CC BY
6УДК 536.246:536.421.1
БОТ: 10.18698/2308-6033-2019-2-1847
Приближенный метод расчета плавления шугообразного криопродукта в вертикальной цилиндрической емкости
© Г.Н. Товарных
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Предложен приближенный аналитический метод расчета времени плавления шугообразного криопродукта в вертикальной цилиндрической емкости при дренажном хранении. Рассмотрена задача о нахождении положения границы раздела между чистой жидкостью и шугой с учетом тепловых потоков со стороны стенок емкости и области чистой жидкости. Принято, что область шуги изотермична и имеет температуру плавления твердой фазы, граница раздела шуга — чистая жидкость плоская, свободная поверхность жидкости неподвижна и имеет температуру насыщения при заданном давлении. Температура в области чистой жидкости распределена по линейному закону. Полученные приближенные соотношения позволяют оценить время плавления шугообразного криопродукта в емкости без детального расчета температурных полей в области чистой жидкости и могут быть использованы в качестве обобщающих зависимостей при экспериментальных исследованиях.
Ключевые слова: криогенная жидкость, криопродукт, дренажное хранение, жидкость, шуга, плавление, емкость
Введение. Одним из эффективных путей уменьшения потерь криогенных жидкостей при хранении является использование предварительного глубокого охлаждения вплоть до тройной точки, а также хранение их в шугообразном состоянии. Шугообразный криопродукт представляет собой смесь жидкой и твердой фаз.
При использовании криопродуктов в шугообразном состоянии намного снижаются затраты на транспортировку и хранение, поскольку теплота, проникающая в резервуар, тратится сначала на плавление твердых частичек и лишь затем — на нагрев и испарение жидкости.
Так, низкая плотность и температура кипения жидкого водорода затрудняют его применение для продолжительных космических полетов. Переход на шугообразный водород позволяет повысить плотность, увеличить хладоемкость, а следовательно, и время хранения водорода. Результаты исследований по применению шугообразного водорода в качестве ракетного топлива показали, что по сравнению с насыщенной жидкостью можно увеличить весовую загрузку и, соответственно, уменьшить потери самого топлива.
В работах [1, 2] приведены результаты приближенного численного решения задачи о плавлении шугообразного криопродукта в сфе-
рической и торовой емкостях. Методика расчета положения подвижной границы с учетом плавления твердой фазы представлена в работах [3-10].
Целью данной работы является математическое моделирование процесса плавления шугообразного криопродукта в вертикальной цилиндрической емкости.
Постановка задачи. Шуга рассматривается как квазижидкая среда. Плавление шуги происходит как под действием тепловых потоков, поступающих со стороны твердых стенок емкости, имеющих контакт с шугой, так и под действием теплового потока, поступающего к шуге сверху, со стороны чистой жидкости. При этом принимается предположение о том, что температура распределена в чистой жидкости в вертикальном направлении по линейному закону. Верхнее и нижнее днища емкости представляют собой сегменты сферы (рис. 1). В связи с этим исследуемая область разбивается на три характерные области, в каждой из которых ввиду геометрических особенностей процесс плавления шуги описывается своим дифференциальным уравнением.
Рис. 1. Плавление шуги в сферической емкости:
А — область пара; В — область чистой жидкости; С — область шуги; 01 — сферическая поверхность верхнего днища; 02 — цилиндрическая поверхность емкости; 03 — сферическая поверхность нижнего днища; Я — радиус цилиндрической плоскости; Я1 — радиус днищ; Е,0, £,3 — координаты границ характерных
В А
С
областей
Основные соотношения для описания процесса плавления шугообразного криопродукта в вертикальной цилиндрической емкости. Положение границы раздела шуга — чистая жидкость в области контакта шуги со сферической поверхностью верхнего днища G1 определяется из балансного условия Стефана:
Т - т
-*- шг -*- г
пл о 5ж1
& - Аш ртв ф 5ж1&£ ,
(1)
где д — удельный тепловой поток; 5к1 — площадь поверхности, имеющая контакт с шугой; X ж — теплопроводность жидкой фазы; Тнас — температура насыщенных паров (температура границы раздела жидкость — пар); Тпл — температура плавления твердой фазы; 5ж1 — площадь поверхности раздела между шугой и областью чистой жидкости; ^ — время; Ьпл — теплота плавления; ртв — плотность твердой фазы; ф — концентрация твердой фазы в шуге; & £ — высота элементарного объема, в котором происходит плавление шуги; £ — координата границы раздела шуга — область чистой жидкости; £0 — начальная координата границы раздела шуга — область чистой жидкости.
