CC BY
90
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 531+629.7
Ю. 3. Алешков ■
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ВЛАДИМИРА ИВАНОВИЧА ЗУБОВА
Ведь терпит лука тетива,
Зато стрела летит далеко.
. Ведь терпит тень в лесу трава,
Зато и тянется высоко.
В. И. Зубов
Для исследования природных явлений и создания технических устройств, облегчающих деятельность человека, необходимы наблюдения с последующим принятием соответствующей физико-математической модели. При этом следует рассматривать не только сами материальные объекты, но и пространство-время, в котором протекает физический процесс. Параметры, характеризующие данную систему, подчинены определенным связям, задачу установления которых решили Г. Галилей и И. Ньютон. В «Математических началах натуральной философии» И. Ньютон, используя предыдущий опыт развития научных представлений о движении, сформулировал законы механики. Основное назначение «Начал» - показать приложения математики к физике. В них И. Ньютон сформулировал прямую и обратную задачи механики.
Прямая задача состоит в том, чтобы по заданному воздействию на механическую систему определить ее движение; обратная - по заданному движению или его свойствам требуется определить силы, его вызывающие. Таким образом, появилась возможность математического моделирования физических процессов. На основе законов И. Кеплера, характеризующих свойства движения, И. Ньютон открыл закон всемирного тяготения, по которому взаимодействие между двумя материальными точками определяется силой притяжения, направленной вдоль линии, соединяющей эти точки, величина которой прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Благодаря открытию закона всемирного тяготения стало возможным говорить о действии на расстоянии, что послужило основанием для представления о силовом поле.
Расширение образования способствует достижениям в науке, что ведет к развитию промышленного производства. Наука и культура определяют характер социальноэкономических отношений в обществе. Становление науки и образования в России стимулировалось необходимостью укрепления ее экономики и стремлением к возвращению потерянных земель. На заседании Боярской Думы 20 октября 1696 г. рассматривался вопрос о создании морского флота, по которому вынесено решение: «Морским судам быть». .
© Ю. 3. Алешков, 2005 .
Крупным событием в истории науки, техники и образования в России является Великое посольство Петра I (1697-1698). Наряду с дипломатической миссией оно решало вопросы ознакомления с жизнью в Европе, ее научными и производственными достижениями. Кроме того, Петром I владело желание учиться корабельному делу самому и научить своих подданных.
По Указу Петра I от 14 января 1701 г. была создана Школа математических и нави-гацких наук (Навигацкая школа), первоначально размещавшаяся в Москве в Сухаревой (Сретенской) башне. Это первое в России светское учебное заведение, в котором изучались предметы от русского языка и начал счета до навигации и морской астрономии. На базе старших классов Навигацкой школы 1 октября 1715 г. в Санкт-Петербурге была основана Академия морской гвардии (Морская Академия), которая с 1743 г. размещалась в бывшем дворце фельдмаршала Б. X. Минйха на Васильевском острове. Затем 15 декабря 1752 г. Навигацкая школа была упразднена, а Академия морской гвардии преобразована в Морской шляхетный кадетский корпус, с 1802 г. - Морской кадетский корпус, переименованный к 300-летию Навигацкой школы в Морской корпус Петра Великого. В нем преподавали такие выдающиеся математики и механики как М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, О. И. Сомов, А. Н. Коркин. Среди его выпускников известные флотоводцы, композиторы, ученые, например, Владимир Иванович Даль (1801-1872), Алексей Николаевич Крылов (1863-1945) и др.
С основанием Санкт-Петербурга были созданы школы: Хирургическая, Инженерная, Архитектурная, Карповская школа Феофана Прокоповича, в которых изучались не только языки, но и риторика, история, география, математика, рисование, музыка.
Вместе с тем Петр I понимал необходимость развития фундаментальной науки, техники и образования. Учитывая состояние дел в России, он пришел к мысли о сочетании науки и образования, в результате чего им был одобрен проект Указа о создании триединого здания Академия-Университет-Гимназия. В «Полном собрании законов Российской Империи, с 1649 года» мы находим: «Генваря 28. Именный, объявленный изъ Сената. - Объ учреждены Академш... - Съ приложешемъ проэкта объ учрежденш Академш.
Его Императорское Величество указал учинить Академш, въ которой бы учились языкамъ, также прочимъ наукамъ и знатнымъ художествамъ, и переводили бы книги. А Генваря 22 дня, Его Императорское Величество, будучи въ Зимнемъ домб и слушавъ о сочиненш той Академш проэкта, на котором собственною Своею рукою подписать изволилъ ...» (Т. VII (1723-1727), 1830, п. 4443, с. 220-224).
