CC BY
8
2. Акулиничев Ю.П. Радиолокационный способ определения характеристик скорости ветра / Ю.П.Акулиничев, А.М.Голиков // Авт. свид. СССР N 1569759 с приоритетом 6. 05. 88. Зарегистрировано 7. 06. 90. Класс G 01S 13/95.
3. Акулиничев Ю.П., Предельная форма функции когерентности поля в слоисто-неоднородной среде / Ю.П. Акулиничев, А.М. Голиков // Оптика атмосферы. - 1990. - Т.3, №10. - С.1060-1063.
4. Akulinichev Yu.P. Limiting Form of the Coherence Function of Waves Scattered from Layer of In-homogeneities / Yu.P Akulinichev, A.M. Golikov // Progress in Electromagnetics Research Sympo-sium.Proceedings. 24-28 July 1995. Seattle, USA. -P.126.
5. AkulinichevYu.P. Wave scattering from moving turbulence and wind velocity measurements / Yu.P Akulinichev, A.M. Golikov and G.S. Sharygin. // Journal of Atmospheric and Terrestrial Physics. -1996.- V.58, Nos. 8/9.- P.1039-1045.
6. Акулиничев Ю.П. Анализ эффективности пеленгования сканирующих по углу источников СВЧ излучения на загоризонтных морских трассах / Ю.П. Акулиничев, А.М.Голиков // Доклады ТУСУР. «Радиотехнические системы и распространение радиоволн», Том 4, 2000 г., с. 171182
ПРИЛОЖЕНИЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ К ИЗУЧЕНИЮ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ СЕТЕЙ НА МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ионова Татьяна Витальевна
Канд. физ. -мат. наук, доцент кафедры прикладной математики, НИУ МЭИ, г. Москва
Аннотация
В данной статье с помощью инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований изучается поверхность V , вложенная в конформное пространство С . В частности, получено пространство аффинной связности Ат , индуцируемое нормальным оснащением заданной поверхности. Найдено
приложение аффинной связности V пространства Ат к изучению внутренней геометрии сетей на m
-мерной поверхности конформного пространства. Abstract
In this article we study the surface V in the conformal space Си . In particular, we obtain the affinely
connected space Аm m induced by the normal framing of the given surface. It was found out that the concept of
affine connection V could be used in the study of intrinsic geometry of net on the m -dimensional surface of the conformal space.
Ключевые слова: поверхность, связность, сеть, конформное пространство. Keywords: surface, connection, net, conformal space.
Известно, что М. А. Акивис занимался инвариантным построением теории многомерных поверхностей V в конформном пространстве С [1]. А.
П. Норден изучает некоторые вопросы внутренней геометрии оснащенной поверхности трехмерного
конформного пространства С [5]. Однако
На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:
до
настоящего времени в математической литературе вопросы внутренней геометрии сетей на поверхности V. с С почти не рассматривались. Целью
данной работы является восполнение этого пробела в дифференциальной геометрии. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований, а именно методом внешних форм Э. Кар-тана [6], методом нормализации А. П. Нордена [5] и методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева
[4].
1,3, К = 1, п ; А,М = 0, п +1; = т +1, п; и, V = т +1, п -1; ¡, у, к = 1, т.
Рассмотрим т -мерную поверхность V С С , отнесенную к полуизотропному полуортогональному реперу Я = { А0,4, Ап+1}. в
данном репере дифференциальные уравнения поверхности имеют вид
< = 0.
Пусть задано нормальное оснащение поверхности ^ С С полем (П - т) -сфер [Ц ] (
Р = х° А + А ), определяемое полем квазитен-
' К}: '
Сх0 + Х0Ш0 - х]с0 + сС = хЦщ!
Возьмем систему форм Пфаффа {0^, О/ },
зора { Х
где
О = С
0О СО,
О/ =с -(С0 -Х0С) + £шхСГ + Х0а0>.
Система форм (1) удовлетворяет структурным уравнениям Картана - Лаптева [4], [3]
(1)
сО0 =0 лО +1 ЛС0, СО! =0к Л01 +1 гС ЛС0.
Следовательно, система ф°рм Пфаффа (1) Л . тензоры кручения и кривизны этого про-определяет пространство аффинной связности '
странства имеют следующее строение:
ГУ = О
О
тУкV О
^ = 2(А,".У - %Х0Л] - ^х^, - + х0+ gklx0х0gl[- х0).