В соответствии с рис. 1 запишем очевидные геометрические соотношения:
ЯК1 - 2П1 (£1 -£) + 2пЯИ + 2пЯ (£3 -£2) = - 4л^1£1 + 2пЯИ - 2пЯ£,
5 ж1 -п(2Я -£)£.
Подставив эти соотношения в (1), получим
д (4^ + 2пЯИ - 2^) + х Т^ - Тпл
д-тт-ттт--+ X
п(2Я -£)£ "'ж £-£о
Приведем уравнение (2) к безразмерному виду:
& - 1пл ртв ф & £ . (2)
где д -
(4Я,£, + 2И-Щ£) + =_1=_ 4 (2Ё1 -£)£ £-£о
дЯ
& Fo - Ко &£,
(3)
^ Я
- — безразмерный тепловой поток; Я1 - —;
Хж (Тнас - Тпл ) Я
— H т с Y Co аж t
H = —; с = r ; Cq = RFo = R--число Фурье, аж — температу-
X ж
Ашртвф
ропроводность жидкой фазы, аж = —ж—; Ко = - , .
^ржрж ^ржрж (Тнас — Тпл )
число Коссовича, срж — теплоемкость жидкой фазы, рж — плотность жидкой фазы.
Из уравнения (3) можно выразить число Фурье:
d Fo =
Ko '(iR-C)C(C-Co)_
[q (4 R1C1 + 2 H - 2RiC)(C-Co) + ( 2 Ri -C)C
d.
(4)
Приведем соотношение (4) к виду
C( aoiC2 + aiiC + a2i) (boiC2 +biiC + b2i)
d Fo = Ko-
d C.
(5)
Здесь aoi = -i; an = 2R + Cq ; a2i = -2Ri; boi = -(2Rq +1); bn =
= 2 Ri + q (2 RiCo + 4 RiCi + 2 H); b2i = -q (4 RC + 2 H) Co.
Проведем интегрирование уравнения (5):
Fo C C(aoiC2 +aiiC + a2i) -I dFo = Kol / _„-=-r1 dC .
0 0 (boiC2 +bnC + b2i)
Окончательно для области контакта шуги со сферической поверхностью верхнего днища Gi (o ^ C - Ci) имеем
Fo = Л5 (C-Cq) х + As ln
C - z21
Co - z21
+
+
(z11 - z21)
ln
(C-z11) (C0-z21)
(C0-z11) (C-^2i)
(6)
В этой области A5 = A3z21; A3 = Ai(k2i-n21); A1 = Ko-01 ; k2i = —;
boi aoi
«21 = bbT; As = Ai + A4zii; A4 = A3 (zii + mi); A2 = Aizn; boi
2
т к31 - П31 . , а21 . П21 . П21 „ . „ ¿21 . ¿21.
т1 ---; «31 -—; ¿11 -—;т + \Н,— П31; П21 ; П31 ;
«21 - П21 ао1 2 V 4 ¿01 ¿01
П21 П21 „ ¿21 — ^ - — -П31.