С учреждением в Санкт-Петербурге Академии, Университета и Гимназии в Россию были приглашены молодые талантливые ученые. Среди них братья Николай и Даниил Бернулли, Леонард Эйлер, будущий конференц-секретарь Академии математик Христиан Гольдбах и будущий историограф и ректор Императорского Санкт-Петербургского Университета (1748-1750) в то время студент Герард Фридрих Миллер. Научная деятельность новых академиков была направлена на решение актуальных проблем, волновавших тогда мировую науку.
Практические вопросы гидравлики, гидротехники и процессов переноса в живых системах требовали изучения движения жидкости. С 1729 г. Д. Бернулли начинает работу над своей знаменитой «Гидродинамикой».
В России Л. Эйлер' (в 1727-1741, 1766-1783 гг.) создал свои знаменитые труды по аналитической механике, математическому анализу, теории корабля. Большую роль сыграл он в подготовке научных кадров. Среди его учеников будущие академики
М. Е. Головин (1756-1790), С. К. Котельников (1723-1806), С. Я. Румовский (1734-1812), Н. И. Фусс (1755-1825).
Значительная роль в развитии науки и образования в России принадлежит выдающемуся ученому Михаилу Васильевичу Ломоросову (8.11.1711-4.04.1765), непревзойденному в естественных науках, стихосложении и истории.
Физико-математический факультет в структуре университета начал функционировать с 1819 г. На нем были представлены математика, механика, астрономия, физика, химия, минералогия, ботаника, зоология.
Петербургская школа математики и механики формировалась трудами таких ученых, как М. В. Остроградский (1801-1862), В. Я. Буняковский (1804-1889), О. И. Сомов (1815-1876), П. Л. Чебышев (1821-1894), А. М. Ляпунов (1857-1918). Д. К. Бобылев (1842-1917), В. А. Стеклов (1864-1926), Н. М. Гюнтер (1871-1941), В: И. Смирнов (1887-1974) и др.
Бурное развитие науки и техники в XX в. потребовало создания новых форм организации научных исследований. В связи с освоением космического пространства и Мирового океана возникли прикладные задачи, которые требовали сочетания физических, математических и вычислительных областей знания. Основателем новой методологии для решения сложных технических и социально-экономических задач стал выдающийся математик и механик, крупный организатор в области науки и образования профессор Ленинградского университета Владимир Иванович Зубов.
В. И. Зубов родился 14 апреля 1930 г. в городе Кашира Московской области. Поселение Кашира было основано в XIV в., статус города получило в 1777 г. Город расположен на р. Оке. В 1922 г. по плану ГОЭЛРО была пущена Каширская ГРЭС им. Г. М. Кржижановского.
Мать Владимира Ивановича - Евдокия Михайловна Зубова (Вахнина) (1895-1969), из крестьян Тульской губернии. Отец - Иван Алексеевич Зубов (1900-1947), сын купца первой гильдии Алексея Николаевича Зубова (1863-1947), корни которого уходят в далекое прошлое. Старший брат - Алексей Иванович Вахнин (1924-1982), средний -Николай Иванович Зубов (1928-2002).
В школу в Кашире Володя Зубов пошел в 1938 г. Учился с прилежанием, помогал в семье по хозяйству. Война, начавшаяся в 1941 г., разбросала опасные предметы. По окончании шестого класса с Володей случилось несчастье. Он потерял зрение. Врачи в должной мере не смогли ему помочь.
В 14 лет Володя осознает, что с ним случилось непоправимое большое несчастье. Где брать силы, чтобы жить дальше и как жить? Только в знаниях. Он продолжает учиться в седьмом и восьмом классах в прежней школе. Но это трудно в его положении. Надо заниматься в специальной школе. В Москве в школе для незрячих девятого класса не было. И он вместе с братом Алексеем приехал в Ленинград в 1946 г., чтобы 'поступить в специальную школу, которая располагалась на набережной р. Кар-повки. Здесь он закончил девятый, десятый и одиннадцатый классы. В это время проявились у него способности к математике. Его учитель Вячеслав Александрович Бершадский предложил способному ученику заниматься во Дворце пионеров в математическом кружке, где занятия вел Александр Иванович Скопин. Володя участвовал в математической олимпиаде и занял первое место.
Важным фактором укрепления здоровья учеников спецшколы были занятия физкультурой, которую вел увлекательно и талантливо педагог Н. Шеповальников. На уроках физкультуры учились ориентироваться в пространстве, занимались на гимнастических снарядах, катались на коньках, выезжали в Кавголово на лыжные прогулки.
