CC BY
18
УДК 517.54
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМ О ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ДЛЯ ОЦЕНОК ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
© 2011 г. С.В. Никитин
Ставропольский государственный университет, ул Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, info@stavsu.ru
Stavropol State University, Pushkin St., 1, Stavropol, 355009, info@stavsu.ru
На основании теоремы Л.де Бранжа, позволившей доказать гипотезы Милина, Робертсона и Бибербаха, а также следствия Милина из этой теоремы получены оценки для однолистных функций, улучшающие известные. Получено неравенство для логарифмической площади, доказаны усиленные теоремы искажения для всего класса однолистных функций. Из одной из этих теорем следует оценка для среднеинтегрального модуля. Все полученные оценки точные и достигаются только для функции Кебе.
Ключевые слова: однолистные функции, логарифмические коэффициенты, логарифмическая площадь, теоремы искажения, среднеинтегральный модуль.
On the basis of theorem ofL.de Branges allowed to prove a hypothesis of Milin, Robertson and Bieberbach, and also a consequence of Milin from this theorem, we obtain estimations for univalent functions, the improving known are received. The strengthened theorems of distortion for all class univalent functions are proved. From one of these theorems the estimation for integral means the module are follows. All received estimations exact also are reached only for function of Koebe.
Keywords: univalent functions, logarithmic coefficient, logarithmic area, distortion theorem, integral means.
Пусть 5 - класс регулярных и однолистных в единичном круге |г| < 1 функций /(2), нормированных
разложением /(г) = 2 + с2г2 +.... Если /(г) е 5, то обозначим
log^ = I 2ykzk
z k=1
(1)
a(r,f) = JJ
z 14 При любом p > 0 положим
\P/2
da = k| yk |2 r2k.
Ik|Гк|2r2k < log-Ц-r4(l-r2} k=1 l — r
(
3 — 2 С2
2
V
2Л ( 2 ^
Сз — С2 3 2 — r 2 (1 — r 2 )2 1 — £2.
V \ / V 2
Тогда
I kЫ2r2k <I1 r2k + r211+2I (kXkl2 — f) + (a2 — 2a3 + aA)>
2(|rJ2 —1) + (%f — 1)
+ (ai — 2a2 +a3)(|/1
— 1). (5)
и будем называть числа 2ук (к = 1,2,...) логарифмическими коэффициентами функции f(г), а площадь образа круга |г| < г при отображении функцией 1о§(/(г)/г) - логарифмической площадью. Её величина ст(г,1og(f(г)/г) с использованием (1) может быть представлена в виде
Из [3, теорема 3.1] I к|ук| — I < 8 , где ¿<0,312.
к=1^ к)
Переходя в (5) к пределу при п ^ от и учитывая, что
ст^-2ст2+ст3 = г 2(1 - г2)2, ст2-2ст3 + стА = г4(1-г2)2,
да 1 1
11 r2k = tog-^г
1 k 1 — r
С2 1 f С2 \ У1 = — ' /2 = T(c3 ' полУ-
(тг = цВк(р)2к, (г,л=±2пЛге.*. (2) V г ) к=о 2^ 01 1
Теорема (Л. де Бранж [1]). Для каждой функции f (г) е 5 и любой последовательности чисел стк, к = 1,...п , подчиненной условиям невозрастания и выпуклости:
1) Ст >СТ2 >...>стп >СТп+1 = о (п> 1);
2) Стк -СТк+1 >СТк+1 -СТк+2 (к = 1, ...п -1; п > 2), выполняется неравенство для логарифмических коп 2 п СТ
эффициентов I стккук\ <1 —.
к=1 к=1 к
Знак равенства имеет место только для функции Кебе К (г) = г(1 - г)-2.
Следствие 1 (И.М. Милин [2]). Для каждой функции f (г) е 5 при выполнении условий 1), 2) справедливо неравенство
п ||? п ст
IСтккУк\ <1 +
к=1 к=1 к
+ 1(стт - 2стт+1 + стт+2)£ (т +1 - к(к|ук\2 -11 (3)
т=1 к=1 V к)
Знак равенства имеет место только для функции Кебе.
Теорема 1. Для каждой функции f (г) е 5 при любом г е (0, 1) величина логарифмической площади удовлетворяет неравенству 1
к=1 к 1 - г2 2 2 2
чаем (4). Заключение о знаке равенства следует из условий получения (4) при учете неравенства стк > 0, к = 1,2,.. п +1, и того, что логарифмические коэффициенты функции Кебе уп = —, а тейлоровские коэф-
п
фициенты этой функции сл = п, п = 1,2,....
Теорема 2. Для каждой функции f (г) е 5 при любом г е (0,1) справедлива усиленная теорема ис-
г
кажения |f (z)| < a(r) a(r) = exp
(1 — r )
f
— r 2(1 — r)2
2
2A
— r (1 — r)2
3 — 2
1 —
2
(6)
< 1,
со знаком равенства только для функции Кебе.