Полное время плавления шуги на участке контакта шуги со сферической поверхностью верхнего днища Gl определяется из соотношения (6) при £ - £1:
Р01 - А5 (£1 -£0) х + Аб 1п
£1 - ¿21
£0 - ¿21
+
А2 ,
+ (- ^ 1п
(¿11 - ¿21)
(£1 - ¿11) (£0 - ¿21) (£0 - ¿11) (£1 - ¿21)
(7)
Положение границы раздела шуга — чистая жидкость в области контакта шуги с цилиндрической поверхностью емкости G2 определяется из балансного условия Стефана:
д^ +Хж Тнас .Тпл 5
ж2 0 У
& - ^л ртв ф 5ж2&£ ,
(8)
где 5к2 — площадь поверхности, имеющая контакт с шугой; 5ж2 — площадь поверхности раздела между шугой и областью чистой жидкости;
5ж2 - пЯ 2 .
5к2 -2пЯ(И + £1 -£) + 2пЯ1£1
(9)
Подставив соотношения (9) в (8) и приведя к безразмерному виду, получим
^д [И + (1 + Я1 )£1 -ф^-Л&Бо-Ко&£.
(10)
Запишем уравнение (10) в виде
(а12 £ + а22 )
&Бо - Ко
(¿02 £2 +¿12 £ + ¿22 )
& £ .
(11)
Здесь ап = 1; «22 =-^0; ¿02 = -2^, Ъп = [я + (1 + Д + ^ ];
¿22 = 1 - 2д [ Н + (1 + Д ]1о-
Проведем интегрирование уравнения (11):
^ (а\2 ^ + ^2) Г = Ко Г 7—Ц12-—г .
Ро1 { (¿02Г +¿12^ + ¿22 )
Окончательно для области контакта шуги с цилиндрической поверхностью емкости (^1 < ^ < ^2) получим
(1-12 ) (^1 -22 )
Бо = Бо1 + В11п
^-¿22
- ¿22
+
В2
(¿12 - ¿22 )
1п
(^1 - ¿12 ) (^ - ¿22 )
(12)
Здесь В = Ko ^; В2 = В (212 + ¿32 ); ¿12 + А/ -32 ;
п22 . п22
Ъ{
02
п22 ¡п22 . / а22 . „ ¿12 . „ ¿22 ¿22 =--"--Л Н--п32 ; ¿32 =-; п22 = —; п32 = —.
2 V 4 «12 ¿02 ¿02
Полное время плавления шуги на участке контакта шуги с цилиндрической поверхностью емкости G2 определим из соотношения
(12) при ^ =
(^2 - ¿12 ) (^1 - ¿22 )
Бо = Бо1 + В11п
^2 - ¿22
- ¿22
+
Во
(¿12 - ¿22 )
1п
(^1 - ¿12 ) (^2 - ¿22 )
(13)
Положение границы раздела шуга — чистая жидкость в области контакта шуги со сферической поверхностью нижнего днища Gз определяется из балансного условия Стефана:
^кэ + Гнас Тпл Б. Л
>жЭ
& = Lпл ртв ф БжЭ&^ ;
(14)
где БкЭ — площадь поверхности, имеющая контакт с шугой; БжЭ — площадь поверхности раздела между шугой и областью чистой жидкости.
В соответствии с рис. 1 запишем очевидные геометрические соотношения:
Бкэ = 2пД (Н + 2^1 ;
Бжэ = я[2Д - (Н + 2^1 - $)] (Н + 2^1 - $).
Подставив эти соотношения в (14) и приведя к безразмерному виду, получим
2д
■_ ,2.Я1 - + &Бо - Ко & £. (15) 2Я1 -(И + 2£1 -£) £-£0
Запишем уравнение (15) в виде
(а03£2 + а13£ + а23 )
&Бо - Ко-
& £.
(16)
(¿1з£ + ¿23 )
Здесь а0з - 1; а1з - 2Д-И-2£ -£0; а2з--(2Д -И-2£1 )£0;
¿13 - 4дЯ +1; ¿23 - 2Д - И - 2 £1 - 4^0 .
Проведем интегрирование уравнения (16):
Бо £ (а03£2 +а13£ + а23)
I &Бо - Ко I ^-—=-г-'- & £ .