Володя Зубов с увлечением занимался физкультурой, что ему помогло в дальнейшем. В студенческие годы он увлекался плаванием, академической греблей и борьбой.
Закончив школу весной 1949 г., В. И. Зубов подает заявление о поступлении в ЛГУ на математико-механический факультет. Однако оно не принимается. В результате поездки в Москву в Министерство высшего и среднего образования РСФСР, которая сопровождалась большими трудностями, он получает разрешение на сдачу экзаменов в университет на общих основаниях и становится студентом математико-механического факультета ЛГУ.
На I курс поступили 125 человек. Однокурсниками В. И. Зубова были: Григорий Григорьевич Меньшиков, Никита Федорович Морозов, Виктор Александрович Плисс, Александра Федоровна Хитрина, Рэм Георгиевич Баранцев, Ольга Карловна Даугавет, Игорь Карлович Даугавет, Валентина Александровна Калищук, Людмила Петровна Карабутова, Геннадий Тихонович Алдощин.
На I курсе в 1949/50 учебном году лекции читали: Исидор Павлович Натансон -математический анализ, Дмитрий Константинович Фаддеев - высшая алгебра, Николай Александрович Шанин - аналитическая геометрия; на старших курсах: Александр Данилович Александров - дифференциальная геометрия, Николай Михайлович Матвеев - дифференциальные уравнения, Всеволод Владимирович Шаронов - астрономия, Владимир Иванович Смирнов - теория функций комплексной переменной, Даниил Макарович Волков - математическая физика, Борис Захарович Вулих, Глеб Павлович Акимов - функциональный анализ.
На II курсе 14 декабря 1950 г. Владимир Иванович и Александра Федоровна поженились. Александра Федоровна родилась 19 апреля 1931 г. в Стерлитамаке. В настоящее время доктор технических наук (1984), профессор (1989), Лауреат Государственной премии Республики Мордовия (2000).
Учеба продолжалась. Пришло время выбора кафедры. Александра Федоровна и Владимир Иванович приняли решение продолжать учебу и научную деятельность на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений, которую возглавлял Николай Павлович Еругин. На кафедре преподавали Николай Михайлович Матвеев, Владимир Петрович Басов, Алексей Петрович Тузов.
Н. М. Матвеев вел курс дифференциальных уравнений, читал увлеченно и доходчиво. Он заметил способного и трудолюбивого студента В. И. Зубова и ввел его в круг вопросов, над которыми работали выдающиеся математики А. Пуанкаре и А.М. Ляпунов. К дифференциальным уравнениям сводится широкий круг прикладных задач, и в Петербургском-Ленинградском университете эта область математики была представлена еще работами Д. Бернулли и Л. Эйлера. С образованием физико-математического факультета (1819) этот курс вели П. Л. Чебышев, В. Я. Буняковский, А. Н. Коркин. Работы А. М. Ляпунова способствовали развитию и расширению курса. С приходом в 1906 г. в университет В. А. Стеклова (1864-1926) внимание к этому курсу возросло. Большое влияние на своих воспитанников оказали работавшие в этом направлении в университете Н. М. Гюнтер, И. А. Лаппо-Данилевский, В. И. Смирнов, Н. Е. Кочин.
Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений оформилась в 1929 г., и до 1941 г. ею заведовал Н. М. Гюнтер.
Николай Максимович Гюнтер (17.12.1871-4.05.1941) родился в Санкт-Петербурге, окончил Санкт-Петербургский университет (1894), доктор чистой математики (1915), профессор, член-корреспондент АН СССР (с 1922 г.)..
Сменил его на посту заведующего Н. П. Еругин. Николай Павлович (14.05.1907-11.02.1990) родился в станице Великокняжеской Ростовской области. В 1928 г. по-
ступил на физико-математический факультет ЛГУ. УН. М. Гюнтера в 1931 г. он слушал усиленный курс «Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных», а в 1932 г. курс «Аналитическая теория дифференциальных уравнений», что и определило направление его научной деятельности.
Руководителем научной работы аспиранта Н. П. Еругина был В. И. Смирнов. Великая Отечественная война прервала интенсивную научную и педагогическую деятельность Николая Павловича. С первых дней войны он был на Ленинградском фронте - сначала в ополчении, затем в качестве командира взвода противотанковой 45-миллиметровой артиллерии. После 150 дней непрерывного пребывания в боевом охранении и в ближних боях за Ленинград Н. П. Еругин 22 февраля 1942 г. был тяжело ранен. После семи месяцев лечения он прибыл в Елабугу на Каме, где в то время находился филиал ЛГУ, который возглавлял Виктор Амазаспович Амбарцумян.
