения при сниженном энергопотреблении.

Перспектива использования сегнетоэлектри-ческих ЖК опирается на возможность создания широкого спектра быстродействующих низковольтных микродисплеев и проекционных дисплеев, в том числе трехмерных, затворов стереоочков, пространственных модуляторов света, элементов и устройств обработки информации, адаптивной оптики, в которых повышенное быстродействие С*ЖК обеспечивает новые функциональные свойства [1].

Можно отметить, что интерес к исследованию С*ЖК в последние годы не только не уменьшается, но и возрастает: например, ряд последних работ посвящен основным электрооптическим эффектам (Кларка - Лагерволла, Керра) рассмотрены с точки зрения их потенциала использования в дисплейных и фотонных устройствах нового поколения [2].

В обзоре [3] приводится описание применений различных типов жидкокристаллических (ЖК) устройств, прежде всего для средств отображения информации и некоторых задач управления светом (фотоники). Дисплей как комплексная ЖК-система обладает богатым разнообразием физических и электрооптических эффектов, что хорошо отражено. Изучение этих эффектов позволяет улучшить их эксплуатационные и визуальные характеристики. Можно констатировать, что среди всех функциональных материалов для дисплейных технологий жидкие кристаллы остаются особенно привлекательным. Хорошо известно, что постоянно ведется работа по совершенствованию и удешевлению известных типов ЖК-дисплеев, по созданию новых устройств и материалов с новыми функцио-

нальными возможностями. Появляется много новых перспективных устройств и технологий для фотоники. А такие материалы и их приложения, как ЖК в органической электронике, ЖК-линзы, экзотические фазы (TGB - зернистая фаза с закрученными границами), лиотропные жидкие кристаллы еще требуют своих дальнейших исследований.

Важным этапом в исследовании ЖК-фаз является синтез жидкокристаллических материалов с заданными физическими параметрами, поиск новых химических соединений, которые могут привести к достаточно уникальным физическим свойствам, позволяющим создавать новые приборы с существенно улучшенными характеристиками. Например, в работе [4] показано, что полярные производные 1,3,2-диоксаборинана обладают целым рядом преимуществ по сравнению с другими полярными соединениями и позволяют получать разнообразные ЖК-композиции с низким пороговым напряжением, малыми временами включения и выключения, широким температурным интервалом существования нематической фазы.

Некоторые работы посвящены исследованию поведения тонкого слоя образца смектического ЖК SmC* в геометрии «bookshelf.» во внешнем постоянном электрическом поле, прикладываемом под разными углами к смектическим слоям образца. В [5] рассмотрены устойчивые состояния ме-зофазы и получены решения для периодических по y граничных условий, обнаружены области соизмеримых и несоизмеримых фаз, когда на нижней и верхней границах задаются различные периоды страйп-структур.

Большинство теоретических моделей, описывающих поведение сегнетоэлектрических ЖК, рассматриваются в одноконстантном приближении. В работе [6] поведение тонкого слоя образца, раскрученного хирального смектического жидкого кристалла в геометрии «bookshelf.» исследуется в одноконстантном приближении во внешнем постоянном электрическом поле, прикладываемом под разными углами к смектическим слоям образца, с учетом периодических граничных условий. Таким образом, продемонстрирован механизм появления периодических макроструктур в объеме образца сегнетоэлектрика.

В данной работе рассмотрен процесс возникновения периодических искажений смектических слоев в скрещенных магнитном и электрическом полях. Исследована возможность появления таких искажений в зависимости от величин полей.

Постановка задачи

Рассмотрим тонкий слой раскрученного се-гнетоэлектрического жидкого кристалла SmC* во внешних магнитном и электрическом полях, прикладываемых, как показано на рис. 1.

В общем случае угол 0 зависит от температуры: с повышением температуры мезофазы он становится меньше. Запишем директор n в виде n = a cos 0 + c sin 0,

где а - нормаль к смектическому слою, с - единичный вектор, характеризующий направление проекции директора п в слое. При 0 = 0 директор п будет сонаправлен оси г.

В образце SmC* присутствует спонтанная поляризация Р, которая всегда перпендикулярна плоскости (а, п). Удобно ввести вектор Ь = а х с для описания Р8 = Р()Ь .