Доказательство. Из (1) и 1-го равенства (2) при
p = 1 имеем
f (z)
да
= I Dk (1)zk = exp\lykzk\.
z k =0 U=1
Отсюда с помощью неравенства Коши
f (z^ 1
I Dk (1)| rk, z = rew
1 — r k=0
r 1 — r k=0 Используя неравенство Лебедева - Милина [4]
(7)
да I 12 да 2
I Dk (1) r2k < exp Ik/k| r
л=0 k=1
f(z)L 1
(8)
перепишем (7) в виде
--exp Ik|/k\ rk.
1 — r k=1
r 1 — r k= Заменяя r2 на r в неравенстве (4), получим
r
f (z)|<-L-expjlog-^--r2(1 — r)2 x
1 — r [ 1 — r
(4)
со знаком равенства только для функции Кебе.
Доказательство. Воспользуемся следствием И.М. Милина, взяв у 2-й суммы в (3) 2 слагаемых при т=1 и т=2 (все слагаемые этой суммы неположительны по теореме Л. де Бранжа при стк = п + 1 - к), в качестве
последовательности - стк = г2 - г 2п+2, к = 1, 2, ..., п +1, которая удовлетворяет условиям 1) и 2) следствия 1.
( 2 2 ( 2 Л
X 3 — 2 С2 С3 — £2 3 2 — r(1 — r )2 1 — С2
2 2
V V V
отсю-
да и следует (6). Так как равенство в неравенстве Лебедева - Милина (8) достигается только для функций Кебе, то и в (6) оно имеет место только для таких функций.
Следствие 2. Для каждой функции f (г) е 5 при любом г е (0,1) справедливо неравенство для средне-
2
X
2
2
С
2
С
С
2
2
С —
3
интегрального модуля /1(г, /): I (г, /) <а(г )-
1 - г
где а (г2) определено в (4) со знаком равенства только для функций Кебе.
Доказательство. Из 2-го равенства в (2) при р = 1
1 2ж r 2я
l(r' f) = 1^(re")de = ^[
r
2к о
f ( z)
dö =
r 2я
2n о
f (z )
12
dd , z = re' , или
да -
Ii(r, f) = r (1)| r2k.
(9)
f (z)
zf '(z)
1 z 2f '(z)
r2 f3 (z)
f'(z) 2f (z)- z + «of (z)z
f2 (z)
2 M (10)
2 r4
F '(#)-[ 1 -
F ({)-{-«
(1 - r2 )2
F П
|е| =1 > i (11)
r
со знаком равенства только для функций F(z) = z + е z 1 + const. Учитывая взаимнооднознач-
е
ное соответствие между классами S и Е, по формуле
получаем
F (S) = J^' Sl> 1, из (11)
Ввиду неравенства Лебедева - Милина (8) и (9)
получим I1(r, f) < rexp-j £k|yk\ r2k l.
2 (z)
f '(z)
1 z 2f '(z)
r4 f2 (z)
-1 «
1
f (z)
f (z)
1z)
z 2f '(z) 2f (z)-z + «of (z)
3 (z)
2 (z)
(1-r2)
2
(12)
Отсюда и из теоремы 1 приходим к утверждению следствия 2, причем со знаком равенства только для функции Кебе.
Замечание. Теоремы 1 и 2 усиливают соответствующие результаты из [5].
Теорема 3. Пусть функция /е 5 . Тогда при
любом г е (0,1) справедлива усиленная теорема искажения
Учитывая оценку
f (z)
(1 - r2 У
(1 + r )4 J1 -
1 (i + r)' | 1 + r '
(1 - r2 )2" (1 - r 2 )2_ 11 - r J'
из (12) получаем (10).
Равенство в (10) достигается для функции Кебе К= z(l - z) 2 или для функции, получаемой из [2]
z
где с = -2 ; д — произ-
f (z )ш fH=1
Я 2 + cz +4: z
Я
Знак равенства имеет место только для функций Кебе и /^) = z^1 + cz + дz2| , где с = —2 ; д — произвольное действительное число.
Доказательство. Для функций F(z) мероморф-
ных и однолистных в области > 1, имеющих полюс в бесконечно удаленной точке и лорановское разложение в ее окрестности вида F(^) = £ + а0+ а+..., в [2] получена оценка
вольное действительное число.
Литература
1. Branges L., de. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta math. 1985. Vol. 154. P. 137 - 152.
2. Милин И.М. Некоторые приложения теорем о логарифмических коэффициентах // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 1. С. 87 - 98.
3. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормиро-ванные системы. М., 1971. 256 с.
4. Лебедев Н.А., Милин И.М. Об одном неравенстве // Вестн. Ленинградского ун-та. 1965. № 19. С. 157 - 158.
5. Никитин С.В. О логарифмических коэффициентах однолистных функций // Изв. вузов. Математика. 1990. № 7. С. 42 - 49.
Поступила в редакцию
14 февраля 2011 г.
2
1
1
1
z
2
z
+
z
z
2
+
2
z
r
V
2
2
z
2
+