Еще в апреле 1941 г. Н. М. Гюнтер за несколько дней до своей кончины настоятельно рекомендовал Николаю Павловичу изучить книгу А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». Именно она из немногих математических книг оказалась в Елабуге, и он приступил к ее изучению. Здесь им была решена поставленная в 1880 г. А. М. Ляпуновым задача о построении теории приводимых систем. На этом материале летом .1943 г. Н. П. Еругин в Казани защитил докторскую диссертацию. Вскоре он был утвержден в должности профессора и заведующего кафедрой дифференциальных и интегральных уравнений ЛГУ (1943-1958). В 1949-1950 гг. Н. П. Еругин - декан математико-механического факультета университета. В 1951 г. за выдающиеся работы по теории устойчивости и теории автоматического регулирования ему присуждается Государственная премия СССР. В 1953-1957 гг. Н. П. Еругин - директор Ленинградского отделения Математического института им. В. А. Стеклова. В 1956 г. он был избран академиком Белорусской академии наук.
В период 1958-1960 гг. кафедрой заведует Сергей Михайлович Лозинский. С 1960 г. по настоящее время кафедрой дифференциальных уравнений руководит член-корреспондент РАН (1990), доктор физико-математических наук (1959), профессор Виктор Александрович Плисс (родился в 1932 г.).
Курс дифференциальных уравнений был разработан Н. М. Гюнтером, читавшим его до 1939 г., и Н. П. Еругиным, который в своих лекциях 1939-1948 гг. сконцентрировал внимание на вопросах, связанных с теоремами существования и единственности. Продолжил чтение лекций по этому курсу Н. М. Матвеев в 1948 г. Его лекции предусматривали изложение вопросов устойчивости движения (решения), разработанные Александром Михайловичем Ляпуновым (25.05.1857-03.11.1918).
А. М. Ляпунов в 1876 г. поступил на отделение естественных наук физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета, но через месяц перешел на математическое отделение. 27 января 1885 г. состоялась защита диссертации «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» на степень магистра прикладной математики. Оппонентами были профессора Д. К. Бобылев (Санкт-Петербургский университет) и Н. С. Будаев (Артиллерийская академия).
После этого события А. М. Ляпунов получил приглашение занять кафедру механики в Харьковском университете, где блестяще читает лекции по механике и работает над докторской диссертацией «Общая задача об устойчивости движения». Защита состоялась 30 сентября 1892 г. в Московском университете. В качестве оппонентов выступили профессора Н. Е. Жуковский и Б. К. Млодзеевский.
В октябре 1901 г. А. М. Ляпунова избирают академиком РАН по кафедре прикладной математики, после чего он возвращается в Петербург. Здесь он работает над
проблемой, поставленной еще в 1882 г. П. Л. Чебышевым, о фигурах равновесия однородной и неоднородной жидкости. В 1917 г. переезжает в Одессу, где 3 ноября 1918 г. закончил свой жизненный путь.
Первая проблема, которой занялся В. И. Зубов - устойчивость заданного движения. Интерес к ней был вызван курсом лекций по теории дифференциальных уравнений, который увлекательно читал Н. М. Матвеев, и научной атмосферой, присутствовавшей на семинарах кафедры под руководством Н. П. Еругина.
В работе «Общая задача об устойчивости движения» А. М. Ляпунов рассматривает механическую систему с конечным числом степеней свободы. Функции, характеризующие ее положение в каждый момент времени, удовлетворяют, при заданных силах, зависящих от обобщенных координат и их производных, системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которую можно свести к системе уравнений первого порядка. Рассматривая конкретное движение механической системы, для его описания получим частное решение указанной системы дифференциальных уравнений.
Представляя исходные функции через отклонения от частного (невозмущенного) решения, придем к векторному уравнению относительно возмущений:
х = /(х,Ь), /(О, £) = 0, х(Ьо) = х0.
A. М. Ляпунов дал определение устойчивости движения: Невозмущенное движение х(£) = 0 называется устойчивым, если по любому е > 0 и для данного £о ^ 0 можно указать <5 = £(е), что при |ж0| < й(е) будет |ж(£;хо,£о)| < £-
Если, кроме того, |ж(£;жо,£о)| 0, £ —» +оо, то невозмущенное движение называ-
ется асимптотически устойчивым.