Справедлива
Теорема 1. Пространство аффинной связности без кручения, индуцируемое нормальным
оснащением поверхности V С С , является вей-левым с полем метрического тензора и дополнительной формой © = С - хк С ; это пространство есть эквиаффинное, а, следовательно, ри-маново тогда и только тогда, когда обращается в
нуль кососимметричный тензор .
Согласно В. Т. Базылеву [2], сетью 2на поверхности V проективного пространства Р+1 называется т семейств линий, заданных на V
так, что через каждую точку А £ V проходит
ровно по одной линии каждого семейства и пространство, натянутое на касательные к линиям сети
в точке А, т -мерно.
На поверхности Vт С проективного пространства Р+1, являющейся образом поверхности V С С при перенесении Дарбу, рассмотрим сеть , описываемую точкой A. Дифференциальные уравнения сети 2т С Vт С в
проективном репере К, отнесенном к ее линиям, имеют вид [2]:
С
У
>" * у.
Прообразом каждого семейства линий сети 2т при перенесении Дарбу на поверхность V С С является семейство линий; т линейно
т п '
независимых семейств линий на V С С обрат п *
зует сеть 2т С V С С .
т т п
Теорема 2. На заданной поверхности Vm С Сп сеть 2т С Vm существует с произволом т(т - 1) функций т аргументов. Возьмем совокупность функций
а
к ^
= I - (т -1)3.
(3)
У*"
Функции (3) являются относительными ( " * к) или абсолютными (" = к) инвариантами. Матрица порядка т из относительных и абсолют-
к
ных инвариантов а невырождена. Элементы об-
ратной матрицы а определяются соотношениями
" к к г ск
а„ а; = а;а„ =д„ .
к
Возьмем охват О
дг =
(
II
Л
а
к
Vу *к у
а
Сд0 + д0 (сО -юС" + юС = дС.(4)
Рассмотрим гиперсферы
(2)
^ = д0 А + А,
(5)
<
принадлежащие «касательным» к линиям сети 2т С V,. Они являются инвариантными, так как
3К = ; назовем их гармоническими гиперсферами сети.
В силу уравнений (4) поле гармонических
(П — т) -сфер К = [К ] пересечения т гармонических гиперсфер К сети задает нормальное
оснащение поверхности V С С . Таким образом, справедлива Теорема 3. Поле гармонических (П — т) -
сфер [К ] сети 2т, заданной на поверхности
V С С, внутренним образом определяет нормальное оснащение поверхности.
Допустим, что сеть 2т С V С С ортогональна, т. е. касательные к ее линиям попарно ортогональны:
(XX )=( АА ) == 0 i * , («)
Принимая во внимание соотношения (6), функции (3), элементы обратной матрицы и охват (4) соответственно примут вид
ак=—(т —1)3, О; 3,,
т — 1
= Л 8 X .
т — 1 „ ]
(5), (7) и (8) справедливо К
=~Ч X К
т — 1
есть каждая из т гармонических гиперсфер К заданной ортогональной сети есть среднее арифметическое псевдофокальных гиперсфер К , касательной А А к линии СОц сети.
(7)
Таким образом, геометрический смысл гармонических гиперсфер К ортогональной сети
2т С V С С заключается в следующем: каждая из т — 1 гиперсфер
К = —а, А + А = ё]]ёОА + А,' * , ,(8)
принадлежащих «касательной» к г -ой линии ортогональной сети 2т С Vт, является инвариантной, так как = 7Г]К/ . Следуя работе [2], назовем их псевдофокальными гиперсферами касательной А А к г -ой линии сети 2т С V С С . Для ортогональной сети в силу
Будем говорить, что поверхность V С Сп,
несущая ортогональную сеть 2т, есть т -сопряженная система, если при перенесении Дарбу соответствующая поверхность Vm С с является т -сопряженной системой в , то есть все псевдофокусы
К =—4А + А,г *]
каждой касательной А А к линии С сопряженной (относительно полей конусов направлений
а1с№0 = 0 £СсС0 = 0) сети
2т С Vт С 02 являются фокусами. Имеют место следующие утверждения.
