CC BY
472
7. Selevko G.K Modern educational technologies: a tutorial. M.: Narodnoe obrazovanie, 1998. 256 p.
8. Khutorskoy A.V. Didactic heuristics: Theory and technology of creative learning M.: MGU, 2003. P. 416.
Сведения об авторах: Иовикова ирина юрьевна,
старший преподаватель, кафедра иностранных языков, Челябинская государственная агроинженер-ная академия
E-mail, i.t-novikova@mail.ru
Гревцева Гульсина Якуповна,
доктор педагогических наук, профессор,
кафедра педагогики и психологии, Челябинская государственная академия культуры и искусств, г. Челябинск.
E-mail, yakupovna@rambler.ru
Information about the authors: Novikova Irina Yur'evna,
Senior lecturer,
The Department of Foreign languages, Chelyabinsk State Agroengineering Academy, Chelyabinsk
E-mail: i.t-novikova@mail.ru
Grevtseva Gulsina Yakupovna,
Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, The Department of Pedagogy and Psychology
Chelyabinsk State Academy of Culture
and Arts,
Chelyabinsk
E-mail, yakupovna@rambler.ru
УДК 51(07) ББК 74.262.21
В.И. Седакова
ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА ИА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
В статье предлагаются простые методы, позволяющие быстро в уме выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление чисел, извлечение квадратных корней, возведение в квадрат. Устные и полуустные упражнения дают возможность изучить на уроке большой по объему материал, позволят учителю судить о готовности класса к изучению нового материала. Материал полезен будущим учителям-математикам.
Ключевые слова: приемы устного счета, вычислительная культура, алгоритм действий.
V.I. Sedakova
MENTAL ARITHMETIC METHODS AT LESSONS OF MATH
The article offers simple methods which allow to perform arithmetic operations in mind: addition, subtraction, multiplication and division, as well as square rooting and squaring. Oral and semioral exercises provide an opportunity to study a large volume of material in the classroom and allow the teacher to judge the readiness of the class to study new material. The article may be useful for future teachers of math.
Key words, techniques, mental arithmetic, computer culture, the algorithm of actions.
Одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.
Вычислительные навыки - важная составляющая математических навыков.
В последнее время, изучая современные образовательные технологии и внедряя их, учителя уделяют развитию вычислительных навыков недостаточное
внимание. Кроме того, использование на практике вычислительных средств -калькулятора, компьютера приводит к тому, что обучаемые не могут выполнить действия с дробями: умножение, деление, исключение целой части и т.д. Тем более, что при проведении государственной итоговой аттестации (ГИА) и единого государственного экзамена (ЕГЭ) использование вычислительных приборов не допускается.
Бесспорно, что вычислительные навыки нужны при изучении программного материала в школе и в повседневной жизни, т.к. они позволяют выполнить прикидку ожидаемого результата не только в учебной деятельности, но и на практике [1]. Именно поэтому учить учащихся быстро, правильно и рационально считать в школе необходимо и не только на уроках, но и на внеклассных занятиях по математике.
Устные упражнения, предлагаемые на уроке, дают возможность изучить большой по объему материал за более короткий промежуток времени, позволяют учителю судить о готовности класса к изучению нового материала.
Известно, что при выполнении устных заданий активизируется память и мыслительная деятельность, формируется внимание, повышается интерес к изучаемому предмету, развивается речь, способность воспринимать информацию на слух, быстрота реакции. Содержание устных упражнений способствует повторению важных элементов курса.
В сочетании с другими формами работы устные упражнения позволяют создать условия, при которых активизируются различные виды деятельности учащихся: мышление, речь, моторика. И устные упражнения в этом комплекте имеют большое значение. Вот почему необходимо на каждом уроке математики отводить до 10 минут для упражнений с устными вычислениями. Форма представления устного упражнения может быть различна: математические, арифметические и графические диктанты; ребусы, кроссворды, соревнования.
Говоря о проблеме формирования вычислительных навыков, мы, прежде
всего, имеем в виду рациональность в вычислениях. При этом важен алгоритм выполнения математических преобразований, что позволяет оперативно получать результат. Таким приемам рационального счета и записи будет уделено внимание в данной работе.
Формирование вычислительных навыков - сложный и систематический процесс. Он состоит из следующих этапов [2]:
Первый этап формирования навыка -овладение умением.
При овладении умением в вычислениях или тождественных преобразованиях первые упражнения на применение нового приема, метода, определения должны выполняться с подробными объяснениями и записями.
Второй этап - этап автоматизации умения.
Автоматизация умения заключается в том, чтобы получать результаты при выполнении упражнений устно, практически не производя записей, пометок и т.д. Свертывание промежуточных операций ускоряет письменные вычисления, говорит о сформированности вычислительных навыков, математической грамотности обучаемых.