Он предложил два метода исследования устойчивости движения. Первый предполагает непосредственное построение. решения системы уравнений возмущенного движения, что представляет, как правило, очень трудную задачу. Второй метод основан на изучении поведения функции V = У(ж,£), оценивающей расстояние изображающей точки х = ж(г;жо,*о) до начала координат фазового пространства.
Для решения вопроса об устойчивости, в том числе асимптотической, или неустойчивости движения, А. М.. Ляпунов доказал четыре теоремы. Приведем теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости движения.
Теорема 1. Если можно найти положительно-определенную функцию V = У(х^), производная которой IV = V на решениях системы х = /(ж,£) удовлетворяла бы неравенству МУ ^ 0, то невозмущенное движецие ж(£) = 0 устойчиво.
Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функция \¥(х,Ь) определенно-отрицательна, а функция У(х,Ь) —У 0 при |ж| —> 0 равномерна по £ > Т, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
При кафедре дифференциальных и интегральных уравнений работал научный семинар (по пятницам с 17 до 19 ч), возглавляемый Николаем Павловичем Еругиным. В его работе принимал активное участие и. В. И. Зубов. В атмосфере преданности науке он формировал свой математический стиль, пытаясь решить трудные задачи. Анализируя состояние вопроса об устойчивости движения, Н. П. Еругин сформулировал задачи, требующие непосредственного решения. Это задачи об обращении теорем
А. М. Ляпунова и о представлении общего решения в области.асимптотической устойчивости.
B. И. Зубов показал, что функция Ляпунова V = У(х), удовлетворяющая специ-
альному уравнению
=^)\/1+17ра + ю,
существует во всей области асимптотической устойчивости невозмущенного движения системы х = /(ж) и изучил ряд ее свойств, опираясь на которые ему удалось определить уравнение границы области асимптотической устойчивости и необходимое и достаточное условия устойчивости в целом. Пользуясь свойствами функций А. М. Ляпунова, он установил общий вид систем, имеющих наперед заданную область асимптотический устойчивости невозмущенного движения. Кроме того, им дано представление общего решения в области асимптотической устойчивости в виде рядов, сходящихся на всей оси времени или полуоси.
Эти результаты составили содержание диссертации В. И. Зубова на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук «Границы области асимптотической устойчивости», защищенной 15 ноября 1955 г., руководитель Н. П. Еругин. Официальными оппонентами выступили известные ученые Евгений Алексеевич Барбашин и Николай Николаевич Красовский.
После защиты диссертации приказами ректора университета, проф. А. Д. Александрова и директора НИИ математики и механики акад. В. И. Смирнова Владимир Иванович Зубов был зачислен на должность старшего научного сотрудника с последующим избранием по конкурсу (декабрь 1955 г.).
Через полгода после защиты кандидатской диссертации В. И. Зубов принес директору института рукопись по устойчивости инвариантных множеств динамических систем. Перелистав ее, акад. В. И. Смирнов сказал: «Давайте издадим ее в виде книги и будем по ней защищать докторскую диссертацию». Так, в 1957 г. в издательстве ЛГУ появилась превосходная монография В. И. Зубова «Методы А. М. Ляпунова и их применение». Она была посвящена 100-летию со дня рождения этого выдающегося ученого и открывалась его портретом.
В предисловии к ней В. И. Смирнов писал: «Монография В. И. Зубова по своему содержанию непосредственно примыкает к знаменитой работе А. М. Ляпунова “Общая задача об устойчивости движения”... ». Напомнив результаты А. М. Ляпунова, он отмечает, что В. И. Зубов рассматривает динамические системы в метрическом пространстве и вопрос об устойчивости инвариантных множеств динамической системы. В случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений указывается необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости. Обобщается понятие динамической системы в метрическом пространстве, для того чтобы исследовать вопросы устойчивости для систем с частными производными. Изучается также поведение решений дифференциальных уравнений в окрестности особой точки.
А. М. Ляпунов надеялся, что его труд «может послужить точкой отправления для дальнейших изысканий такого же характера». И акад. В. И. Смирнов отмечает, что «эти слова оправдались в широкой мере. В печати появились сотни работ, непосредственно связанных с исследованиями А. М. Ляпунова. В настоящей монографии В. И. Зубова эти исследования получили существенное обобщение и развитие».
В своей книге В. И. Зубов, исходя из того, что в теоремах А. М. Ляпунова указаны только достаточные условия устойчивости и неустойчивости движения, указывает на ряд новых вопросов:
«1. Являются ли достаточные условия, сформулированные в этих теоремах, также и необходимыми?
2. Можно ли при помощи функции Ляпунова отыскать область изменения начальных данных хо,to, таких, что \x(t] х0, to)| -* 0 при t -> +00?