4 I (¿оз£ + ¿lз)
Окончательно для области контакта шуги со сферической поверхностью нижнего днища Gз (£2 < £ < £3) получим
- - (£-£ )2 Бо-Бо2 + С2 (£-£2) х + С/ 2 +С41П
£ + П33
£2 + п33
Здесь С2 - С («23 - П33); «23 - —; П33 - ; С1 - Ко О03
(17)
а03 .
а03
у03
703
С4 - С3 - С2п3; С3 - С1«33; «33 - а223.
а03
Время полного плавления шуги Бопл определим из решения (17) пРи £-£3:
- - (£ -£ )2 Бопл-Бо2 +С2(£3-£2)х + С11 \ 2 +С41п
2
£3 + п33
£2 + п33
(18)
Если пренебречь тепловыми потоками, поступающими к шуге со стороны чистой жидкости, то уравнения (3), (10), (15) принимают вид
&Бо :
[(2
Ко I (2Я
М
_ 7 " п & £;
[д (4Я1£1 + 2И - 2Я1£)]
(19)
& Fo -
Ко
{2д [И + (1 + Я1 )£1 -£]}
Ко
&Бо -
2Я -(И + 2£ -£)
4дЯ
& £.
(20)
(21)
Текущий объем, занимаемый шугой при плавлении в областях контакта шуги с G1, G2 и G3, рассчитаем по формулам
Кш - 2п
+ пЯ2 И-п
Я1£2-^т
УШ2 - пЯ2 (И + £1 -£) + п[ Я1£2
Я1£2 -£-
V 3У
г -3 Л
Кш3 -п
Я (£з -£)
2 (£3 -£)
3Л
(22)
(23)
(24)
Объем, занимаемый шугой в начальный момент времени, определим по формуле
Кшо - 2п
3Л
Я,£2
+ пЯ2 И -п
3
Я £2 £0 Я1£о-т
V
(25)
/
Запишем отношения текущего объема, занимаемого шугой, к первоначальному для трех рассматриваемых областей в безразмерном виде:
К
к
_ 2(3Я1£12-£3) + 3И-(3Я1£2-£3) - 2 ^Я^2 -£ )+3И -(3Я1£02 -£03)
Я2 (И + £1 -£)+3Я1£2-£3 -
2 (3Д£2 -£3 )+3И -(3Я1£02 -£0 )-
Кш3_ 3Я1 (£3-£)2 -(£3-£)3 _
V
V
V
шО
2 (3Я1£2-£3 ) + 3И-(3Я1£02-£03)
/1 (');
/2 (<);
/3 к).
(26)
(27)
(28)
Анализ результатов расчета. На рис. 2 представлена зависимость полного времени плавления шуги от основных параметров. Базовый вариант значений основных параметров:
Ц = 1; Ко = 0,5; ^ = 0,5; Н = 2; Д = 1.
Кривая 1 отражает зависимость Ропл с учетом теплового потока со стороны чистой жидкости, а кривая 2 — зависимость Бопл без учета теплового потока со стороны чистой жидкости. Расхождение между кривыми 1 и 2 при Ц = 1 достигает 18,7 %, а при Ц > 4 меньше
5 %. Кривая 4 показывает линейную зависимость Ропл от Ко, кривая
6 — зависимость Бопл от . В диапазоне 0,6 < < 3,4 кривая 6 также близка к линейной. Кривая 3 показывает, что изменение длины цилиндрической части емкости оказывает существенное влияние на время плавления шуги. Так, при Н = 1 имеем Foпл = 0,3126, а при Н = 3 получаем Foпл = 0,4979 . Время плавления возросло на 59,2 %.
Кривая 5 отражает влияние радиуса днищ емкости на время плавления шуги. При значении Д = 1 (полусферические днища) Foпл = 0,4188, а при Д = 5 (форма днищ близка к плоским) Foпл = 0,3047 . Расхождение составляет 27,2 %. Но разница времени плавления шуги при Д = 3,5 и Д = 5 составляет уже 3,36 %.
2 4
V- \ 3
1' лд"-— \\ ?