Рис. 1. Геометрия сегнетоэлектрического ЖК во внешних магнитном и электрическом полях Fig. 1. Geometry of ferroelectric LC in external magnetic and electric fields

В рассматриваемой постановке плотность упругой энергии в объеме образца сегнетоэлектрического жидкого кристалла запишется в виде

И = 2 А21(У- а)2 +1 В2(У- с)2 + 2 в1(а-Ух с)2 +

1 2 1 - 2 + -В3(с-Ухс)2 ++—(2А11 + А12 + А21 + В3)(Ь -Ухс)2 -

-2(2А11 + 2А21 + В3)(У-а)(Ь - Ухс)-С2(У-а)(У-с)--В13(а-Ухс)(с-Ухс) + (С1 + С2 -В13)(У-с)(Ь -Ухс),

где Ау , В1 и С1 - коэффициенты упругости смек-

тической мезофазы. Известно, что коэффициенты упругости удовлетворяют соотношениям [7]

А12, А21, В1, В2, Вз>0,

А12А21 - А121 > 0 ; ВхВ3 - В2 > 0 ; В2А12 - С2 > 0;

В2 А

21 С2 >0; А12 + А21 ± 2А11 > 0; В1 + В3 ± 2В13 > 0; В2 + А12 ± 2С1 > 0; В2 + А21 ± 2С 2 > 0.

Магнитная составляющая в плотности энергии SmC* в системе СИ имеет вид

1 - 2 Wm =" 2 АХ(П • H)

(1)

где Н - внешнее магнитное поле, магнитная постоянная = 4л -10 7 Гн/м, Ах - анизотропия магнитной восприимчивости ЖК. При Ах > 0 поле директора стремится выстроиться вдоль направления поля.

Электрическая составляющая плотности энергии SmC* записывается следующим образом:

we =-

P ■ E - 2 S0S a (я • E)2

(2)

здесь Е - электрическое поле, 80 = 8,85 -10- Ф/м, 8а - диэлектрическая анизотропия, - спонтанная поляризация. При 8а > 0 директор ориентируется параллельно направлению поля, при 8 а < 0 -перпендикулярно. Первое слагаемое в (2) принимает минимальное значение при РЛЕ .

Для исследования возможности появления волнообразных искажений смектических слоев введем в рассмотрение функцию слоя Ф(x, y, z), тогда смектические слои будут описываться поверхностями Ф(x, y, z) = constant в случае отсутствия искажений.

Для малых искажений смектических слоев, которые описываются малым смещением u(x, y, z), функция слоя примет вид Ф = z - u(x,y, z).

X i

Рис. 2. Описание углов Эйлера ф, ç и у для последовательного поворота вокруг осей Oz, Oy ', OZ

Fig. 2. Description of Euler angles ф, ç and у for successive rotation around the axes Oz, Oy', OZ

Нормаль к поверхности рассматриваемого слоя согласно работе [8] можно представить в виде

„ УФ УФ |,

а = -,-г =-, где в = 1 - УФ . Разлагая функ-

|УФ| 1 -8

цию слоя в ряд по малым смещениям до второго порядка малости, получим следующие выражения

(уф)2 = 1 - 2uz + (Vu)2, |УФ| = 1 - Uz + -2 ( + u2y ), 1-1

|УФ|-1 = 1 + "z - 2 ("2 + u2y)

С учетом этих разложений и принимая во внимание, что нормаль и проекция директора на смекти-ческую плоскость выражаются через углы Эйлера, введенные как показано на рис. 2, имеют следующие компоненты:

a = (sin ç cos ф, sin ç sin ф, cos ç), С = cos y (cos ç cos ф, cos ç sin ф, - sin ç) - ,(3) - sin y(sin ф, - cos Ф,о)

где

sin ç =

1У1ф 1 - "z • ф "y

, cos ç = -¡-Y , sin ф = -

Уф|

Уф|

КФ| '

(4)

cos ф = --.

КФ|

Тогда мы имеем

У±Ф = (- "X , - "y ,0).

a =

УФ

И

"x (1 + "z ),- "y (1 + "z )Д - 2 ("2 + "2 ^ 8= "z - 1 (( + "Ï ).