3. Можно ли при помощи функции Ляпунова указывать те или иные оценки функций |а:(<;а:о,<о)|? отвечающих достаточно малым |жо|?».
Он развивает как первый, так и второй методы А. М. Ляпунова. Для изучения вопроса об устойчивости инвариантных множеств динамических систем и двухпараметрических семейств преобразований (общих динамических систем) в метрическом пространстве применяет второй метод А. М. Ляпунова.
Динамической системой в метрическом пространстве R называется однопараметрическое семейство операторов Ft, |£( < оо, заданное в Л и обладающее свойствами:
а) на любом элементе р € R семейство операторов Ft принимает значения Ft (р) G Л, |£| < оо, так что F0{p) = р,
б) значение оператора Ft(p) является непрерывной функцией по совокупности (t,p),
в) Fti(Fta(t)) = Ftl+t2.
Принято обозначение Ft(p) = f(p,t).
Последнее свойство семейства операторов позволяет рассматривать динамическую систему как однопараметрическую группу преобразований пространства R на себя.
Функцию f(p,t) при фиксированном р называют движением, а множество точек М < °°> ПРИ фиксированном р - траекторией.
Множество М С R называется инвариантным по отношению к динамической системе f(p, £), если оно состоит из траекторий этой динамической системы, т. е. из р G М следует f(p, t) е М, \t\ < 00.
Замыкание инвариантного множества является инвариантным множеством.
Замкнутое в R инвариантное множество М называется устойчивым по Ляпунову, если по любому £ > 0 можно указать величину 6(e) > 0 такую, что при р{р,М) < S будет p(f(p,t),M) < е при t ^ 0. Если, кроме того, p(f(p,t),M) -> 0 при t -у +оо, то замкнутое инвариантное множество М называется асимптотически устойчивым. Здесь р(р, М) - расстояние от точки р до множества М, р(р, М) — inf р(р, q).
q€M
Если замкнутое инвариантное множество М динамической системы f(p, t) асимптотически устойчиво, то совокупность А всех точек р € R, р М, обладающих свойством p(/(p,t),M) —Y 0, |t| -> +00, называется областью асимптотической устойчивости этого инвариантного множества. Множество А - открытое.
Границей Г области асимптотической устойчивости называется непустое множество всех точек q € А\ А и q М. Граница Г является инвариантным множеством.
Среди основных результатов книги В. И. Зубова «Методы А. М. Ляпунова и их применение» следующие:
1) указаны необходимые и достаточные условия устойчивости инвариантного множества М динамической системы f(p, t),
2) дан способ отыскания границы области асимптотической устойчивости,
>3) приведены методы, позволяющие оценить расстояние от движения f (pyt) до некоторого инвариантного множества.
/• После выхода в свет этой книги на нее обратили внимание инженеры и конструк-торы, занимающиеся вопросами динамики полета управляемых тел. В результате такого сотрудничества В. И. Зубов выпустил монографию «Математические методы исследования систем автоматического регулирования» (Л., 1959).
Кроме того, им была выполнена работа, посвященная вопросу качественного анализа поведения управляемых тел на участке сближения.
Докторскую диссертацию В. И. Зубов защищал в апреле 1960 г. в Ленинградском политехническом институте по монографии «Методы А. М. Ляпунова и их применение». Оппонентами выступили профессора Е. А. Барбашин, В. Г. Болтянский, А. М. Летов. От ведущей организации отзыв дал проф. Н. Н. Красовский, а с места работы -акад. В. И. Смирнов.
Председательствовал на защите проф. Г. Ю. Джанелидзе. В числе членов совета были известные ученые: вице-президент АН СССР Б. П. Константинов, профессора Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье. Голосование - единогласно.
12 ноября 1960 г. ВАК присвоил В. И. Зубову степень доктора физико-математических наук. Представлял диссертацию на пленуме ВАК специалист в области автоматического регулирования Е. П. Попов.
Обобщением результатов исследования прикладных задач явилась фундаментальная монография В. И. Зубова «Колебания в нелинейных и управляемых системах», вышедшая в свет в 1962 г. В ней значительное место занимает изучение вопроса о поведении интегральных кривых систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности точек покоя, периодических орбит и почти-периодических решений. Основанием такого рассмотрения служит то обстоятельство, что колебания в различных, как механических, так и электромеханических, системах описываются системами нелинейных уравнений, и развитие колебаний как в управляемых, так и в неуправляемых системах во многом определяется их стационарными режимами и поведением этих систем в окрестности указанных режимов.