В этой статье будут представлены некоторые приемы, связанные с формированием вычислительной культуры школьников, причем для разных возрастных групп.
Представим некоторые приемы устного счета для учащихся начальных классов.
Начнем с таблицы умножения. Не секрет, что заучивание таблицы умножения однозначных чисел, изучение которой начинается со 2-го класса, вызывает у учащихся значительные затруднения. Это связано со злоупотреблением калькулятором. Как помочь учащимся быстро овладеть навыками умножения однозначных чисел?
Существуют различные способы, облегчающие заучивание таких таблиц. Мы познакомимся со способом использования таблицы умножения, который предлагает Билл Хэндли [3]. Условием успешного заучивания таблицы умноже-
I-
го
Ф I-
го
X
го ¡£ о
го
X
го
I-
ф
т
о
о
X I-
о >.
с
го ш о ¡£ го ч ф О
ш
ния является знание умножения чисел на 2. Зная алгоритм получения результата произведения чисел, нет строгой необходимости в заучивании таблицы, хотя для быстроты выполнения математических вычислений знать ее нужно. Рассмотрим правила умножения однозначных и двузначных чисел.
Прием 1. Умножение однозначных чисел.
Допустим, нужно умножить 6 на 8. Напишем произведение этих чисел и нарисуем под ними кружочки.
о о
6 X 8 =
Первому множителю, числу 6, не достает 4-х единиц до числа 10. Это число следует записать в кружочек под числом 6. Аналогично рассуждаем относительно числа 8: ему до 10 не достает 2-х единиц. Ее запишем в другой кружок под цифрой 8.
(4 (2)
Далее нужно вычесть накрест из 8 число 4 или из 6 вычесть число 2. Это необходимо сделать с одной парой чисел. Нетрудно заметить, что при этом получится число 4. Это первая цифра ответа:
6 - 2 = 4 или 8 - 4 = 4.
Затем перемножим числа в кружках: 4 на 2, получим число 8. Это последняя цифра ответа. Таким образом, 6 х 8 = 48.
Как было сказано ранее, нужно знать таблицу умножения на 2.
Прием 2. Умножение чисел, больших 10.
Рассмотрим, подходит ли такой способ для умножения чисел, больших десяти. При этом, конечно, получится верный ответ. Убедимся в этом, умножив число 94 на 98.
Аналогично предыдущему примеру в кружочке под каждым числом запишем недостающее число до 100. Под числом 94 будет записано 6, а под числом 98 число 2.
94 х 98 =
© (!)
Выполним вычитание накрест: 94 - 2 = 92 или 98 - 6 = 92.
Полученное число составляют две первые цифры ответа. Далее перемножим числа 6 и 2, получим 12, последние цифры ответа. Следовательно, 94 х 98 = 9212.
Прием 3. Устное вычитание многозначного числа, меньшего 1000 из 1000.
Чтобы вычесть многозначное число 768 из тысячи, можно поступить следующим образом: вычесть все цифры этого числа из 9, кроме последней. Последнюю цифру числа вычитают из 10:
1000 - 768 = (9 - 7)_(9 - 6)_(10 - 8) = 232.
Рассмотрим приемы устных вычислений для учащихся старших классов.
Прием 1. Умножение многозначного числа на 5, на 25, 125.
П р и м е р 1. Иногда бывает сложно в уме умножить многозначное число на 5. В этом случае для упрощения процесса вычисления помогает следующий прием: следует заданное число умножить на 10, а затем разделить на 2.
Так, 7439 х 5 = 74390 : 2 = 3 7195.
Аналогично примеру 1 сначала заданное число необходимо умножить на 100, 1000 и результат разделить на 4 и 8 соответственно.
Пр и м ер 2. Умножить 4274 на 25.
4274 х 25 = 427400 : 4 = 106850.
Пр и м ер 3. Умножить 1328 на 125.
1328 х 125 = 1328000: 8 = 166000.
Прием 2. Умножение числа на 4.
Умножение многозначного числа на 4 можно выполнить в два приема - вначале число умножить на 2, затем полученный результат снова умножить на 2.
Продемонстрируем это на примере умножения числа 617 на число 4:
617 х 4 = 617 х2 х 2 = = 1234 х 2 = 2468
х
х
Прием 3. Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5.
Если вам нужно устно возвести в квадрат двузначное число, заканчивающееся на цифру 5, то вы можете сделать это очень просто. В уме умножьте первую цифру числа на число, большее данной цифры на единицу и допишите число 25:
Пр и м е р 1. Вычислить устно 7,5 х 75.
Из предыдущего задания известно, что на конце будет записано число 25. Перемножая 7 на число, увеличенное на 1, т.е. на 8, получим 56. Отделяя один знак в числе 5625 справа налево, получим в ответе 562,5.
Пр и м ер 2. Вычислить устно 2352.