в
/
1 I 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Ч |
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Я
1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Ко
_I_I_I_I_I_I_I_I_I_
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6
Рис. 2. Зависимость полного времени плавления от основных параметров:
1 — Ропл = / (Ц) с учетом теплового потока со стороны чистой жидкости; 2 — Еопл = / (Ц) без учета теплового потока со стороны чистой жидкости; 3 — Foпл = /(Н); 4 — Foпл = /(Ко); 5 — Foш = /(Д); 6 — Foпл = /(^0)
Заключение. В статье получены аналитические формулы, позволяющие оценить время плавления шугообразного криопродукта в вертикальной цилиндрической емкости со сферическими днищами без определения локальных температурных полей в области чистой жидкости. Формулы записаны в безразмерном виде с использованием известных критериев Фурье и Коссовича, что позволяет использовать их в расчетах для широкого круга криогенных жидкостей. Результаты расчетов представлены в графическом виде и дают возможность выделить наиболее существенные параметры, влияющие на полное время плавления твердой фазы шугообразного криопродукта.
Проведенная работа предполагает дальнейшее исследование процессов тепло- и массопереноса в емкостях, частично заполненных криогенными жидкостями с включением твердой фазы.
Представленные в работе результаты можно использовать при проектировании систем долговременного хранения криогенных компонентов топлива, а полученные приближенные соотношения в качестве обобщающих зависимостей при экспериментальных исследованиях.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Тарасова А.В., Товарных Г.Н. Приближённый метод расчета плавления шугообразного криопродукта в сферической емкости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2015, вып. 4. DOI: 10.18698/2308-6033-2015-4-1394
[2] Тарасова А.В., Товарных Г.Н. Приближенный метод расчета плавления шугообразного криопродукта в торовой емкости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2015, вып. 12. DOI: 10.18698/2308-6033-2015-12-1449
[3] Мейрманов А.М. Задача Стефана. Новосибирск, Наука, 1986, 239 с.
[4] Товарных Г.Н. Рост давления в плоской щели при замерзании теплоносителя. Инженерный вестник, 2014, № 11. URL: http://engbul.bmstu.ru/doc/738625.html
[5] Ащеулова А.С., Храпов А.А., Рагулин В.В., Полтавцев В.И. Задача Стефана для адиабатического намораживания воды холодом гранул. ВестникКрасГАУ, 2007, № 1, с. 26-30.
[6] Кувыркин Г.Н., Ломохова А.В. Математическое моделирование процесса кристаллизации в установках для выращивания монокристаллов. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2007, № 4, с. 37- 44.
[7] Крылов Д.А., Мельникова Ю.С. Математическое моделирование распределения температурных полей в криолитозоне. Сб. статей IV научно-технической выставки «Политехника». Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009, с. 94-97.
[8] Крылов Д.А., Сидняев Н.И. Метод расчета массовой кристаллизации многофазных реологических сред. Материалы Четвертой конференции геокриологов России. МГУ им. М.В. Ломоносова. Часть 1. Физико-химия, теплофизика и механика мерзлых пород. Москва, Университетская книга, 2011, с. 129-136.
[9] Парфентьева Н.А., Самарин О.Д. О колебаниях фронта промерзания в ограждениях и численном моделировании задачи Стефана. Строительные материалы, оборудование, технологии. XXI века, 2002, т. XXI, № 11, с. 46-47. [10] Ерохина О.С. Расчет времени протаивания криоботом ледяных структур. Тр. IXВсерос. науч.-техн. конф. «Авиакосмические технологии АКТ-2008». Воронеж, ВГТУ, 2008, с. 70-75.