В 1962 г. В. И. Зубову была присуждена 1-я Университетская премия за работы, связанные с развитием методов А. М. Ляпунова. В 1963 г. ему присвоено звание профессора.
Идея создания факультета прикладной математики-процессов управления зародилась у В. И. Зубова в 1957 г! Начал работать городской семинар по теории управления. При Вычислительном центре ЛГУ им была создана лаборатория теории управляющих устройств и механизмов (ТУУМ), открытие которой состоялось 1 апреля 1962 г. В 1967 г. В. И. Зубов организует при математико-механическом факультете ЛГУ кафедру теории управления и становится ее заведующим.
В этот период (1962-1967 гг.) идет напряженная научная работа по плану исследований лаборатории ТУУМ. Среди них первое место занимают математические вопросы теории оптимального управления. В. И. Зубов, возглавляя научный коллектив, выпускает в 1966 г. книгу «Теория оптимального управления», посвящая ее 100-летию выдающегося ученого акад. А. Н. Крылова.
Вопросы математической теории управления давно вошли в круг интересов как теоретиков, так и практиков. Однако необходимы были конструктивные методы построения оптимального управления. В этой монографии В. И. Зубов, опираясь на методы
А. М. Ляпунова, вводит понятие управления, оптимального по отношению к демпфированию меры отклонения переходного процесса от некоторого заданного режима. В ней устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых возможна стабилизация программного движения, и указываются способы построения законов управления, стабилизирующих заданное программное движение. Решена задача построения оптимального регулятора и указан способ построения оптимального управления в синтезированном виде.
За цикл работ по теории автоматического регулирования и оптимального управления В. И. Зубову в 1968 г. была присуждена Государственная премия СССР. В связи с этим президент АН СССР акад. М. В. Келдыш в газете «Правда» от 9 января 1968 г.
в статье «В авангарде технического прогресса» отметил: «Широкую известность у нас и за рубежом получили работы В. И. Зубова. Проведенные им глубокие исследования по теории устойчивости движения, теории автоматического управления и теории оптимальных процессов позволяют решать важные прикладные проблемы, в частности в области конструирования управляющих автоматов, стабилизации программных движений. Методы В. И. Зубова эффективны и в приложении к задачам управления, возникающим в промышленности, математической экономике, биологии и медицине, судовождении».
Вместе с тем В. И. Зубов отчетливо сознавал■, что потребности развития промышленности и задачи, связанные с освоением космического пространства и Мирового океана, требуют создания учебно-научного центра по прикладной математике-процессам управления. Основанием для создания факультета послужил приказ по Министерству высшего и среднего специального образования РСФСР от 11 сентября 1969 г., № 405. В нем говорилось об организации в Ленинградском государственном университете центра по прикладной математике-процессам управления (ПМ-ПУ), открытии факультета и назначении исполняющим обязанности декана профессора, доктора физико-математических наук В. И. Зубова. Кроме того, утверждался временный учебно-методический совет по организации факультета, председателем которого стал акад. В. В. Новожилов.. Датой рождения факультета ПМ-ПУ является день заседания совета - 10 октября 1969 г.
Кафедра теории управления вошла в состав факультета с открытием новых кафедр: механики управляемого движения (заведующий профессор Виктор Сергеевич Новоселов) и вычислительных методов механики деформируемого тела (заведующий профессор Климентий Феодосьевич Черных).
Затем открылись кафедры высшей математики (1971 г.', заведующий профессор Николай Михайлович Матвеев) и математической статистики, теории надежности и массового обслуживания (1972 г., заведующий профессор Виктор Павлович Скитович).
Через два года Совет Министров СССР постановил организовать НИИ вычислительной математики и процессов управления (ВМ и ПУ) - постановление от 26 мая 1971 г., № 305. Первым директором стал Георгий Николаевич Крылов. Начались учебный процесс и научно-исследовательская работа. Появилась потребность в издании научных трудов сотрудников факультета и института. В 1972 г. вышел в свет первый сборник «Механика управляемого движения и проблемы космической динамики», научным редактором которого был проф. В. С. Новоселов. Последующие сборники научных трудов сотрудников Центра прикладной математики-процессов управления стали выходить под общим названием «Вопросы механики и процессов управления» с указанием номера выпуска и конкретного его названия. Второй выпуск - «Управление динамическими системами» под научным редактированием профессоров В. И. ,Зубова и Л. А. Петросяна - был опубликован, в 1978 г., третий - «Механика управляемого движения», научный редактор профессор В. С. Новоселов, - в 1979 г. В последующие годы В. И. Зубов расширяет круг своих научных интересов. Выходят в свет его книги: «Аналитическая динамика гироскопических систем (1970), «Лекции по теории управления» (1975), «Теория уравнений управляемого движения» (1980), «Проблема устойчивости процессов управления» (1980), «Динамика управляемых систем» (1982), «Аналитическая динамика системы тел» (1983).