Поступаем аналогично: отделяем в числе 235 цифру 5. Умножаем 23 на число, большее на 1, т.е. на число 24, получаем 552, дописываем к нему число 25.
Ответ: 23 52 = 55 2 2 5.
Прием 4. Извлечение квадратного корня из многозначного натурального числа.
Вначале запишем алгоритм извлечения квадратного корня в общем виде, который можно использовать при работе с натуральными числами.
1. Разобьем число на группы (справа налево, начиная с последней цифры), включая в каждую группу по две рядом стоящие цифры. При этом может оказаться в последней группе одна цифра (если в числе нечетное количество цифр) и две цифры - если число цифр четное. Количество групп в таком числе показывает количество цифр результата.
2. Подбираем наибольшую цифру, такую, чтобы ее квадрат не превосходил числа, находящегося в последней группе (считая справа налево); это цифра - первая цифра результата.
3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из последней группы, припишем к найденной разности справа предпоследнюю группу. Получится некоторое число А. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую цифру х, чтобы произведение числа а на х не превосходило числа А. Цифра х -вторая цифра результата.
4. Произведение числа а на х вычтем из числа А, припишем к найденной
разности справа третью группу, получится некоторое число В. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число Ь. Теперь подберем такую наибольшую цифру у, чтобы произведение числа р на у не превосходило числа В. Цифра у - третья цифра результата.
5. Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется самая первая группа числа.
Пр и м е р 1. Продемонстрируем данный алгоритм на более простом примере, результат которого очевиден. Вычислим
И144аблицы квадратов натуральных чисел в пределах двух десятков известно, что 12
(= е 144 справа налево отделяем две цифры, 1/44. Получили две группы цифр, поэтому в результате получится двузначное число. Подбираем число, квадрат которого не превышает числа, стоящего во второй группе (считаем справа налево), это число 1. В нашем случае таким числом будет число 1, т.к. его квадрат равен единице. Значит, в ответе в разряде десятков будет число 1. Из числа 144 вычтем полученное число десятков, в остатке получим число 44.
Определим цифру единиц в ответе. Для этого слева умножим полученную цифру десятков на 2, получим 2. Подберем такое число, при умножении которого самого на себя и на полученное число 2 получится 44. Таким числом является 2, следовательно, при извлечении квадратного корня из 144 получим число 12.
(1 • 2) 2
144 1
44
44 44
0
Подбираем цифры ответа
1_2
Ответ: ->/144= 12
П р и м е р 2. Рассмотрим процесс извлечения квадратных корней из пятизначного числа 75654.
I-
го ф
I-
го
х
га ^
о го
X
го
I-
ф
т
о
о
X I-
о
с
2
( 2 • 2 ) 3
3
129
(I3•I)4
1856
54756
A_
147
Л29_
1856 1856
0
Подбираем цифры ответа I_3_4 Ответ: л/54756 = 234.
Предложенные подходы и приемы позволят развивать навыки устного счета, повысят сообразительность, разовьют интуицию не только на уроках математики, но и позволят разнообразить свой досуг. Делая покупки в магазине, путешествуя на поезде, самолете и т.д., можно производить в уме всевозможные вычисления. Таким образом, каждый из нас может стать интересным собеседником.
Библиографический список
1. Гусев, В.А. Математика: Алгебра: Геометрия: Прил.: справ. материалы [Текст]: учеб. пособие для учащихся / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1986. - 271 с.
2. Зайцева, О.П. Роль устного счёта в формировании вычислительных навыков и в развитии личности ребёнка [Текст] / О.П. Зайцева // Начальная школа, 2001. - № 2. - С. 34-38.
3. Хэндли, Б. Считайте в уме как компьютер [Текст] / Б. Хэндли; пер. с англ. Е.А. Самсонов. -Мн.: Попурри, 2006. - 352 с.
References
1. Gusev V.A. Mordkovich A.G. Mathematics: Algebra: Geometry: Appendix: Reference materials: a tutorial. Moscow: Prosveshchenie. 1986. P. 271. [in Russian].
3. Zajtseva O.P. The role of mental arithmetic in calculation skills formation and development of child's personality. Nachal'naja shkola. 2001. № 2. P. 34-38. [in Russian].
3. Handley B Count in your mind as quickly as a computer. Minsk: Popurri, 2006. P. 352. [in Russian].
Сведения об авторе: Седакова Валентина Ивановна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики и информатики, Сургутский государственный педагогический университет, г. Сургут.
Е-таИ: valya-200909@rambler.ru
Information about the author: Sedakova Valentina Ivanovna,
Candidate of Sciences (Education),
Associate Professor,
The Department of Mathematics
and Computer Science,
Faculty of Management,
Surgut State Pedagogical University, Surgut.
E-mail: valya-200909@rambler.ru
ro ca о
(0
<u О
GÛ