Статья поступила в редакцию 18.01.2019
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Товарных Г.Н. Приближенный метод расчета плавления шугообразного крио-продукта в вертикальной цилиндрической емкости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2019, вып. 2.
http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2019-2-1847
Товарных Геннадий Николаевич — канд. техн. наук, доцент кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 30 научных работ в области механики жидкости и газа, тепломассопереноса. e-mail: tovarnjx@yandex.ru
Approximate method for calculating the melting of a sludge cryoproduct in a vertical cylindrical tank
© G.N. Tovarnykh
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia
The paper introduces an approximate analytical method for calculating the melting time of a sludge cryoproduct in a vertical cylindrical tank upon drainage storage. We studied the problem of finding the interface position between pure liquid and sludge with account for heat flows from the side of the walls and the area ofpure liquid. It is assumed that the region of sludge is isothermal and has a melting point of the solid phase, the slush-pure liquid interface is flat, and the free surface of the liquid is stationary and has a saturation temperature at a given pressure. The temperature in the region of pure liquid is linearly distributed. The obtained approximations allow us to estimate the melting time of the sludge cryoproduct in the tank without a detailed calculation of the temperature fields in the region of pure liquid and can be used as generalizing dependencies in experimental studies.
Keywords: cryogenic liquid, cryoproduct, drainage storage, liquid, sludge, melting, tank
REFERENCES
[1] Tarasova A.V., Tovarnykh G.N. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2015, issue 4.
DOI: 10.18698/2308-6033-2015-4-1394
[2] Tarasova A.V., Tovarnykh G.N. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2015, issue 12.
DOI: 10.18698/2308-6033-2015-12-1449
[3] Meyrmanov A.M. Zadacha Stefana [Stefan problem]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1986, 239 p.
[4] Tovarnykh G.N. Inzhenerny vestnik — Engineering Bulletin, 2014, no. 11. Available at: http://engbul.bmstu.ru/doc/738625.html
[5] Ascheulova A.S., Khrapov A.A., Ragulin V.V., Poltavtsev V.I. Vestnik KrasGAU — Bulletin of KrasGAU, 2007, no. 1, pp. 26-30.
[6] Kuvyrkin G.N., Lomokhova A.V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Mashinostroenie — Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2007, no. 4, pp. 37-44.
[7] Krylov D.A., Melnikova Yu.S. Matematicheskoe modelirovanie raspredeleniya temperaturnykh poley v kriolitozone [Mathematical simulation of temperature fields distribution in cryolithic zone]. Sbornik statey Chetvertoy nauchno-tekhnicheskoy vystavki "Politekhnika" [Collect. papers of the Fourth scientific and technical exhibition "Polytechnic"]. Moscow, BMSTU Publ., 2009, pp. 94-97.
[8] Krylov D.A., Sidnyaev N.I. Metod rascheta massovoy kristallizatsii mnog-ofaznykh reologicheskikh sred [The method of calculating mass crystallization of multiphase rheological media.]. Materialy Chetvertoy konferentsii geokriolo-gov Rossii. MGU im. M. V. Lomonosova. Chast 1. Fiziko-khimiya, teplofizika i mekhanika merzlykh porod [Materials of the Fourth Conference of geocryolo-gists of Russia. Moscow State University. Part 1. Physical chemistry, thermal physics and mechanics of frozen rocks]. Moscow, Universitetskaya kniga Publ., 2011, pp. 129-136.
[9] Parfenteva N.A., Samarin O.D. O kolebaniyakh fronta promerzaniiy v ogra-zhdeniyakh i chislennom modelirovanii zadachi Stefana [Oscillations of the freezing front in fences and numerical simulation of Stefan problem]. Stroitelnye materialy, oborudovanie, tekhnologii XXI veka [Construction materials, equipment, technology], 2002, no. 11 (46), pp. 46-47.
[10] Erokhina O.S. Raschet vremeni protaivania kriobotom ledyanykh struktur [Calculation of melting time of ice structures with a cryobot.]. Trudy IX Vseross. nauchno-tekhnich. konferentsii "Aviakosmicheskie tekhnologii AKT-2008" [Proceedings of the IX All-Russian Science and Technology Conference "Aerospace Technologies-2008"]. Voronezh, VSTU Publ., 2008, pp. 70-75.
Tovarnykh G.N., Cand. Sc. (Eng.), Assoc. Professor, Department of Spacecraft and Launch Vehicles, Bauman Moscow State Technical University. Author of over 30 scientific papers in the field of fluid mechanics, heat and mass transfer. e-mail: tovarnjx@yandex.ru