Теорема 4. Необходимым и достаточным
условием того, что поверхность V С Сп (2 < т < П — 1), несущая ортогональную сопряженную сеть 2т, есть т -сопряженная система, является обращение в нуль относительных
инвариантов ак (все индексы различны).
]
Теорема 5. т -сопряженные системы К С С существуют с произволом т(т — 1)
функций одного аргумента.
Предположим, что ортогональная сопряженная сеть 2 С V С С является голономной, т.
т т п '
е. каждое из т уравнений Пфаффа С, = 0 вполне интегрируемо. Справедлива
Теорема 6. Поверхность V С Сп (2 < т < п — 1), несущая ортогональную сопряженную сеть 2т, есть т -сопряженная система тогда и только тогда, когда сеть 2т является
голономной.
Условием параллельного перенесения направления АА касательной к , -ой линии ортогональной сети 2 С V С С вдоль ее к -ой лит т п
нии в аффинной связности V , индуцируемой нор-
мальным оснащением поверхности
0
то
Vm С Сп
полем квазитензора Х° , является выполнение соотношений
4 — 8мХ°]8й + З^х, = а г * ]. (9) Если условия (9) справедливы для любых г * к, (г = к), то ортогональная сеть 2 С V С С называется чебышевской (геоде-
т т п у "
зической) относительно данной нормализации поверхности, определяемой полем квазитензора Х0 .
Теорема 7. Если нормально оснащенная полем квазитензора х° поверхность V С Сп несет ортогональную геодезическую сеть 2 в аффинной
связности V, то она является сетью с совпавшими псевдофокальными гиперсферами и данное оснащение будет нормальным оснащением полем ее
гармонических (П - т) -сфер [^ ].
Справедливо и обратное утверждение: Теорема 8. Если ортогональная сеть
2 С V С С есть сеть с совпавшими псевдо-
т т п
фокальными гиперсферами, то при нормальном оснащении поверхности V С Сп полем ее гармонических (П - т) -сфер [^ ] данная сеть является геодезической относительно аффинной связности V.
Пусть поверхность V С Сп несет ортогональную чебышевскую сеть 2т. Тогда имеет место
Теорема 9. Если нормально оснащенная полем квазитензора х° поверхность V С Сп (п > 3) несет ортогональную чебышевскую сеть 2 в аф-
финной связности V, то эта сеть является геодезической, причем данная нормализация будет нормализацией полем гармонических (п - т) -сфер
[ F ]
сети.
Список литературы:
1. Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей// Математический сборник. - М., 1961. - Т. 53. - № 1. - С. 53-72.
2. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства// Известия вузов. Математика. - 1966. - № 2. - С. 9-19.
3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М.: ВИНИТИ, 1979. - Т. 9. - 246 с.
4. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований// Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976. - 432 с.
6. Фиников С. П. Метод внешних форм Кар-тана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ И СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОДИНАМИКИ
Кузьмин Николай Михайлович
к.ф.-м.н., доцент кафедры информационных систем и компьютерного моделирования, Волгоградский государственный университет, г. Волгоград Храпов Сергей Сергеевич
к.ф.-м.н., доцент кафедры информационных систем и компьютерного моделирования, Волгоградский государственный университет, г. Волгоград Бутенко Мария Анатольевна
старший преподаватель кафедры информационных систем и компьютерного моделирования, Волгоградский государственный университет, г. Волгоград
Аннотация
В работе представлены результаты исследования точности и сходимости методов CSPH-TVD, MUSCL, PPM и WENO для решения уравнений идеальной газодинамики в одномерном случае на примере задачи о распаде разрыва. Показано, что все указанные методы дают очень близкие результаты.
Abstract
In this article the results of the study of accuracy and convergence methods CSPH-TVD, MUSCL, PPM and WENO for solving equations of ideal gas dynamics was present. It is shown, that all of these methods gives a very similar results.
Ключевые слова: численное моделирование, газодинамика, лагранжево-эйлеров подход, порядок сходимости, точность численного решения.
Keywords: numerical simulation, gas-dynamics, Lagrange-Eulerian approach, order of convergence, accuracy of numerical solution.
Многие научно-технические задачи описыва- лишь для ограниченного числа частных случаев. ются уравнениями газодинамики. Поскольку они Поэтому для их решения обычно применяют чис-имеют нелинейную форму, точные или приближен- ленные методы. ные аналитические решения могут быть получены