Однако существует элемент неопределенности в выборе углов ф и у при q ^ 0. Эту проблему можно решить, выбрав ф и у такими, чтобы вектор c совпал с единичным вектором (1,0,0) для невозмущенной конфигурации (см. рис. 1), когда q = 0 и u = 0 . Для

q = 0 и ф + у = 2л (5)

мы получим невозмущенную конфигурацию. Далее для малого изменения угла q, которое соответствует малому изменению u, можно воспользоваться приближением

sin у = - sin ф cos q + sin q sin ф cos ф,

• 2, (6) cos у = cos ф + tan q sin ф,

так что условия (5) выполняются при q ^ 0. При

22

этом легко проверить, что cos у + sin у = 1 до второго порядка малости по q ^ 0 . Подставляя выражения (6) и (4) в (3), получим

a = I - "

С = I1 -

(1 + "z ),-"y (1 + "z ),1 - 2 (( + "2 )) ,

2 ("2 + "2 } - "y (1 + "z \ "х (1 + "z )-"2 ] ,

b = a x c = ("y (1 - "x + "z ),1 - "l, "y (1+"x + "z)).

В отсутствии деформации смектических слоев a = УФ, Ух a = 0 и |УФ| = 1. Если Ф немного

"

х

и

меняется, то необходимо учитывать плотность энергии сжатия слоев в виде [8]

1 В 2

ИЬ = ^В0иг ,

где В00 - константа сжатия слоев в направлении параллельном вектору а .

Подстановка вычисленных выше координат векторов в выражение для плотности упругой энергии в объеме, с учетом слагаемых до второго порядка малости, приведет ее к виду:

W = 1 A12«í + 2 ((21 + В2 - 2C2 К +

+1 ((1 + Вз + 2B13 ) +1 B2.nl +1 В:

зЫ2 -

3 yz

(7)

-1 (2A + Вз + 2В13 - 2С1 УхЫу +

+ (я13 - С1 KxUz +((2 - В2 )«yy«xz + (я3 + В13 )ы.

Ы .

xy yz

Полученное выражение (7) можно упростить, используя следующие соотношения:

|иХ^У = |и^^иггёУ + ^ ,

V У

I и 2^У = | иууиггёУ + 5 2,

У У

I и^У = I иххиууёУ + 5 3,

УУ

| ихуиугёУ = | ихгиуу,ёУ + 5 4

"xz"" yy"

которые получены интегрированием по частям для некоторого объема У. Здесь 51 - поверхностный вклад в общую энергию, который не влияет на ориентацию поля директора в объеме. Можно провести дальнейшее упрощение выражения для плотности энергии, если учесть, что она должна быть инвариантна по отношению к замене знака

г^ - г [9]. Исходя из вышесказанного, плотность упругой энергии примет вид

2 u Ы +

2 / yy xz

И = 2 А12"1 + ^ ((21 + В2 - 2С2 К +

+2 ((1 - 2(п - С1 Куу - ((2 - В3 - В13 - с + (В13 - С1 )иххихг + ((2ихх + В3иуу )"гг .

Наличие внешнего магнитного поля Н = (Н, 0,0) также дает вклад в плотность полной энергии в объеме образца. Магнитная составляющая плотности энергии до второго порядка малости запишется в виде (1)

1 2( 2 wm = -2 A)AZH fx C°S(20)-

(1 -Ыyy)sin2 0).

Предполагаем, что электрическое поле направлено вдоль плоскости xOz под углом а к оси

x, т.е. E = (E cos а,0, E sin а). Соответственно

электрическая составляющая плотности энергии хирального смектического ЖК выразится в виде

1

sas0 E'

(1 + sin2 а sin2б)+ + ((2nx2 + ыy -1)cos2 0 +1 - n2x - 2ыy) cos2 а

■(«í -1)PsE s

Полная плотность энергии в объеме образца сегнетоэлектрического ЖК складывается из упругого, магнитного, электрического вкладов и плотности энергии сжатия смектических слоев. Следовательно, И = ИЬ + Ит + Ие + .

Исключим из рассмотрения слагаемые, дающие вклад в поверхностную энергию образца. Плотность полной энергии в таком случае с учетом того, что и = /(х)g(у)И(г) и И(0) = И(ё) = 0, выражается соотношением

w

=1An«l +1 (A21 + В2 - 2C2 У1 +1 ((1 - 2(11 - C1)«

2

2

. n -

xx yy

-1 ц0АхН2 («2 cos(20) + (1 - «2 )sin2 0)

2 (8) - -sas0E2 [«[ (1 + sin2 а sin 20+ ((«2 + «2 - 1)cos2 0 +1 - «2 - 2«y; )cos2 а]+

2

+

(«y2 - 1psE sin а + 2В,

'О«'.

w

2

Тогда полная энергия образца выражается через интеграл по объему сегнетоэлектрика V

Ж=|wdV.