В 1981 г. В. И. Зубов избран членом-корреспондёнтом АН СССР.
Одной из значительных его работ является монография «Колебания и волны»(1989). Отметим два ее момента.
И. Ньютон еще в 1686 г. в «Математических началах натуральной философии» сформулировал прямую и обратную задачи механики: по заданным силам определить движение и по заданному движению выявить силы, его вызывающие. В. И. Зубов для механической системы с конечным числом степеней свободы, описываемой системой уравнений в канонической форме с помощью функции Гамильтона, исходит из представления для обобщенной силы через скалярный и векторный потенциалы. Исходя из того, что поле скоростей задано в конфигурационном пространстве, он ставит задачу о нахождении скалярного и векторного потенциалов и определяет их выражения. Уравнения для описания электромагнитного поля были получены Джеймсом Клерком Максвеллом (1831-1879) на основании опытных законов Ханса Кристиана Эрстеда (1777-1851), Майкла Фарадея (1791-1867) и Андре Мари Ампера (1775-1836). Из этих уравнений по заданным плотностям тока и заряда можно рассчитать значения векторов электрической и магнитной напряженности, а также установить траекторию движения заряженных частиц. Это составляет содержание прямой задачи электродинамики. Обратная задача электродинамики, поставленная В. И. Зубовым, предполагает определение плотностей тока и заряда для наперед заданного поля скоростей заряженных частиц.
В. И. Зубов определяет непосредственно как электромагнитное поле, так и соответствующие значения скалярного и векторного потенциалов. При этом заряженная частица будет двигаться согласно заданному полю скоростей при совпадении начальных условий. Теперь по так определенному электромагнитному полю из уравнений Максвелла можно получить плотности тока и заряда. При рассмотрении инженерной проблемы транспортировки, фокусировки и ускорения пучков заряженных частиц по заданному физическому каналу этот научный результат В. И. Зубова об универсальности уравнений Максвелла имеет большое значение.
В 1996 г. за цикл работ «Проблемы устойчивости процессов управления» В. И. Зубову вновь была присуждена 1-я университетская премия.
В. И. Зубов постоянно вел активную работу по подготовке и повышению квалификации научных кадров в области прикладной математики-процессов управления. Им создана научная школа «Процессы управления и устойчивость», которая в 1996 г. стала лауреатом конкурса государственной поддержки ведущих научных школ России.
Природа щедро наградила Владимира Ивановича не только талантом математика и организатора науки, но и поэтическим восприятием окружающего мира. Никого не оставляет равнодушным его книга «Стихотворения. Сонеты. Завет ушедших поколений», опубликованная в 1999 г.
В декабре 2000 г. Совет факультета прикладной математики-процессов управления принял решение о присвоении Научно-исследовательскому институту вычислительной математики и процессов управления имени В. И. Зубова. 26 марта 2001 г. оно было поддержано ученым советом Санкт-Петербургского государственного университета.
В. И. Зубов - талантливый и сильный духом человек - своей жизнью и творчеством является гордостью Санкт-Петербургского государственного университета и всей России.
Summary
Aleshkov Yu. Z. Applied mathematics of Vladimir Ivanovich Zubov.
The scientific heritage of V. I. Zubov and his role in founding the Faculty of applied mathematics and control processes and the scientific research institute of computational mathematics and control processes of St. Petersburg State University are represented.
Литература
1. Владимир Иванович Зубов в воспоминаниях современников / Отв. ред. Р. А. Нелепин. СПб., 2002. 226 с.
2. Остроградский М. В. Избранные труды. Л., 1958. 584 с.
3. Полубарьева М.....Ведь терпит лука тетива // С.-Петерб. гос. ун-т., 1991. № 34. С. 3.
4. Астапов В. Зубов - потомок Зубовых // С.-Петерб. гос. ун-т. 1997. JV® 18. С. 23-26.
5. Ученый, Учитель, Гражданин. 70-летию чл.-корр. РАН профессора В. И. Зубова посвящается // Труды XXXI науч. конф. факультета прикладной математики-процессов управления «Процессы управления и устойчивость». 1-7 апреля 2000 г. С. 11-33.
Статья поступила в редакцию 21 апреля 2005 г.