<

f >= f ff (t )dt.

0

Периодические искажения слоев

В нашей модели мы ищем решение задачи искажения смектических слоев в виде

u = u0 sin(kx)sin(7rz/d). (9)

Для периодической функции f имеющей период P, можно ввести среднее значение на пе- периоде < w > риоде согласно соотношению < f >

тт -2 2 1

При этом < sin >=< cos >= — ; если имеем кон-

станту g = const, то ее среднее есть < g >= g . Подставим уравнение (9) в (8). Получим среднее значение энергии на

i

< w >= — u В

i

A12k4 - 2 cos(2e) (0 Лх#2 + sas0E2 cos2(a)))

2 + _B0—

d 2

- —|0 ЛхИ2 sin2(e) - fsE sin a——sas0E2 sin2(e)cos2(a)

i

22

2

2

Минимум энергии в объеме рассматриваемого образца обеспечивается выполнением условия:

д

О = — < w >= dk

r 1 3 1 ^

—A12k3--cos(2e) x

2 12 4

x (|i0 ЛхИ2 + sas0E2 cos2(a))

Отсюда

k.2 =

1 cos(2e)(|0 ЛхИ2 + s a s0 E 2cos2(a))

. (10)

Для случая невозмущенного состояния при u = 0

< w(u = 0) >= -210 ЛхИ2 sin2(e) -- fsE sin a- -1 ss0 E2 sin2(e)cos2(a)

Тогда разность энергий между возмущенным и невозмущенным состояниями выражается соотношением:

Л < w >=< w > - < w(u = 0) >= — u0

В

A12k4 - 2cos(2e) (0 ЛхИ2 + sas0E2 cos2(a))2

Во—2 d2

(11)

2

2

i2

Подставив (10) в (11), можно найти соотношение для критических значений электрического и магнитного полей, при которых возникают периодические искажения смектических слоев:

(loЛХИ2 +sasoE2 cos2(a))2

4—2 B0 A.

. (12)

d 2cos2(20) Результаты численного эксперимента

Для значений физических параметров

А12 = 3,39-10-11Н, ДХ = 1,55-10-6, В0 = 8,47-106Н/м2,

9 = —, а = —, d = 10-3м проведен расчет в случае 8 4

положительной диэлектрической анизотропии

ва = 2 - результаты приведены на рис. 3 и для случая отрицательной диэлектрической анизотропии в а = —2 - результаты приведены на рис. 4.

Полученный диапазон критических значений электрического и магнитного полей хорошо согласуется с результатами, полученными в [9].

При этом видим, что на рис. 3 уменьшение значения одного поля компенсируется увеличением значения второго поля. Для случая отрицательной диэлектрической анизотропии увеличение критического значения одного поля приводит к увеличению критического значения для второго поля. При слабых полях, значения которых меньше критических, они компенсируют друг друга и не вызывают периодических искажений слоев.

8.x 1Э;-".х ia=-

6.x 13 = -

3.x Ю-5-

н

4.x ia;-з.х ia;-2.x ia=-1.x 1Э;-

0-

о 1.x 10е 2.* 105 3.x 1Э5 4.x 1Э5

Е

Рис.3. Взаимозависимость критических значений электрического и магнитного полей по (12) для 8 a = 2

Fig. 3. Correlation of critical values of the electric and magnetic fields according to (12) for 8 a = 2

5.x 13"-4.x 13"-3.x 107-

H

ioT-

l.x ют-

00 5x13= 1 X 13i7 15x13" 2*1»'

E

Рис.4. Взаимозависимость критических значений электрического и магнитного полей по (12) для 8 a = —2

Fig. 4. Correlation of critical values of the electric and magnetic fields according to (12) for 8 a = —2

Как следует из графика (рис. 4), появление периодических искажений для 8 a = —2 возможно

в двух случаях соотношений между электрическим и магнитным полями. Следовательно, для каждого значения критического электрического поля существуют два значения критического магнитного поля, при которых возможно появление волнообразных искажений смектических слоев. На рис. 4

приведены две кривые, одна из которых соответствует случаю, когда сначала включается магнитное поле и электрическое поле подстраивается под него, во втором случае - наоборот.

Заключение

В данной работе рассмотрен процесс возникновения периодических искажений смектических слоев в скрещенных магнитном и электрическом полях. Исследована возможность появления двумерных искажений слоев в зависимости от величин полей.

Основным результатом являются полученные соотношения для критических напряженно-стей магнитного и электрического полей, заданных выражением (12), которое указывает на возможность появления волнообразного искажения смек-тических слоев фазы SmC.

Список литературы / References

1. Андреев А. Л., Компанец И. Н. Применения сегне-тоэлектрических жидких кристаллов - реальные и возможные (обзор) // Жидк. крист. и их практич. использ. 2015. Т. 15, № 3. С. 28-40. [Andreev A.L., Kompanets I.N. Applications of ferroelectric liquid crystals - real and possible (review). Liq. Cryst. and their Appl., 2015, 15 (3), 28-40. (in Russ.).

DOI: 10.18083/LCAppl.2015.3.28].

2. Чигринов В. Г., Шривастава А. К., Пожидаев Е. П. Сегнетоэлектрические жидкие кристаллы: физика и области применения // Жидк. крист. и их практич. использ. 2016. Т. 16, № 1. С. 9-21. [Chigrinov V.G., Srivastava A.K., Pozhidaev E.P. Ferroelectric liquid crystals: physics and applications. Liq. Cryst. and their Appl., 2016, 16 (1), 9-21. (in Russ.)

DOI: 10.18083/LCAppl.2016.1.9].

3. Беляев В. В. Перспективные применения и технологии жидкокристаллических устройств отображения информации и фотоники // Жидк. крист. и их практич. использ. 2015. Т. 15, № 3. С. 7-27. [Belyaev V.V. Promising applications and technologies of liquid crystal displays and photonics devices. Liq. Cryst. and their Appl., 2015, 15 (3), 7-27. (in Russ.). DOI: 10.18083/LCAppl.2015.3.7].

4. Безбородов В. С., Лапаник В. И., Михалёнок С. Г. Жидкокристаллические соединения с положительной диэлектрической анизотропией // Жидк. крист. и их практич. использ. 2015. Т. 15, № 2. С. 6-18. [Bezborodov V.S., Lapanik V.I., Mikhalyonok S.G. Liquid crystalline compounds with positive dielectric anisotropy. Liq. Cryst. and their Appl., 2015, 15 (2), 6-18. (in Russ.)].

5. Мигранова Д. Н., Кондратьев Д. В., Мигранов Н. Г. Исследование устойчивости равновесных состояний наноматериалов на основе сегнетоэлектриче-ских жидких кристаллов во внешнем электрическом поле // Жидк. крист. и их практич. использ. 2015. Т. 15, № 3. С. 133-142. [Migranova D.N., Kondratyev D.V., Migranov N.G. Equilibrium states stability investigation of nanomaterials on the bases of ferroelectric liquid crystal in the external electric fields. Liq. Cryst. and their Appl., 2015, 15 (3), 125133. (in Russ.). DOI: 10.18083/LCAppl.2015.3.125].

6. Мигранова Д. Н., Кондратьев Д. В., Мигранов Н. Г. Метод прямых в решении краевой задачи Пуассона для смектика SmC* во внешнем электрическом поле // Жидк. крист. и их практич. использ. 2016. Т. 16, № 3. С. 58-68. [Migranova D.N., Kondratyev D.V., Migranov N.G. The method of lines for solving the Poisson boundary problem for smectic

SmC* in an external electric field. Liq. Cryst. and their Appl., 2016, 16 (3), 58-68. (in Russ.). DOI: 10.18083/LCAppl.2016.3.58].

7. Stewart I.W. The static and dynamic continuum theory of liquid crystals: a mathematical introduction. London; New York : Taylor & Francis, 2004. 360 p.

8. Kleman M., Parodi O. Covariant elasticity for smectics A. Journal de Physique, 1975, 36 (7-8), 671-681. DOI: 10.1051/jphys:01975003607-8067100.

9. Stewart I.W. Distortions induced by a magnetic field in planar aligned samples of smectic-C liquid crystals. Mol. Cryst. and Liq. Cryst., 2001, 366, 919-928.

Поступила в редакцию 15.02.2019 г.

Received 15 February 2019